2024人教版数学七年级下册 第8章《实数》重点题型归纳复习（学生版+解析版）

第八章实数单元重难点题型归纳与训练

题型归纳

一.利用平方根，算术平方根和立方根求算式中字母的值

【题型解读】此种题主要是根据平方根，算术平方根和立方根的定义，及其表达形式，求字

母的取值，主要考查了方程思想.

例1.(23-24七年级下•全国•课后作业)若A=2"名石豆是9的算术平方根，B=V-3a-2b,

则A+2B的立方根为.

例2.(24-25八年级上•江苏盐城•期末)已知劝+3的平方根为±3,10。+26的立方根为4.

(1)求。,匕的值；

(2)求2a+6的平方根.

对应练习：

1.（23-24八年级上•山东青岛•期中）已知2a+l的平方根是±5,1-8的立方根为-1.

（1）求。与6的值；

⑵求a+2b的算术平方根.

2.（24-25八年级上•江苏镇江•阶段练习）已知2a-1的平方根是±3,3°+6-9的立方根是2,

求的平方根.

3.（24-25八年级上•陕西咸阳•期中）已知土J3a+1=±4,26+6的立方根是2.

⑴求74-36的算术平方根；

⑵求u的立方根.

5〃+2。

4.（23-24七年级下,四川•阶段练习）己知4=。赤石！是。+6+3的算术平方根,

B=a血弋a+26是a+26的立方根,求3-4的立方根.

【解法提炼】

根据平方根，算术平方根和立方根定义建立方程，解方程即可求得字母的取值

二.平方根和立方根性质问题

【题型解读】此种题型主要考查一个正数的两个平方根互为相反数和如果两个数互为相反数

那么它们的立方根也互为相反数

例1.（23-24七年级上,山东烟台,期末）已知正数a的两个平方根分别是2x-3和且

加包与收二？相等，求a+2Z＞的算术平方根.

例2.（24-25七年级下仞川内江•阶段练习）如果3x-2和5x-6是一个非负数的平方根,

那么这个非负数是—.

3.（23-24x-8

例七年级下•全国•假期作业）已知心与互为相反数，求历7的

立方根.

对应练习：

1.（23-24七年级下•重庆长寿,期末）若实数m的平方根是4。+21和a-6,6的立方根是-2,

求加+3a+6的算术平方根.

2.（23-24七年级下•河北廊坊•期末）一个正数机的平方根是2x-4和x-14,求正数根的立

方根.

3.（23-24七年级下•全国•假期作业）已知和逅，与VI』互为相反数，且x40,yH0求

加值.

4.（24-25八年级上•河南•期中）已知正数无的两个平方根分别是2°-1和。+4,负数y的

立方根与它本身相同.

（1）求。，x,y的值；

⑵求％+丫的算术平方根.

5.已知小式一2+2=X,且-1与11一2x互为相反数,求工,y的值

【解法提炼】利用平方根的性质和立方根的性质，建立方程，解方程即可，主要考查方程

思想

三.算术平方根的非负性

【题型解读】1.算术平方根、完全平方数、绝对值都是非负数，且一个数的算术平方根具

有双重非负性.

2.根据“几个非负数之和等于0,从而得每个非负数都等于0”，构建方程，从而求得未知

数的值.

例1.（24-25七年级上•浙江杭州•期中）己知实数。，。满足：V^?+0+4|+（C-3）2=O,

求：

（1）«,b,c的值.

⑵a+6+c的平方根.

例2.（24-25七年级下•四川眉山•期中）若6为两个有理数，且b=Ja-l+Jl-a+4,

则ab的平方根为—.

对应练习：

1.（24-25七年级上•浙江宁波・期中）若归+2|+5与=0,则而产的值为.

2.（24-25七年级下•河北石家庄•期中）已知实数满足6=J20-a,若。涉为正整数，当

b取最大值时，a=

3.（24-25七年级下•河南驻马店•阶段练习）已知a、b、c满足

\!2a+b-4+|a+1|=y/b-c+\jc-b,求-10a-b+2c的算术平方根.

4.（24-25七年级下•浙江杭州•期中）已知：卜-闽+3+2）2+&-2024=0.求:

（1）。，b,c的值；

⑵求（/-b2y的值.

【解法提炼】L根据被开方数为非负确定字母的取值

2.利用非负+非负=0,则它们分别等于0,即。2+厂+||=o,即可得02=o,厂=

0,11=0

四.实数有关概念，分类问题及与数轴的关系

【题型解读】主要考查有理数，无理数，正数和负数的概念，能根据实际情况对数进行分类

例1.（24-25七年级上•浙江台州•期中）把下列各数的序号分别填写在相应的横线上.

22

①M，②-一，③0,④—3.14,⑤6,⑥0.808008...（两个8之间依次多一个0）.

