2024年中考数学几何模型专练：三角形中的导角模型-飞镖模型、风筝模型、角内翻模型

专题02三角形中的导角模型-飞镖模型、风筝模型、角内翻模型

近年来各地中考中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和

定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就飞镖型、风筝模型

进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1、“飞镖”模型（“燕尾”模型）

条件：如图1,凹四边形ABCD；结论：®ZBCD=ZA+ZB+ZD­,®AB+AD>BC+CDo

条件：如图2,线段2。平分乙4BC,线段0。平分NADC；结论：ZO=-（ZA+ZC）o

2

条件：如图3,线段A。平分线段CO平分/BC。；结论：ZO=-（ZZ）-ZB）„

2

飞镖模型结论的常用证明方法:

例L（2023・重庆•八年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：

有趣的“飞镖图J如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为"飞镖图”.当我们仔细观察后发现，

它实际上就是凹四边形.那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形

通俗地说，就是一个角"凹"进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之

和.

（即如图1,SADB=SA+S\B+SC）理由如下：

方法一：如图2,连接AB,贝。在母48。中，0C+0CAB+0CBA=18O°,即01+团2+03+回4+回。=180°,又回在

KABD中，ffll+B2+a4DB=180o,0ElADB=03+04+0C,BPa4£）B=0CAD+0CBD+0C.

方法二：如图3,连接CD并延长至F,001和团3分别是△ACO和ABC。的一个外角，.....

大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？

任务：（1）填空："方法一"主要依据的一个数学定理是;

（2）探索：根据"方法二"中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分；

（3）应用：如图4,AE是回C4。的平分线，BF的平分线，AE与BF交于G,若她。2=150。，

0AGB=11O°,请你直接写出回C的大小.

【答案】（1）三角形内角和定理（或三角形的内角和等于180。）；（2）见解析；⑶70。

【分析】（1）根据三角形内角和定理，即可求解；（2）根据三角形外角的性质可得如=团2+朋，回3=回4+团2,

从而得到团1+回3=回2+她+回4+回8,即可求证；（3）由（2）可得：0ADB=0CAD+[3C5Z）+0C,

^AGB^CAE-^CBF+^C,从而得至胞CAE+EICBP=110°-EIC,0CA£>+0CB£）=15O°-EIC,再由AE是回CAO的平分

线，BF是回C8O的平分线，可得150。-13c=2（110°-EC）,即可求解.

【详解】（1）解：三角形内角和定理（或三角形的内角和等于180。）

（2）证明：连接CD并延长至F,

0E1和回2分别是EAC。和EIBCZ）的一个外角，瓯1=02+囿4,回3=回4+08,

0El+03=02+EL4+04+EB,艮|3她£>8=她+回8+固4。8；

（3）解：由（2）得：SADB^CAD+SCBD+SC,SAGB^CAE+SCBF+SC,

00ADB=15O°,0AGB=11O°,团回C4£）+EIC2D+EIC=150°,0C4£+0CBF+EC=11O°,

0EC4E+0CBF=11O°-EC,ECAD+0CBD=15Oo-fflC,

0A£是EICAD的平分线，BF是EICBZ）的平分线，EBCAZ）=213cAE,SCBD^CBF,

EBCAZ）+EIC8D=2（ECAE+0CBF）,E150°-EC=2（110°-EIC）,解得：EIC=70°.

【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握三角

形内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键.

例2.（2023•广东河源•八年级校考期末）（1）模型探究：如图1所示的"镖形"图中，请探究NAZ汨与

/A、/B、/C的数量关系并给出证明；（2）模型应用：如图2,DE平分/ADB,CE平分/ACB,

N4=24。，ZB=66°,请直接写出NE的度数.

【答案】（1）^ADB=^A+^B+^C,理由见详解；（2）21°

【分析】（］）连接CD并延长到点E,利用三角形的外角的性质求解即可；（2）由（1）可知：SADB-

0C=a4+0B=9O°,从而得EIEZ）。-回BCO=；x90°=45°,结合I3E£）O+I3E=I3BCO+I3B,即可求解.

【详解】解：（1）ZADB=NA+NB+/C,理由如下：

连接CD并延长到点E,

0EL4D£=a4CD+a4,0BDE=0BC£>+0B,

00ADE+^BDE=^\ACD+^A+SBCD+SiB,0NADB=/A+NB+ZACB.

