第04讲 利用导数研究不等式恒成立问题知识+真题+3类高频考点 精讲（解析版）

第04讲利用导数研究不等式恒成立问题目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基础知识 1第二部分：高考真题回顾 1第三部分：高频考点一遍过 5高频考点一：分离变量法 5高频考点二：分类讨论法 14高频考点三：等价转化法 21第一部分：基础知识1、分离参数法用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；步骤：①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．③求最值.2、分类讨论法如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．3、等价转化法当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.第二部分：高考真题回顾1．（2023·全国·新课标Ⅰ）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.【详解】（1）因为，定义域为，所以，当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；当时，令，解得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）方法一：由（1）得，，要证，即证，即证恒成立，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.方法二：令，则，由于在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，故，则，当且仅当时，等号成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以要证，即证，即证，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.2．（2023·全国·甲卷文）已知函数(1)当时，讨论的单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)答案见解析.(2)【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可;（2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可.【详解】（1）令,则则当当,即.当,即.所以在上单调递增,在上单调递减（2）设设所以.若,即在上单调递减,所以.所以当,符合题意.若当,所以..所以,使得,即,使得.当,即当单调递增.所以当,不合题意.综上,的取值范围为.【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性在定义域内是减函数,若,当,对应当.第三部分：高频考点一遍过高频考点一：分离变量法典型例题例题1．（2023·全国·模拟预测）若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】将题干不等式变形为，构造函数，利用函数的单调性将问题转化为恒成立问题，令，利用导数研究函数最值即可求解.【详解】由题意得，，即，令，因为，，所以函数在上单调递增，则不等式转化为，所以，则.令，则，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，有最小值，即，则的最大值为.故选：B例题2．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式．若对，不等式恒成立，则的取值范围是.【答案】【分析】构造函数，判断单调性及奇偶性，去掉函数符号，转化为恒成立,分离参数求最值即可求解.【详解】定义在上的函数关于轴对称，函数为上的偶函数．令，则,为奇函数．．当时，不等式．，在单调递增．函数在上单调递增．对，不等式恒成立，,即．当时，，则，则；；故在单调递减，在单调递增；可得时，函数取得极小值即最小值，．当时，，则，则则的取值范围是.故答案为：.例题3．（23-24高二下·山东青岛·开学考试）已知函数，(1)若，求函数在处的切线方程：(2)若恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜率式方程可得切线的方程；（2）按照、和讨论，分离参数，构造函数，借助导数，得到在的最值，得到答案.【详解】（1）当时，，，，所以，所以在处的切线方程，即（2）时，恒成立，即恒成立①时，，恒成立②时，恒成立，即令令时，，即恒成立，则在单调递增，，所以时，时，，所以恒成立，即在单调递减，，所以，所以；③时，恒成立，即，由②可得在上单调递减，在上单调递增，所以；综上，.例题4．（23-24高三下·湖北荆州·阶段练习）设函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程，（2）分离参数，将问题转化为对于恒成立，构造函数利用导数求解函数的最值即可求解.【详解】（1）时，，则，，故，所以直线方程为，即；（2），当时，的最大值为，对于恒成立，则，即，，当时，不等式成立，当，即对于恒成立，令，则，于是当时，，递增；在，，递减，，因此

