浙江省A9协作体2022-2023学年高一下学期数学期中联考试卷（含答案）

浙江省A9协作体2022-2023学年高一下学期数学期中联考试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知复数z=1+2i（i为虚数单位），则z的虚部为（）．A．2 B．−2 C．2i D．−2i2．平面向量a=(1，x)，b=(−2，3)，若A．−32 B．−23 C．3．平面上四点O，A，B，C，满足AC=2A．OC=23C．OC=234．若m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，那么下列命题成立的是（）A．若α//m，βB．若m//α，n⊂αC．若m//n，nD．若α//β，m⊂α5．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，A=60°，a=7，c=2，那么bA．3 B．4 C．5 D．36．已知平面向量a=(1，2)，b=(−3，A．(−3，4) B．(35，−7．如图扇形AOB所在圆的圆心角大小为2π3，P是扇形内部（包括边界）任意一点，若OP=xOAA．332 B．3 C．2218．如图从半径为定值的圆形纸片O上，以O为圆心截取一个扇形AOB卷成圆锥，若要使所得圆锥体积最大，那么截取扇形的圆心角大小为（）A．26π3 B．25π3二、多选题9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A．若A>B，一定有sinA>sinBB．若a2+bC．一定有bcosC+ccosB=a成立D．若acosA=bcosB，那么△ABC一定是等腰三角形10．如图正方体ABCD−A1B1C1D1，E、F分别为A．对于任意M点，B1M与平面B．存在M点，使得A1M与平面C．存在M点，使得直线B1M与直线D．对于任意M点，直线A1M与直线11．已知a，b，c是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（）A．一定存在实数x，y使得a=xB．若a⋅bC．若(a−D．若a⋅(b⋅c)=(a⋅12．直三棱柱ABC−A1B1CA．23 B．225 C．3三、填空题13．已知复数z=2+3i1−i，那么|z|=14．如图等腰梯形ABCD，AB∥CD，AB=1，AD=2，CD=3，那么该梯形直观图的面积是.15．平面上任何两个不共线的向量都可以作为平面向量的一组基底，若作为基底的两个向量相互垂直就称该组基底是一组正交基底.施密特正交化法指出任何一组不共线的向量都可以转化为一组正交基底，其方法是对于一组不共线的向量a，b，令c=b−a⋅ba2a，那么c就是一个与a16．已知平面向量a，b，c，若|a|=|a−b|=2，四、解答题17．（1）已知1−2i(i是虚数单位)是方程x2+mx+n=0(m，（2）在复数范围内解方程：x218．已知平面向量a，b，c满足，|a|=1，|b|=2，（1）若向量a，b的夹角为π3，且b⊥c（2）若|c|的最小值为3，求向量a，19．如图在一城市叉路口有一个三角形状的口袋公园，已知公园一边AB长为18m，另一边AC长为16m，∠BAC大小为60°，为方便人们通行，政府部门欲在AB，AC两边上分别找两点D，E，修建一条的电动自行车道路DE，DE需要把公园分为面积相等的两个部分，所建道路的宽度忽略不计.（1）若设AD=x，AE=y，求x，y满足的关系式；（2）如何选择D，E可以使得所修道路最短？并求出最小值.20．如图所求，四棱锥P−ABCD，底面ABCD为平行四边形，F为PA的中点，E为PB中点.（1）求证：PC∥平面BFD；（2）已知M点在PD上满足EC∥平面BFM，求PMMD21．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知cosC+cosAcosB=3cosAsinB，D是边BC上的点，满足CD=2（1）求角A大小；（2）求三角形面积S的最大值.22．如图一：球面上的任意两个与球心不在同一条直线上的点和球心确定一个平面，该平面与球相交的图形称为球的大圆，任意两点都可以用大圆上的劣弧进行连接.过球面一点的两个大圆弧，分别在弧所在的两个半圆内作公共直径的垂线，两条垂线的夹角称为这两个弧的夹角.如图二：现给出球面上三个点，其任意两个不与球心共线，将它们两两用大圆上的劣弧连起来的封闭图形称为球面三角形.两点间的弧长定义为球面三角形的边长，两个弧的夹角定义为球面三角形的角.现设图二球面三角形ABC的三边长为a，b，c，三个角大小为α，β，γ，球的半径为R.（1）求证：a+b>c（2）①求球面三角形ABC的面积S（用α，β，γ，R表示）.②证明：α+β+γ>π.