属于整数的有：___________________________________________

属于负数的有：__________________________________________________

属于无理数的有：___________________________________________________

例2.有理数和无理数的区别在于（）

A.有理数是有限小数，无理数是无限小数

B.有理数能用分数表示，而无理数不能

C.有理数是正的，无理数是负的

D.有理数是整数，无理数是分数

例3.（24-25七年级上•浙江杭州,期中）将下列各数在数轴上表示出来，并用"<"号把它们

连接起来.

,-3,V-8,|-2|,也.

-5-4-3-2-1012345

例4如图。，b,c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数.

2

试化简：4^+1a-|-^/(a+Z?)3-y](b-c)

对应练习：

1.（24-25七年级下•河南周口•阶段练习）把下列各数填入相应的集合内（填序号）:

①-；，②-5③4,0|>⑤-舛，⑥0,⑦-无，⑧-与，©3.1010010001...

（每相邻两个1之间0的个数逐次加1）

⑴无理数集合｛___________________________________

⑵分数集合｛___________________________________...｝;

⑶负实数集合｛____________________________________...｝.

2TC

2.（24-25七年级下•浙江杭州•期中）把下列各数填在相应的横线上：彳，-y,-J正，

2

0,——,币>Vs>-1.4

整数：;

负分数：：

无理数：;

正实数：.

3.下列说法错误的是（）

A.实数可分为正实数、0和负实数

B.无理数可分为正无理数和负无理数

C.无理数都是带根号的数

D.实数是有理数和无理数的统称

4.（24-25七年级下•浙江金华•期中）已知一列数：-|-3.5|,0,V2,-l.

-4-3-2-1012

⑴把这4个数表示在下图所示的数轴上;

⑵用将这4个数连接起来.

5.（24-25七年级下•重庆南岸•阶段练习）已知点A、B、C在数轴上表示的数。、8、c的

位置如图所示，化简：而-迎-«b-c）2+J（a_._c）2=

abQ

【解法提炼】（1）本题考查了实数的分类

,正整数

整数o

有理数负整数（有限小数或无线循环小数）

实数（正分数

分数

负分数

眯蠹（无限不循环小数）

无理数

⑵数轴上比较大小，越靠右值越大.

五.实数大小比较与估算

【题型解读】有理数范围内比较大小学生易于掌握，而无理数比较大小对学生而言就有难

度了，此种题主要考查学生选择合适的方法比较大小.

例1比较-遥-2与-2的大小

例2比较71与圆的大小

对应练习：

L比较2,3,恼的大小

2.（23-24七年级下•四川成都•期末）比较大小：叵口】（填或"="）

211

3.比较连+2与后-2的大小

4.比较匹|二与|的大小

5.当0<a<1,比较的大小

a

【解法提炼】实数的大小比较，可以根据实数的特征灵活地选择恰当的方法，除了常规的

方法外，还有几种特殊的方法：开方法、平方法、取近似值法、放缩法、作差法、作商法

六.实数运算

【题型解读】1.实数的运算法则同有理数一样，先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、

减，有括号的先算括号里面的.

2.在实数的运算中，数的绝对值、相反数、倒数等意义跟有理数一样，在有理数范围内的

运算律在实数范围内同样适用.

例1（24-25七年级下•湖南长沙♦阶段练习）⑴计算：㈠二+出一2.亚豆+，1尸.

(2)6+3X(76-3)-3X(V6-1)；

⑶(-2)2+2+1-gj-我.

⑷4x(-1)2四+我一后

例2.（23-24七年级下•江苏南通•阶段练习）已知a,b均为有理数，且满足等式5-ga

2

=2b+jV3-a,贝ijab=.

例3.（23-24七年级下•安徽黄山•期中）已知。是对的整数部分，y/b=3,则Jab+54的

平方根是.

对应练习：

1.（24-25七年级下•山东威海•期末）计算:

（1）2耳12-四+J（可+".

（218x院+7五｝

（3）J49+A/—27+11--^21—^2

2.（23-24七年级下•湖北武汉•阶段练习）若有理数a,b满足&a+6+3=a-6+70，则

a=,b=.

3.（23-24七年级下•河北廊坊•阶段练习）已知M-2的整数部分是加，小数部分是〃，则

m=,n=.

4.已知2a-l的算术平方根是3,3a+6-l的平方根是±4,c是JR的整数部分，求3a+力-c

的平方根.

【解法提炼】

①有理数范围内的运算法则和运算顺序，实数范围内仍然适用；

②通过夹逼法得出实数的整数和小数部分；

③有理数范围内的运算结果依然是有理数，无理数范围内的运算结果为有理数或无理数，

有理数与无理数加减运算结果为无理数，有理数（除0以外）与无理数乘除运算结果为无

理数.

七.实数的实际应用

【题型解读】学有用的数学所以实际应用为常考类型.

1.利用几何图形的面积，周长，体积来解决实际问题；

2.跨学科融合考查实数的实际应用.

