河北省承德市重点高中2022-2023学年高一下学期数学期中联考试卷（含答案）

河北省承德市重点高中2022-2023学年高一下学期数学期中联考试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知复数z满足z(1+i)=3−i，则z的虚部为（）A．-2 B．-1 C．−2i D．22．下列说法中不正确的是（）A．零向量与任一向量平行B．方向相反的两个非零向量不一定共线C．单位向量是模为1的向量D．方向相反的两个非零向量必不相等3．在△ABC中，若AB=3，BC=4，A．−16 B．16 C．9 D．04．若α∈(0，π2)，A．26+16 B．26−165．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，A．无解 B．有两解 C．有一解 D．有无数解6．已知△ABC的三边长分别为a，a+3，a+6，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值为（）A．23 B．34 C．457．已知点O是△ABC所在平面内一点，若非零向量AO与向量(ABA．∠OAB=∠OAC B．OAC．|OB|=|OC8．将函数y=sin2x+3cos2x的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位长度后得到f(x)的图象，若f(x)A．(π8，C．[π4，二、多选题9．若复数z为纯虚数，则（）A．z+z为实数 B．z−C．z2为实数 D．z10．已知函数f(x)=|tanx|，则下列关于函数A．函数f(x)的最小正周期为πB．函数f(x)在(kπ，C．函数f(x)的图象关于直线x=πD．f(11．已知非零向量a，b满足|aA．若a，b共线，则|B．若a⊥bC．若a2+16D．a12．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(sinA+sinBA．c−a=acosC B．a>c C．c>a 三、填空题13．计算：|3+i1−i14．已知|a|=3，向量b在a上的投影向量为−2315．已知某扇形材料的面积为3π2，圆心角为π3，则用此材料切割出的面积最大的圆的周长为16．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若O为△ABC的重心，OB⊥OC，3b=4c，则cosA=．四、解答题17．已知虚数z满足|z|=5（1）求证：z+5iz在复平面内对应的点在直线（2）若z是方程2x2+4x+k=0(k∈R18．已知函数f(（1）求函数f(x)的解析式；（2）当x∈[−43，19．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，（1）求角A；（2）若△ABC的周长为33，且△ABC外接圆的半径为1，判断△ABC的形状，并求△ABC20．已知向量a，b满足|a|=2，(（1）求向量a与b的夹角θ；（2）求|a21．2023年的春节，人们积蓄已久的出行热情似乎在这一刻被引爆，让旅游业终于迎来真正意义上的“触底反弹”.如图是某旅游景区中的网红景点的路线图，景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲､乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，索道AB长为（1）求山路AC的长；（2）乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？22．已知圆O的半径为2，圆O与正△ABC的各边相切，动点Q在圆O上，点P满足AO+（1）求PA2（2）若存在x，y∈(0，+∞)，使得

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】由z(1+i)=3−i，则z=3−i1+i=1−2i，所以z故答案为：A．

【分析】根据复数除法法则得z=1−2i，再结合虚部的概念即可得到答案．2．【答案】B【解析】【解答】根据规定：零向量与任一向量平行，A正确，不符合题意；方向相反的两个非零向量一定共线，B错误，符合题意；单位向量是模为1的向量，C正确，不符合题意；根据相等向量的定义：长度相等方向相同的两个向量称为相等向量，所以方向相反的两个非零向量必不相等，D正确，不符合题意；故答案为：B.

【分析】根据向量的定义、共线向量、相等向量的定义求解.3．【答案】B【解析】【解答】由AB=3，则AB2+B所以BC⋅故答案为：B．

【分析】根据题意得到AB⊥BC，再根据数量积和向量的加法法则即可求解．4．【答案】D【解析】【解答】因为α∈(0，π2所以cos(α−所以cos=2故答案为：D.

【分析】根据角的范围，结合同角的三角函数关系式，利用两角和的余弦公式进行求解即可.5．【答案】C【解析】【解答】由正弦定理asinA=∵sin30∘<∴5∵a>b，∴A>B，∴B只能为锐角的一个值，∴△ABC只有一个解.故答案为：C.

【分析】利用正弦定理得sinB=6．【答案】B【解析】【解答】设△ABC的最小内角为α，由正弦定理得asinα=a+6又余弦定理得cosα=(所以a+62a=a+152(a+6)，解得故答案为：B．

【分析】设△ABC的最小内角为α，利用正弦定理得到cosα=a+62a，再利用余弦定理得到7．【答案】D【解析】【解答】因为(AB所以BC与(AB因为AO与(AB|AB|cosB+ABC均无法判断，D对.故答案为：D.

【分析】计算得出(AB→|8．【答案】C【解析】【解答】由y=sin2x+3将函数y=2sin(2x+π3)的图象向右平移φ(0<φ<则f(x)=2sin[2(x−φ)+π由−π2+2kπ≤2x−2φ+π3又f(x)在(π，则kπ+π12+φ≥4π3即5π4又0<φ<π2，则当k=1时，π4≤φ≤5π故答案为：C．

【分析】根据辅助角公式和图象的平移变换得到f(x)=2sin(2x−2φ+π3)9．【答案】A,C,D【解析】【解答】因为z为纯虚数，设z=mi(m∈R且m≠0)，则z由z+z由z−z由z2由=z故答案为：ACD.