的取值范围为【点睛】方法点睛：1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.例题5．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知函数.(1)求的极值；(2)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)极小值为，无极大值(2)【分析】（1）求得，得出函数的单调性，结合极值的概念，即可求解；（2）根据题意，转化为任意，不等式恒成立，设，求得，得出函数的单调性，求得的最小值，即可求解.【详解】（1）解：由函数，可得，令，即，解得；令，即，解得，所以函数在区间单调递减，单调递增，当时，取得极小值，极小值为，无极大值.（2）解：由不等式恒成立，即恒成立，即对于任意，不等式恒成立，设，可得，令，即，解得；令，即，解得，所以在上单调递减，在单调递增，所以，当时，函数取得极小值，同时也时最小值，，所以，即，所以实数的取值范围为.练透核心考点1．（2023·四川成都·一模）若恒成立，则实数的最大值为（

）A． B．2 C．1 D．【答案】D【分析】先确定时的情况，在当时，参变分离可得，构造函数，求出函数的最小值即可.【详解】当时，，不等式成立；当时，恒成立，即，令，则，因为时，（后证）所以当时，，单调递减，当时，，单调递减，故，所以，即实数的最大值为.证明当时，，令，，则，则在上单调递增，所以，即.故选：D.2．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数在处的切线与直线平行．(1)求的单调区间；(2)当时，恒有成立，求k的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为(2)【分析】（1）借助导数的几何意义计算可得，借助导数的正负即可得函数的单调性；（2）通过变形，可将原问题转化为在上，恒成立，从而构造函数，借助导数求出在上的范围即可得.【详解】（1）由已知可得的定义域为，，所以，即，所以，，令，得，令，得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）将不等式整理得：，可化为，问题转化为在上，恒成立，令，，则，令，则，，所以在上单调递减，，即，所以在上单调递减，，所以，所以的取值范围是．【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于将原问题通过变形参变分离，转化为在上，恒成立，从而构造对应函数，借助导数求取在上的范围即可得.3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知函数．(1)若，求在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数b的取值范围．【答案】(1)(2)答案见解析(3)【分析】（1）先求出函数的导函数，进而得出，；再根据点斜式方程即可求解.（2）先求出函数的导函数；再分和两种情况，在每一种情况中借助导数即可解答.（3）先根据函数在处取得极值得出；再将问题“对，恒成立”转化为“对，恒成立”；最后构造函数，并利用导数求出即可解答.【详解】（1）当时，，，则，.所以在处的切线方程为，即.（2）由可得：函数定义域为，.当时，，此时函数在定义域上单调递减；当时，令，解得；令，解得，此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.综上可得：当时，函数在定义域上单调递减；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.（3）因为函数在处取得极值，所以，即，解得.此时，令，解得；令，解得，所以函数在处取得极值，故.所以.因为对，恒成立，所以对，恒成立.令，则.令，解得；令，解得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以.则，解得：.所以实数b的取值范围为4．（2024高二下·上海·专题练习）已知函数（其中为自然对数的底数）.(1)当时，试求函数在上的最值；(2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；【答案】(1)(2)【分析】（1）求导得函数单调区间，进一步比较端点即可得最大值，由此即可得解；（2）由题意时，恒成立，且当时，对分类讨论即可求解.【详解】（1）当时，，，当时，；当时，.所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得最小值，易知，则最大值.（2）若对任意，不等式恒成立，即：恒成立当时，恒成立.令，则.当，，，所以在上单调递减，在上单调递增.所以时，取最小值，所以.当时，若时，恒成立；若，取，则显然不满足题意，所以，综上，.5．