例1如图，一个底面半径为3cm的瓶子内装着一些溶液.当瓶子正放时，瓶内溶液的高度

为16cm；倒放时，空余部分的高度为4cm.瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器

（兀取3,容器的厚度不计）.

单位

（1）该瓶子的容积（装满时溶液的体积）是多少立方厘米?

⑵正方体容器的棱长是多少厘米?

例2.（23-24七年级下•河南周口•阶段练习）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个

周期，其计算公式为丁=2万其中7■表示周期（单位：s），/表示摆长（单位：m）.假

如一台座钟的摆长为0.2m.（万取3,g=9.8m/s2）

（1）求摆针摆动的周期.

⑵如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次

滴答声？

对应练习:

1.如图，一个正方体铁块放入圆柱形玻璃容器后，完全没入容器内水中，使容器中的水面升

高女m,如果容器的底面半径是10cm,求正方体铁块的棱长（乃取3.14,精确到0.1cm）.

2.（23-24七年级下•全国•课后作业）用电器的电阻R、功率尸与它两端的电压U之间有关

系：P=—.有两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为18.4Q,乙的电阻为20.8Q.现

R

测得某用电器的功率为1500W,两端电压在150-170V,该用电器到底是甲还是乙？

3.（23-24七年级下•广西玉林•期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/

时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所

用的经验公式是v=16便，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距

离（单位：米），/表示摩擦系数.在一次交通事故中，经测量d=32米，/=2,请你判断

一下，肇事汽车当时是否超速了.

4.（23-24七年级下•福建福州•阶段练习）某装修公司现有一块面积为64m2的正方形的木板，

准备做装饰材料用，设计师王师傅设计了如下两种方案：

方案一：沿着边的方向裁出一块面积为60m2的长方形装饰材料；

方案二：沿着边的方向裁出一块面积为60m2的长方形装饰材料，且长宽比为4:3.

王师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由.

【解法提炼】

①利用几何体有关公式直接运算

②在物理学或其它学科背景下根据所给公式直接进行计算.

八.实数有关的规律

【题型解读】此种题型主要考查学生的观察所给算式，从算式中归纳出它的一般规律，并能

用此规律解题的能力，是考试中一种常考题型.

例1.（23-24七年级下•江苏扬州•期中）计算：①肝;②炉下；③在+23+33；④

333333333

71+2+3+4，观察你计算的结果,用你发现的规律计算：71+2+3+4+--+51=（）

A.71275B.1275C.1326D.1378

例2.（2024•湖南岳阳•模拟预测）已知

1111

—

1，则

—+2—+3—+4------\-n

%an-l

。1+«2+%+…=

例3.（24-25七年级下•四川南充・期末）下列各个图形中，〃•〃的个数用。表示，〃。〃的个数

用b表示，如〃=1时，。=4,b=l；n=2时,〃=9,6=4；根据图形的变化规律，当

几=2023时，&+扬的值为.

TT,OOP

回mMOIQ

〃=1〃=2〃=3

对应练习:

1.（24-25七年级下•全国•期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵:

第一行1V2

第二行V32V5正

第三行布瓜3回历历

第四行

根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（）

A./nB.J7TC.V70D.5/69

2.（24-25七年级下•上海,阶段练习）若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平

方数.对任意正整数。，记戏表示不大于”的最大完全平方数，记"△="-/.例如:

***,1A2A3A2024A

4*=7#=8#=4,7A=7-4=3.则n刀=+-^+r=+…+-----=

肝厅厅V2024*

3.（24-25七年级下•重庆万州•阶段练习）先计算下列各式：/=1，b=2,疝示=3,

J1+3+5+7=4,通过观察并归纳结论:

（1）请写出：J1+3+5+…+（2〃-1）=

(2)计算：(4+12+20++404=.

4.（24-25七年级下•福建漳州•阶段练习）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规

律，如图1是2024年10月份的日历，我们选择其中被框起来的部分，将每个框中三个位置

上的数按如下方式计算：

V92-2x16=781-32=749=7,

V202-13x27=7400-351=M=7，

不难发现，结果都是7.

⑴请你类比上述算法，计算图2与图3中被框起来部分，你有什么发现?

发现图2计算结果为；图3计算结果为

⑵请你类比上述材料，用含"的式子表示图2的规律，并加以说明.

【解法提炼】

①对于数字来说，可先计算，然后观察数字之间的关系得结论

②先计算，观察数字之间得循环性得结论

③有图形的，可先观察图形的变化，从而总结规律

第八章实数单元重难点题型归纳与训练

题型归纳

题型讲解r：「y■■•一;

一.利用平方根，算术平方根和立方根求算式中字母的值

【题型解读】此种题主要是根据平方根，算术平方根和立方根的定义，及其表达形式，求字

母的取值，主要考查了方程思想.

例1.（23-24七年级下•全国•课后作业）若A=2。书石豆是9的算术平方根，B=V-3a-2b,

则A+2B的立方根为.

