2024年中考数学二轮题型突破训练：二次函数与直角三角形有关的问题（专题训练）

类型七二次函数与直角三角形有关的问题（专题训练）

1.（2023・山东烟台・统考中考真题）如图，抛物线丁=依2+版+5与工轴交于4,8两点，与y

轴交于点C，AB=4.抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线、=6-1交于点O,与天轴交

于点E.

（1）求直线AD及抛物线的表达式；

（2）在抛物线上是否存在点使得是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出

所有点/的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）以点8为圆心，画半径为2的圆，点P为03上一个动点，请求出PC+gpA的最小值.

【答案】（1）直线的解析式为y=xT；抛物线解析式为y=f-6x+5；（2）存在，点加的

坐标为（4,-3）或（0,5）或（5,0）；（3）历

【分析】（1）根据对称轴x=3,AB=4,得到点A及B的坐标，再利用待定系数法求解析

式即可；

（2）先求出点。的坐标，再分两种情况：①当/%"=90。时，求出直线AM的解析式为

y=-x+l,解方程组]\=一：+：,即可得到点M的坐标；②当NADN=90。时，求出直

[y=x—6x+5

fy=-x+5_

线血1的解析式为y=r+5,解方程组.」,即可得到点M的坐标；

（3）在A3上取点产，使BF=1,连接证得"=殁，又NPBF=ZABP,得到

PBAB

△PBFs^ABP,推出尸尸=进而得到当点C、P、/三点共线时，PC+gpA的值最小，

即为线段CF的长，利用勾股定理求出CP即可.

【详解】（1）解：：抛物线的对称轴x=3,AB=4,

A（1,O）,B（5,O）,

将A（1,O）代入直线、=依-1,得％-1=0,

解得太=1,

直线AO的解析式为y=x-l；

将A（L0）,_B（5,0）代入y=依2+b%+5,得

a+b+5=0a=l

25。+5H5=0'解得

b=—6’

抛物线的解析式为y=Y-6x+5；

（2）存在点

V直线AD的解析式为y=x-1,抛物线对称轴x=3与％轴交于点E.

•,.当x=3时，y=x-l=2,

D（3,2）,

①当/ZMM=90°时,

设直线AM的解析式为＞=-x+c,将点A坐标代入,

得-1+c=0,

解得c=l,

直线AM的解析式为y=-尤+1,

y=—x+l

解方程组

y=x2—6x+5"

X=1x=4

得y=o或

y=-3'

.•.点M的坐标为（4,-3）；

②当NADM=90°时,

设直线DM的解析式为y=—x+d,将。（3,2）代入,

得-3+d=2,

解得d=5,

直线。W的解析式为y=-尤+5,

y=—x+5

解方程组

y=x2—6x+5

x=0x=5

解得"5或

y=0'

...点M的坐标为（0,5）或（5,0）

综上，点M的坐标为（4,-3）或（0,5）或（5,0）；

（3）如图，在上取点尸，使3尸=1,连接CP,

•/PB=2,

.BF1

•一——，、

AB42

.BFPB

•・访一南’

又丁ZPBF=ZABP,

小PBFs^ABP,

L即"」申，

PAPB22

PC+-PA=PC+PF>CF,

2

当点C、P、P三点共线时，PC+[PA的值最小，即为线段CF的长,

2

00=5,0尸=03-1=5-1=4,

CF=yj0C2+0F2=A/52+42=屈，

.•.尸C+gpA的最小值为"I.

【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三

角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识

点是解题的关键.

2.(2023•内蒙古•统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线>=-炉+3工+1交》轴

于点A,直线y=-gx+2交抛物线于氏C两点(点8在点C的左侧)，交》轴于点。，交尤

轴于点E.

⑴求点£>,EC的坐标；

⑵产是线段OE上一点(。尸<班)，连接且A尸+跖2=21.

①求证：是直角三角形；

②NDFC的平分线FK交线段DC于点K,尸是直线BC上方抛物线上一动点，当

3tan/PFK=l时，求点尸的坐标.

【答案】⑴C(3,l),0(0,2),E(6,0)；(2)①证明见解析,②点尸的坐标为(1,3)或(近,3夕-6)

【分析】(1)根据一次函数与坐标轴的交点及一次函数与二次函数的交点求解即可；

(2)①设河相,0),然后利用勾股定理求解，根=2,过点C作CG人x轴，垂足为G.再由

等腰三角形及各角之间的关系即可证明；②根据题意得出tan/PPK=；,设点尸的坐标为

(t,-t2+3t+l),根据题意得:<r<3.分两种情况分析：(力当点尸在直线"的左侧抛物线

上时，tanZ^=|,|</<2.(H)当点尸在直线KF的右侧抛物线上时，

tanZP,FK=~,2<t<3.求解即可.

