2024年高考数学一轮复习：复数

1.3复数（精讲）

本节概要

知

识

点

复数

考法一复数的计算

考法二复数的实部与虚部

考法三复数的分类

考考法四复数的几何意义

法

考法五在复数范围内解方程

考法六复数模的相关轨迹问题

考法七复数的综合运用

考点展现

一.复数的有关概念

1.复数的定义：形如。+历（a,6GR）的数叫做复数，其中。是实部，b是虚部，i为虚数单位.（虚部不含i）

2.复数的分类：

复数z=〃+历（〃，/?GR）

'实数（Z?=0）,

<修屯虚数〃=0,

虚数（6W0））

I〔非纯虚数M

3.复数相等：Q+bi=c+diuw=c且Z?=d(〃，b,c,d£R).

4.共轨复数：a+bi与c+di互为共轨复数ua=c,b=—d(a,b,c,d£R).(实同虚反)

5.复数的模：

向量源的模叫做复数z=a+历的模或绝对值，记作|a+列或|z|,即团=|。+历|=4齐"(m6GR).

二.复数的几何意义

-"一■对'应

⑴复数z=a+bi(a,bGR)^---------q复平面内的点Z(mb).

一■*-*对应_>

(2)复数z=〃+历(mZ?eR)^-------------平面向量成.

三.复数的四则运算

1.复数的加、减、乘、除运算法则:

设zi=〃+/?i,Z2=c+di(〃，b,c,d£R),则

①加法：zi+z2=(〃+0i)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;

②减法：zi-Z2=(〃+历)一(c+di)=(。-c)+(Z?-d)i；

③乘法：zi・Z2=(〃+历)•(c+di)=—bd)+(ad+bc)i；

zia+历(〃+bi)(c—di)ac+bdbe—ad..

④除法:，，

Z2c+di(c+di)(c—di)+/+/i(°*NO)

2.几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.

如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即改=函+龙2,私=物一

oil.

思路点拨

解决复数概念问题的方法

1.解题时一定要先看复数是否为。+历(a,6GR)的形式，以确定实部和虚部.

2.复数绝大部分问题可以转化为复数的实部与虚部，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程

(不等式)组即可.

二.复数代数形式运算问题的解题策略

在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，

复数的加减法

虚部与虚部相加减)计算即可

复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不

复数的乘法

含i的看作另一类同类项，分别合并即可

复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轨复数，解题中要注意把i的累写成最简形

式

三.复数的几何意义

1.进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；

2.把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数历与复平面上的点3,b)一一对应.

四.常用结论

1+i1-i

1.(l±i)92=±2i；~-7=i；7—i-

l—ilT+Ji-—

2.—Z?+ai=i(〃+bi)(〃，b£R).

3.i4n=l,i4n+1=i,i4n+2=-l,i4n+3=-i(neN).

4.i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(neN).

5.复数z的方程在复平面上表示的图形

(l)6i<|z|<Z?表示以原点O为圆心，以〃和Z?为半径的两圆所夹的圆环；

(2)忆一(〃+历)|=4/>0)表示以3，b)为圆心，r为半径的圆.

考法解读

考点一复数的计算

【例1-1](2023•甘肃・统考二模)已知'i,i为虚数单位，贝卜()

I-2i

A.一2+1B.2IC.211D.一2T

【答案】C

【解析】因为广片-i,则Ni(l2i)2+i.故选：C.

【例1-2](2023•新疆•校联考二模)复数&=2+L，则C)

A.Z-I+2iB.2-1»2|

C.二D.：]2i

【答案】C

2.i，所以工二七」，解得二

【解析】因为上2+i"71I21，故选：c.

【例1-3](2023春•江西抚州•高三金溪一中校考阶段练习)已知复数z满足仁2i)i3+i,则二()

A.I!B.11C.|5|D.1+玉

【答案】A

【解析】因为(：2i)i=3+i,所以z=2±i+2i=G+'XF+2i=i-3i+2i=i-i.故选：A.

•K-0

【例1-4］（2023•广东深圳•统考二模）己知复数2满足/・八|=0,则.

【答案】|

【解析】因为q_0,即卜+；）:fiyi

综上所述，

故答案为：［.

