2024-2025学年山东省济南市高三年级上册12月诊断数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年山东省济南市高三上学期12月诊断数学

检测试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选

项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。

1.（5分）复数在的共轨复数是（）

2+i

A.2-iB.-2-iC.2+iD.2+i

2.（5分）已知A={—L；},B={x\ax+l=0}f若则实数。的取值构成的集合是

（）

A.{-1,2}B.{-2,1}C.{-2,0,1}D.{-1,0,2}

3.（5分）已知数列{斯}为等差数列，〃2，〃7为函数/（%）=一3%+1的两个极值点，

则。4+。5=（）

A.1B.3C.V5D.—

2

—>—>—>—>—>—>

4.（5分）已知点。为△NBC外接圆的圆心，力B+AC=24。且|48|=|AC|,则向量BA在向

量无上的投影向量为（）

—>—>—>—>

A.BCB.BOC.CBD.OB

5.（5分）已知a,B为两个不同的平面，I,正为两条不同的直线，则加_L0的一个充分不必要

条件可以是（）

A.加与p内所有的直线都垂直

B.a±P，anp=Z,

C.%与［3内无数条直线垂直

D./J_a,/J-B，m±a

6.（5分）把函数y=/（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所

得曲线向左平移3个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，且》=83）的图象关于点（％0）

中心对称，则函数y=/G）的解析式可能是（）

A./（x）=B./（x）=sin（^+^）

C./（x）=sin（2x—"）D.f（x）—sin（2x+

2Xo<x<3

,—，则/(log22024)=()

{2f(%—3)，%.3

253253253

A.—B.—C.—D.253

842

8.(5分)已知函数歹=/(x)的定义域是R,其导函数/(X)满足/(x)=f(x+1),且有f

(0)=0,/(I)=2,则/(I)4/(2)V<22)+-4/(29)=()

A.1022B.1024C.2046D.2048

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。

(多选)9.(6分)已知。>6>0,c为实数，则下列不等式正确的是()

A.a3>b3B.ac2>bc2

C.7+->2D.a-sina<b-sinb

ba

(多选)10.(6分)已知函数/(x)=sin(sinx)-cos(cosx),则下列说法正确的是()

A./(x)是偶函数

B./(x)是周期函数

C./(%)关于直线1=］对称

D.当(0,7i)时，-1V/G)<0

(多选)11.(6分)如图，在三棱锥0-45。中，OA,OB,0c两两垂直且04=05=。。

=1,N分别为线段NC上异于端点的动点，满足器=入，黑=〃，下列说法正确

UDAC

的是()

A.三棱锥。-ABC的外接球的表面积是37t

B.当九个时，线段的最小值是日

C.当闻=1时，三棱锥。的体积是定值

D.若空间中的点尸满足且依，PC,则满足条件的点尸所形成的轨迹长度为半兀

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)已知sin(a+])=[，贝!Jcos2a=.

13.(5分)已知圆锥的表面积为兀，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积

为.

14.(5分)已知△/2C外接圆的半径为2,S是△/BC的面积，a,6,c分别是△4BC三个内

角/,B,C的对边，若不等式层+62+c2》S恒成立，贝队的最大值为；

—>―>

点、P为AABC外接圆上的任意一点，当儿取得最大值时，P4•的取值范围

是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)已知数列｛。“｝为正项数列，且ai=l,彳+i—年=2〃+1(nGN*).

(1)求数列｛服｝的通项公式；

(2)令bn=(-1)3+3,求数列也”｝的前2“项和$2".

16.(15分)已知a,6,c分别为△/8C三个内角/,B,C的对边，且处H幽£=「

a+c

(1)求B；

(2)若△NBC为锐角三角形，且有c=l,求△/3C面积的取值范围.

17.(15分)如图，在正四棱柱/BCO-NiSGA中，底面边长是1,点E,F,G分别在侧棱

BBi，CCi,DDi上,且/,E,F,G四点共面.设直线/£、/G与平面48CD所成的角分

别为a、p.

(1)设平面NEFG与平面4BCD相交于直线/,求证：当AD〃/时，a=0；

(2)当a+0=5时，求平面NEFG与平面A8CD所成角的余弦值的最大值.