【详解】(1)解：•••直线y=-gx+2交y轴于点。，交x轴于点£,

当x=0时，y=2,

二0(0,2),

当y=0时，尤=6,

.-.£(6,0).

:直线丫=-；尤+2交抛物线于反c两点,

1

二.-x9+3%+1=—%+2,

3

，3尤2-10%+3=0,解得%=g,%=3.

:点8在点C的左侧，

，点C的横坐标为3,

当x=3时，y=1.

.­.C(3,l);

(2)如图，

①抛物线〉=-『+3尤+1交》轴于点A,

当x=0时，J=1,.

40,1),

..OA=1,

在Rt^AO-中，ZAOF=90P,

由勾股定理得4户=042+0产，

设产(租,0),

OF=m,

；.A产2=1+m2,

•••£(6,0),.

OE=6,

r.EF-OE-OF-6-m,

AF2+EF2=21,

/.1+m2+(6-m)2=21,

/.mj=2,m2=4,

・・・OF<EF,

m=2,

:.OF=2,

二厂(2,0).

・・・。(。,2),

/.OD=2,

:.OD=OF.

.•.△DO方是等腰直角三角形，

.•.NOEO=45。.

过点。作轴，垂足为G.

vC(3,l),

:.CG=1,OG=3,

・.・GF=OG—OF=1,

CG=GF,

.•.△CGF是等腰直角三角形，

ZGFC=45°,

NDFC=90。,

・•.△DPC是直角三角形.

②・・•jFK平分NDFC,ZDFC=90°,

:"DFK=NCFK=45。

/.ZOFK=ZOFD+ZDFK=90°,

...bK〃y轴.

・.・3tanNPFK=l,

tanZPFK=~.

3

设点p的坐标为+3r+1),根据题意得!<?<3.

(i)当点尸在直线KF的左侧抛物线上时，tan/勺尸K=g[<f<2.

过点[作/Vflx轴，垂足为H.

/.RH//KF,/HP[F=ZF\FK,

「.tanN班户=g.

­,­HF=OF-OH,

：.HF=2-t,

在尸中，

HFi

tanZHP.F=-----=-,

1

PXH3

/.RH=3HF,

・.・6"=—产+3/+1,

—/2+3,+1=3(2—/),

『—6t+5—0,

「•4=1,%2=5(舍去).

当，=1时，一产+3/+1=3,

•.6(1,3)

(n)当点尸在直线"的右侧抛物线上时，tanN£尸K=g,2＜，v3.

过点鸟作鸟轴，垂足为

P1M//KF,

：.AMP2F=AP2FK,

/.tanZMRF,

23

•・・MF=OM—OF,

:.MF=t-2

在RtZ\£"尸中,

1

・・•tmZMP?F=^~

P1M3

P1M=3MF,

P2M——t?+3z+1,

/.—t?+3/+1=3(t-2),

/.t2=7,

t3=y/l,t4=—yf7(舍去).

当t=时，-z2+3r+l=3V7-6,

:£(币,3币-6)

点P的坐标为(1,3)或(J7,377-6).

【点睛】题目主要考查一次函数与二次函数综合问题，特殊三角形问题及解三角形，理解题

意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键.

3.(2023・四川内江•统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=G?+bx+c与尤

轴交于矶4,0),C(-2,0)两点.与y轴交于点4(0,-2).

(2)若点尸是直线A8下方抛物线上的一动点，过点P作无轴的平行线交A3于点K,过点尸

作y轴的平行线交无轴于点D,求与gpK+PD的最大值及此时点P的坐标；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M,使得△M4B是以A3为一条直角边的直角三角形:

若存在，请求出点〃的坐标，若不存在，请说明理由.