【一隅三反】

1.（2023•西藏拉萨・统考一模）设复数Z满足Ir.z.21,则二（）

A.2IB.2+1C.|2lD.U21

【答案】B

【解析】由I17=21，得上—2-2+i.故选:B.

II

2.（2023•西藏拉萨•统考一模）已知复数41+21,z,-I,则；一（）

A.I•玉B.1+玉C.3।

【答案】B

【解析】因为与r,i（l+2i）ii-2,所以r,，三7t2i・i2l，3i.故选：B.

3.（2023•吉林通化・梅河口市第五中学校考模拟预测）已知（|t2i）z2i，贝L-（）

【答案】D

(2T)(r-2i)-5i

【解析】由（l.2i）E•,所以z_,.故选：D

1t2i(I<2i)(l2i)S

4.（2023•山西临汾•统考二模）复数+（

A.2O48iB.2048C.2048（D.-2048

【答案】C

【解析】（13尸_［（|，］）'广_。+/+2|）"_（20”_2">6"-2048><（i）2O4&故选：C.

5.（2023•河南安阳•安阳一中校考模拟预测）若1为虚数单位，则计算।.左.T.,M'lr-1.

【答案】101"t101li

【解析】设S..t,212♦F♦…120211皿*，

遥二+…+2Q2I产，

上面两式相减可得，

（1-2…-ML

10rM"）2021严-2021严什2»21,

l-i1-1

2021«।（202lf0（1*02O2O・2W22i

则S'1010«10111.

Ii（"00T2

故答案为：10101101II.

考法二复数的实部与虚部

【例2-1］（2023・广西南宁•统考二模）已知复数2=1,贝1的虚部为（）

2i

A.-iB.C.1D.।

55

【答案】C

【解析】因为Z二上［1===则Z的虚部为1,故A,B,D错误.故选：C.

2-i（2-i）（2.i）5

【例2-2】（2023•江西九江•校联考模拟预测）若复数z—（|是虚数单位）的共朝复数是土，则二3的

2•

虚部是（）

4I24

A.TB.一一C.一一D.-

5555

【答案】D

【解析】复数工--Lq是虚数单位）的共辗复数是工，

2-i

叫）1.2...I2.

（2-iX24i）5555

I2.I2.4.

ZZ4I♦iII，

55555

则2-5的虚部是g.故选：D

【一隅三反】

1.（2023春•河南商丘）已知复数：匕工，则z的虚部为（）

i

A.2B.2C.5D.5

【答案】B

【解析】"上a=7（2一《）=5方，则z的虚部为故选：B.

i1

2.（2023春•湖南•高三校联考阶段练习）复数、'的实部与虚部之和为.

5+2i

【答案】-

29

【解析】因为5T=（"?竹，=生更=亘.更j,所以—的实部与虚部之和为空-"=上

5«2i5l+2J2929295+2i292929

故答案为：色.

29

3.（2023•山东潍坊•统考模拟预测）设i为虚数单位，且二二1121,贝打5的虚部为（）

|+«

A.2B.2C.2iD.2i

【答案】B

【解析】由，一」+2i可得：5（l+2i）（1+«）（a+2）i-2a+l,

则「'2°2,所以|a|+21的虚部为2.故选：B.

|-2a»15

考法三复数的分类

【例3-1］（2023•辽宁•校联考二模）己知R,幺］为纯虚数，则。=（）

2-4i

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】因为=>匕，/=------士人为纯虚数，所以勤4-0,且4M2,0，

24（24«）（2i41）20

所以°=2.故选：B.

【例3-2］（2023春•江西,高三校联考阶段练习）已知i为虚数单位，复数（I2i）（a0（acR）是实数，则a的

值是（）

【答案】C

【解析】(I%)(ai)=。2伽”)i,

•••复数(12i)(aD(awR)是实数，，(2a«1)0,解得a=L故选：C.

【一隅三反】

1.(2023・湖北武汉・统考模拟预测)若复数匕上是纯虚数，则实数()

2+i

A.-B.-C.-D.’

2233

【答案】A

„.,aM(a+#)(2i)勿+3t(6a)i*3+小**

【r解k析c】------------——-=------5----贝I2fl+3=O，有。=一一.故选：A

2+i552

2.(2023•广东深圳•深圳中学校联考模拟预测)设了是纯虚数，若士是实数，则二的虚部为()

Ri

A.-3B.-IC.1D.3

【答案】D

【解析】设工新传,0),

3+z3+加(3+4)(l-i)33i+Ai*(3+A)+(A-3)i

则TJ7=TTi-=(i+i)(i-i)=―Hi3=2'

因为士是实数，

1/i

所以83—0，即〃3,

所以Z3i,故Z的虚部为3.