18.(17分)已知函数/(%)=(x-2)(^-办)，Q£R.

(1)求函数y=/(x)的图象经过的所有的定点坐标，并写出函数》=/(%)的一条以上述

一个定点为切点的切线；

(2)讨论函数>=/(%)的单调性；

(3)当Q=0时，证明：f(x+2)Qnx+x-1)+e2>0.

19.(17分)一般地，对于无穷数列｛斯｝:ao,a\,ai,...an9我们称幕级数/(x)=蜀)。九廿

即/(x)=〃0+0]+。2%2+…+〃田+…为无穷数列｛Q〃｝的母函数.

例如：数列1,3,5，…，2〃+1,…的母函数为/(x)=l+3x+5x2+...+(2〃+1)…

附公式：.=£；=。cn；L^n=1+ctlx+Ci^2+•••+cn；Li^n+其中因<L

(1)已知数列｛a”｝,ao=O,a„=2an-i+l(n>l),求无穷数列｛a〃｝的母函数/(x)；

(2)已知无穷数列｛a“｝的母函数为g(x),记S”=ao+ai+<72+…+a”，请用g(x)表示数列

So,Si,S2,S„,…的母函数G(x)；

=

(3)已知数列｛a”｝,an—(n+1)(H+1)2"(ri>0),iBSnao+a\+ai+...+an,求S”.

答案与试题解析

题号12345678

答案DCBBDCAC

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选

项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。

1.（5分）复数2的共轨复数是（）

2+i

A.2-iB.-2-iC.2+zD.2+z

【分析】无求出复数六，由此能求出复数2的共辗复数.

2+i2+i

解：复数2=总\=27.

2+i（2+t）（2-i）

复数2的共辗复数是2+i.

2+i

故选：D.

【点评】本题考查复数的运算，考查复数的模、复数相等的定义等基础知识，考查运算求

解能力等数学核心素养，是基础题.

2.（5分）已知力={—1,B={x\ax+l=0},^AHB=B,则实数。的取值构成的集合是

（）

A.{-1,2}B.{-2,1}C.{-2,0,1}D.{-1,0,2}

【分析】由可得BUN,分。=0和存0两种情况讨论，分别求出。的值即可.

解：由可得3UN,

当a=0时，B=0,符合题意，

当存0时，5={-》，

所以一工=-1或一工=；,

aa2

解得a—1或a--2,

综上所述，实数。的取值构成的集合是{0,1,-2}.

故选：C.

【点评】本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题.

3.（5分）已知数列{a“}为等差数列，＜22＞。7为函数/（X）=]/+"万一3久+1的两个极值点,

则。4+。5=（）

A.1B.3C.V5D.等

【分析】由题意可得。2,。7为导函数方程r-3x+l=0的两根，由韦达定理可得。2+。7,由

等差数列的性质可得。4+。5即可.

解：：a2,。7是函数/（X）=，2+/"x-3x+l的极值点，，及，。7是导函数方程/（X）=0

的两根，

对函数求导数可得/（X）=》+工一3=正把打，

XX

**•ai,。7为方程N-3x+l=0的两根,

由韦达定理可得42+。7=3,

由等差数列的性质可得。4+。5=。2+。7=3.

故选：B.

【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值，等差数列的性质，是中档题.

—>—>—>—>—>—>

4.（5分）已知点。为△/2C外接圆的圆心，4B+4C=2力。且|4用=|4C|,则向量B4在向

-»

量BC上的投影向量为（）

—>—>—»

A.BCB.BOC.CBD.OB

【分析】由题意知，△ZBC是等腰直角三角形，且5c为外接圆的直径，由此得出向量占

—■）

在向量BC上的投影向量.

—>—>—>—>—>

解：O为△45C外接圆的圆心，AB+AC=2AO,S.\AB\=\AC\,

所以△/3C是等腰直角三角形，且为外接圆的直径，

—>—>—>

所以向量BA在向量BC上的投影向量为BO.

故选：B.

【点评】本题考查了投影向量的定义与应用问题，是基础题.