(2)由第(1)题可得：^ADB=XA+^B+ZACB,回她£>84aAe8=0A+[3B=66°+24°=9O°,

EIOE平分NADB,CE平分NACB,03矶)0432。0=；(0ADB-0C)=；乂90。=45。，

^DOE^BOC,^EDO+^E^BCO+^B,

00B-0£=0£DO-[?IBCO=450,00E=0B-45O=66--45O=21°.

【点睛】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握三角形外角的性质,

是解题的关键.

例3.(2022秋•广西八年级期中)如图，XABD,—ACD的角平分线交于点P,若4=48。，

ND=10。，则/尸的度数()

A.19°B.20°C.22°D.25°

【答案】A

【分析】法一：延长PC交2£>于E,设AC、PB交于F,根据三角形的内角和定理得到0A+0A2P+EAB8

=I3P+0PCF+0PFC=180°推出0P+[2PCF=EIA+SABF,根据三角形的外角性质得到回尸+SPBE=QPED,

推出I3P+I3PBE=I3PCD-EI£),根据尸2、PC是角平分线得至！jELPCf^EIPCf),^ABF^PBE,推出2回尸=

0A-0D,代入即可求出EIP.法二：延长OC,与交于点E.设AC与BP相交于O,贝胞IAOB=EIPOC,

可得回尸+J0ACD=EIA+；SABO,代入计算即可.

【详解】解：法一：延长PC交80于E,设AC、PB交于F,

0EL44-EABF+EIAFB=[2P+0PCF+0PFC=18O0,

BHUAFB^ISPFC,fflP+0PCF=0A+EABF,

00P+EPB£=EP£D,0PEO=0PCD-EID,^BP+^PBE=SPCD-^\D,

团2团尸+ELPCP+EPBE=0A-0Z)+^iABF+SPCD,

0PB>PC是角平分线！33PC尸=EIPC£),^ABF^PBE,E2EP=EA-EI£)

EBA=48°,00=10°,EHP=19°.

法二：延长DC,与AB交于点E.

EBAC。是0ACE的外角，EL4=48°,EIEIACD=HA+SAEC=48°+EIAEC.

EBAEC是EIBDE的外角,SSAEC=SABD+SD^SABD+10°,

EEACZ)=48°+EL4EC=48°+EL4BZ)+10°,整理得0ACZ)-a4BO=58°.

设AC与2尸相交于0,贝1|朋。2=回尸。。，

aaP+ga4C£)=0A+；EIAB。，即胪=48°-义(SACD-^ABD)=19°.故选A.

【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对顶角的性质，角平分线的性质等知

识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键.

例4.(2023・广东•八年级期中)如图，在三角形ABC中，AB>AC>BC,为三角形内任意一点，连结AP,

并延长交BC于点D求证：(1)AB+AC>AD+BC；(2)AB+AC>AP+BP+CP.

【详解】(1)VAB>AC,：.ZABD<ZACD

VZADB>ZACD,：.ZADB>ZABD,：.AB>AD

VAC>BC,：.AB+AC>AD+BC

(2)过点P作砂〃3C,交AB、AC于£\F,则NAEF=NABC,ZAFE=ZACB

由(1)知跖

VBE+EP>BP,CF+FP>CP(AE+BE)+(AF+CF)+(EP+FP)>AP+BP+CP+EF

即AB+AC>AP+BP+CP

（几何证明中后一问常常要用到前一问的结论）

例5.（2023・福建三明•八年级统考期末）如图1所示的图形，像我们常见的符号一一箭号.我们不妨把这

样图形叫做"箭头四角形

图1图2图3

探究：（1）观察"箭头四角形"，试探究ZBDC与NA、NB、/C之间的关系，并说明理由；

应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：

①如图2,把一块三角尺放置在AABC上，使三角尺的两条直角边XV、XZ恰好经过点8、C,若

ZA=60°,则/ABX+NACX=；②如图。3,/ABE、/ACE的2等分线（即角平分线）

BF、CF相交于点若ZS4C=6O。，ZBEC=130°,求—BFC的度数；

拓展：（3）如图4,BOt,CQ分别是ZAB。、ZACO的2020等分线（7=1,2,3,…,2018,2019）,它们的交

点从上到下依次为0、。2、。3、…、O2oi9.已知/BOC=m。，ZBAC=rf,则=_度.