【答案】-1

【分析】本题考查的是立方根及算术平方根的定义，掌握立方根及算术平方根的定义是解题

的关键.根据题意列出关于。、6的方程，求出。、。的值，即可求解.

【详解】回4=2。在=是9的算术平方根，

02a-2=2,2a+5b=9,

解得：a=2,b=l,

0A=-$/9=3,B=W-3a-2b=y/—6—2=—2,

回A+23的立方根为#3-4=-1，

故答案为：-1.

例2.（24-25八年级上•江苏盐城•期末）已知3A+3的平方根为±3,10。+26的立方根为4.

（1）求a涉的值；

⑵求2a+〃的平方根.

【答案】(1)。=6,b=2

(2)±V14

【分析】本题考查了平方根以及立方根的计算，熟练掌握相关概念是解题的关键.

(1)根据平方根和立方根的定义得出关于。、8的方程求解，即可得出答案；

(2)将。、b的值代入，再求平方根即可.

【详解】(1)解：由题意得：36+3=(±3)~=9,10a+26=取=64,

解得：a=6>b=2.

(2)解：由(1)得：a=6,6=2,

团2a+8=2x6+2=14.

回2。+6的平方根为土JIZ.

对应练习：

1.(23-24八年级上•山东青岛•期中)己知2a+1的平方根是±5,1-6的立方根为-1.

(1)求。与6的值；

(2)求a+2Z»的算术平方根.

【答案】(1)。=12,6=2

⑵4

【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，平方根、立方根、算术平方根，正确掌握

相关性质内容是解题的关键.

(1)结合2。+1的平方根是±5,1-匕的立方根为一1,贝112。+1=25,1-6=一1,再解出

a=12,b=2,即可作答.

(2)把。=12,6=2代入。+2"得出16,再求其的算术平方根，即可作答.

【详解】(1)解：回2a+l的平方根是±5,1-6的立方根为-1,

回2a+1=25,1—b——1,

解得。=12,6=2；

(2)解：由(1)得。=12,6=2,

回。+26=12+2x2=16,

则16的算术平方根是4.

2.(24-25八年级上•江苏镇江•阶段练习)已知2°-1的平方根是±3,3a+6-9的立方根是2,

求a+2b的平方根.

【答案】平方根为±3.

【分析】此题考查了算术平方根、平方根、立方根等知识，根据平方根和立方根的意义得到

2。一1=9,3°+。一9=8,解得。=5,b=2,求出a+26的值，根据平方根的意义求出答案

即可.

【详解】解：回2a-l的平方根是±3,3〃+6-9的立方根是2,

02a—1=9,3a+6—9=8,

解得a=5,6=2,

回a+2〃=5+2x2=9,

回土=±3,

团a+2办的平方根为±3.

3.(24-25八年级上•陕西咸阳・期中)已知±J3a+1=±4,力+6的立方根是2.

(1)求7°-3》的算术平方根；

⑵求u1c,的立方根.

5a+2。

【答案】(1)痕

(2)-

3

【分析】(1)根据平方根及立方根的定义求得。，6的值，然后将其代入7a-36中计算后，

再根据算术平方根的定义即可求得答案；

(2)将。，〃的值代入5a+2》中计算后，再根据立方根的定义即可求得答案.

本题考查平方根，算术平方根及立方根，结合已知条件求得。，b的值是解题的关键.

【详解】(1)解：回土J3a+1=±4,2)+6的立方根是2

「.3。+1=16,2/?+6=8,

解得：〃=5,b=l,

则K7G-3b=V7x5-3x1=V32；

(2)解：回〃=5,b=l,

团5a+2〃=5x5+2x1=27,

11

团------=—，

5a+2b27

即「二7的立方根为1.

4.（23-24七年级下•四川•阶段练习）已知A="Va+b+3是a+b+3的算术平方根,

B=i&i+26是a+力的立方根,求3-A的立方根.

【答案】-1

【分析】本题考查算术平方根、立方根，掌握算术平方根、立方根的性质是解题的关键.根

据4="穹0+6+3是。+%+3的算术平方根,得到a-2=2,求出。的值，根据8="一好a+2是

是a+2b的立方根，得到。-力+3=3,求出b的值，从而求出A,B,进而求出3—A的值，

即可求出结果.

【详解】解：A="^a+b+3是a+6+3的算术平方根,

二.a—2=2,

Q=4,

B=a-妨弋/a+2b是a+2b的立方根，

a—2b+3=3,

又“a=4,

:.b=2,

A=。4+2+3=3,B=。4+2x2=2，

:.B-A=2-3=-l,

:鼻B-A=W^=-L

【解法提炼】

根据平方根，算术平方根和立方根定义建立方程，解方程即可求得字母的取值

二.平方根和立方根性质问题

【题型解读】此种题型主要考查一个正数的两个平方根互为相反数和如果两个数互为相反数

那么它们的立方根也互为相反数

例1.（23-24七年级上•山东烟台,期末）已知正数a的两个平方根分别是2x-3和l-x,且

%+2b与依-5相等,求a+2方的算术平方根.