5.(5分)已知a,B为两个不同的平面，I,正为两条不同的直线，则加_L0的一个充分不必要

条件可以是()

A.加与p内所有的直线都垂直

B.a±P，aHp=Z,

C.%与[3内无数条直线垂直

D./J_a,/J-B，m±a

【分析】根据空间中各要素的位置关系及充分与必要条件的概念，即可求解.

解：•.•加与p内所有的直线都垂直的充要条件为加工仇选项错误；

Va±p,aAp=Z,"//不能得到加_L0,选项错误；

•：m与B内无数条直线垂直不能得到加，比选项错误；

".'/_La,/Xp,可得a〃d又加_La,加_1_[3,

但反过来机J_p,不一定能得到/_La,Z±P，7M_l_a,选项正确.

故选：D.

【点评】本题考查空间中各要素的位置关系，充分与必要条件的概念，属基础题.

6.(5分)把函数y=/(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所

得曲线向左平移g个单位长度，得到函数尸g(x)的图如且尸g(x)的图象关于点6，0)

中心对称，则函数y=/G)的解析式可能是()

A.f(x)=B./(x)=sin(|+^)

C./(x)=sin(2x—D./(%)=sin(2x+

【分析】直接利用函数图象的伸缩变换和平移变换求出结果.

解：对于选项/：假设函数为/G)=sin(；-羽)时，图象上所有点的横坐标伸长到原来

的2倍，纵坐标不变，得到函数〉=$也(9-答)，再把所得曲线向左平移9个单位长度，

得到函数y=g(x)=sin的图象，当了=即寸，g(彳)和，故/错误；

对于选项公假设函数为p>)=sin6+捻)时，图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，

纵坐标不变，得到函数〉=$出(：+色)，再把所得曲线向左平移g个单位长度，

得到函数y=g(x)=sin(%+"的图象，当x=彳时，g(：)和，故8错误；

对于选项C假设函数为/(x)=sin(2x-羽)时，图象上所有点的横坐标伸长到原来的

2倍，纵坐标不变，得到函数〉=$也(x-")，再把所得曲线向左平移软单位长度，

得到函数尸g(x)=sin(x-J)的图象，当x=：时，g①=0,故C正确；

对于选项。：假设函数为/(x)=sin(2%+^)时，图象上所有点的横坐标伸长到原来的

2倍，纵坐标不变，得到函数》=$桁(x+2),再把所得曲线向左平移软单位长度，

得到函数尸g(x)=sin(x+g)的图象，当x=：时，g中川，故。错误.

故选：C.

【点评】本题考查的知识点：函数的图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的运算能

力，属于中档题.

(2X0<x<3

7.(5分)已知函数/(吟=匕八,)>3,则/(l°g22°24)=()

253253253

A.—B.—C.—D.253

842

【分析】将X的值代入函数解析式，即可求解.

解：10=log21024<log22024<log=11,

f(log22024)=2»(log22024-9)=8x2sg22024-9=咨.

8

故选：A.

【点评】本题主要考查函数的值，属于基础题.

8.(5分)已知函数>=/(%)的定义域是R,其导函数/(%)满足/(x)=/(x+1),且有了

(0)=0,/(I)=2,则/(I)4/(2)4/(22)+...4/(29)=()

A.1022B.1024C.2046D.2048

【分析】根据已知条件，设出函数，代点求出函数解析式，再结合等比数列的前〃项和公

式，即可求解.

解：导函数/(X)满足，(X)=/(X+1),

设f(x)=ax+b,

/(O)=0,/(I)=2,

贝解得0=2,6=0,

I。+b=2

故f(x)=2x,

/(1)+f(2)+f(22)+...+/(29)=2+22+23+...+210=2x(^10)=2046.

故选：C.

【点评】本题主要考查基本初等函数的导数，属于基础题.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得。分。

(多选)9.(6分)已知。>b>0,c为实数，则下列不等式正确的是()

A.a3>b3B.ac2>bc2

C.苫+>2D.a-sina<b-sinb

ba

【分析】对4由不等式的性质可得；对H取。=0即可得；对C,由基本不等式可得；

对设/(x)=x-sinx,根据函数的单调性可得.