【答案】（1）ZBDC=ZA+ZB+ZC,理由见详解；（2）①30；②95。；（3）

【分析】（1）连接AD并延长至点E,利用三角形外角的性质得出

NBDE=NBAD+NB,NCDE=ZCAD+NC,左右两边相加即可得出结论；

（2）①直接利用（1）中的结论有N3XC=NA+/4SX+NACX,再把已知的角度代入即可求出答案；

②先根据4EC=N3AC+NABE+NACE求出ZABE+ZACE,然后结合角平分线的定义再利用

ZBFC=ZBAC+ZABF+ZACF=ZBAC+1（/ABE+ZACE）即可求解；

（3）先根据/BOC=/BAC+/ABO+NACO求出NABO+NACO,再求出+NACQ0Go的度数，最

后利用ZBO1000C=ZBAC+NAB0mo+ZACOI000求解即可.

【详解】（1）如图，连接AD并延长至点E

0NBDE=ABAD+ZB,NCDE=ACAD+ZC,

又回ZBDC=ZBDE+ZCDE,ABAC=/BAD+ZCAD,回ZBDC=ABAC+ZB+ZC

(2)①由(1)可知/3XC=ZA+ZABX+ZACX

0ZA=6O°,Z.BXC=90°0ZABX+ZACX=ZBXC-ZA=90°-60°=30°

②由(1)可知/3EC=/BAC+Z/WE+ZACE

0ZBAC=60°,ZBEC=13O00ZABE+ZACE=ZBEC-ZBAC=130°-60°=70°

;BF平分NABE,CF平分ZACEz.ABF=-ABE,ACF=-ACE

22

NBFC=ABAC+ZABF+ZACF=ABAC+1(NABE+ZACE)=95°

(3)由(1)可知N3OC=/3AC+ZABO+ZACO

SZBOC=m°,ZBAC=n00ZABO+ZACO=ZBOC-ABAC=nf-n°

0BOt,CO,分别是ZABO,ZACO的2020等分线(i=1,2,3,…,2018,2019)

/acc—八_几°.50m°-50n°

回NA3。10Go+ZACO1000=2020X1°°°=而^

50m°+51n°

^ZBOiomC=ZBAC+ZABOlwo+ZACOlooo=~

【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质和角平分线的定义是

解题的关键.

模型2、风筝模型（鹰爪模型）

1）风筝（鹰爪）模型：结论：ZA+ZO=Z1+Z2；

2）风筝（鹰爪）模型（变形）：结论：ZA+Z0=Z2-Zlo

例1.（2023・四川达州・八年级期末）如图，Zl,Z2,N3分别是四边形ABCD的外角，判定下列大小关

系：①Nl+N3=ZABC+NO；@Z1+Z3<ZABC+ZD；（3）Zl+Z2+Z3=360°；④

Zl+Z2+Z3>360°.其中正确的是.（填序号）

【答案】①

【分析】根据多边形（三角形）的外角和为360。即可求解.

^Zl=ZABD+ZADB,Z3=ZDBC+ZBDC,

0Zl+Z3=ZABD+ZADB+ZDBC+ZBDC=ZABC+ZADC,故①正确，②不正确；

回多边形的外角和是360。，0Z1+Z2+Z3<36O°,故③④不正确，故答案为：①.

【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理、外角和性质，掌握以上知识，能正确添加辅助线构成三角形

是解题的关键.

例2.（2023春・河南南阳•八年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应任务.

在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图1,锐角/54C内部有一点。，在其两边AB和AC上各取任

意一点E,F,连接£>E,DF.求证：ABED+ADFC=ABAC+AEDF.

ZBED=ZBAD+ZEDA,NBAC=51。,NEDF=89。(量角器测量所得)，

ZDFC=ZDAC+ZADF（依据），ZBED+ZDFC=140°f

又回Z.BAD+ADAC=ABAC,ZBAC+ZEDF^140°（计算所得）.

ZEDA+ZADF=ZEDF,0ZBED+ZDFC=ZBAC+ZEDF（等量代换）.

回/BED+/DFC=/BAC+NEDF.

任务：⑴小丽证明过程中的"依据”是指数学定理：;

⑵下列说法正确的是.

A.小丽的证法用严谨的推理证明了该定理

B.小丽的证法还需要改变N54C的大小，再进行证明，该定理的证明才完整

C.小红的证法用特殊到一般的方法证明了该定理

D小红的证法只要将点。在N54C的内部任意移动100次，重新测量进行验证，就能证明该定理

⑶如图，若点。在锐角一胡C外部，£»与AC相交于点G,其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成

立，请说明理由；若不成立，请探索ZDFC,ABAC,NE/市之间的关系.