【答案】V13

【分析】本题主要考查了平方根和立方根，算术平方根，相反数的定义，解题的关键是熟练

掌握平方根的定义和性质.

根据平方根的性质可得x的值，代入1-X可得。的值；根据立方根的性质和相反数的性质即

可求得6,然后代入a+2A求解即可.

【详解】解：因为正数。的两个平方根分别是2x-3和1-x,

所以2%-3+1-尤=0

所以x=2

所以。=（1_尤）2=（1—2）2=1

因为W1+28与W-5相等

所以1+26=36—5

所以6=6

所以“+”1+2x6=13.

所以a+2b的算术平方根是713.

例2.（24-25七年级下•四川内江•阶段练习）如果3x-2和5x-6是一个非负数的平方根，

那么这个非负数是—.

答案：1或16/16或1

【分析】本题主要考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0

的平方根是0;负数没有平方根.根据平方根的性质列出方程计算即可.

【详解】解：3x-2和5x-6是一个非负数的平方根，

3龙-2=-（5x—6）,

解得：x=l,

3x—2=3x1—2=1,

••俨=1,

或3x-2=5x-6,

解得：x=2,

3%—2=3x2—2=4,

42=16.

故答案为：1或16.

例3.（23-24七年级下•全国•假期作业）已知与Jgy-24互为相反数，求后3的

立方根.

【答案】2

【详解】解：由题意，得-8+Jgy-24=0,

厂.万兀—8+~y—24=0,/.％+y=64,

:.Jx+y=^/^=8,二Jx+y的立方根是2.

对应练习：

1.（23-24七年级下•重庆长寿,期末）若实数机的平方根是44+21和。-6,b的立方根是-2,

求力2+3（7+6的算术平方根.

【答案】8

【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根的定义及解一元一次方程，根据平方根的定

义可得4〃+21+。-6=0,解方程可求出。的值，即可得出机的值，根据立方根得定义可得

。的值，根据算术平方根的定义即可得答案.

【详解】解：回实数加的平方根是4a+21和。-6,

团4a+21+a—6—0,

解得：a=—3,

回。一6二-9,

回用=（-9）2=81.

团人的立方根是-2,

0/?=（-2）3=-8,

团机+3a+b=81+3x（—3）—8=64,

国根+3a+Z?的算术平方根为8.

2.（23-24七年级下•河北廊坊•期末）一个正数根的平方根是2x-4和14,求正数根的立

方根.

【答案】y/m=4

【分析】本题主要考查平方根，立方根的知识，根据题意求出九=6,再求出加=82=64,

再进行计算即可.

【详解】解：由题意得，2%-4+%-14=0

解得，x=6

团2x—4=8

0m=82=64

团可=4

3.(23-24七年级下•全国•假期作业)已知3y-1与-2%互为相反数,且汽H0,yH0求

押值.

【答案】I

【详解】解：由题意，得晒』+VTF=。，

A3y-1+1-2%=0

3y=2x

Vx。0,yW0.

.%_3

"'y~2

4.(24-25八年级上•河南•期中)已知正数无的两个平方根分别是2。-1和。+4,负数y的

立方根与它本身相同.

(1)求°,无，y的值；

(2)求x+y的算术平方根.

［答案］(l)a=T,x=9,y=-l

⑵V8

【分析】本题考查平方根和立方根.熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的

关键.

(1)根据平方根和立方根的定义进行求解即可；

(2)先求出代数式的值，然后根据算术平方根的定义进行求解即可.

【详解】(1)解：依题意，得2a-l+a+4=0,

解得a=-l,

回2a—1=—3,a+4=3,

回尤=32=9.

；・负数y的立方根与它本身相同，

\y=T；

(2)解：当x=9,y=-l时，x+y=9-l=8,

国x+y的算术平方根为例.

5.已知/式一2+2=x,且和〉-1与-2x互为相反数,求x,y的值

【答案】久=1或3或2,y=|或2或1

【分析】本题考查立方根.熟练掌握如果两个数相反数那么它们的立方根也互为相反数和立

方根等于本身的数是士1和0,是解题的关键.

【详解】y/x—2+2-x

：.x-2=±1或0

Ax=1或3或2

,/73y-l+Vl-2x=0

•**3y—1+1—2.x—0

---y=|或2或1

【解法提炼】利用平方根的性质和立方根的性质，建立方程，解方程即可，主要考查方程

思想

三.算术平方根的非负性

【题型解读】L算术平方根、完全平方数、绝对值都是非负数，且一个数的算术平方根具

有双重非负性.

2.根据“几个非负数之和等于0,从而得每个非负数都等于0”，构建方程，从而求得未知

数的值.

