2024-2025学年辽宁省鞍山市海城市九年级上期末数学试卷（附答案解析）

2024-2025学年辽宁省鞍山市海城市九年级上期末数学试卷

一、选择题（每题3分，共30分）

1.（3分）在下列四个图案中，是中心对称图形的是（）

2.（3分）关于x的一元二次方程x2-6x+a=0有两个不相等的实数根，则加的值可能是（）

A.8B.9C.10D.11

3.（3分）下列关系式中，夕是x的反比例函数的为（）

x2cl

A.y=2B.y=~~C.y=x2D.尸记

4.（3分）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架/BCD,然后向左扭动框架，观察所得四边形的变

化，下面判断正确的是（）

AD

BC

A.四边形N3CD由矩形变为菱形

B.对角线/C的长度不变

C.四边形的面积不变

D.四边形N3CD的周长不变

5.（3分）关于抛物线y=（x-2）2+4图象的性质，下列说法错误的是（）

A.开口向上B.对称轴是直线x=2

C.顶点坐标是（2,4）D.与x轴有两个交点

6.（3分）下列事件中是随机事件的是（）

A.明天太阳从东方升起

B.经过有交通信号灯的路口时遇到红灯

C.平面内不共线的三点确定一个圆

D.任意画一个三角形，其内角和是540°

第1页（共23页）

7.（3分）在平面直角坐标系中，已知点/（2,4）,B（4,1）,以原点。为位似中心，相似比为2,把4

OAB放大,则点/的对应点的坐标是（）

A.(1,2)B.(4,8)

C.(8,2)或(-8,-2)D.(4,8)或(-4,-8)

8.（3分）如图，圆内接四边形4SCD中，Z5CZ>=105°,连接OC,OD,BD,/3OC=2/COD.则

的度数是（

C.35°D.40°

9.（3分）如图，正六边形/2CDE尸的边长为2,以/为圆心，NC的长为半径画弧，得比，连接ZC,/E,

则图中阴影部分的面积为（）

V32V3

A.2KB.4nC.—nD.---7T

33

10.（3分）如图，抛物线y=ax2+6x+c（aWO）,其对称轴是x—1,且与x轴的一个交点在（3,0）和（4,

0）之间，结合图象给出下列结论:

①abc<0；

②2。+6=0；

③4。-26+c>0；

④对于任意实数〃?，总有anr+bm-a-b20；

⑤关于x的方程ax2+bx+c=O（aWO）的另一个根在-2和-1之间.

其中正确的结论有（）

第2页（共23页）

A.2个B.3个C.4个D.5个

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.（3分）一元二次方程4=0的根是.

12.（3分）辽宁省中考体育考试分为必考项目和选考项目.男生选考项目有：引体向上、掷实心球、立定

跳远、50米跑、1分钟跳绳，男生需要从这五项中选出两项作为考试项目.某位男同学选考的项目刚好

是立定跳远和跳绳的概率是.

13.（3分）抛物线＞=2/+（加-1）x+4的对称轴是y轴，则机的值为.

14.（3分）如图，在平面直角坐标系中，△048为等腰三角形，。/=/8=5,点8到x轴的距离为4.若

将△0/8绕点。逆时针旋转90°得到AONE,则点⑶的坐标为.

15.（3分）如图是O。的直径,点C,D在l.,OC//AD,OA//CD,^4D=1,则BC的长为

三、解答题（共8小题，共75分）

16.（10分）解方程：

（1）（x-4）2=（5-2%）2；

（2）2久2-2V2x+1=0.

17.（8分）如图，四边形/BCD是菱形，AB=6,ZA=60°,连接3D,点£在线段8。上，过点£作

EF_LAB于点、F,且DE=BF,求的长.

第3页（共23页）

c

18.（8分）在如图所示平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1,△N3C的三个顶点坐标分别为N

（1,-1）,B（2,-5）,C（5,-4）.

（1）画出△A3C绕点。顺时针旋转90°后得到△//Ci；

（2）在（1）的条件下，求点N旋转到点小的过程中所经过的路径长（结果保留TT）.

s-

—

V-

—8-

—-

2

-

—H

19.（8分）如图，正比例函数（h>0）的图象与双曲线y=今（心>0）交于48两点,半径为2

的与x轴交于点C,与y轴的正半轴相切，连接NC,ZACO=60°.

