湖南省部分学校2024-2025学年高三下学期2月联考数学试题

高三数学考生注意：．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数是纯虚数，则（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】化简已知复数，由纯虚数的定义可得a值.【详解】由，因为纯虚数，所以,解得故选:B2.“”是“”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】先解不等式，再根据充分条件和必要条件的概念进行判断即可.【详解】由.由不能推出，而可以推出.所以“”是“”的必要不充分条件.故选：C第1页/共21页3.若点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则的虚轴长为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再根据点到渐近线的距离列出关于的方程，解出后计算虚轴长.【详解】对于双曲线，其渐近线方程为，即.点到渐近线（取这条渐近线计算，取另一条结果相同）的距离，已知距离，则.即，两边同时平方可得，解得.把代入可得虚轴长为.故选：B.4.已知的内角的对边分别是，且，，则（）A.5B.4C.3D.1【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理即可求解.【详解】由正弦定理，，于是，结合，于是.故选：A5.废弃矿山在某一片污染地上甲、乙至少有一种可以存活，且甲存活的概率是0.6，乙存活的概率是0.5，则在该片污第2页/共21页染地上甲、乙都存活的概率为（）A.0.4B.0.3C.0.2D.0.1【答案】D【解析】【分析】根据容斥原理的概率公式计算可得答案.【详解】设甲存活为事件，乙存活为事件，则，，则甲乙至少有一种存活的概率为，则所以甲、乙都存活的概率为.故选：D6.已知某圆台轴截面的周长为10、面积为，圆台的高为，则该圆台的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】若圆台上下底面半径分别为且，根据已知列方程求得，再应用圆台的表面积的求法求结果.【详解】若圆台上下底面半径分别为且，则圆台轴截面腰长为，所以，，即，所以，可得，故，综上，圆台的表面积为.故选：C7.已知为圆的直径且，为圆上的动点且与，均不重合，等边三角形与共面且点，位于的异侧，则的最大值为（）A.B.1C.2D.3【答案】D【解析】第3页/共21页【分析】先把转化成：，再求的最大值即可.【详解】如图：因为，所以.取中点，则，因为，所以设，，则，，所以，当时，为最大值.此时为最大值.故选：D8.已知公差不为的等差数列的前项和为，且，若存在正整数，使得，则的所有可能取值的个数为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】的首项为项和第4页/共21页公式，结合条件，得到，再利用，即可求解.【详解】设等差数列的首项为，公差为，由题有，整理得到，又，所以，整理得到，将代入得到，，又，则或或，解得或或故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知在区间上的最大值为上的最大值为变化时，下列结论可能成立的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】ABC【解析】【分析】通过选取不同的值，确定相应的区间，再根据正弦函数的性质来找出每个区间上的最大值，进而分析选项.【详解】对于选项A，当取时，考虑函数.对于区间，根据正弦函数图象性质，在这个区间内，时取得最大值，所以该区间上的最大值.第5页/共21页对于区间.所以选项A可能成立.对于选项B，当取时，考虑函数.对于区间值.对于区间，同样根据正弦函数图象性质，时取得最大值，最大值.所以选项B可能成立.对于选项C，当取时，对于区间，根据正弦函数图象性质，在这个区间内，和时取得最大值，所以该区间上的最大值.对于区间，同样根据正弦函数图象性质，时取得最大值，最大值.所以选项C可能成立.对于选项D，当时，区间和至少含有半个周期，则；当时，函数在区间上的存在使，即.故D不成立.故选：ABC.10.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为的中点，则（）A.平面B.平面第6页/共21页C.三棱锥的体积为D.与所成角的余弦值为【答案】AC【解析】【分析】根据线面平行的判定方法判断A的真假；判断直线与的位置关系，判断B的真假；求三棱锥的体积判断的真假；构造异面直线所成的角并求其余弦，判断的真假.【详解】对选项A：因为，平面，平面，所以平面，故A正确；对B：如图：取中点，连接，.因为，所以.又平面平面，平面平面，平面.所以平面.平面，所以.在直角中：，，所以.又，所以，又为中点，所以与不垂直.所以平面是错误的，故B错误；对C：因为，第7页/共21页所以，故C正确；对D：取中点，连接，.因为，所以即为异面直线与所成的角.在中，，，所以.在中，，，所以，故D错误.故选：AC已知曲线和和抛物线围成封闭曲线的焦点的动直线与交于段的中点作垂直于的准线的直线，垂足为为坐标原点，则下列说法正确的是（）A.B.的最大值为C.不大于点到轴的距离的4倍D.若的斜率为，则【答案】ACD【解析】【分析】由解析式求得圆心，由两圆相切求得半径，判断A选项；取点在上，且三点共线，求此时B选项；分类讨论点在，设出点坐标，由作差法比较与点横坐标的4倍的大小，判断C选项；由斜率写出直线方程，联立方程组后化简为一元二次方程，由韦达定理得到交点横坐标的关系，从而得到中点坐标，然后得到点坐标，写出向量，由向量的数量积来判断直线的位置关系判断D选项.【详解】如图：，，圆与圆相切，∴，即，∴，A选项正确；第8页/共21页当直线与曲线交于圆上时，三点共线时最大，此时，B选项错误；当点在曲线上时，设，，即，；当点曲线上时，设，，；由对称性可知当点在曲线上时，结论也成立，C选项正确.