故选：D.

3.(2023秋•辽宁•高三校联考期末)已知三是纯虚数，‘'2是实数，那么z()

Ii

A.2iB.(C.D.2i

【答案】A

【解析】因为Z是纯虚数，故可设z-加S#o),

所以苦•咨=(；弋+?=2+H(2叫i

1-•l-i2

因为：’2是实数，所以180,即A2,

l-i

所以z_2i.

故选：A

考点四复数的几何意义

【例4-1］（2023•黑龙江哈尔滨・哈尔滨三中校考二模）若复数:=名，则卜|（）

A.1B.11^C,D.JjO

24

【答案】B

【解析】由：J?”、5J?故选：B

11|li|V22

【例4-2］（2023•广东湛江•统考二模）设复数2在复平面内对应的点为（2.5）,则I,二在复平面内对应的点为

（）

A.（3,5）B.（3.5）C.（3,5）D.（3,5）

【答案】A

【解析】由题意得z2+夕，则I+；1*（25i）3夕，所以।在复平面内对应的点为（3,-5）,故选：A

【例4-3】（2023・全国・校联考二模）已知复数2满足（12i）z2收Ti,则..在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

1解析】即冲师，“智后一微曷山

!1,实部为L虚部为；，所以；在第四象限；

故选：D.

【例4-4］.（2023・陕西西安•西安一中校联考模拟预测）已知复数z满足z=W（acR）,若忖=、瓦，则

复数z为（）.

A.3-«B.

c.3—i或一SiD.3i或3“

【答案】c

【解析】由Z-有卜”小,♦2i|.即C。'+17102、'3，解得at1，

当9=1时，Z：：（E?00=（2|j）（Ij）=,„

1

当aI时，zMl'）ti）i邪故选：c

【一隅三反】

1.（2023•北京通州•统考模拟预测）已知复数z-|r，则|二211=（）

A.<T6B.C.2D.无

【答案】A

【解析】？i-r2i|13i|〈而.故选：A

2.（2023・四川巴中•南江中学校考模拟预测）已知二3：，1+&,则复数z在复平面上对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】设z。+儿（。法*R）,则W_a卜,

团由z-4+8i,得・%+**Y+&,

解得a=2,b2>

回复数z在复平面上对应的点（N2）在第一象限.

故选：A.

3.（2023•广西柳州•高三柳州高级中学校联考阶段练习）若复数，满足（l+2i）：=l+i,则复数2的共辗复数

在复平面内对应的点所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】由已知可得〕.〜二,V」，

I*2i（1♦21）（1-21）555

所以复数z的共软复数；=任+匕，

所以，复数；在复平面内对应的点的坐标为（gg）,该点在第一象限.

故选：A.

4.（2023春•河北衡水,高三河北衡水中学校考阶段练习）已知复数：-文5〃R）,同若f在复平

面上对应的点在第三象限，则（）

A.4B.4C.、I0D._、，］0

【答案】B

【解析】因为"二一g¥一?二①-3）-（。+沙汩山.

3+i（3+i）（3-i）101010

则国.卜-3yt/。可-J】。（/*9）屈解得q-E，

'110JI10J102

因为复数z在复平面上对应的点在第三象限，贝叫）解得-9<avl，

［（o♦9）<0

因此，aA-

故选：B.

考法五复数范围内解方程

【例5】（2023•福建・统考模拟预测）己知z是方程N-2x+2=0的一个根，则例|=（）

A.1B.&C.、5D.2

【答案】B

【解析】因为方程N-2x+2=0是实系数方程，且A（-2）4x2Y<0，

所以该方程有两个互为共轨复数的两个虚数根，

即:12--即：=1士inz=l$in|J|=，

故选：B

【一隅三反】

1.（2023•全国•高三专题练习）已知复数z是方程X。4n5「0的一个根，且复数Z在复平面内对应的点位

于第三象限，贝卜：（）

A.2IB.2+1C.-2-1D.-2+1

【答案】D

【解析】复数范围内方程X1,4*+5=0的根为A2”，

因为复数Z在复平面内对应的点位于第三象限，所以z=2I，贝匹=-2.1

故选：D.