1117535、

【答案】(1)，=：尤,一：彳一2；(2)存在，JPK+PD的最大值为?，P；⑶(1,6)或

422

(I)

【分析】(1)将A、B、C代入抛物线解析式求解即可;

(2)可求直线AB的解析式为y=；x-2,设(0<m<4),可求

K\—m2-m,—m2--\,从而可求工PK+尸£>=一!加？根+2,即可求解；

V242；222

(3)过A作AM?，AB交抛物线的对称轴于,过8作BM}±AB交抛物线的对称轴于M1,

22

连接AM】，设可求AM：=/+4〃+5,BM1=n+9,由4炉+8监?=人弧2,

可求加1，进而求出直线而％的解析式，即可求解.

【详解】（1）解：由题意得

16〃+4Z?+c=0

<4。一28+c=0,

c=-2

1

ci=——

4

解得：</?=_；,

「•抛物线的解析式为y=^-x2-^x-2.

42

(2)解：设直线的解析式为丁=丘+"则有

J必+6=0

[b=-2'

k=L

解得：,2,

b=-2

・•・直线AB的解析式为y=]-2；

设尸[机,；加2一；机一2)(0<m<4),

1c121C

/.-x-2=—m——m-2,

242

解得：x=-m2-m,

2

TJ12121。

/.A—m-m,—m——m-2

=—1m2小+2m,

2

11

—PK——in7+m,

24

PD=-\-m12--m-2\

（42）

11c

=——m2+—m+2,

42

1111

/.—PK+PD=——m9+m——m9+—m+2

2442

13c

=—m2+—m+2

22

3125

.•.当〃2=彳时，彳尸K+P。的最大值为p,

22o

125f335、

故JK+尸。的最大值为?，p.

2812loJ

(3)解:存在,

如图，过A作AM?交抛物线的对称轴于过8作庾乩交抛物线的对称轴于

连接AM-

•X=],

，设必

AM^=l2+(n+2)2

="+4〃+5,

AB2=22+42=20,

5M2=("1)2+〃2

="+9,

•・•AB2+BM；=AM^,

/./+9+20—/+4〃+5，

解得：〃=6,

二必(1,6)；

设直线5M的解析式为>=匕％+4，则有

&+1\=6

4左+4=0'

&=—2

解得

a=8

直线BMX解析式为y=-2无+8,

AM2//BM.,且经过4(0,-2),

•••直线AM2解析式为y=-2x-2,

.,.当x=l时，y=-2xl-2=-4,

・•・M(LT)；

综上所述：存在，M的坐标为。,6)或(1,T).

【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，直角三角形的判

定，勾股定理等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键.

4.(2023・四川•统考中考真题)如图1,在平面直角坐标系中，已知二次函数y=o?+6x+4

的图象与x轴交于点4(-2,0),8(4,0),与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)已知E为抛物线上一点，月为抛物线对称轴/上一点，以8,E,尸为顶点的三角形是等

腰直角三角形，且/母e=90。，求出点尸的坐标；

⑶如图2,p为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点连接8尸并延长交y轴

于点N,在点尸运动过程中，OM+goN是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请

说明理由.

11

【答案］⑴y+无+4；⑵*1,1)或歹(1,一5)或*1,—3)；⑶0加+万0可=6,理由见

解析

【分析】(1)待定系数法求解析式即可；

(2)先求得抛物线的对称轴为直线x=l,设/与x交于点G,过点E作由，/于点。，证

明ADFG'GBF,设厂(/,〃?)，则上=1+帆，DG=DF+FG=GB+FG=3+m,进而得出

E点的坐标，代入抛物线解析式，求得机的值，同理可求得当点B在％轴下方时的坐标;

当E点与A点重合时，求得另一个解，进而即可求解；

(3)设尸(sj),直线AP的解析式为>=去+九3尸的解析式为V=gx+/z,求得解析式,

然后求得OM，ON,即可求解.