解：对于因为a>b>0,所以故/正确；

对于5,若c=0,所以4。2=次2,故5错误；

对于C,因为°>6>0,所以：+勺>2口=2,故C正确；

ba-\lba

对于。，设/(x)=x-sinr,f(x)=1-cosx>0,

所以函数/(x)在R上单调递增，又a>b>0,

所以a-sina>6-sinb,故。错误.

故选：AC.

【点评】本题考查不等关系和不等式，属于基础题.

(多选)10.(6分)已知函数/'(x)=sin(sinx)-cos(cosx),则下列说法正确的是()

A./(x)是偶函数

B./(%)是周期函数

C.f(x)关于直线x=1对称

D.当xd(0,7i)时，<0

【分析】由/©)力f(一舁，可判断选项/;由/(x+2兀)=/(%)可判断选项8；由/(兀

-x)=/(x)可判断选项C；对于选项D,只需判断当％6(0,芸时，-<0是

否成立即可.

解：/(1)=sin(sin|)—cos(cos|)=sinl—cosO—sinl—1,

/(—1)=sin(sin(一])—cos(cos(—1P=sin(—1)—cosO=—sinl—1,

则啰)。/(--)，

所以/(x)不是偶函数，故选项/错误；

f(x+2兀)=sin(sin(%+2兀))-cos(cos(x+2兀))=sin(sinx)-cos(cosx)=f(x),

所以/G)是以2兀为周期的周期函数，故选项8正确；

/(7i-x)=sin(sin(71-x))-cos(cos(兀-x))=sin(sinx)-cos(cos(-x))=f(x),

所以/(%)关于直线第=]对称，故选项C正确：

对于选项。，由/(%)关于直线第=]对称，只需看当XE(0,]]时，V0是否

成立即可.

当％6(0,.时，0<sinx<L0<cosx<1,0<sin(sinx)<sin/,cos/<cos(COST)<1,

所以sin(sinx)-cos(cosx)>-1,

又因为sinx+cosx=V2sin(x+^)<V2

所以。<sinxv]—cosxV^,

所以sin(sinx)<sin(J^—cosx)=cosfjcosx),

所以-1V/G)<0,故选项。正确.

故选：BCD.

【点评】本题考查函数性质的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题.

(多选)11.(6分)如图，在三棱锥O-45C中，OA,OB,OC两两垂直且CM=O5=OC

=1,M,N分别为线段03,/C上异于端点的动点，满足器=入，桨=〃，下列说法正确

的是()

A.三棱锥。-ABC的外接球的表面积是371

B.当九=四时，线段"N的最小值是日

C.当却=1时，三棱锥。-/MN的体积是定值

D.若空间中的点尸满足HLP。且依，PC,则满足条件的点尸所形成的轨迹长度为当兀

【分析】/选项：根据三棱锥。-ABC的外接球是棱长为1的正方体的外接球，得到半径

R=苧，即可求解；

B选项：利用勾股定理求出再利用二次函数求最值即可：

C选项：利用等体积转换法求解即可；

。选项：先确定点尸的轨迹是分别以8c为直径的球相交所得的圆，再求解即可.

解：A选项，三棱锥0-ABC的外接球是棱长为1的正方体的外接球，其半径R=?，

所以表面积为4兀/?2=4兀x(y)2=4TTx|=3兀，所以《选项正确；

3选项，在三棱锥。。中，由。/,OB,0C两两垂直可得04人底面。2。，

如图所示，在线段0C上取一点D使得黑=翳=〃，即得。N〃。/且。N=1-%

A

再由CU_L底面OBC,

可得ND_L底面O3C,而MDU平面O3C,

故又因为9=入="，

0B

所以DM〃BC且DM=g=V2/z,

所以可得MN=VDM2+DN2=J2〃2+(1-4)2=心俨-2〃+1=j3(/z-i)2+|>乎,

所以2选项错误；

C选项，因为九平=1,所以*=?=〃=]即。。=]

UCACAA

又因为"=入，所以。河=入。3=入，

0B

再由DN//OA可得，点N到平面OAM的距离等于点D到平面OAM的距离，

故有Vo-AMN=八-OAM—VD-OAM=VA-ODM，

因为CM_L底面05C,所以CM即为三棱锥4-。。河的高，

111

入1

XX-XX_X--

从而VO—AMN=A-ODM=百XSAODM。力2入6

确；

。选项，满足我，尸。且反_LPC的点尸的轨迹是分别以ON,8C为直径的球相交所得的

圆，

如图下左所示，其轴截面如下右图所示，

该圆的直径为线段HG,OA的中点£是。4为直径的球的球心，3c中点尸是3c为直径的

球的球心，

可得EG=；,FG=争EF=噂，从而GI=号~=咚,

22Z6

2

点尸所形成的轨迹长度为2兀x^=噂兀，所以。选项正确.