（1）求双曲线丫=今的解析式；

20.（8分）为了丰富大课间活动，某学校抽出部分资金购买了若干副羽毛球拍.已知2022年该校用于购

第4页（共23页）

买羽毛球拍的费用为2000元，计划在2024年用于购买羽毛球拍的费用是2880元.

（1）求2022-2024年购买羽毛球拍费用的年平均增长率；

（2）如果按照这样的速度，逐年增加投入，预计2025需要抽出多少资金用于购买羽毛球拍？

21.（10分）如图，N5是OO的直径，是。。的切线，AC,CD是。。的弦，且CD_L4B,垂足为£,

连接8。并延长，交于点P

（1）求证：NC4B=NAPB；

（2）若。。的半径r=5,AC=8,求线段尸D的长.

22.（10分）某课外科技小组研制了一种航模飞机.通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离

x（单位：加）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间/（单位：s）变化的数据如下表：

飞行时间t/s02468.・•

飞行水平距离x/m010203040•••

飞行高度y/加022405464…

【探究发现】

通过表格可发现x与f满足一次函数关系，即x=5f.而y与/之间的数量关系也可以用我们已经学习过

的函数来描述.

【解决问题】

（1）直接写出y关于/的函数解析式.（不要求写出自变量的取值范围）

（2）如图，活动小组在水平安全线上N处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机.根据上

面的探究发现解决下面的问题：

①若发射平台相对于安全线的高度为0m,求飞机落到安全线时飞行的水平距离；

②在安全线上设置回收区域，点M的右侧为回收区域（包括端点M）,4M=125m.若飞机落到回收区

域内，求发射平台相对于安全线的最低高度.

第5页（共23页）

23.（13分）【问题初探】

（1）在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1,四边形A8C»中，N/=90°,NC=45°,BD

平分/4BC,求证：AB+AD=BC.

①如图2,豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在3c上截取连接。£,将线段

AB,AD,BC的数量关系转化为DE与CE的数量关系；

②如图3,乐琪同学从3。平分//2C这个条件出发，想到将△3。。沿3。翻折，所以她延长线段A4

到点R使FB=CB,连接ED,发现了/尸与//。尸的数量关系；

请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；

图2图3

【类比分析】

（2）李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出

了下面的问题，请你解答.

如图4,△A8C中，N/=90°,平面内有点。（点D和点/在2C的同侧），连接DC,ZD=45°,

ZABD+2ZABC=ISQ0,求证：V2BD+V2AB=CD.

【学以致用】

（3）如图5,在（2）的条件下，若/4BD=30°,AB=\,请直接写出线段NC的长度.

图5

图4

第6页（共23页）

2024-2025学年辽宁省鞍山市海城市九年级上期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每题3分，共30分）

1.（3分）在下列四个图案中，是中心对称图形的是（）

【解答】解：选项/、C、。的图案均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重

合，所以不是中心对称图形；

选项2的图案能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形;

故选：B.

2.（3分）关于x的一元二次方程x2-6x+%=0有两个不相等的实数根，则加的值可能是（）

A.8B.9C.10D.11

【解答】解：:•方程，-6x+m=0有两个不相等的实数根，

=（-6）2-4m>0,

解得m<9,

，4个选择中只有/符合.

故选：A.

3.（3分）下列关系式中，夕是x的反比例函数的为（）

r21

A.y=zB.J=--C.y=x2nD.尸记

【解答】解：A.是正比例函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意；

B.是反比例函数，故本选项符合题意；

C.是二次函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意；

D.不是反比例函数，故本选项不符合题意；

故选：B.

4.（3分）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架/BCD,然后向左扭动框架，观察所得四边形的变

化，下面判断正确的是（）

第7页（共23页）

AD

A.四边形力由矩形变为菱形

B.对角线/C的长度不变

C.四边形/BCD的面积不变

D.四边形A8C。的周长不变

【解答】解：向左扭动矩形框架只改变四边形的形状，四边形变成平行四边形，/不符合题意;

此时对角线减小，对角线/C增大，2不合题意.

5c边上的高减小，故面积变小，C不符合题意，

四边形的四条边不变，故周长不变，。符合题意.

故选：D.

5.（3分）关于抛物线y=（x-2）2+4图象的性质，下列说法错误的是（）

A.开口向上B.对称轴是直线x=2

C.顶点坐标是（2,4）D.与x轴有两个交点

【解答】解：•抛物线解析式为y=（x-2）2+4,

抛物线开口向上、对称轴为直线x=2、顶点坐标为（2,4）,故4B、C说法是正确的；

在>=（x-2）2+4中，令y=0可得（x-2）2+4=0,

（x-2）~=-4,

,：Cx-2）220,-4<0,

•••该方程无解.