2.（2023春•广东韶关•高三南雄中学校考阶段练习）已知复数Z是一元二次方程2x，2JTI10的一个根，则

|：|的值为（）

A.1B.13.C.0D.Jy

2

【答案】B

【解析】•.•复数z是一元二次方程2/.2x+l0的一个根，

又A（2）'4x2-4v0，

/.该方程的根为*=2Q（4〉=L匕，

2x222

即"或2」仁则0亘.

2222ri2

故选：B.

考法六复数模的相关轨迹问题

【例6-1］（2023•全国•校联考三模）已知复数上.4满足卜、£扁|五,则例|的最大值为（

A.④B.2五C.4D.3、，2

【答案】B

【解析】因为|x|-卬<|:&,所以］z|41<<2>所以|z%26，所以|z|的最大值为

故选：B

【例6-2］（2023•重庆•统考二模）复平面内复数z满足2|Z-2|2,则：-i|的最小值为（）

A.3B.苴C.、，SD.$

22

【答案】B

【解析】因为卜-2卜上+2|2,

所以点z是以（0,2）,（0,2）为焦点，半实轴长为1的双曲线，则d=3,

所以点2的轨迹方程为/d=|,

3

设2=*+川*/<R）,

所以+（尸|）'\|+?+（k］）'=《［一；）+：>；，当且仅当丁=:时取等号,

所以匕一”的最小值为

故选：B.

【一隅三反】

1.（2023・河南•校联考模拟预测）已知复数二.:其中।为虚数单位，且卜-4|=1,则复数2的模的最

大值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】4="=也2i，则I表示复数I对应点的轨迹是以（0,2）为圆心，1为半径的圆，

贝U|z|表示圆上的点到原点的距离，由图可知，目的最大值为3.

2.（2023・山西太原•太原五中校考一模）复平面内复数;满足12|I,则-的最小值为（）

A.1B.v5-lC.方.1D.3

【答案】B

【解析】设zJT+HQJQR），

因为2f-x2»Ji=v（x2）-—/=1，所以（x-2）'+y=l，即z在复平面内对应点的轨迹为圆C：

——1，如图，

所以z-i|表示圆C上的动点到定点冏0,1）的距离,

所以|;T|■为疗T，

故选：B.

3.（2023・广东•统考一模）在复平面内，已知复数［满足］-1-）2+i（［为虚数单位），记:.=2”对应的点

为点Z.,z对应的点为点Z，则点/.与点/之间距离的最小值为（）

A.@B.0C.些D.2g

22

【答案】C

【解析】设zx+M（x,y，R）,代入至（J!zT|z+i|,

得（XI）<>1

整理得y-x,

即点z在直线7--x上,

所以点Z.（2J）到Z（xj）之间的距离的最小值，即Z.QI）到直线。的距离，

由点到直线的距离公式可得d_27_3<2,

VI+I2

所以点z.与点z之间距离的最小值为拽.

2

故选：C.

考法七复数的综合运用

【例7】（2023•重庆•统考二模）（多选）已知复数4，,则下列结论中正确的是（）

A.若［吊CR,则:，录B.若看工―0,则4=0或4=0

C.若:二A1且：1#0,则JD.若二；：；，则匕三

【答案】BCD

【解析】对于A,若Z］马cR,例如：X,=1,2,=2>则故A错误；

对于B,若1R0,则卜闾区|同0,所以|瑞|。或归|。至少有一个成立，即Z］0或々=0，故B正

确；

对于C,由中］」中,,贝1|弓（4-】1）0,1azi#0,回马=工，故C正确；

对于D：若z；芋，则4一与，故D正确.

故选：BCD.

【一隅三反】

1.（2023・广东佛山•统考二模）（多选）设工，马为复数，且马，下列命题中正确的是（）

A.若二।乙，则马二:

B.若匕:3+工，贝壮:0

C.若与二二：「则二0

D.若z\Zk，则?在复平面对应的点在一条直线上

【答案】ACD

【解析】设4=巧卜印，r,-a7IAJ,工二qjihcR,

对A,若Zjm，即二।qAju,♦6i二,，则《二外港二