【详解】(1)解：将点A(-2,0),3(4,0),代入>=以2+版+4

4。一26+4=0

得I

[16〃+46+4=0

1

a=—

解得：r2,

b=l

.•.抛物线解析式为y=_*+尤+4；

(2)♦.•点4(-2,0),5(4,0),

-2+4

・••抛物线的对称轴为直线/：犬=--=1,

2

如图所示，设/与工交于点G,过点E作于点。

・・,以8,E,歹为顶点的三角形是等腰直角三角形，且/哥E=90。,

，EF=BF,

'：ZDFE=90°-ZBFG=ZGBF,

；・ADFE沿AGBF,

・•.GF=DE,GB=FD,

设方则。石=M，DG=DF+FG=GB+FG=3+m

E(l+m,3+m),

•・•E点在抛物线y=-；必+%+4上

12/、

3+m=——(1+m)+(l+m)+4

解得：m=-3（舍去）或加=1,

・•.F（l,l）,

如图所示，设/与1交于点G,过点E作即，/于点。

•・,以5,E,尸为顶点的三角形是等腰直角三角形，且NH£E=90。,

EF=BF,

・・•ZDFE=90°-ZBFG=ZGBF,

；・ADFE~GBF,

.・.GF=DE,GB=FD,

设方(1,根)，则。石=/n,DG=DF+FG=GB+FG=3—m

:.£,(1—m,m—3),

,/E点在抛物线V=-1X2+X+4±

1

m-3=——(1—m)+(1—m)+4

解得：m=3（舍去）或加=-5,

/.F(l,-5),

当E点与A点重合时，如图所示,

：AB=6,△ABB是等腰直角三角形，且ZBFE=90。,

：.GF=-AB=3

2

此时网0,-3),

综上所述，—1,1)或双1,-5)或产(1,-3)；

(3)设尸(sj),直线AP的解析式为>=公+九的解析式为y=gx+/z,

1•点A(—2,0),5(4,0),尸(s,。,

j-2d+f^04g+%=0

[sd+f=tsg+h=t

d=-^-

8-7

s+2s-4

解得：

2t741

n=----

5+24-s

t2tt4/

・・・直线AP的解析式为y=—,BP的解析式为y=—,

s+25+25-44-5

对于y=-,当x=0时，y=2，即

对于y=-,当％=o时，y=~~~^即],

s-44-s4-sI4-5)

VP(s,。在抛物线上，则/=—}2+S+4=_；(S_4)(S+2)

2t14t

OM+-ON=-----F—X----=

2s+224—s—s2+2s+8

-6(s-4)(s+2))

一(s-4)(s+2)一

OM+goN为定值6.

【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的

性质，一次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

5.（2023•江苏连云港•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xQy中，抛物线

4：y=Y-2x-3的顶点为p.直线/过点M（0,⑺（加2—3）,且平行于x轴，与抛物线右交

于两点（8在A的右侧）.将抛物线。沿直线/翻折得到抛物线右，抛物线4交V轴于点

C,顶点为。.

（1）当〃2=1时，求点。的坐标；

（2）连接3C、CD、DB,若△3CD为直角三角形，求此时4所对应的函数表达式；

⑶在（2）的条件下，若△BCD的面积为3,区厂两点分别在边BC、CD上运动，且EF=CD,

以E厂为一边作正方形连接CG,写出CG长度的最小值，并简要说明理由.

【答案】（1）。。,6）；（2）y=--+2x+3或，=一1+2了一3；⑶回;壶,见解析

【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，进而得出顶点坐标P（LT）,根据对称性，即可

求解.

（2）由题意得，4的顶点P（LT）与右的顶点。关于直线'=机对称，0（1,2/71+4）,则抛

物线4：y=+（2〃?+4）=-*2+2x+2〃z+3.进而得出可得C（0,2«7+3）,①当

/3CD=90。时，如图1,过。作OVLy轴，垂足为N.求得3（机+3,机），代入解析式得出

7/2=0,求得4：丁=一/+2工+3.②当NZDC=90。时，如图2,过3作交ND的

延长线于点T.同理可得5T=DT,得出3（〃2+5,机），代入解析式得出帆=-3代入

2

L2:y=—x+2x+2m+3,得工？：y=-x~+2x—3；③当/£）Z?C=90。时，此情况不存在.

（3）由（2）知，当N5DC=90。时，m=-3,此时△BCD的面积为1,不合题意舍去.当

4CD=90。时，〃z=0,此时△3CD的面积为3,符合题意.由题意可求得

EF=FG=CD=y[i.取研的中点。，在MACEF中可求得CQ=；EF=，.在M&FG。中

可求得GQ=芈.易知当Q,CG三点共线时，CG取最小值，最小值为普史.

【详解】（1）,**y=x2—2x-3=（x—I）2—4,

・•・抛物线4的顶点坐标P（1,T）.

・・,加=1,点尸和点。关于直线y=l对称.

（2）由题意得，。的顶点P（l,~4）与右的顶点。关于直线丁二相对称，

22

/.Z）（l,2m+4）,抛物线L2:y=—（x—l）+（2m+4）=—x+2x+2m+3.

・••当x=0时，可得0（0,29+3）.

①当NBCD=90。时，如图1,过。作轴，垂足为N.

