2024-2025学年山东省济南市高三年级上册12月月考数学学情检测试题（含解析）

2024-2025学年山东省济南市高三上学期12月月考数学学情

检测试题

一、单选题（本大题共5小题）

1.已知集合8={x|g-1=0,小町若人5=/,则所有符合条件的实

数"组成的集合是（）

A.V'耳B.{TO,"C.{T2}D.卜叫

2.设分是两个不同的平面，加、〃是两条不同的直线，则下列条件中可以推出

a，夕的是（）

A.mLn9vnua,nL/3gm-Ln9mua,a[\fi=n

C.m//n9mLafnL/3£）m//nfm//a9n工B

3,定义在（仇+8）上的函数/0）满足2/（"）+苫/0/,/（1）=0（若/（x）W,则

“x）=hu+c,c为常数），则下列说法错误的是（）

A_/（1）＜/（V2）＜/（V3）

1

B./（x）在x=—取得极小值，极小值为孤

C.”无）只有一个零点

D.若山）＜”!在（。，+“）上恒成立，则上W

4.已知函数＞在R上的导函数为V=/'（x）,若尸㈤＜1对任意xeR恒成立，

关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）

命题①：方程/（x）+x=°至多只有一个实数根；

命题②：若＞=/（x）是以2为周期的周期函数，则对任意再*2eR,都有

A.①真命.；②假命题B.①假命题；②真命题

C.①真命题；②真命题D.①假命题；②假命题

5.设定义在&上的函数“X）,7（0）=2008；且对任意xeR,满足/（x+2）-/（x"3x2、,

“X+6）-/（x）W63x2',贝”（2008）=

20O52OO720092008

A.2+2004B.2+2006c,2+2008d.2+2007

二、多选题（本大题共2小题）

6.已知函数fO）的导函数为,f。）与/（%）的定义域都是R,且满

足/（2x）+/（-2x）=0,/（2-x）-/W=1,则下列结论正确的是（）

A.以琦的图象关于（2,1）中心对称B./W为周期函数

^.,8095/i\=80950、口但一口〃

C.=1（2024）­D.y=/（2-x）7H偶函数

7.已知四棱锥P-/8CD,底面/BCD是正方形，P/工平面/BCD,AD=1,尸C与底

V2

面/BCD所成角的正切值为彳，点M为平面48。内一点（异于点A）,且NM<1,

贝U（）

A.存在点使得CM,平面尸

71

B.存在点"，使得直线尸8与/〃所成角为3

AM,—1——1

C.当2时，三棱锥P-8CM的体积最大值为4

…V2

D.当2时，以尸为球心，为半径的球面与四棱锥P一/8。各面的交线

V2+V6

----71

长为4

三、填空题（本大题共1小题）

8.己知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大时，它

的体积为.

四、解答题（本大题共2小题）

9.在V4BC中，角42,C所对的边分别是a/,c,已知c-2acos/cosB=Zbcos?N.

⑴求A；

b

（2）若V48C为锐角三角形，求展的取值范围.

10.如图，在三棱锥中，ACVBC,平面P4CL平面4BC,PA=PC=AC=2,

BC=4,E,尸分别是PC,PB的中点，记平面么斯与平面/3C的交线为直线/.

(1)求证：直线/，平面PNC；

(2)若直线/上存在一点0(与8都在ZC的同侧)，且直线产°与直线所所成的角为

71

7,求平面尸2°与平面N跖所成的锐二面角的余弦值.

答案

1.【正确答案】D

就〃2=0,〃"°分类讨论求出集合B,再结合8口”可得冽的值.

［详解］=4等价于

当加=。时，5=0,此时符合；

/R4J二2加」

当加力0时，〔加J,因为8口“，故加或加即,"=T或2,

故选：D.

2.【正确答案】D

【详解】对于A,如图所示，当加为平面1和平面分的交线时，推不出八8,故A

错误；

对于B,如图所示，mVn,mua,"口尸=〃，但推不出C,故B错误;

对于C,因为加〃“，mVa,所以可得又所以"〃力，故C错误；

对于D,因为加〃〃，所以可得“,方，又因为加〃a,所以故D正

确.

故选：D.