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知函数，其中．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)记为的导函数，若对，都有，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出表达式，当时代入即可求解；（2）原不等式等价于，据此分情况利用导数求解即可.【详解】（1）由题知，，当时，，所以曲线在处的切线方程为；（2）由题意，原不等式等价于，即，当时，对任意，不等式恒成立，当时，原不等式等价于，设，则，设，因为，所以存在唯一，使得，即，当时，单调递减，当时，单调递增，故，即．综上所述，的取值范围为．高频考点二：分类讨论法典型例题例题1．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)若的零点也是其极值点，求；(2)若对所有成立，求的取值范围．【答案】(1)1(2)【分析】（1）求导，分类讨论判断函数单调性求得极值点即可求解；（2）注意到，讨论，及三种情况，说明函数值与0的大小关系即可求解.【详解】（1），，若，则，在单调递减，无极值点，不合题意；若，，则故在上单调递减，在上单调递增，故因为的零点也是其极值点，则，设，，则故在上单调递增，在上单调递减，且易知，故有唯一解.此时的零点和极值点均为0，符合题意；故.（2）首先注意到，，，①若，则在时恒成立，故单调递减，则对所有，，不满足题意，故舍去；②若，则故在上单调递减，在上单调递增，则，不满足题意，故舍去；③若，则在时恒成立所以在上单调递增，则对所有，，符合题意，该情况成立．综上所述，的取值范围是．例题2．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知函数(1)若，求函数在处的切线方程；(2)求的单调区间；(3)若在区间上恒成立，求a的最小值．【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可；（2）含参分类讨论计算导函数的符号确定单调区间即可；（3）利用（2）的结论，分类讨论计算函数的最值即可.【详解】（1）若，则，所以，故函数在处的切线方程为：；（2）由，若，则恒成立，即在上单调递增；若，则，所以时，，时，，即在上单调递减，在上单调递增；（3）由（2）可知，若，在上单调递增，此时，符合题意；当时，（i）若，即时，此时仍有在上单调递增，所以，符合题意；（ii）若，即时，此时有在上单调递减，所以，不符合题意，综上满足题意.故a的最小值为.例题3．（23-24高三上·上海徐汇·期中）已知函数，其中是自然对数的底数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求在的最值；(3)若函数在上是严格递增函数，求的取值范围.【答案】(1)(2)，(3)【分析】(1)求出函数的导函数，计算，又，由导数的几何意义求解；(2)利用导数判断函数的单调性，求出端点值和极值即可求解；(3)依题意，转化为在区间上恒成立，即可求解.【详解】（1）(1)当时，，所以，故，又，由导数的几何意义知,曲线在点处的切线方程为，即.（2）（2）当时，，所以，因为，由，得，由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则，，，，故.（3）（3）因为，所以，因为函数在上是严格递增函数,所以在区间上恒成立，又因为恒成立，即在区间上恒成立，令，当时，，显然在上恒成立；当时，则的对称轴，当，即时，在区间上单调递增，所以的最小值为，故满足题意；当，即时，在区间上恒成立，则,即，解得，又，所以，综上所述：的取值范围为，即.练透核心考点1．（2024高三·全国·专题练习）(1)讨论函数的单调性(2)时，与总是前者小于后者，求a的范围．【答案】(1)答案见解析；(2)a1.【分析】（1）利用导数分类讨论求解函数的单调性.（2）根据给定条件，得到恒成立的不等式，再构造函数，再利用导数分类讨论求解即得.【详解】（1）函数的定义域为，求导得，当时，恒成立，即函数在上单调递增；当时，由，得，由，得，因此函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）依题意，，，令，则，而，当时，恒有，函数在上单调递增，，不符合题意；当时，函数在上单调递增，，于是恒成立，函数在上单调递减，，符合题意，则；当时，函数在上单调递增，而，因此存在，使得，当时，，，函数在上单调递增，当时，，不符合题意，所以.2．（21-22高三上·河南·期末）已知函数．(1)若的图象在点处的切线平行于轴，求的单调区间；(2)若当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为(2)【分析】（1）对函数求导，根据在点处的切线平行于轴求出的值，得出原函数的解析式，然后对函数的导数进行分析求出函数的单调区间即可；（2）由时，恒成立，等价出不等式，对进行分类讨论分析求出即可.