例1.(24-25七年级上•浙江杭州•期中)已知实数。，人c满足：A/^5+|Z?+4|+(c-3)2=0,

求：

(1)«,b,c的值.

(2)a+6+c的平方根.

【答案】：(l)a=5,6=T,c=3

(2)a+6+c的平方根为±2

【分析】本题主要考查偶次幕、绝对值及算术平方根的非负性、平方根，熟练掌握偶次募、

绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键；

(1)根据题意易得V^M=0,R+4|=0,(C-3)2=0,然后进行求解即可；

(2)根据(1)可得。+人+c的值，然后根据平方根可进行求解.

【详解】(1)解：VA/^5+|Z>+4|+(C-3)2=0,5.^/aZ5>0,|^+4|>0,(c-3)2>0,

/.7^5=0,|Z>+4|=0,(c-3)2=0,

解得：a=5,b=—4,c=3；

(2)解：由(1)得：a=5,b=—4,c=3,

・・a+Z?+c=5—4+3=4,

A4的平方根为±2,

即a+6+c的平方|艮为±2.

例2.(24-25七年级下•四川眉山•期中)若a,6为两个有理数，且6=，口+括二总+4,

则仍的平方根为—.

【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，代数式求值，关键是熟练掌握算术平方根的性

质.根据题意得至！Ja—1之0,1-«>0,求出a=l,代入6=Ja-1+Jl-a+4求出6=4,然

后代入而求解即可.

【详解】解：b=>Ja—l+y/l—a+4,

ci—120,1—

•aWl,

・•6Z—1,

.**b=y/a—1+yJl—a+4=4,

"=1x4=4,

出?的平方根为土、/?=±2.

故答案为：±2.

对应练习：

1.(24-25七年级上•浙江宁波・期中)若|尤+2|+耳分=0,则后尸的值为.

【答案】6

【分析】本题考查了非负数的性质，算术平方根，掌握非负数的意义和性质是正确解答的关

键.利用非负数的性质得出“，丁的值，代入计算得出答案.

【详解】解：卡+2|+炉4=0,

:.x+2=0,y-3=0,

解得：x=-2,y=3,

,3）2==>/36=6,

2.（24-25七年级下•河北石家庄•期中）已知实数。力满足6="匚］，若〃力为正整数，当

b取最大值时，a=.

【答案】4.

【分析】本题主要考查了算术平方根，解题的关键在于能够熟练掌握算术平方根的相关知

识.由6=a,b均为正整数，可知当b取最大值时，即6=4,由此求解即可.

【详解】解：=a,b均为正整数，

b=j20-a<而<5

.,.当b取最大值时，即6=4时，b=y/20-a=4,

20—a=16,

解得a=4,

3.（24-25七年级下•河南驻马店•阶段练习）已知a、b、。满足

j2a+/?-4+|a+l|=J〃-c+Jc-l,求一10a—h+2c的算术平方木艮.

【答案】4

【分析】本题考查了算术平方根的非负性，非负数之和为0,先根据算术平方根的非负性,

得出〃=c,再由非负数之和为0,求出a、氏。，求得的值，进而求得-10a-b+2c的算术

平方根，掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解:

[c-Z?>0

:,b=c,

J2a+>-4+|tz+1|=0f

J2Q+/?-4=0a=-1

=0解得:

[Q+1b=6

••c=6,

.，・—10。-b+2c=-10x(—1)-6+2x6=16,

J一10々-6+2c的算术平方根是4.

4.(24-25七年级下•浙江杭州•期中)己知：［-国+优+2)2+4-2024=0.求：

(1)«,b,c的值；

(2)求的值.

【答案】(l)a=5b=-2,c=2024；

(2)1

【分析】本题考查了绝对值、偶次塞、算术平方根的非负性、代数式求值，掌握绝对值、偶

次稀、算术平方根的非负性是正确解题的关键.

(1)根据绝对值、偶次幕以及算术平方根的非负性进行计算即可；

(2)将。，b,。的值代入计算即可；

［详解］(1)解：闽+(6+2)2+4-2024=0,

/.a—q=0,6+2=。，c—2024=0,

a=乖!,b=—2,c=2024；

(2)解：；a=6，b=-2,c=2024,

(a2-b2)C

rr-12024

=⑷-(-2)2

=(3-4)2024

=(-l)2024

=1.

【解法提炼】1.根据被开方数为非负确定字母的取值

2.利用非负+非负=0,则它们分别等于0,即。2+厂+||=0,即可得。2=0,厂=

0,||=0

四.实数有关概念，分类问题及与数轴的关系

【题型解读】主要考查有理数，无理数，正数和负数的概念，能根据实际情况对数进行分类

例1.(24-25七年级上•浙江台州•期中)把下列各数的序号分别填写在相应的横线上.

22

①加，②-亍，③0,@-3.14,⑤6,⑥0.808008...（两个8之间依次多一个0）.