D（l,2m+4）,

・・・N（0,2加+4）.

・.,C（0,2m+3）

：.DN=NC=1.

：.ZDCN=45°.

丁ZBCD=90°,

AZBCM=45°.

•・•直线/〃x轴，

：.ZBMC=90°.

：.ZCBM=ZBCM=45°,BM=CM.

Vm>-3,

/.BM=CM=（2m+3）-m=m+3.

/.B（m+3,m）.

又..•点8在y=x2-2x-3图像上，

m=（m+3）2—2（m+3）—3.

角毕得加=0或〃z=-3

・・•当机=-3时，可得3（0,-3）,C（0,—3）,此时AC重合，舍去.当机=0时，符合题意.

将机=0代入4:y=-炉+2x+2根+3,

得L?:y=—%2+2x+3.

图1

②当/瓦心二90。时，如图2,过3作交ND的延长线于点T.

同理可得5T=。7\

Z)(l,2m+4),

DT=BT=(2m+4)—m=m+4.

DN=1,

NT=DN+DT=l+(m+4)=m+5.

又•・,点3在y=Y一2］一3图像上,

m=(m+5)2—2(m+5)—3.解得帆=-3或zn=-4.

Vm>-3,

：.m=-3,此时巩2,-3）,C（0,-3）符合题意.

=2

将tn——3代入4：,=—Y+2x+2m+3,得L2.y—x+2x—3.

③当NDBC=90。时，此情况不存在.

综上，4所对应的函数表达式为y=-x2+2x+3或y=-x?+2x-3.

（3）如图3,由（2）知，当/&）C=90°时，7/2=-3,

此时3（2,-3）,C（0,—3）

则3c=2,CD=BD=形,则△3CD的面积为1,不合题意舍去.

当/3CD=90°时，m=0,

则3（3,0）,C（0,3）,

；・3。=律行=3夜，此时的面积为3,符合题意

；•CD=y/2.

依题意，四边形EFGH是正方形,

EF=FG=CD=插.

取E尸的中点Q,在RtZXCEF中可求得CQ=gEV=孝.

在RLFGQ中可求得GQ=JFG2+FQ?=可+与=卓.

.•.当Q,C,G三点共线时，CG取最小值，最小值为典二区.

2

【点睛】本题考查了二次函数的性质，特殊三角形问题，正方形的性质，勾股定理，面积问

题，分类讨论是解题的关键.

6.（2022•山东滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=/-2x-3与x轴相交于点A、

B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C,连接AC,BC.

（1）求线段AC的长；（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当F4=PC时，求点P的

坐标;

（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当ABCM为直角三角形时，求点M的坐标.

【答案】⑴国⑵（1，T）（3）（1,-4）或（-2,5）或|

【分析】(1)根据解析式求出A,B,C的坐标，然后用勾股定理求得AC的长；(2)求出对

称轴为x=l,设P(1,t),用t表示出PA"和PC?的长度，列出等式求解即可；(3)设点M

(m,m2-2m-3),分情况讨论，当CM?+BC?=BM?,BM2+BC2=CM2,BM2+CM2=BC2

分别列出等式求解即可.

(1)y=/-2x-3与x轴交点：

令y=0,解得占=-1,无2=3,

即A(-1,0),B(3,0),

y=x2-2x-3与y轴交点：

令x=0,解得y=-3,

即C(0,-3),

.\AO=1,C0=3,

AC=7AO2+CO2=亚；

(2)抛物线丁=尤2-2工一3的对称轴为：x=l,

设P(1,t),

PA2=(1+1)2+(r—0)2=4+产，PC?=(1-Op+(/+3)2=1+«+3不，

4+/2=1++3)

t=-l,

・・・P(1,-1);

(3)设点M(m,m2-2m-3),

BM2=(m—3)2+(m2—2m—3-0)=(m-3)2+^m2-2m—3),

CM2=(m-0)2+(^m2—2m-3+3)=m2+(m2—2m^,

叱=(3—0)2+(0+3)2=18,

①当。”+5。2=诩〃时，

m2+(m2-2mj+18=(m-3)2+(m2-2m-3),

解得，叫=。(舍)，根2=1，

AM(1,-4)；

②当BM2+BC2=CM2Si,

(m-3)2+(m2-2m-3)+18=m2+^m2-2mj,

解得，叫=-2,%=3(舍),

AM(-2,5)；

③当BM2+CM2=5c2时,

(m-3)2+(m2-2m-3)+m2+(m2-2mj=18,

1±75

解得,m=

2

综上所述：满足条件的M为(1,-4)或(-2,5)或

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了与坐标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知识，

解题的关键是学会分类讨论的思想，属于中考压轴题.