3.【正确答案】B

2f(x}-\-xf'(x)=-^r2xf(x)+x2fr(x)=—

【详解】d/且(0,+8),可得"八)X,

则有［一嚏，故*"x）=lnx+c（C为常数），

A'）噂,一。,+心

又/(1)=。，则F/(l)=Ml+c,得c=0,故

2

—x—2x,luxx-2x\wc_x(1-21nx)_1-21nx

/'(x)=X

X4X4X4

当1-2"x＞0,gpliu＜lne\解得：°＜、＜五，/（%）＞0,此时,卜）单调递增,

当l—21nx=0,gpInx=Ine2,解得％=血，/'（'）=。，

当1-2醍＜0,即lnx＞lne3解得：x＞五,/（x）＜0,此时单调递减，

对于A,由于。＜x＜五，"x）单调递增，x＞庭,/（x）单调递减，

•/＜&＜八,可得/（1）＜/（收），

../5）=警=号"3）=竿j（2）=与=/5）

故外）＜"=/（2）＜S故A正确：

・/=五，小）取得极大值，/（6）===,故B错误；

对于C,当x-＞0+,f（x）＜0,x=&,2e,x—+8,/（x）＞。，

画出/（x）草图，如图：

根据图象可知：/（X）只有一个零点，故C正确;

f（x）＜k-\

对D,要》在（。，+8）上恒成立

/(x)+—<A:

即：》在（。，+8）上恒成立,

Inx1.

-F-1—2<k

可XX在上恒成立,

lux1

1+lnxG，3=Z1^E

k＞TTTT,令G（）

x'+x42

只需maxX

c，(、—1—21nx

二G(x)=-----——>A0

当0cx<e2

c，(、—1—21wc

1G(x)=-----——<0

当X>e2时,GG）单调递减,

,=etG（力三等二°

G(x)=Ge

\/max

J,(Inx1)e

k>\—+-r=~

即I厂xJ2,

则max故D正确;

故选：B.

4.【正确答案】C

【详解】因为即一1</'。)<1,

对于命题①：令gG)=/(x)+x,故g'(x)=/'(x)+l>0,

可知函数g(x)在R上单调递增，则g(x)至多有一个零点，

所以方程/(x)+x=O至多只有一个实数根，故命题①为真命题；

对于命题②：因为函数”/(X)MR)是周期为2,取一个周期［0,2］,

由题意可知尸/(X)在［°，2］内连续不断，则k/(X)在［°，2］内必有最大值和最小值，

设/GO在［°，2］内的最大值为M,最小值为m,

设".)="，f3)=叫且

对任意斗，》2«0,2］,

显然再时,|/(再)-/&)=0<1恒成立,下面考虑x尸马的情况，

&)_小)W<］

由导数定义可知%-乙，即|/(%)-/。2)|<归-引，

若1”6归1,则-机.

nXt-Az.；

若设a>b,即”6>1,

则。+1>6+2,且。<6+2,可得0<6+2-0<1,

所以k(xi)--(xJWM_加=/(a)-/(6+2)<,-(6+2)<1成"

综上所述：对任意实数不，马都成立，故命题②为真命题；

故选：C.

5.【正确答案】D

先把/(X+2)-"X)N3-2,转化成-“x+2)+/(x)52:与/(x+6)一y(x)v63x2,进行

加法运算，依次推倒，得到/(X+2)-/(X)W3-2”,再根据条件/(x+2)-/(x)N3x2,,

得到了(x+2)"x)-3-2,然后根据等式关系，用累加法计算得到结果.

【详解】•••/(X+2)-/(X)22',/(x+2)+/(x)W-32⑴

x

„f(x+6)-f(x)<63-2(2)

...(i)+(2)得/(x+6)-/(x+2)460.2，=i5.2*

即/(x+4)-/(x)W152⑴

...(i)+(3)得“X+4)-“X+2)W122=3.2,即〃x+2)-“x)v32

1l

.../(x+2)-/(x)>3.21y(x+2)-/(x)=3.2

200620062004

.fIS="2006)+3・2=/(2004)+3-2+3-2

=/(°)+3-22。。6+3.22。。4+3.22。。2++3.22+3.2。=2008+3"。。6+3.22期+3.22,+3.22+3.2。=

2008+

1-4=2007+22008

考点：不等式性质；叠加法；等比数列前n项和公式；函数的求值

6.【正确答案】ABD

【详解】对于AB,•••/(2x)+/(-2x)=0,/(x)为奇函数，

为偶函数；

•••=1,=/(-%)=/(2+%)-1

•1•/(2-x)+/(2+x)=2,f(x)关于(2,1)中心对称，且

/(%)+/(4-x)=2

又/(X)关于夕轴对称，,/(-%)+/(4-x)=2,

-/(4-久)+/(8-x)=2,/(x)=/(8-x),

•••的周期为7=8,/(%)的周期为7=8,A,B正确.

对于D,对/(2r)+/'(2+x)=2两边同时求导得，一/(2-%)+八2+x)=0,

即/(2+x)=/(2-x),/(x)的对称轴为直线x=2,

•••y=/(2-x)为偶函数，D正确.