属于整数的有：___________________________________________

属于负数的有：__________________________________________________

属于无理数的有：___________________________________________________

【答案】③⑤，②④，①⑥

【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键.

有理数和无理数统称实数，据此进行分类即可.

【详解】解：属于整数的有：③⑤，

属于负数的有：②④，

属于无理数的有：①⑥，

故答案为：③⑤，②④，①⑥.

例2.有理数和无理数的区别在于（）

A.有理数是有限小数，无理数是无限小数

B.有理数能用分数表示，而无理数不能

C.有理数是正的，无理数是负的

D.有理数是整数，无理数是分数

【答案】B

【分析】本题考查了有理数，无理数和实数的定义.有理数和无理数统称实数.

【详解】A:有限小数和无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数故A错

B.正确

C.不管是有理数还是无理数都有正有负，故C错

D.整数和分数统称为有理数，故D错

故答案为:B.

例3.（24-25七年级上•浙江杭州•期中）将下列各数在数轴上表示出来，并用"<"号把它们

连接起来.

,-3,V-8，|-21，囱•

-5-4-3-2-1012345

【答案】10图见解析，-3〈亚亚<-万〈卜2|〈囱

【分析】本题考查的是实数的性质，求解算术平方根与立方根，利用数轴表示实数，先化简

能够化简的各数，再在数轴上表示即可.

【详解】解：：”=一2,卜2卜2,耶=3,

各数在数轴上表示如下：

-3RT|-2|J9

]।]]if][]]।।।1A

-5-4-3-2-101234567

.".-3<O<-1<|-2|<也.

例4如图。，b,c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数.

试化简：4^+,_耳_#(<2+6)3-«b-c)2

【答案】-26-C

【分析】根据数轴确定a,b,c的符号，再由绝对值的性质，和平方根，立方根的性质化简即

可.

【详解】由数轴可知，b<a<O<c,

.\a-b>0,a+b<0,b-c<0,

而'+k_"y(a+6)37(b-c¥

=-b+a-b-｛<a+b)-(c-b)

=-b+a-b-a-b-c+b

=—2Z?—c.

对应练习：

1.(24-25七年级下•河南周口•阶段练习)把下列各数填入相应的集合内(填序号)：

①4'②-③叵,④?，⑤-存,⑥0,⑦-兀,⑧-©3.1010010001...

2323

(每相邻两个1之间0的个数逐次加1)

(1)无理数集合

(2)分数集合｛_...｝；

⑶负实数集合

【答案】(1)②，③，⑦，⑨

⑵①，④，⑧

⑶①，②，⑦，⑧

【分析】首先计算立方根，然后根据无理数、分数及负实数的定义，对所给各数进行分类即

可.

本题主要考查了立方根，实数，熟知无理数、分数及负实数的定义是解题的关键.

【详解】（1）由题知，一日8=2，

二无理数集合｛②，③，⑦，⑨…｝;

（2）分数集合｛①，④，⑧...｝；

（3）负实数集合｛①，②，⑦，⑧…｝.

2.（24-25七年级下•浙江杭州•期中）把下列各数填在相应的横线上：不，-y,-灰，

2

0,,A/7,^8,-1.4

整数：:

负分数：;

无理数：;

正实数：.

2jr9

【答案】,0,我；--,—1.4；--,yfj；—,V7,圾

【分析】本题主要考查了实数的分类，先求出算术平方根，立方根，然后按照各自的定义分

类即可.

无限循环小数或有限小数是有理数；无限不循环小数是无理数.

【详解】解：-716=-4,网=2,

整数：-屈,0,我；

2

负分数：一L4；

无理数：一（，近；

9

正实数：二，五，我

2-TT2

故答案为：,0,双；--,-1.4;-y,币；M,币，册.

3.下列说法错误的是（）

A.实数可分为正实数、0和负实数

B.无理数可分为正无理数和负无理数

C.无理数都是带根号的数

D.实数是有理数和无理数的统称

【答案】C

【分析】本题考查了有理数，无理数和实数的定义.有理数和无理数统称实数.

【详解】A:正确

B.正确

C.无理数是无限不循环小数.

D.正确

故答案为：C.

4.(24-25七年级下•浙江金华・期中)已知一列数：-卜3.5|,0,&,-1.

-4-3-2-I0I2

(1)把这4个数表示在下图所示的数轴上；

(2)用"〈"将这4个数连接起来.

【答案】⑴见解析

(2)—|—3.5|<—1<0<^/2

【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较；

(1)根据题意先化简绝对值，然后表示在数轴上，即可求解；

(2)根据数轴上右边的数大于左边的数，用"〈"将这4个数连接起来，即可求解.