7.(2021•四川中考真题)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两

点,与y轴交于点C(0,6),抛物线的顶点坐标为E(2,8),连结BC、BE、CE.

(1)求抛物线的表达式；

(2)判断4BCE的形状，并说明理由；

(3)如图2,以C为圆心，夜为半径作。C,在。C上是否存在点P,使得BP+^EP的值

⑶存在，穿

【分析】

(1)用待定系数法求函数解析式;

(2)分别求出三角形三边的平方，然后运用勾股定理逆定理即可证明；

(3)在CE上截取CF=X^(即CF等于半径的一半)，连接BF交。C于点P,连接EP,则

2

BF的长即为所求.

【详解】

解：(1):抛物线的顶点坐标为E(2,8),

...设该抛物线的表达式为y=a(x-2)2+8,

•••与y轴交于点C(0,6),

，把点C(0,6)代入得：a=~~>

2

该抛物线的表达式为y=-1x+2x+6;

(2)4BCE是直角三角形.理由如下：

•••抛物线与x轴分别交于A、B两点，

2

.,.当y=0时，-g(x-2)+8=0,解得：Xi=-2,x2=6,

.1.A(-2,0),B(6,0),

.•.BC2=62+6=72,CE2=(8-6)2+22=8,BE-(6-2)2+82=80,

.\BE2=BC2+CE2,

ZBCE=90°,

/.△BCE是直角三角形；

(3)如图，在CE上截取CF=3(即CF等于半径的一半)，连接BF交。C于点P,连接

2

EP,

连接CP,：CP为半径,

CFCP

CP-CE-2

XVZFCP=ZPCE,

AAFCP^APCE,

CFFPFP=1-EP,

~CP~~PE~3.

・・・BF=BP+5EP，

由“两点之间，线段最短”可得：BF的长即BP+^EP为最小值.

VCF=-CE,E(2,8)，

4

•F「13

••F（万，万

【点睛】

本题考查二次函数综合，待定系数法，二次函数图象和性质，勾股定理及其逆定理，圆的性

质，相似三角形的判定和性质等，题目综合性较强，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数图

象和性质，圆的性质，相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键.

8.（2021•湖北中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=依2+服+。与x轴交于点4（-1,0）

和点3,与〉轴交于点C,顶点。的坐标为

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）如图1,若点尸在抛物线上且满足NPCB=/CBD,求点尸的坐标；

（3）如图2,M是直线2C上一个动点，过点M作MNLx轴交抛物线于点N,。是直线AC

上一个动点，当AQMN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点。的坐标

【答案】(1)y=x2-2x-3(2)6(4,5),鸟住一()；⑶.修-(),0］一gj；

门34、(134、

%卬力。2「不，»峪(5,2),e3(-5,12)；M4(2,-l),a(0,-3)；M5(l,-2),

2(0,-3)；M(7,4),0,(-7,18),

【分析】

(1)由A(-l,0)和O(1,T),且D为顶点列方程求出a、b、c,即可求得解析式；

(2)分两种情况讨论：①过点C作C4//8。，交抛物线于点片，②在3c下方作

/BCF=NBCE交BG于点F,交抛物线于£；

(3)AQMN为等腰直角三角形，分三种情况讨论：当QM=MN,ZQMN=90°.②当

QN=MN,NQNM=90。；③当QM=QN,NMQN=9。°.

【详解】

解：(1)将A(—1,0)和£)(1,—4)代入y=a/+人工+c

a-b+c=0

得

a+b+c=-4

又・・,顶点。的坐标为(LT)

tz—1

解得<6=-2

c=-3

•••抛物线的解析式为：y=x2-2x-3.

(2)•••5(3,0)和£)(1,-4)

二直线的解析式为：y=2x-6

...抛物线的解析式为：y=f-2x-3,抛物线与y轴交于点C,与x轴交于点A（-l,O）和点

则C点坐标为（0,-3）,B点坐标为（3,0）.

①过点C作C4//BD,交抛物线于点片,

则直线C［的解析式为y=2x-3,

结合抛物线y=d—2x—3可知d-2x-3=2x-3,

解得：玉=。（舍），3=4,

故片（4,5）.