63

故选：ACD.

【点评】本题考查立体几何综合问题，属于难题.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）己知sin（a+]）=/,则cos2a=——|_.

【分析】根据二倍角公式即可得.

解：sin（a+1）=cosa=

贝!!cos2a=2cos2a-1=|-1

故_I,

【点评】本题考查二倍角公式，属于基础题.

13.（5分）已知圆锥的表面积为兀,且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为二一

【分析】设圆锥的底面半径为心高为人母线长为/,由题意列式求解r,进一步求出圆锥

的高，代入体积公式得答案.

解：设圆锥的底面半径为r,高为人母线长为/,

由题意，无力+无/=%，27tr=7t/,

ryi||V372V3

贝厂=彳，1=—，

h=V/2—r2=1.

...圆锥的体积为厂=1兀X（个）2X1=9

故全

【点评】本题考查圆锥体积与侧面积的求法，是基础题.

14.（5分）已知△/2C外接圆的半径为2,S是△/BC的面积，a,6,c分别是△4BC三个内

角4,B,C的对边，若不等式次+〃+,2汶5恒成立，则九的最大值为_4遍_；点、P为八ABC

—>—>

外接圆上的任意一点，当人取得最大值时，P4PB的取值范围是「2,6].

【分析】根据余弦定理与三角形的面积公式化简不等式a2+b2+c2^S,得到誓>^sinC+

2ab8

；cosC,结合基本不等式可得等21,所以&inC+|cosCWl恒成立，从而可得怛+注1,

22ab82\644

由此解得-4百W九W4石，可得人的最大值，然后证出当儿取得最大值时，△A8C为正三角

形，根据外接圆的半径为2,利用正弦定理求出正△NBC的边长，接下来作出的外

—>—>—»—>

接圆，利用平面向量数量积的运算性质化简P4PB,利用圆的性质求出P4PB的最大值与

—>—>

最小值，即可得到弘的取值范围.

解：根据余弦定理得c2=a2+b2-2〃6cosC,

所以不等式a2+b2+c2>XS可化为2a2+2b2-2abcosC>^absinC,

BP2a2+2b2>-absinC+2abcosC,整理得°+：>-sinC+3cosC,

因为a、6为正数，a2+b2>2ab,所以萼21,当且仅当a=6时，取等号.

2ab

若要使不等式a2+b2+c2>XS恒成立，则JsinC+|cosC勺恒成立，

82

所以耳+牌1,解得入2*8,即-4bWK4遮，可得人的最大值为4百.

当九=4g时，］sinC+7C0sC=£inC+^cosC=sin(C+-)=1,

82226

而C©(0,7t),可知C=$结合a=b,可得△NBC是正三角形.

因为△48C外接圆的半径尺=2,所以正△4BC的边长等于2Rsi垮=2班.

作出△/BC的外接圆O,设过C点的直径为CE,4B交CE于点、D,则D为的中点,

连接尸£),

—>—>—>—»—>—>—>—>—>1—>—>

则P4-P8=(PD+ZM)•(PD+DB)=\PD\2-|D/l|2=|PD|2--|^B|2=|PD|2-3,

—>—>fn

点P在圆。上运动，当点P与C重合时，|PD|=|CD|=三|48|=3,达到最大值，

->—>

当点P与E重合时，|PD|=2R-|CD|=4-3=1,达到最小值.

—>—>—>—>

所以|PD|G[1,3],可得|PD|2-3G[-2,6],即P4PB的取值范围是[-2,6].

故4百；[-2,6].

