浙江省浙大附中丁兰校区2022-2023学年高一下学期数学期中试卷（含答案）

浙江省浙大附中丁兰校区2022-2023学年高一下学期数学期中试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．若集合A={1，2，3}，A．{1，2，C．{2，3，2．(x−2)(x+2)>0的一个充分不必要条件是（）A．x≤0 B．x≥0C．x≥3 D．x>2或x<−23．在△ABC中，点D满足BC=2CD，则A．32AC−C．32AC+4．已知一个扇形的周长为20，则当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度为（）A．1 B．2 C．4 D．55．在直角坐标系中，若角α的终边绕原点O逆时针旋转π3得到角θ.已知角θ的终边经过P(−A．43+310 B．43−3106．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（）A．402海里 B．403海里 C．803海里 7．函数f(x)=asinx+3cosx，将f(x)图像向右平移π3个单位长度后得到函数A．-1 B．±1 C．-2 D．±28．已知f(x)=4x1+x2，x≥0−4xA．(1，+∞) B．(32，+∞)二、多选题9．已知平面向量a=(1，λ)A．若λ=0，则|B．若a//bC．若a与b的夹角为锐角，则λ<2D．若λ=−1，则a在b上的投影向量为−10．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列结论正确的是（）A．若a2+bB．若sinA>sinC．若acosA=bcosD．若△ABC为锐角三角形，则sin11．在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，BE=2EC，F是CD的中点，且AE=2，AF=3，∠EAF=60A．AEB．AF在AE上的投影向量是3C．ACD．|12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ABC=π3，∠ABC的平分线交AC于点D，且A．ac的最小值是2 B．a+2c的最小值是3+2C．b的最小值是4 D．1a2三、填空题13．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+1gV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为．（精确到0.1）（参考数据：101014．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>015．设函数f(x)的定义域为R，满足f(x+2)=2f(x)，且当x∈(0，2]时，f(x)=x(x−2)，若对任意x∈(−∞，m]，都有16．已知奇函数f(x)=sin(ωx+φ)−cos(ωx+φ)(ω>0，|φ|<π四、解答题17．已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且a，（1）若(a−b（2）求a与2a18．在①asinB−3bcosA=0；②(sinB−sinC)注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.（1）求A；（2）若a=3，且sinC=2sin19．设函数f(x)=2ax−2a−x（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若f(1)=3，函数g(x)=a2x+a−2x20．已知函数f(x)=3sinωx（1）求函数f(x)的单调递增区间；（2）若函数g(x)=f(x)−b，且g(x)在[0，π221．△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知acos（1）求A；（2）若△ABC是锐角三角形，c=3，求△ABC周长的取值范围.22．如图.某小区有一块空地△ABC，其中AB=5米，AC=5米，AB⊥AC，小区物业拟在中间挖个小池塘△AEF，E、F在边BC上（E、F不与B、C重合，且E在B、F之间），且∠EAF=π4，设（1）若θ=π6，求（2）为节省投入资金，小池塘△AEF的面积需要尽可能的小，试确定θ的值，使得△AEF的面积取最小值，并求出△AEF面积的最小值.

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】集合A={1，2，3}，故答案为：D

【分析】利用交集的运算可得答案.2．【答案】C【解析】【解答】解不等式(x−2)(x+2)>0可得x<−2或x>2，因为{x|x≥3}{x|x<−2或x>2}，故只有C选项中的条件才是“(x−2)(x+2)>0”的充分不必要条件.故答案为：C.

【分析】利用充分条件必要条件与集合的关系求解，可得答案.3．【答案】A【解析】【解答】在△ABC中，点D满足BC=2则AD=故答案为：A

【分析】根据向量加法、减法的三角形法则，可求出答案.4．【答案】B【解析】【解答】设扇形所在圆的半径为r，则扇形弧长l=20−2r，0<r<10，于是扇形的面积S=12rl=r(10−r)=−所以所求圆心角的弧度为lr故答案为：B

【分析】设扇形所在圆的半径为r，结合已知，用r表示出扇形面积，再利用二次函数的性质求解可得圆心角的弧度.5．【答案】B【解析】【解答】依题意，r=|OP|又角α的终边绕原点O逆时针旋转π3得到角θ，则α=θ−所以cosα=故答案为：B