【详解】(1)解：一卜3.5卜一3.5,

如图所示，

-|-3.5|TO"

-4-3-27012

(2)根据数轴可得：一卜3.5|<—1<0<0

5.(24-25七年级下•重庆南岸•阶段练习)已知点A、B、C在数轴上表示的数。、6、c的

位置如图所示，化简：方-叱-而了+向工彳=-

▲▲▲」»

ab0c

【答案】3b

【分析】本题主要考查了平方根、立方根的性质，根据数轴可知a<b<0<c,则可知c<0,

a-b-c<0,即可根据平方根，立方根的性质进行化简.

【详解】根据数轴可知a<b<O<c,贝I］可知b—c<0,a-b-c<0,

——^（b—c）2+yl（a—b—c）2

=&+a-（c-Z?）-（a-Z7-c）

=b+a-c+b-a+b+c

=36；

故答案为：3b.

【解法提炼】（1）本题考查了实数的分类

,正整数

整数0

有理数负整数（有限小数或无线循环小数）

实数（正分数

分数

负分数

眯蠹（无限不循环小数）

无理数

⑵数轴上比较大小，越靠右值越大.

五.实数大小比较与估算

【题型解读】有理数范围内比较大小学生易于掌握，而无理数比较大小对学生而言就有难

度了，此种题主要考查学生选择合适的方法比较大小.

例1比较-遥-2与-2的大小

解：：|_西_2|=而+2,|_近_2|=夕+2,

而迷＜V7

.•.V5+2<V7+2,

根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小

点拨：比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的反而小

例2比较71与原的大小

解：法一：一7；弓=柠=桓

1

V56->56

4

/.J56^>V56

BP7|>V56

当要判断大小的两个数中只有一个数带根号时，可以给另一个数添加根号，然后比较根号下

两个数的大小.

法二：•••(7|)2=竿=56；

(V56)2=56

又：56工>56

4

.,.7|>V56

把两个数都平方，然后比较大小.

对应练习：

1.比较2,3,好U的大小

解：V23=8,33=27,(V20)3=20

又；8<20<27

2<V20<3

比较含立方根的几个正数的大小，一般先将各数同时立方，然后依立方后各数的大小来判断

原来几个数的大小.

2.(23-24七年级下•四川成都•期末)比较大小：心二1】(填"或"=")

211

【答案】<

【分析】根据无理数估算，实数的大小比较解答即可.

本题考查了实数的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键.

【详解】解：VA/4<75<75,0176,

2<75<2.24

1<A/5-1<1.24,

.1V5-131

••—V--------V----

2250

,，2^31_350

・11,50-341

.731

>•—>—

1150

.75/5-1

••-->-----,

112

故答案为：<.

3.比较遥+2与商-2的大小

解：V2<V6<3,7<V57<8

.1.V6+2<3+2=5<V57-2

.*.V6+2<V57-2

比较两个含有无理数的式子的大小可以采用放缩法.

4.比较直|二与|的大小

解：一|=而辰—4=—同<0

.•.0<0即0—晨0

222

.V13-13

••----<一

22

先作差，然后与0比较大小，最后确定这两个数（或式子）的大小.

5.当0<aV1,比较a,二赤的大小

a

解：VO<a<1

令a=-

4

♦.a<7a<—

a

本题可以用特殊值法求解

【解法提炼】实数的大小比较，可以根据实数的特征灵活地选择恰当的方法，除了常规的

方法外，还有几种特殊的方法：开方法、平方法、取近似值法、放缩法、作差法、作商法

等.

六.实数运算

【题型解读】1.实数的运算法则同有理数一样，先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、

减，有括号的先算括号里面的.

2.在实数的运算中，数的绝对值、相反数、倒数等意义跟有理数一样，在有理数范围内的

运算律在实数范围内同样适用.

例1(24-25七年级下•湖南长沙•阶段练习)(1)计算：(_1产4+2一2卜代+7(彳.

(2)6+3x—3)—3x—1j；

⑶(-2『+2+]-1^-我.

(4)-42X(-1)2025+^/8->/25

【详解】此题考查了有理数的乘方，化简绝对值，立方根和算术平方根，整式的加减，解题

的关键运算法则是解题的关键.

解：(1)(-1)2024+175-2|+^8+^/(-3)2

=1+石-2+(-2)+3

=A/5.

(2)原式=6+3#-9-3而+3=0;

(3)原式=4+2x1-1>2=4-3-2=-1.

(4)解：原式=-L6x(-l)+2—5=16+2-5=13；

例2.(23-24七年级下，江苏南通•阶段练习)已知a,b均为有理数，且满足等式5-石a

2

=2b+—6-a,贝Uab=.

3

【答案】-£13

【分析】已知等式整理后，根据。与b为有理数求出。与b的值，即可求出a+b的值.

【详解】解：已知等式整理得：5-6。=(2b-a)+|A/3,

2b-a=5

可得2

—a=—

3

2

a=——

3

解得：

713

b=——

6

“713

故必=一豆，

故答案为：-三13

【点评】此题考查了实数的运算，以及无理数与有理数，