【点评】本题考查了解三角形及其应用、基本不等式、三角恒等变换公式、平面向量数量

积的定义与运算性质等知识，考查了计算能力、数形结合的数学思想，属于中档题.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)已知数列｛为｝为正项数列，且ai=l,彳+i-碎=2〃+1(〃GN*).

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)令b“=(-1)na„+3an,求数列｛砧的前2〃项和

【分析】(1)利用累加法求解；

(2)利用分组求和法和并项求和法求解.

解：(1)因为a、[一嫌=2"+1,且41=1,

XX

所以0n2=的2+(0^2—%2)+(tlj2_022)+...+(ctn^—an_^-)=1+21+1+22+1+...+2

(n-1)+l=l+2[l+2+...+(M-1)]+n-1=1+2x+n-1=招,

又因为数列｛斯｝为正项数列，

所以。"=〃；

(2)由(1)可知斯="

所以bn=(-1)nn+y,

所以S2“=(-1+2-3+4-...+2n)+3+32+33+...+32,!=[(-1+2)+(-3+4)+...+(-

2n2n2n+1

c，一c\,3x(l-3),,3(3-l),3-3

27?+1+2/7)]+-----=1x〃+----;=n-\-------.

」1-322

【点评】本题主要考查了累加法求数列的通项公式，考查了分组求和法和并项求和法的应

用，属于中档题.

16.(15分)已知a,6,c分别为△/8C三个内角/,B,C的对边，且变必必变£=i.

a+c

(1)求8;

(2)若△NBC为锐角三角形，且有c=l,求△45。面积的取值范围.

【分析】(1)根据正弦定理化简所给等式，PJWsin5cosC+V3sin5sinC=siiL4+sinC,结合

sirL4=sin(B+C)利用两角和的正弦公式化简，可得V^sinS-cos5=l,进而可得sin(B—g)

=|,结合Be(0,71)求出角3的大小；

(2)根据c=l,利用正弦定理算出。=%，结合siM=sin利用三角恒等变换

sinC3

V3

公式化简出。=春+J,然后根据△4BC是锐角三角形，算出角C的取值范围，结合正切

tanC2

函数的性质求出ad(p2),再利用三角形的面积公式推导出△NBC的面积S=^a,即可

Z4

得到△45。面积的取值范围.

解：(1)由处三把效丝£=1,可得6cosc+gbsinC=Q+c,

a+c

根据正弦定理，得sin5cosC+V3sin5sinC=sirL4+smC,

因为△45C中，sirU=sin(5+0=sin5cosC+cos5sinC,

所以sin5cosc+V^siii5sinC=(sinScosC+cos^sinC)+sinC,

整理得sinC(V3sia8-cosB-1)=0,

结合sin。/),可得百sin5-cosH=l,即2sin(5-^)=1,sin(5—^)=

而8为三角形的内角，可知5—g=g所以

OO3

(2)△NBC中，c=l,B=\由正弦定理号=三，

3sinAsinC

可得a=皿=驷=si崂Y)=冬。sC亭nC：1।1.

sinCsinCsinCsinCtanC2

因为△45。是锐角三角形，

'OVCVgr-

所以42兀兀，解得Cd吟9,可得tanotang即tanC>?

X=y-CG(。，］)6263

V3

可得一■卡(。，V3),a=-L-+^(1,2).

tanCtanC22

因此，△4BC的面积S=：acs讥B=¥ae(A整).

2482

【点评】本题主要考查三角恒等变换公式、正弦定理与三角形的面积公式、正切函数的性

质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题.

17.(15分)如图，在正四棱柱/8CO-4SGA中，底面边长是1,点£,F,G分别在侧棱

BBi,CCi,DDil.,且/,E,F,G四点共面.设直线/£、NG与平面48CD所成的角分

别为a、p.

(1)设平面/EFG与平面48CD相交于直线/,求证：当AD〃/时，a=|3；

(2)当a+B=］时，求平面/所G与平面A8CD所成角的余弦值的最大值.

【分析】(1)先证明直线/£、/G与平面/BCD所成的角分别为NE/2,ZGAD,结合3E

=DG,AB=AD即可得证；

(2)建立空间直角坐标系，求出平面/EFG的法向量，利用向量法结合基本不等式求解即

可.