对于C,"fO)关于(2,1)中心对称，

“吧)=(±\+*吧)=…=2

・・Jy2024jJ\2024jfJ^2024；J\2024J,

f(/)+…+<£)=2x4047+1=8095,

•••C错误.

故选ABD.

【方法总结】根据所给条件，求出周期和对称中心和对称轴，进而解得选项。

7.【正确答案】BCD

［详解】A：假设存在点M使得CM,平面PAB,由尸/，平面ABCD,PAu平面PAB,

得平面平面ABCD,又平面尸/3c平面平面ABCD,

则勿_L/I5,又CB上AB,CM,CBu平面45CZ),所以'机。'重合，

即点M落在C8上，由NM<1,知点河落在以A为圆心，以26=1为半径的圆面内

（不含圆），

这与点M落在C8上矛盾，故A错误；

B：以4为原点,AB,AD,/尸所在直线为x,j,z轴建立空间直角坐标系,

P/_L平面&BCD,则NPC4即为PC与底面所成的角,

pA

tanZPCA=——41

T,而4C=收,

故AC所以尸/=i,

——•11

AM

则尸(0,0,1),8(1,0,0),所以％=(1,0,-1),结合A的分析，取22

£

PB-AM

cosPB,AM=

PE^AM万衣271

PB,AMe(09~]

所以2,又2,

7171

所以直线尸8与所成角为3,即存在点M使得直线尸8与所成角为3,故B

3

C：当2时，当M位于BA的延长线时，ABCM的高最大为2,

J_13_3]_3]1

此时面积取得最大值2''1=4,所以三棱锥P—BCM的体积最大值为37-I,故C

正确;

\/6

AM=­PM

D：当2时，~2

以尸为球心，所为半径的球面与四棱锥尸-/BCD各面的交线

是以尸为圆心，2为半径的圆与侧面展开图的交线，如下图EMF,

c

222

由PB=®PC=^,pc=PB+BC1贝|P5JL8C,

6i

tanZAPF=—=tanZBPC=_ZAPF=NBPC,ZAPF+NFPB=-

所以2J2,则4

71

/FPC=NBPC+/FPB=—

4,根据对称性有NFPC=NCPE,

又球与底面的交线是以尸为圆心，2为半径的四分之一圆，其长度为

V2+V6

故尸为球心，为半径的球面与四棱锥尸一/2。各面的交线长4，故D正

确.

故选：BCD

323271

8.【正确答案】3/3

【分析】将圆锥侧面积用圆锥底面半径与母线长的表达式表示出来，再利用外接球半径

为3,建立圆锥底面半径与母线长的关系，从而将圆锥侧面积表示为母线长函数，利用

换元，导数法求出函数取最大值时的母线长，底面半径长，从而求出此时的圆锥体积

【详解】

如图，圆锥顶点为P,底面圆心为C,底面圆周与顶点均在球心为。的球面上,

0A=0P=3,PA=l,CA=r,

S=—xlx2nxr=nlr

则圆锥侧面积为2,

若r相同时，/较大才能取得最大值，由截面圆的对称性知，圆锥侧面积最大时

PC两点位于球心。两侧，

l2=r2+(3+OC)2,r2+OC2=9,:.OC=---3,.\r2+(---3)2=9

此时6V6

/4产

r2=/2———-3>0,Z>3A/2

36,而6，又1<OP+OA=6,

l2r2=I2I,(3V2</<6)

故I

?=Z2e(18,36),f(t)=l2r2=t2-—t3

令36,

f\t)=2t——1~=0,f=24

当18<t<24时,/⑺>0,/。)单调递增，

当24</<36时,/'(。<0,/«)单调递减,

故当仁24时，/⑺最大，圆锥侧面积最大，此时/=2&/=2板,

V=—•n*r2*\Jl2-r2=—«71«(2\^2)2«A/24—8=-n

此时圆锥体积333,

32

—71

故答案为.3

9.【正确答案】（1）3

⑵。H

【详解】（1）因为c—2〃cos/cos3=2bcos2/,

由正弦定理得sinC-2siivlcos/cos_8=2sin5cos之4,

sinC=2cos4(siiL4cos5+sin^cos/)=2cos/sin(/+5)=2cos^4sinC

即

cosZ__

又sinCwO,所以2,

又Ze(O㈤,所以-y

sinS=sin(/+C)=sm［。］smC+万cosC

（2）因为

b_sinB

由正弦定理得csinC,

ft_sinC+V|cosC_j_+V|J

所以c2sinC22tanC,

因为V/BC为锐角三角形，

0<C<-

2

<

0<5=--C<--<C<-

所以132,解得62,

tanCG——,+co则♦44)