【分析】根据三角函数的定义可得sinθ，cosθ，又角α的终边绕原点O逆时针旋转π3得到角6．【答案】A【解析】【解答】由题设可得如下示意图，且∠SAB=40°，∠SAC=70°，即由图知：∠ABC=105°，则∠C=45°，又AB=80，所以BCsin30°=故答案为：A

【分析】由题意作出示意图，利用正弦定理求出B，C两点间的距离即可.7．【答案】A【解析】【解答】依题意g(x)=f(x−π因为函数g(x)的图像关于直线x=π所以g(π取x=π6可得，所以asin所以a×(−3解得a=−1，当a=−1时，g(x)=−sin所以g(x)=−2sin其对称轴方程为x−2π3=kπ+取k=−1可得x=π6，即x=π所以a=−1；故答案为：A.

【分析】根据函数图象的平移法则，可得g(x)的解析式，原条件等价于g(π8．【答案】D【解析】【解答】当x<0时，f(x)=−4x在(−∞，0当x≥0时，f(x)=4x1+x2，显然函数y=1x+x在(0，1)上单调递减，在(f(1)=2，于是当x≥0时，函数f(x)由f(x)=t有三个不同的解x1，x2，x3，且x1<由4x1+x2=t得：t因此−1x1+1即有g(t)>g(故答案为：D

【分析】讨论函数f(x)的性质，求出t的取值范围，再结合方程解的意义把−1x19．【答案】B,D【解析】【解答】平面向量a=(1，λ)对于A，当λ=0时，a+b=对于B，a//b，则有−2λ=1，解得对于C，a与b的夹角为锐角，则a⋅b>0且a与b不共线，当a解得λ>2，由B选项知，当λ≠−12时，a与b不共线，因此对于D，当λ=−1时，a⋅b=−3因此a在b上的投影向量为a⋅故答案为：BD

【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算以及投影向量的运算，逐项进行判断，可得答案.10．【答案】A,B【解析】【解答】对于A选项，因为a2+b2<对于B选项，因为sinA>sinB对于C选项，因为acosA=bcos整理可得(a2−b2故△ABC为等腰三角形或直角三角形，C不符合题意；对于D选项，若△ABC为锐角三角形，则A、B均为锐角，正弦函数y=sinx在(0，π2)上单调递增，但A、故答案为：AB.

【分析】利用余弦定理可判断A；利用正弦定理可判断B；利用余弦定理判断△ABC的形状，可判断C；利用正弦函数的单调性可判断D.11．【答案】B,C【解析】【解答】对于A选项，由平面向量数量积的定义可得AE⋅对于B选项，AF在AE上的投影向量|AF对于C选项，因为BE=2EC，即AE−AB又因为CF=FD，即可得2AF=又①②可得4AC=3AE对于D选项，由4AC=3=9×22+4×故答案为：BC.

【分析】利用平面向量数量积的定义可判断A；利用投影向量的定义可判断B；利用平面向量的线性运算可判断C；利用平面向量数量积的运算性质可判断D.12．【答案】B,D【解析】【解答】在△ABC中，∠ABC=π3，∠ABC的平分线交AC于点D，且由S△ABD+S△CBD=整理得a+c=ac，即1a+1对于A，ac=a+c≥2ac，于是ac≥4，当且仅当a=c=2对于B，a+2c=(当且仅当2ca=a对于C，由余弦定理得：b=a当且仅当a=c=2时取等号，C不符合题意；对于D，1a2+1c所以1a2+故答案为：BD

【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式建立a，c的关系，再利用均值不等式逐项进行计算、判断，可得答案.13．【答案】0.8【解析】【解答】在L=5+1gV中，当L=4.9时，lgV=−0所以视力的小数记录法的数据为0.8.故答案为：0.8

【分析】根据给定条件，把L=4.14．【答案】−【解析】【解答】观察图象知，A=3，函数f(x)的最小正周期T=4由f(π3)=−3得：2×π3因此f(x)故答案为：−