解：(1)证明：由AD〃/,BD(t平面NEFG,/U平面/EFG可得，〃平面/EFG,

再由5DU平面BBiDiD,平面ASiADn平面AEFG=EG,

所以8£)〃EG,

又因为BE〃r>G,

所以四边形EDGE为平行四边形，所以3£=OG,

在正四棱柱/BCD181clz中，BBi，0A均垂直于平面A8CZ),

所以直线/£、NG与平面48。所成的角分别为/及13,AGAD,即a=/£/8,f,=ZGAD,

又因为BE=£>G,AB=AD,所以tana=tan。，从而a=B；

—>—»—

(2)以N为坐标原点，分别以48,AD,44i的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间

直角坐标系，

则E(1,0,tana),G(0,1,tan。),

—>—>

所以4E=(L0，tana),AG=(0/1,tan0),

设平面AEFG的法向量3=(x,y,z),

,TT

AE•九1=%+ztana=0

则有•

AG-Hi=y+ztan，=0

令z=-l,则有x=tana,y=tan[3,

所以九i二(tana,tan0,—1),

易知平面/5CQ的法向量为R=(0,0,1),

—>—>11

所以cos3=|cosOil,n2>\=t99==/

“m2a+t即02+i

ltan2a+tan(^_a)+1

--]1]一%

tan2a-l--K--FlIIZ1-

7tan^a27tan£a-t-ano£-a-Fl

当且仅当tan2a=―即a=£时等号成立，

tana4

即平面AEFG与平面ABCD所成角的余弦值的最大值为三.

【点评】本题考查线面角以及向量法的应用，属于难题.

18.(17分)已知函数/'(x)=(x-2)(eY-ax),a£R.

(1)求函数y=/(x)的图象经过的所有的定点坐标，并写出函数y=/(x)的一条以上述

一个定点为切点的切线；

(2)讨论函数y=/(x)的单调性；

(3)当。=0时，证明：f(x+2)(lnx+x-1)+e2>0.

【分析】(1)先确定了(x)的图象经过的所有定点的坐标为(2,0)和(0,-2),然后分

别求切线即可；

(2)利用导数分情况求解即可；

(3)根据/(x+2)(lnx+x-1)+e2>0<^>exC.xlnx+x2-x)+l>0,令g(x)=e^{xlnx+x1-x)

+1,利用导数求解即可.

解：(1)显然y=/(x)的图象经过(2,0),当x=0时，y=-2,

所以/(x)的图象经过的所有定点的坐标为(2,0)和(0,-2),

由题知/(x)=ex-ax+(x-2)(d-a)=(x-1)(^-2a),

若以(2,0)为切点，f(2)=区-2a,切线为y=(e2-2a)(x-2)；

若以(0,-2)为切点，/(0)=2a-1,切线为y=(2a-1)X-2；

(2)①当心0时，e>-2a>0恒成立，

所以当xVl时，/(%)<0,/G)在(-oo,1)单调递减，

当x>l时，fG)>0,f(x)在(1,+oo)单调递增；

②当a>0时，由/(x)=0,得xi=l或X2=/〃(2a),

当历⑵)=1,即a=］时，/(x)20恒成立，则/(x)在R上单调递增，

当历(2a)>1时，即时，当xVl时，/(x)>0,/(x)在(-oo,1)单调递增；

当l<x<历(2a)时，f(x)<0,/(x)在(1,In(2a))单调递减；

当x>历(2a)时，f(x)>0,f(x)在(In(2a),+oo)单调递增；

当In(2a)<1时，即0VaV理，

当x<ln(2a)时，f(x)>0,f(x)在(-8,In(2a))单调递增；

当历(2a)<x<l时，fG)<0,f(x)在(历(2a),1)单调递减；

当x>l时，f(x)>0,f(x)在(1,+oo)单调递增；

综上所述：当好0时，/(x)在(-00,1)单调递减，在(1,+oo)单调递增；

当OVaV押，/(x)在(-oo,In(2a))单调递增，在(历(2a),1)单调递减，在(1,

+oo)单调递增；

当a='时，/(x)在R上单调递增；

当a>|时，/(x)在(-8,1)单调递增，在(1,In(2a))单调递减，在(历(2a),+oo)

单调递增.

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