②过点8作＞轴平行线，过点C作无轴平行线交于点G,

由OB=OC可知四边形OBGC为正方形，

:直线"的解析式为＞=2尤-3

・•.飞与九轴交于点石（1,0）

在BC下方作/BCF=/BCE交BG于点F,交抛物线于4

:.ZOCE=ZFCG

又・・・0C=CG,/COE=/G=90。

AOEC之△GFC（A5A）,

3

AFG=OE=~,F

2

又由C（0,-3）可得

直线C/的解析式为y=I-3,

结合抛物线>=炉-2x-3可知尤2-2x-3=^x-3,

解得现=0（舍），x2=1,

故尸D

综上所述，符合条件的尸点坐标为：6（4,5）,

（3）：3（3,0）,C（0,-3）

直线BC的解析式为yBC=x-3

设M的坐标为（加m-3）,则N的坐标为（〃?，苏-2/〃-3）

MN=\m—2m—3）|=\m2—37711

VA（-l,0）,C（0,-3）

•••直线BC的解析式为%c=-3x-3

•.♦AQMN为等腰直角三角形

，①当。M=MV，NQW7V=90°时，如下图所示

=|m2-3m|

m2

则Q点的坐标为I23〃l，m-2m-3

解得：叫=。（舍去），，%=5,砥=2

此时M（5,2）,2（-5,12）；M（2,-1）,（0,-3）；

③当QM=QN,NMQV=90。时，如图所示

则Q点纵坐标为g（加一3+苏-23）=g（m2—m—6)=—m2——m—3

722

（1111

・・・Q点的坐标为工m―W根7，彳根9--m~3

o22

.'.Q点到MN的距离=-m=

6666

jjm2=^-\m2-3m\（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

oo211

解得：〃4=。（舍去），？=7,m3=1

此时以（1,-2）,图0,-3）；%（7,4）,0,（-7,18）.

综上所述，点M及其对应点Q的坐标为：必°（一永―ij；初2n‘

M（5,2）,a（-5,12）；M4（2,-1）,a（0,-3）；M5（l,-2）,2（0,-3）；%（7,4）,

0,(-7,18).

【点睛】

本题主要考查二次函数与几何图形.该题综合性较强，属于中考压轴题.

9.（2021•湖北中考真题）抛物线、=。了2-26尤+6（。m0）与＞轴相交于点C（0,-3）,且

抛物线的对称轴为x=3,。为对称轴与无轴的交点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、F两点，若△时是

等腰直角三角形，求ADEF的面积；

(3)若尸(3#是对称轴上一定点，Q是抛物线上的动点，求尸。的最小值(用含f的代数式

表示).

t-6(z>6)

【答案】⑴y=*+6x-3；(2)4；(3)PQ=<6-t(?<f<6)

【分析】

(1)与y轴相交于点。(0,-3),得到6=-3,再根据抛物线对称轴，求得。=-1,代入即可.

(2)在无轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、/两点，可知E、尸两

点关于对称轴对称，ADEF是等腰直角三角形得到/由>=45。，设E(加,")5>0),根据等

腰直角三角形的性质求得E点坐标，从而求得ADEF的面积.

(3)Q(p,q)(q<6),根据距离公式求得尸。-⑵+1%+产+6,注意到夕的范围，利用

二次函数的性质，对，进行分类讨论，从而求得尸。的最小值.

【详解】

解：(1)由抛物线>=。/-2笈+匕(。/0)与丁轴相交于点C(0,-3)得到匕=一3

抛物线的对称轴为x=3,即—--2b=3,解得4=-1

2a

.•.抛物线的方程为y一+61

(2)过点E作上交AB于点M,过点F作月VLAB,交AB于点N,如下图：

•••△AEF是等腰直角三角形

；.DE=DF,/FED=45°

又石户〃X轴

・・・NEDM=45。

为等腰直角三角形

n=3-m

又•/n=—m2+6m—3

3-m=-m2+6m-3

m2—7m+6=0

解得m=1或加=6

当机=1时，n=2,符合题意，DM=EM=2,MN=4

S^DEF=^MNXEM=4

当相=6时，〃=一3<0,不符合题意

综上所述：S.DEF=4.

(3)设。5M)("«6),。在抛物线上，贝lJq=-p2+6p—3

PQ?=(p—3)2+(q_I)?=p2—6,+9+—2tq+1?