【分析】观察图象知，A=3，由T=4(7π12−π3)=π，求出ω，由f(15．【答案】(−∞【解析】【解答】因为f(所以f(因为x∈(0，2]时，当x∈(−2k，−2k+2]f(观察图象可得，当x∈(−2k，−2k+2]，k∈当x∈(0，2]时，观察图象可得，不存在x∈(0，2]，满足所以x∈(2k，x−2k∈(f(当k=1时，即x∈(2，令2(x−2)(x−4)观察图象可得，若对任意x∈(−∞，m]所以m的取值范围是(−∞故答案为(−∞，

【分析】由f(x+2)16．【答案】(【解析】【解答】函数f(x)=sin因为该函数为奇函数，故φ−π又|ϕ|<π2，所以φ=π因为f(x)在(0，故ωx∈(即ω的范围是(3故答案为：(

【分析】利用辅助角公式化简并结合函数奇偶性求得φ，确定函数解析式，再根据函数的最值和零点情况，列出不等式，即可求得答案.17．【答案】（1）解：因为(a−b即|a也即|a所以1−4λ+λ−1=0，解得λ=0.（2）解：a⋅|2a所以cos<所以<【解析】【分析】(1)根据向量的垂直的数量积表示即可求解出实数λ的值；

(2)利用向量的数量积运算律和夹角公式求解出a与2a18．【答案】（1）解：选择①，asin由正弦定理，得sinA而B∈(0，A∈(选择②，(sin由正弦定理，得(b−c)2又cosA=b2选择③，2cos由正弦定理，得2cosA(sinCcosB+cosCsinB)=sinA，即2cosAsin(B+C)=sinA，即2cos又A∈(所以cosA=12（2）解：由若a=3，且sinC=2sin故cosA=b2故S△ABC【解析】【分析】(1)选择①，由正弦定理边化角可得sinA−3cosA=0，求得A的值；选择②，由正弦定理边化角，再结合余弦定理求得A的值；选择③，由正弦定理边化角，再结合两角和的正弦公式求得A的值；19．【答案】（1）解：函数f(x)=2a当0<a<1时，函数y=a−x在R上单调递增，则函数而函数y=2ax在R上单调递减，因此函数当a>1时，函数y=a−x在R上单调递减，则函数而函数y=2ax在R上单调递增，因此函数所以，当0<a<1时，函数f(x)在R上单调递减；当a>1（2）解：由f(1)=3得：a−1a=32，又a>0令t=2x−2−x，x∈[0，3]g(因此，当t=2，即2x=1+2所以当x=log2(1+【解析】【分析】(1)按0<a<1和a>1结合指数函数的性质，分类讨论函数f(x)的单调性；

(2)由f(1)=3求出a值，利用配方法、换元法结合二次函数性质求解出g(x)的最小值.20．【答案】（1）解：因为f(x)==3因为函数图象相邻对称中心之间的距离为π2，故函数f(x)的最小正周期为π因为ω>0，则2ω=2ππ=2，则ω=1由2kπ−π2≤2x−因此，函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π（2）解：因为g(x)=f(x)−b=sin当0≤x≤π2时，由−π6≤2x−π6≤π由π2≤2x−π6≤5π6因为g(x)max=g(g(π要使得函数g(x)在[0，π2]上有两个零点，则因此，实数b的取值范围是[0，【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换可得fx=sin(2ωx−π6)−12，再由周期公式可求出ω的值，再利用正弦函数的单调性可求出函数f(x)的单调递增区间；

（2）g(x)=f(x)−b=21．【答案】（1）解：因为acos由正弦定理可得sinA即sin==sin因为C∈(0，π)，则sinC>0，所以，3因为0<A<π，则−π6<A−π6（2）解：由正弦定理可得asinA=所以，a=3sinAsinC所以，a+b+c==3因为△ABC为锐角三角形，且A=π3，则0<C<π所以，π12因为tanπ所以，2−3所以，a+b+c=3【解析】【分析】（1）由正弦定理可得3sinA−cosA=2sin(A−π6)=1，得sin(A−π6)=12，由0<A<π可得A22．【答案】（1）解：因为AB⊥AC，AB=AC=5，故△ABC为等腰直角三角形，若θ=π6，