【分析】根据题意，设z=mi(m∈R且m≠0)，则z10．【答案】A,B,C【解析】【解答】函数f(x)=|tan由上图象，易知：f(x)最小正周期为π、(kπ，kπ+π又f(π所以f(π故答案为：ABC.

【分析】根据正切函数性质画出f(x)=|tanx|图象，即可判断A、B、C的正误，由正切函数及诱导公式求11．【答案】B,D【解析】【解答】对于A，由4=|a−4所以当a，b同向时，−8a⋅b对于B，若a⊥b，则a⋅b=0对于C，由|a−4b|2对于D，由4=|a−4故答案为：BD．

【分析】当a，b同向时即可判断A；根据a⊥b，则a⋅b=0，再对|12．【答案】A,C,D【解析】【解答】由正弦边角关系知：(a+b)2所以a2+b2−由上知：c−aa>0，即由c−a=acosC知：sinC−又0<C<π2，故0<C2<故答案为：ACD

【分析】利用正弦边角关系可得a2+b2−c2=2b(c−a)13．【答案】5【解析】【解答】|3+i故答案为：5

【分析】根据复数的乘除运算法则及模的公式即可求出答案。14．【答案】-6【解析】【解答】设向量a，b的夹角为由b在a方向上的投影向量为−2则|b|⋅cosθ⋅a所以a⋅故答案为：-6．

【分析】设向量a，b的夹角为15．【答案】2π【解析】【解答】设扇形所在圆半径为r，∴1如图：设割出的圆半径为a，圆心为C，∴|CO|=ar=3=|CO|+|DC|=3a，故a=1，所以最大的圆周长为2π.故答案为：2π

【分析】根据条件求出扇形半径r=3，设割出的圆半径为a，圆心为C，由r=3=|CO|+|DC|=3a，求得a=1，从而求得圆的周长.16．【答案】5【解析】【解答】连接AO，延长AO交BC于D，由题意得D为BC的中点，OB⊥OC，所以OD=BD=CD=12a因为∠ADB+∠ADC=π，所以cos∠ADB+cos∠ADC=94a又3b=4c，则bc故cosA=b故答案为：56

【分析】根据∠ADB+∠ADC=π及余弦定理建立方程得出b217．【答案】（1）证明：设z=a+bi(a，b∈R，所以z+5i所以z+5iz在复平面内对应的点为(a+b（2）解：同（1）设复数z=a+bi(a，b∈R，b≠0)，因为z是方程2x所以2(a+bi)所以2a2−2b2因为a2+b把a=−1，b=±2代入2a所以k=10，z=−1±2i.【解析】【分析】（1）由题设可得z+5iz=z+zi18．【答案】（1）解：由函数f(可得A=2，T4=2，即T=8=2πω，所以又因为f(−1)=2，即π4×(又由0<φ<π，所以φ=3所以函数f(x)的解析式为f(（2）解：由题意，函数y=f=2sin因为x∈[−43，所以当π4x=π2，即x=2时，当π4x=−π3，即x=−4【解析】【分析】（1）由函数f(x)的图象，求得A=2，T4=2，得到f(x)=2sin(π4x+φ)19．【答案】（1）解：因为m⊥n，所以即2ccosA=acosB+bcosA.由正弦定理得2sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA，因为sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC，所以2sinCcosA=sinC.因为C∈(0，π)，所以sinC≠0，所以因为A∈(0，π)，所以（2）解：设△ABC外接圆的半径为R，则R=1.由正弦定理，得a=2RsinA=3因为△ABC的周长为33，所以b+c=2由余弦定理，得a2即3=12−3bc，所以bc=3.则b+c=23所以△ABC为等边三角形，△ABC的面积S=1【解析】【分析】（1）由m⊥n，可得2ccosA=acosB+bcosA，后由正弦定理结合sin(A+B)=sinC，即可得答案；

（2）由（1），△ABC的周长为33，且△ABC外接圆的半径为1，可得b+c=23，然后由余弦定理可得20．【答案】（1）解：因为(a−2b因为|a|=2，所以4−4而a⋅b=2又θ∈[0，（2）解：因为|a|=2，所以|a所以|a【解析】【分析】（1）由|a|=2，(a−2b)21．【答案】（1）解：在△ABC中，因为cosA=1213，从而sinB=sin[π−(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=5由正弦定理ABsinC=AC所以山路AC的长为1260m；（2）解：假设乙出发t分钟后，甲在D点，乙在E点.此时，AD=(100+50t)m，AE=130tm，所以由余弦定理得D=7400(t−3537)2故当t=35【解析】【分析】（1）利用cosA=1213，cosC=35，可得sinA=522．【答案】（1）解：方法1，由题意知∠AOB=∠BOC=∠AOC=120∘，∴OA∵AO∴PO=QP∵|∴=3=3=3+16+16+16+2PO方法2，如图，以点O为坐标原点，直线OA为y轴，过点O与直线OA垂直的直线为x轴建立直角坐标系，则A(0，由AO+AQ=2AP得∵|OQ|=2PB=(−2则PA+[(（2）解：方法1，∵CP∵OA+OB+OC两边平方得：(，由（1）得OA⋅OB=−8∴15(x+