将q=-p2+6〃一3代入上式，得

PQ2=q2-(2t+l)q+t2+6

当”(时，等■AG,：.4=6时，尸。最小，即尸。最小

PQ2=36-⑵-6+〃+6=/一⑵+36=«-6)2

t-6a>6)

PQ=\t-6\=\11

6-t(—<r<6)

当区1时，"V6,.•.[=甘时，尸。2最小，即PQ最小

PQ=^-

t-6(z>6)

综上所述尸。=，6T(y<r<6)

【点睛】

此题考查了二次函数的对称轴、二次函数与三角形面积、等腰直角三角形的性质以及距离公

式等知识，熟练掌握距离公式和对代数式的计算是解决本题的关键.

10.如图，己知抛物线y=ax°+bx+c经过A(-2,0),B(4,0),C(0,4)三点.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)经过点B的直线交y轴于点D,交线段AC于点E,若BD=5DE.

①求直线BD的解析式；

②已知点Q在该抛物线的对称轴1上，且纵坐标为1,点P是该抛物线上位于第一象限的动

点，且在1右侧，点R是直线BD上的动点，若4PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角

形，求点P的坐标.

【分析】

(1)根据交点式设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入抛物线交点式中，即可求出a,

即可得出结论；

(2)①先利用待定系数法求出直线AC的解析式，再利用相似三角形得出比例式求出BF,

进而得出点E坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；

②先确定出点Q的坐标，设点P(x,-jx2+x+4)(l<x<4),得出PG=x-1,GQ=-|x2+x+3,

再利用三垂线构造出△PQGgZWH(AAS),得出RH=GQ=-|x2+x+3,QH=PG=x-1,进而

得出R(—|x?+x+4,2-x),最后代入直线BD的解析式中，即可求出x的值，即可得出结论.

【解析】

(1);抛物线丫=@*2+6*+。经过A(-2,0),B(4,0),

设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4),

将点C坐标(0,4)代入抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4)中，得-8a=4,

・1

•・a——，

2

，抛物线的解析式为y=(x+2)(x-4)=-|X2+X+4；

(2)①如图1,

设直线AC的解析式为y=kx+b，,

将点A(-2,0),C(0,4),代入y=kx+b'中,得仁2寸，=°，

・fk=2

=T

・•・直线AC的解析式为y=2x+4,

过点E作EF，x轴于F,

，0D〃EF,

・•・ABOD^ABFE,

,OB_BD

**BF-BE9

VB(4,0),

・・・0B=4,

VBD=5DE,

.BD_BD_5DE_5

**BE-BD+DE-5DE+BE-6'

,clBE小口6.24

・・BF=—xOB=-x4——，

BD55

244

AOF=BF-OB=--4=-,

55

将X=—t代入直线AC：y=2x+4中，得y=2X(-1)+4=y,

・・・E(一gy),

设直线BD的解析式为y=mx+n,

(4m+n=0

・Y4,12,

.Cm=--

••j2,

In=2

，直线BD的解析式为y=-|x+2；

②：抛物线与x轴的交点坐标为A(-2,0)和B(4,0),

...抛物线的对称轴为直线x=l,

.,•点Q(1,1),如图2,

设点P(x,-|X2+X+4)(1<X<4),

过点P作PGL1于G,过点R作RHL1于H,

1919

PG=x-1,GQ=—x+x+4-1=—x+x+3,

22

VPG±L.・.NPGQ=90°,

・・・NGPQ+NPQG=90°,

VAPQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，

.\PQ=RQ,ZPQR=90°,

.,.ZPQG+ZRQH=90°,

.•.ZGPQ=ZHQR,

.'.△PQG^AQRH(AAS),

.\RH=GQ=-|X2+X+3,QH=PG=X-1,

.'.R(一工x2+x+4,2-x),

2

由①知，直线BD的解析式为y=-jx+2,

，x=2或x=4(舍)，

当x=2时，y=-|X2+X+4=-|X4+2+4=4,

；.P(2,4).

图1

11.如图，抛物线丁=以2+法一4经过A(-3,6),B(5,—4)两点，与y轴交于点C,

连接AB,AC,BC.

(1)求抛物线的表达式；

(2)求证：AB平分NC40；

(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使得是以AB为直角边的直角三角形.若存在，

求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

AvL>X

y=-x2--x-4；(2)详见解析；(3)存在，点M的坐标为(之，—9)或

【答案】(1)

-66