，抛物线与x轴没有交点，

选项。的说法是错误的，

故选：D.

6.（3分）下列事件中是随机事件的是（）

A.明天太阳从东方升起

B.经过有交通信号灯的路口时遇到红灯

C.平面内不共线的三点确定一个圆

D.任意画一个三角形，其内角和是540°

第8页（共23页）

【解答】解：/、明天太阳从东方升起，是必然事件，不符合题意；

B,经过有交通信号灯的路口时遇到红灯，是随机事件，符合题意；

C、平面内不共线的三点确定一个圆，是必然事件，不符合题意；

。、任意画一个三角形，其内角和是540°,是不可能事件，不符合题意；

故选：B.

7.（3分）在平面直角坐标系中，已知点/（2,4）,B（4,1）,以原点O为位似中心，相似比为2,把4

OAB放大,则点/的对应点的坐标是（）

A.（1,2）B.（4,8）

C.（8,2）或（-8,-2）D.（4,8）或（-4,-8）

【解答】解：•.,以原点O为位似中心，相似比为2,把△0/2放大，点/的坐标为（2,4）,

.•.点N的对应点的坐标（2义2,4X2）或（2X（-2）,4X（-2））,即（4,8）或（-4,-8）,

故选：D.

8.（3分）如图，圆内接四边形48CD中，ZBCD=105°,连接OB,OC,OD,BD,/3OC=2/COD则

NC8。的度数是（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

【解答】解：；四边形/BCD是。。的内接四边形,

ZA+ZBCD=ISQ°,

ZBCD=105

：.ZA=75

，/2。£>=2//=150°,

,/ZBOC=2ZCOD,

：.ZBOD=3ZCOD=150",

：.ZCOD=50°,

1

ZCBD=RCOD=25

第9页（共23页）

故选：A.

9.（3分）如图，正六边形45CZ）斯的边长为2,以4为圆心，4C的长为半径画弧，得觉，连接4GAE,

则图中阴影部分的面积为（）

V32V3

A.2KB.4nC.—nD.7T

33

【解答】解：・・•正六边形45。跖的边长为2,

.RB=BC=2,—里编幽=120°,

VZABC+ZBAC+ZBCA=\SO°,

11

：.ZBAC=^(180°-NABC)(180°-120°)=30°,

过2作BHLAC于H,

；.AH=CH,BH=^AB=x2=1,

在中，

AH=7AB2—BH2=V22-l2=V3,

：.AC=2y/3,

同理可证，ZEAF=30°,

：.ZCAE=ZBAF-ABAC-ZEAF=120°-30°-30°=60°,

.0_607r-(2右)2_

・・S扇形CAE—希0—2TI,

..•图中阴影部分的面积为2n,

故选：A.

10.（3分）如图，抛物线y=ax2+6x+c（aWO）,其对称轴是x—1,且与x轴的一个交点在（3,0）和（4,

第10页（共23页）

0）之间，结合图象给出下列结论：

①abc<0；

②2。+6=0；

③4。-2b+c>0；

④对于任意实数〃?，总有anr+bm-a-620；

⑤关于x的方程ax2+bx+c=0（aWO）的另一个根在-2和-1之间.

【解答】解：由图象可得，

a<0,b>0,c>0,

abc<0,

...①正确.

..•抛物线的对称轴为x=l,

•_A-i

2a

•,*2。+6=0,

②正确；

当x=-2时，函数值><0,即2a-2b+c<Q；

③错误，

当x=l时，y=a+6+c的值最大，

...对于任意实数加，anr+bm+ca+b+c,

am2+bm-a-bWO,

.•.④错误；

:对称轴是x—1,且与x轴的一个交点在（3,0）和（4,0）之间，

，关于x的方程a/+bx+c=O（aWO）的另一个根在（-2,0）和（-1,0）之间,

第11页（共23页）

，⑤错误,

故选：A.

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.（3分）一元二次方程x2-4=0的根是xi=2,，=-2.

【解答】解：（%-2）（x+2）=0,

xi=2,X2=~2.

故答案为：X1=2,X2=-2.

