(带答案)高中数学第四章指数函数与对数函数重点知识归纳

单选题1、已知，则（

）A．B．C．D．答案：A分析：法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．［方法一］：（指对数函数性质）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.综上，.［方法二］：【最优解】（构造函数）由，可得．根据的形式构造函数

，则，

令，解得

，由

知

.

在

上单调递增，所以

，即

，

又因为

，所以

.故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．2、已知实数，且，则（

）A．B．C．D．答案：B分析：对，利用换底公式等价变形，得，结合的单调性判断，同理利用换底公式得，即，再根据对数运算性质得，结合单调性，

，继而得解.由，变形可知，利用换底公式等价变形，得，由函数在上单调递增知，，即，排除C，D；其次，因为，得，即，同样利用的单调性知，，又因为，得，即，所以.故选：B.3、荀子劝学中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过参考数据：，

（

）天．A．200天B．210天C．220天D．230天答案：D分析：根据题意可列出方程，求解即可.设经过x天“进步”的值是“退步”的值的100倍，则，即，．故选：D．4、已知函数满足对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，则a的取值范围为（

）A．B．(0，1)C．D．(0，3)答案：A分析：根据给定不等式可得函数f(x)为减函数，再利用分段函数单调性列出限制条件求解即得.因对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，不妨令x1<x2，则f(x1)>f(x2)，于是可得f(x)为R上的减函数，则函数在上是减函数，有，函数在上是减函数，有，即，并且满足：，即，解和，综上得，所以a的取值范围为.故选：A5、下列说法正确的个数是（

）（1）49的平方根为7；

（2）＝a(a≥0)；（3）；

（4）

．A．1B．2C．3D．4答案：A分析：（1）结合指数运算法则判断，49平方根应有两个；（2）正确；（3）应为；（4）符号错误49的平方根是±7，（1）错；（2）显然正确；，（3）错；，(4)错，正确个数为1个，故选：A6、函数的零点所在的区间可能是（

）A．B．，C．，D．，答案：B分析：结合函数的单调性，利用零点存在定理求解.因为，所以，又函数图象连续且在单调递增，所以函数的零点所在的区间是，，故选：B．小提示：本题主要考查函数的零点即零点存在定理的应用，属于基础题.7、已知函数，若函数恰有两个零点，则实数m不可能是（

）A．B．0C．1D．2答案：D解析：依题意画出函数图象，函数的零点，转化为函数与函数的交点，数形结合即可求出参数的取值范围；解：因为，画出函数图象如下所示，函数的有两个零点，即方程有两个实数根，即，即函数与函数有两个交点，由函数图象可得或，故选：D小提示：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．8、我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（

）（参考数据：）A．5.32hB．6.23hC．6.93hD．7.52h答案：C分析：利用已知条件，该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L时需要的时间为，转化求解即可.解：由题意得：设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L需要的时间为故，故该新药对病人有疗效的时长大约为故选：C9、如图所示，函数的图像是（

）A．B．C．D．答案：B分析：将原函数变形为分段函数，根据及时的函数值即可得解.，时，时，.故选：B.10、若在内为增函数，且也为增函数，则的取值范围是（

）A．B．C．D．答案：D分析：根据函数单调性，列出不等式组求解，即可得出结果.若在内为增函数，则，由为增函数得．解不等式组，得的取值范围是．故选：D.小提示：本题主要考查由对数函数与指数函数的单调性求参数，涉及不等式的解法，属于基础题型.多选题11、已知关于x的方程，则下列说法正确的是（

）A．当时，方程的两个实数根之和为0B．方程无实数根的一个必要条件是C．方程有两个正根的充要条件是D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是答案：BCD分析：方程没有实数根，所以选项A错误；由题得，是的必要条件，所以选项B正确；由题得，所以方程有两个正根的充要条件是，所以选项C正确；由题得，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是，所以选项D正确.对于选项A，方程为，方程没有实数根，所以选项A错误；对于选项B，如果方程没有实数根，则所以，是的必要条件，所以选项B正确；对于选项C，如果方程有两个正根，则所以，所以方程有两个正根的充要条件是，所以选项C正确；对于选项D，如果方程有一个正根和一个负根，则所以，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是，所以选项D正确.故选：BCD小提示：方法点睛：判断充分条件必要条件，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件，灵活选择方法判断得解.12、设a，b，c都是正数，且，那么（

）A．B．C．D．答案：AD分析：利用与对数定义求出，，，再根据对数的运算性质可得，然后进行化简变形即可得到.由于，，都是正数，故可设，

，，，则，，.

，

，即，去分母整理得，.故选AD.小提示：本题考查对数的定义及运算性质，属于基础题.13、下列命题正确的是（

）A．若，且，则，，B．若，且，则，，C．，，D．，，答案：BCD分析：根据对数的运算法则即可判断.解：对于选项AC，由对数的运算性质知，有，而，选项A错误，C正确；对于选项B，当时，成立，选项B正确；对于选项D，由对数的概念可知选项D正确．故选:BCD．14、已知函数，实数，满足

，则（

）A．B．，，使得C．D．答案：CD分析：根据函数解析式，作函数的图象，根据图象的特征，可得选项A、C的正误，根据基本不等式，可得选项B、D的正误.画出函数的图象，如图所示．由图知，则，故A错，C对．由基本不等式可得，所以，则，故B错，D对．故选：CD．15、下列四个等式正确的是（

）A．B．C．若，则D．若，则答案：AB分析：根据对数式与指数式的互化，对数的运算对各选项作出判断.对于A，因为，所以，故A正确；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，若，则，故C错误；对于D，若，则

，故D错误.故选：AB.小提示：本题主要考查了对数式与指数式的互化，对数的运算，属于基础题.填空题16、若函数，则______．答案：##0.5分析：首先计算，从而得到，即可得到答案.因为，所以.所以答案是：17、函数的单调递减区间为___________.答案：分析：利用对数型复合函数性质求解即可.由题知：，解得或.令，则为减函数.所以，为减函数，为增函数，，为增函数，为减函数.所以函数的单调递减区间为.所以答案是：18、设，则___________.答案：4分析：由根式与有理数指数幂的关系，结合指数幂的运算性质，求值即可.由.所以答案是：4.解答题19、学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有90分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分）的函数关系，要求及图示如下：（1）函数是区间上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有三个函数模型①，②，③供选择.(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式；(2)求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注：，结果保留整数）答案：(1)模型③，理由见解析，(2)55分钟分析：（1）根据图像和函数性质选择模型，再将（0，0），（30，3）代入求解系数即可.（2）将代入解析式即可.（1）第一步：分析题中每个模型的特点对于模型一，当时，匀速增长；对于模型二，当时，先慢后快增长；对于模型三，当时，先快后慢增长.第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选.第三步：把题图中的两点代入选好的模型中，得到函数解析式将（0，0），（30，3）代入解析式得到，即，解得，即.第四步：验证模型是否合适当时，，满足每天得分最高不超过6分的条件.所以函数的解析式为.（2）由，得，得，得，所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟.20、某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高.（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？答案：（1）500名；（2）.解析：（1）求出剩下名员工创造的利润列不等式求解；（2）求出从事第三产业的员工创造的年总利润