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】z=1+2i⇒z=1−2i，则z故答案为：B

【分析】根据共轭复数的定义写出z的共轭复数，即可得z的虚部.2．【答案】A【解析】【解答】由题意，a=(1，x)，b=(−2，故答案为：A

【分析】根据向量共线的坐标表示列出方程，求解可得x的值.3．【答案】B【解析】【解答】因为AC=2CB，所以即3OC=2OB故答案为：B

【分析】根据平面向量的基本定理结合向量三角形的运算法则进行化简，即可得答案.4．【答案】D【解析】【解答】当α//m，β//当m//α，n⊂α时，m，当m//n，n//根据面面平行的性质可知D符合题意，故答案为：D

【分析】α，β相交或平行，可判断A；m与n平行或异面，可判断B；m//α或m⊂α，判断C；由面面平行的性质得5．【答案】D【解析】【解答】因为A=60°，a=7，c=2所以有a2=b故答案为：D

【分析】利用余弦定理进行求解，即可得b的值.6．【答案】C【解析】【解答】与b方向相同的单位向量为：e=b|b|，则a故答案为：C

【分析】根据投影向量的计算公式和向量坐标的数量积、数乘运算即可求出答案.7．【答案】C【解析】【解答】以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设扇形AOB的半径为r，则A(r，0)、设点P(acos因为OP=x所以，xr−y2r=a所以，2x+y=(2x−y)+2y=2a其中φ为锐角，且tanφ=因为0≤θ≤2π3，则当θ+φ=π2且a=r时，2x+y取得最大值故答案为：C.

【分析】以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设点P(acosθ，asinθ)(0≤a≤r，0≤θ≤2π8．【答案】A【解析】【解答】设扇形AOB的半径为R，扇形的圆心角为θ(0<θ<2π)，则扇形的弧长为θR，设圆锥的底面半径为r，高为h，则2πr=θR，则r=θR则h=R所以，该圆锥的体积为V==R当且仅当4π2−故答案为：A.

【分析】设扇形AOB的半径为R，扇形的圆心角为θ(0<θ<2π)，设圆锥的底面半径为r，高为h求出r、h关于θ的表达式，利用三元基本不等式可求得圆锥体积的最大值及其对应的θ的值，即可得答案.9．【答案】A,B,C【解析】【解答】对于A项：因为在三角形中A>B，所以a>b，根据正弦定理：asinA=bsin对于B项：因为a2+b2−故△ABC是钝角三角形，所以B正确；对于C项：bcosC+ccossinA=sin(B+C)，sin对于D项：acosA=bcosB，即解得A=B或A+B=π2，所以故答案为：ABC.

【分析】根据正、余弦定理对边角进行合理转化，可判断A、B；根据正、余弦定理对边角进行合理转化，结合两角和差以及二倍角公式进行判断C、D.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】对于A选项，取线段BB1的中点G，连接A1在正方体ABCD−A1B1C因为F、G分别为AA1、BB1的中点，所以，所以，四边形A1FBG为平行四边形，所以，同理可得D1E//A因为D1E⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，所以，D1同理可证B1E//平面因为B1E∩D1E=E，B1E、D因为B1M⊂平面B1D1对于B选项，取线段DD1的中点H，连接A1在正方体ABCD−A1B1C因为F、H分别为AA1、DD1的中点，则所以，四边形A1FDH为平行四边形，所以，∵A1H⊄平面BDF，DF⊂平面BDF，所以，A同理可证A1G//平面因为A1H∩A1G=A1，A1G对于任意过点A1且在平面A1GH内的直线l，则l//但A1M⊄平面BDF，所以，A1对于C选项，连接CG、FG，在正方体ABCD−A1B1C因为F、G分别为AA1、BB1的中点，则所以，四边形ABGF为平行四边形，所以，FG//AB且FG=AB，因为AB//CD且AB=CD，所以，FG//CD且FG=CD，所以，四边形CDFG为平行四边形，故DF//CG，同理可证B1E//CG，则故当点M与点E重合时，B1对于D选项，假设存在点M，使得直线A1M与直线BF共面，则A1、B、F即M∈平面A1BF，事实上，点M∉平面假设不成立，故对任意的点M，直线A1M与直线故答案为：ACD.