12.（3分）辽宁省中考体育考试分为必考项目和选考项目.男生选考项目有：引体向上、掷实心球、立定

跳远、50米跑、1分钟跳绳，男生需要从这五项中选出两项作为考试项目.某位男同学选考的项目刚好

是立定跳远和跳绳的概率是

【解答】解：把引体向上、掷实心球、立定跳远、50米跑、1分钟跳绳这五项分别记为4B、C、D、

E,

画树状图如下:

开始

由树状图知，共有20种等可能的结果，其中某位男同学选考的项目刚好是立定跳远和跳绳的结果有2

种，

某位男同学选考的项目刚好是立定跳远和跳绳的概率是二=2，

2010

,心一,1

故答案为：—.

13.（3分）抛物线＞=2』+-1）x+4的对称轴是y轴，则m的值为1.

【解答】解：：抛物线＞=2x2+（加一1）x+4的对称轴是y轴，

.,.m-1=0,

解得m=l.

故答案为：1.

14.（3分）如图，在平面直角坐标系中，△048为等腰三角形，OA=AB=5,点2到x轴的距离为4.若

将△0/8绕点。逆时针旋转90°得到AGUE,则点3'的坐标为（-4,8）.

第12页（共23页）

【解答】解：过点3作轴，过点夕作夕轴,

:./B'MO=/BNO=90°,

：04=48=5,点3到x轴的距离为4,

:.AN=3,

:将△0/8绕点O逆时针旋转90°,得到△OHB',

:./BOB'=90°,OB=OB',

ZBOA'+ZB'OA'^ZBOA+ZBOA',

AZBOA=ZB'OA',

/\NOB^^MOB'(AAS),

：.OM=ON=8,B'M=BN=4,

：.B'(-4,8),

故答案为：(-4,8).

15.(3分)如图，43是O。的直径，点C,D在。。上，OC//AD,O4〃CD,若40=1,则3c的长为]

,COC//AD,0A//CD,

第13页（共23页）

・・・四边形OADC是平行四边形，

：.AD=OC,ZA+ZD=180°,ZA=ZBOC,

9

：AD=lf

：.AD=OC=1,

：.OC=OB=\,

：.ZOBC=ZOCB,

•・•四边形ADCB是圆的内接四边形,

Z5+ZZ)=180°,

・•・/B=/A=NBOC,

•••△50C是等边三角形，

：.BC=OC=1.

故答案为：1.

三、解答题(共8小题，共75分)

16.(10分)解方程：

(1)(%-4)2=(5-2x)2；

(2)2x2-2岳+1=0.

【解答】解：(1)[(x-4)-(5-2x)][(x-4)+(5-2x)]=0,

(3x-9)(1-x)=0,

3x-9=0或1-x=0,

解得：xi=3,X2=l；

(2)V2X2-2V2X+1=0,

・・・(V2x-1)2=0,

则缶-1=0,

._V2

•.X1=X2=

17.(8分)如图，四边形/BCD是菱形，AB=6,//=60°,连接3。，点E在线段AD上，过点E作

第14页（共23页）

EFL4B于点、尸,_aDE=BF,求QE的长.

:・AD=AB,

•：4B=6,ZA=60°,

£\ABD是等边三角形，

:・BD=AB=6,ZABD=60°,

'：EFLAB,

:・BE=2BF,

•:DE=BF,

：.BD=DE+BE=DE+2BF=3DE=6,

；・DE=2.

18.(8分)在如图所示平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1,△45。的三个顶点坐标分别为4

(1,-1),B(2,-5),C(5,-4).

(1)画出△/吕。绕点。顺时针旋转90°后得到△451C1；

(2)在(1)的条件下，求点/旋转到点4的过程中所经过的路径长(结果保留IT).

€-

—

V-

—3-

1-

2

-

—H

第15页(共23页)

(2)由勾股定理得，OA^Vl2+I2=V2,

90TTXV2V2

点A旋转到点小的过程中所经过的路径长为-----------=-------TC.

1802

19.（8分）如图，正比例函数尸肌x（肌＞0）的图象与双曲线y=冬（七＞0）交于/,3两点，半径为2

的O/与x轴交于点C,与y轴的正半轴相切，连接/C,ZACO^6Q°.

（1）求双曲线y=*的解析式;

【解答】解：（1）如图，过点4作轴于“，设。/与y轴的正半轴相切于点。，连接/£＞,

第16页（共23页）

ZAHC=9Q°,

：ON切y轴于。，

轴，AD=2,

VZACO=60°,4c=2,

：.ZCAH=3Q°,

在RtAUC"中，CH=%C=1,

：.AH=WCH=V3,

：.A(2,V3),

•.•双曲线尸今经过圆心/,

:.k=2xV3=2V3,

•••双曲线的解析式为y=学；

(2)-：A(2,V3),正比例函数＞=上由(所＞0)的图象与双曲线＞=乎交于/,3两点，

'.2k\—V3,解得左i=字，

正比例函数的解析式为尸圣，

联立得半，解得x=±2,

Lx

：.B(-2,-V3),

由图象得不等式的解集为-2Vxe0或x＞2.