【详解】（1）因为，所以，因为在点处的切线平行于轴，所以，解得，所以所以，令，则，所以在上单调递减，即在上单调递减，又，所以当时，，当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）等价于．当时，式恒成立，当时，式即．设，则．若，因为，所以在上单调递增，所以，所以．若，令，得．若，即，则在上单调递增，则，解得．若，即，则当时，，故在上为减函数，当时，，故在为增函数，所以在处取得最小值，且，解得．综上所述，所求的的取值范围是．【点睛】方法点睛：函数导数问题，通常有以下几类考法（1）利用函数导数求函数在某点处的切线方程（2）利用函数导数求函数（含参）的单调区间或判断函数的单调性（3）证明不等式成立（4）求极值、最值等方法：对函数求导利用函数导数进行分析求解，遇到含参数的函数需要对其进行分类讨论，有时候还需要进行二次求导.高频考点三：等价转化法典型例题例题1．（23-24高三上·河南焦作·阶段练习）已知函数，.(1)若的最大值是0，求m的值；(2)若对于定义域内任意x，恒成立，求m的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）求导，分类讨论函数的单调性，即可根据最值求解，（2）分离参数得，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可根据最值求解.【详解】（1）的定义域，.若，，在定义域内单调递增，无最大值；若，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；所以当时，取得最大值，所以.（2）对于定义域内任意x，恒成立，即在恒成立.设，则.设，则，所以在其定义域内单调递增，且，，所以有唯一零点，且，所以.构造函数，则，又函数在是增函数，故，，由于当，，所以由在上单调递减，在上单调递增，所以，故，于是m的取值范围是【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．例题2．（2024·广西南宁·一模）已知函数．(1)若，求的值；(2)当时，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论a的取值，结合函数的单调性判断是否成立，即可求得答案；（2）根据要证明的，构造函数，利用导数判断，使得，结合单调性确定，继而令，利用导数证明，即可证明结论.【详解】（1）由题意知，当时，，在上单调递增，而，当时，，与题意不符；当时，，由可得，在上单调递增，此时，不符合题意；当时，由可得，在上单调递增，由可得，在上单调递减，故对于任意的恒成立，符合题意；当时，，由可得，在上单调递减，此时，不符合题意；综合上述，；（2）证明：要证，即证；即，则，令，则，则，即在上单调递增，又，，故，使得，即，则，则当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，故，令，则，当时，，则，当时，，则，故在上单调递增，在上单调递减，由于，故时，，故，即，即当时，成立.【点睛】难点点睛：本题考查了根据不等式恒成立求参数范围以及不等式的证明问题，综合性强，计算量大，解答时要注意导数知识的综合应用，难点在于（2）中要结合要证明的不等式，构造函数，将问题转化为求解函数的最值问题，期间要注意多次构造函数，多次求导，利用导数解决问题.例题3．（23-24高三上·山东枣庄·期中）已知函数，．(1)若的最大值是0，求的值；(2)若对任意，恒成立，求的取值范围．【答案】(1)-1(2)【分析】（1）利用导数分和讨论函数最大值，从而求解；（2）分离参数得，设，利用导数求函数的最小值，可得的取值范围．【详解】（1）的定义域为，．若，则，在定义域内单调递增，无最大值；若，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，取得极大值，也是最大值，为，解得，显然符合题意，所以的值为（2）对任意恒成立，即在上恒成立．设，则．设，则，所以在上单调递增，且，，所以有唯一零点，且，所以．构造函数，则.又函数在上是增函数，所以．由在上单调递减，在上单调递增，得，所以，所以的取值范围是【点睛】由不等式恒成立问题求参数思路点睛：分离参数；构造函数；求函数的最值（利用导数或函数的单调性等）练透核心考点1．（23-24高二上·江苏南通·期末）设，函数，．(1)若，求的最小值与的最大值；(2)若在上恒成立，求．【答案】(1)，(2)【分析】（1）分别求导，再利用导数分别求出最值即可；（2）令，则在上恒成立，只要恒成立，分类讨论，利用导数求出的最小值即可得解.【详解】（1）若，，，，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，，，当时，，当时，，所以函数函数在上单调递减，在上单调递增，所以；（2）令，则在上恒成立，，当时，，所以函数在上单调递增，而，所以当时，在上不恒成立，当时，若，则，故当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，即，综上，只需，得，综上所述，.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造