【分析】根据正方体的结构特征，结合线面平行的判定定理、线面平行的性质定理和异面直线的定义，逐项进行判断，可得答案.11．【答案】B,C【解析】【解答】只有当b，c不是共线向量时，一定存在实数x，y使得a=x由a⋅由(a|a所以C符合题意；当a⋅b=b⋅c=0时，显然a故答案为：BC

【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量数量积的运算性质，逐项进行判断，可得答案.12．【答案】B,C,D【解析】【解答】设底面△ABC外接圆的半径为r，则2r=BC设直三棱柱ABC−A1B1C1的高为h，外接球的半径为在锐角△ABC中A=π3，由正弦定理得bsin则b=233∴bc=4∵0<B<π20<2π3−B<π2∴S所以VABC−故答案为：BCD

【分析】设底面△ABC外接圆的半径为r，利用正弦定理求出2r，设直三棱柱ABC−A1B1C13．【答案】26【解析】【解答】因为z=2+3i所以|z|=(−故答案为：26

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解，可得答案.14．【答案】6【解析】【解答】由题意可知等腰梯形ABCD的高AE=A由斜二测画法的规则可知：该梯形直观图中的高为12AB，CD故答案为：6

【分析】根据斜二测画法的性质，结合梯形面积公式，即可求解出答案.15．【答案】(【解析】【解答】因为a=(1，2)，b根据题意，c=就是一个与a配对组成正交基底的向量.故答案为：(4

【分析】利用向量数量积的运算结合c=16．【答案】[−【解析】【解答】因为|a|=|a令x=a−b，y=所以b=a−所以b==4+=4+=4+又0≤|x+y所以4−92≤4+即b⋅故答案为：[−

【分析】令x=a−b，y=a−17．【答案】（1）解：根据题意得：(1−2所以(−1+m+n)−(22则−1+m+n=02解得：m=−2，n=3.（2）解：因为(x所以(x+1得(x+1+即x1=−1−【解析】【分析】(1)将1−2i代入方程，再根据复数相等列方程，求解即可得实数m，n的值；18．【答案】（1）解：因为b⊥c，所以b⋅c=代入|a|=1，|b|=2得（2）解：设a，b夹角为θ，由c=t|c故当t=−2cosθ时，|c|2由题意4−4cos2θ=3又θ∈[0，π]，所以θ=π【解析】【分析】(1)根据b⊥c得b→⋅c→=b→⋅(ta→+19．【答案】（1）解：可知S△ABCS△ADE=12xysin60°，根据（2）解：可知：DE所以取AD=AE=12m时，DE最短为12m.【解析】【分析】(1)先求出S△ABC，然后用x，y及三角形的面积公式表示出S△ADE，然后列方程求解出x，y满足的关系式；

(2)列出余弦定理方程，结合(1)中的结论与基本不等式求解，即可得DE最短值.20．【答案】（1）证明：连结AC交BD于O，连结OF，因在△PAC中，F为PA中点，O为AC中点，则PC∥FO.又PC⊄平面BFD，FO⊂平面BFD，故PC∥平面BFD；（2）解：如图连结FM交AD延长线于G，连结BG交CD于N，连结EF，FN，PG，EN.因EF∥CN，则E，又EC∥平面BFM，平面BFM∩平面EFNC=FN，则EC∥FN，四边形EFNC为平行四边形，可得EF=CN=12CD⇒N则△BCN≅△GDN，即EN为△PBG中位线，则EN∥PG，EN=1又EF=DN，EF∥DN，则四边形EFDN为平行四边形，EN从而FD∥PG，△FMD∼△GMP⇒PM【解析】【分析】(1)由已知得PC∥FO，结合线面平行的判定定理可得出PC∥平面BFD；

(2)连结FM交AD延长线于G，连结BG交CD于N，由线面平行的性质定理可得出EC∥FN，利用△BCN≅△GDN得EN∥PG，EN=12PG，再利用△FMD∼△GMP21．【答案】（1）解：由三角形内角和性质可知，cosC=−cos(A+B)=sinAsinB−cosAcosB，sinAsinB=3∵B∈(0∴tanA=3，又∴A=π（2）解：因为CD=2DB所以AD=13∴|即4=1∴36−2bc=b解得bc≤6，当b=2c=23∴S=1【解析】【分析】(1)由三角形的内角和性质及余弦两角和的公式化简可得角A的大小；

(2)利用向量的基本定理，以AC→，AB→为基底，表示出