20.(8分)为了丰富大课间活动，某学校抽出部分资金购买了若干副羽毛球拍.已知2022年该校用于购

买羽毛球拍的费用为2000元，计划在2024年用于购买羽毛球拍的费用是2880元.

(1)求2022-2024年购买羽毛球拍费用的年平均增长率；

(2)如果按照这样的速度，逐年增加投入，预计2025需要抽出多少资金用于购买羽毛球拍？

【解答】解：(1)设2022年到2024年该校购买羽毛球拍费用的年平均增长率为x,

则:2000(1+x)2=2880,

解得：x=0.2,或x=-2.2(舍去)，

答：2022年到2024年该校购买羽毛球拍费用的年平均增长率为20%；

(2)2880X(1+20%)=3456(元)，

第17页(共23页)

答：2025需要抽出3456元资金用于购买羽毛球拍.

21.(10分)如图，45是。。的直径，4M是。。的切线，AC.CD是。。的弦，且CZ)J_45,垂足为

连接并延长，交//于点P.

(1)求证：ZCAB=ZAPB；

(2)若。。的半径r=5,4。=8,求线段的长.

【解答】(1)证明：是。。的切线，

ZBAM=90°,

•；NCEA=90°,

：.AM//CD,

；・NCDB=/APB,

•：/CAB=/CDB,

：.ZCAB=ZAPB.

(2)解：如图，连接4。，

■:AB是直径，

：.ZCDB+ZADC=90°,

VZG45+ZC=90°,/CDB=/CAB,

：./ADC=/C,

：.AD=AC=S.

u：AB=10,

:,BD=6,

VZBAD+ZDAP=90°,ZPAD+ZAPD=90°,

・・・/APB=/DAB,

,/ZBDA=ZBAP

：.LADBs^piB,

*_A_B_B_D

••—,

PBAB

第18页(共23页)

2

■.-P”B=~ABBD=—100=^50

32

故答案为：y.

22.（10分）某课外科技小组研制了一种航模飞机.通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离

x（单位：加）、飞行高度y（单位：加）随飞行时间/（单位：s）变化的数据如下表：

飞行时间t/s02468・・・

飞行水平距离x/m010203040•••

飞行高度川机022405464•••

【探究发现】

通过表格可发现x与f满足一次函数关系，即x=5f.而y与/之间的数量关系也可以用我们己经学习过

的函数来描述.

【解决问题】

（1）直接写出y关于，的函数解析式.（不要求写出自变量的取值范围）

（2）如图，活动小组在水平安全线上/处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机.根据上

面的探究发现解决下面的问题：

①若发射平台相对于安全线的高度为0m,求飞机落到安全线时飞行的水平距离；

②在安全线上设置回收区域，点M的右侧为回收区域（包括端点M）,AM=U5m.若飞机落到回收区

域内，求发射平台相对于安全线的最低高度.

【解答】解：（1）根据探究发现：y与/是二次函数关系,

设y与t的函数解析式为夕=/+从，

第19页（共23页）

由题意得：｛北+且；2：

解得卜=_*,

3=12

・・・丁与t的函数解析式为＞=一32+12/；

（2）①依题意得，令）=0,则一号产+12力=0,

解得九=0,包=24,

当％=24时，x=5/=120.

答：飞机落到安全线时飞行的水平距离120加；

②设发射平台相对于安全线的高度为nm,飞机相对于安全线的飞行高度为月=-4t2+12t+n,

：x2125,

...512125,

.•心25,

1

在乃=一+12t+n中，

当刚好落在"点时，即f=25,yi=0时，〃=12.5,

...若飞机落到回收区域，贝!I"212.5,

答：发射平台相对于安全线的最低高度为12.5m.

23.（13分）【问题初探】

（1）在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1,四边形48CD中，ZA=90°,ZC=45",BD

平分/48C,求证：AB+AD=BC.

①如图2,豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在3C上截取连接DE,将线段

AB,AD,的数量关系转化为DE与CE的数量关系；

②如图3,乐琪同学从3。平分//8C这个条件出发，想到将△3DC沿3。翻折，所以她延长线段历