若的斜率为时，，显然此时直线与曲线交于，则，整理得，设，，则，，即，则，第9页/共21页所以，∴，，，∴，D选项正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛，本题时解析几何的综合题目，难度较大.在解决这类题目的时候一般采用数形结合，通过图形观察可以找到特殊点进行排除.在解析几何中证明直线垂直，可以利用向量的数量积为0来证明.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分．12.某蔬菜种植基地最近五年的年投资成本（万元）和年利润（万元）的统计表如下：101213141219若关于的线性回归方程为，则的平均数______．【答案】##【解析】【分析】因为线性回归方程过样本中心点，将代入即可.【详解】因为线性回归方程过样本中心点,将代入得第10页/共21页故答案为：13.已知函数的图像与直线相切，且与直线仅有一个交点，则______．【答案】6【解析】【分析】写出函数的导数，由题意分析得且存在唯一零点，且函数单调递增，由判别式求得的关系，代回求得对应横坐标，由图像与直线相切得到，求得的值，从而得到结果.【详解】，由题意知函数单调递增，且且存在唯一零点，∴，即，∴，，则，则，∴，∴.故答案为：6.14.记表示的值域为，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】先由值域为得到不等式，再利用不等式的性质比较三者大小，再借助分数的性质及不等式放缩求解最值可得.第11页/共21页【详解】若函数值域为，记，则，故，由，得，且，所以，又，所以，故.则由且，可得，当且仅当，即时等号成立.的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于利用不等式及分数的性质求解最小值.四、解答题：本题共5小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列前项和．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）第12页/共21页（2）【解析】1项和与的关系求的通项公式（2的表达式，再根据其特点进行求和.【小问1详解】当时：已知，那么，所以.当时：，先展开式子.则，所以.当时，，上式也成立.所以.【小问2详解】已知，把代入可得：.可以发现相邻两项相加为，除了第一项中的和最后一项中的.所以.16.如图，在直五棱柱中，，，，第13页/共21页，，是的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】1）分别取的中点，连接，先证四边形为平行四边形，再证四边形为平行四边形，进而得，最后应用线面平行的判定证明结论；（2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求线面角的正弦值.【小问1详解】如图，分别取的中点，连接，则．因为，，所以四边形为平行四边形，所以，．同理，，所以，，所以四边形为平行四边形，故，又，所以，又平面，平面，所以平面．第14页/共21页【小问2详解】如图，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，可得，，，，，则，，．设平面的法向量为，则，令，得．设直线与平面所成的角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为．17.已知函数．（1）求的单调区间；（2）若，证明：当时，．【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为（2）证明见解析【解析】1）由函数的解析式求得其导数，由导数求得递减区间，由导数求得递增区间；（2）将不等式进行转化，在已知条件下，所以不等式转化为，设函数的，使得，从而得到函数单调区间并得到函数最小值，证明函数最小值第15页/共21页大于等于0即可得证.【小问1详解】因为，所以．当时，，当时，，所以的单调递减区间为，单调递增区间为．【小问2详解】要证明，即证明，因为，且，所以，故只需证明，即．设，则．易知在上单调递增，且，，所以存在唯一的，使得，即，．当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．所以，故原命题成立．18.已知曲线上任意两点间的最大距离为4，，为与在的上方．（1）求的方程；（2）若过的直线与交于另一点（异于点，为垂足，直线，的斜第16页/共21页率分别为，证明：；（3）若点在上，且，证明直线过定点，并求面积的最大值．【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析，【解析】1）整理曲线方程，由题意知长轴为4，求得，从而求出曲线方程；（2求在曲线上求得即可得结果；（3）设，，写出直线的方程，联立方程组后整理成一元二次方因为建立方程解出的值.代回直线方程知道直线过定点，结合交点弦长公式求得，由基本不等式求得最小值.【小问1详解】由题可知，该方程表示焦点在轴上的椭圆，任意两点间的最大距离为长轴长，所以，解得，故的方程为．【小问2详解】由（1）可知，．设，则．因为，所以，第17页/共21页所以．又，故，即．【小问3详解】由题可知直线的斜率存在．设，，直线的方程为，联立方程得消去可得，则，（*因为，所以，即，将（*）式代入，可得，即，解得或所以的方程为，易知过定点．因为点到点的距离为，所以第18页/共21页，令，则，当，即时，取得最大值2，所以面积的最大值为．【点睛】方法点睛，本题是圆锥曲线的综合题目.在解析几何中已知线线垂直，可以利用斜率乘积为1来建立等式求得参数的值.直线与圆锥曲线产生的交点三角形问题，由直线方程和曲线方程联立整理得到一元