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第二章第6节：函数的微分教学目的：掌握微分的定义，了解微分的运算法则，会计算函数的微分，会利用微分作近似计算教学重点：微分的计算教学难点：微分的定义，利用微分作近似计算教学内容：微分的定义图2-1计算函数增量是我们非常关心的。一般说来函数的增量的计算是比较复杂的，我们希望寻求计算函数增量的近似计算方法。图2-1先分析一个具体问题，一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由变到（图2-1），问此薄片的面积改变了多少？设此薄片的边长为，面积为，则是的函数：。薄片受温度变化的影响时面积的改变量，可以看成是当自变量自取得增量时，函数相应的增量，即。从上式可以看出，分成两部分，第一部分是的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，而第二部分在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积，当时，第二部分是比高阶的无穷小，即。由此可见，如果边长改变很微小，即很小时，面积的改变量可近似地用第一部分来代替。一般地，如果函数满足一定条件，则函数的增量可表示为，其中是不依赖于的常数，因此是的线性函数，且它与之差，是比高阶的无穷小。所以，当，且很小时，我们就可近似地用来代替。定义设函数在某区间内有定义，及x在这区间内，如果函数的增量可表示为，①其中是不依赖于的常数，而是比高阶的无穷小，那么称函数在点是可微的，而叫做函数在点相应于自变量增量的微分，记作，即。定理1函数在点可微的充分必要条件是函数在点可导，且当在点可微时，其微分一定是。设函数在点可微，则按定义有①式成立。①式两边除以，得。于是，当时，由上式就得到。因此，如果函数在点可微，则在点也一定可导（即存在），且。反之，如果在点可导，即存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成，其中（当）。由此又有。点的纵坐标的相应增量。当很小时，比小得多。因此在点的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。微分运算法则及微分公式表由，很容易得到微分的运算法则及微分公式表（当都可导）：，，，。微分公式表：，，，，，，，，，，，，，，。注：上述公式必须记牢，对以后学习积分学很有好处，而且上述公式要从右向左背。例如：，，，。复合函数微分法则与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下：设及都可导，则复合函数的微分为。由于，所以，复合函数的微分公式也可以写成或。由此可见，无论是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式保持不变。这一性质称为微分形式不变性。这性质表示，当变换自变量时（即设为另一变量的任一可微函数时），微分形式并不改变。例4求的微分解自我训练：（1），求。（2），求。（3）有一半径为的铁球，镀上0.01cm厚的银，问大约用多

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