2024-2025学年山东省泰安市某中学高二上学期期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省泰安市某中学高二上学期期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知Sn为等差数列an的前n项和，a7+2aA.240 B.60 C.180 D.1202.已知向量a=(−3,2,5)，b=(1,x,−1)，且a⊥b，则xA.4 B.3 C.2 D.13.已知直线l:3x−y−23=0过双曲线C:x2A.x2−y22=1 B.x4.已知等差数列an的前n项和为Sn，且S36>0，S37<0，则当A.37 B.36 C.18 D.195.在平面直角坐标系内，已知A(−3,4)，B(−3,1)，动点P(x,y)满足|PA|=2|PB|，则(x−1)2+(y−t)A.2 B.2 C.4 D.6.已知M，N是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的斜率分别为k1,k2k1⋅kA.74 B.23 C.7.如图，已知F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1的左､右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足A.292 B.293 C.8.某企业在2023年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为(

)A.M1+m101+m10−1 B.Mm1+m二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设m为实数，若方程x2+y2A.m>0

B.该圆必过定点

(0,1)

C.若直线

x−y+2=0

被该圆截得的弦长为

2，则

m=3

或−1

D.当

m=−1

时，该圆上的点到直线

x−y=2

的距离的最小值为

210.已知正四棱锥P−ABCD的棱长均为3，M，N分别为棱PA，PC靠近A，C的三等分点，动点Q满足QM⋅QN=0，则下列结论中正确的是A.正四棱锥P−ABCD的体积为922

B.动点Q的轨迹是半径为2的球面

C.点P在动点Q的轨迹外部

D.动点Q的轨迹被平面11.2022年卡塔尔世界杯会徽(如图)的正视图近似伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系xoy中，把到定点F1(−a,0)，F2(a,0)距离之积等于a2(a>0)的点的轨迹成为双纽线C，已知点P(x0,yA.双纽线C关于原点O中心对称；

B.−a2≤y0≤a2；

C.双纽线C上满足PF三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.数列an的前n项和为Sn，若an=cosnπ2n∈N∗，则13.将正偶数按如下所示的规律排列：则数字2024的位置为第

行，从左向右第

个数．14.直线y=kx+b与函数y=exe和y=ex−2四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.已知{an}为等差数列，{bn}为公比为2的等比数列，且a2−b2=a16.已知椭圆E:x2a2+y(1)求椭圆E的方程；(2)设斜率为12的直线l与E交于A，B两点，求▵OAB面积的最大值．17.已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an(1)求an(2)若数列bn的前n项和为Tn，且不等式λ≥n3−Tn对一切18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O,∠BAD=60∘,PA=AB=2,PA⊥AC，平面PAC⊥平面PBD,M为线段

(1)证明：PA⊥平面ABCD；(2)若二面角M−AC−B余弦值为55，求|19.如图，曲线y=x下有一系列正三角形，设第n个正三角形△Qn−1Pn(1)求a1(2)求出an(3)设曲线在点Pn处的切线斜率为kn，求证：k1参考答案1.D

2.A

3.C

4.C

5.C

6.A

7.B

8.C

9.BCD

10.ABD

11.ABD

12.0

13.32

；

；51

14.−2ln15.解：(1)设等差数列{an}公差为d

由a2−b2=a3−b3，知a1+d−2b1=a1+2d−4b1，故d=2b1

由a2−b2=b4−a4，知a1+d−2b1=816.解：(1)由于3a=2b，设所求椭圆方程为把点P1,32解得b2=3，所以椭圆方程为：x2(2)设直线l的方程为y=12x+m，设A联立y=12x+mΔ=m2−4×1×m2且x1+x所以弦长AB=O到直线的距离d=m1+当m2=2，即m=±所以▵OAB面积的最大值为3

17.解：(1)当n=1时，a1=2a1当n≥2时，Sn=2an−2,Sn−1所以an是首项､公比均为2的等比数列，故an又an⋅bn=2n−1，故bn=2n−1an①−②得12T所以Tn=3−不等式λ≥n3−Tn对一切n∈N∗令fn=2又fn+1当n=1时，fn+1−fn>0，当所以f1<f2>f3所以实数λ的取值范围为72

18.解：(1)连接PO，过点A作PO的垂线，垂足为H，∵平面PAC⊥平面PBD，且平面PAC∩平面PBD=PO，∵AH⊥PO，AH⊂且平面PAC，∴AH⊥平面PBD，又∵BD⊂平面PBD,∴BD⊥AH，又四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，又AC,AH⊂平面PAC，AC∩AH=A，∴BD⊥平面PAC，又∵PA⊂平面PAC,∴BD⊥PA，又∵PA⊥AC，AC,BD⊂平面ABCD，AC∩BD=O，∴PA⊥平面ABCD;(2)由(1)知，AC,BD,AP互相两两垂直，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，过点O且平行于PA的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图：

因为∠BAD=60∘,PA=AB=2，所以BD=2则A(AC=(−23设|BM||AM=易知平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1)设平面AMC的一个法向量为n=(x,y,z)则n⋅AM=0n⋅AC=0，即3设二面角M−AC−B为θ，则|cosθ|=cosm,n=|m故二面角M−AC−B余弦值为55时，

19.解：

(1)依题意，▵Q0P1Q1为正三角形，且|Q即32a1=12a1，解得32a2=所以a1=2(2)令Sn为数列an的前n项和，