【答案】(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

(2)A(3)不成立，ZBED=ZBAC+ZDFC+Z.EDF

【分析】(])连接AD并延长至点根据三角形外角的性质解答即可；

(2)按照定理的证明的一般步骤，从已知出发经过量角器测量，计算，证明，即可得答案；

(3)根据三角形外角的性质得=尸C+NEDF,ABED=ABAC+AAGE,整理可得答案

【详解】(1)小丽证明过程中的"依据”是指数学定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的

和；

(2)根据定理证明的一般步骤，从已知出发经过量角器测量，计算，证明，故A正确；

(3)不成立，•.•ZAGE是AGD尸的一个外角，AAGE=ZDFC+ZEDF,

•.•々ED为△AEG的一个外角，ZBED=ZBAC+ZAGE,

:./BED=NBAC+NDFC+NEDF(或NBED-NDFC=NBAC+NEDF).

【点睛】本题考查了三角形的外角，解题的关键是掌握三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不

相邻的两个内角的和.

例3.(2022秋,山东青岛,八年级统考期末)三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于180。如

何证明这个定理呢？我们知道，平角是180。，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中

去，请根据如下条件，证明定理.

(1)【定理证明】

图①图②图③

已知：AASC如图①，求证：ZA+ZB+ZC=180°.

(2)【定理推论】如图②，在AABC中，有NA+/3+NC=180。，点。是3c延长线上一点，由平角的定

义可得NA8+NACB=180。，所以NACD=,从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角

等于与它不相邻的两个内角的和.

【初步运用】如图③，点。、E分别是AABC的边AB、AC延长线上一点.

(3)若/A=80°,ND3c=150。，贝l|NACB=.(4)若NA=80°,贝I]ND3C+NECB=.

【拓展延伸】如图④，点。、E分别是四边形ABPC的边AB、AC延长线上一点.

(5)若/A=80°,ZP=150°,贝l|ND3P+NECP=.

(6)分别作尸和/ECP的平分线即1、CN,如图⑤，若BM〃CN,则ZA和二尸的关系为

(7)分别作ND3尸和/ECP的平分线，交于点O,如图⑥，求出NZ,N。和NP的数量关系，说明理

由.

【答案】(1)见解析；(2)ZA+ZB；(3)70°；(4)260°；(5)230°；(6)ZA=ZP-,(7)

ZA+2ZO=ZP,理由见解析

【分析】(1)过点A作根据平行线的性质和平角的定义解决.

(2)根据三角形内角和定理和平角的定义即可解答.

(3)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可解答；

(4)根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可得=

根据三角形的内角和定理得NA+NAfiC+NACB=180。，以此即可求解.

(5)连接AP,根据三角形内角和定理的推论即可解答.

(6)过点尸作尸。〃3河，由(1)可知，ZDBP+AECP=ZA+ZBPC,贝|

；(NDBP+NECP)=；(ZA+NBPC),根据平行线和角平分线的性质可得g(/DBP+NECP)=ZBPC,贝I]

ZBPC=1(ZA+ZBPC),以此即可求解.

(7)由(1)可知，NDBP+NECP=ZA+NBPC,贝ug(ZDBP+NECP)=g(NA+NBPC),根据角平分线

的性质和四边形的内角和为360。即可求解.

【详解】(1)证明：如图，过点A作肱V〃BC,

^MN//BC,:.ZMAB=AB,NNAC=NC,

ZMAB+ZBAC+ZNAC=1WP,：.ZB+ZBAC+C=180°.

(2)ZA+ZB+ZACB=180°,ZACD+ZACB=18Q°,

:.ZACD=ZA+ZB.故答案为：ZA+Z.B.

(3)■.■ZDBC=ZA+ZACB,ZA=80°,ZDBC=150°,

ZACB=ZDBC-ZA=150°-80°=70°；故答案为：70。；

(4)-;ZDBC=ZA+ZACB,NECB=ZA+ZABC,:.ZDBC+ZECB=ZA+ZABC+ZA+ZACB,

•.•ZA+ZABC+ZACB=180。，ZA=80°,

・•./aBC+NECB=ZA+ZABC+ZA+ZAa?=180o+80o=260。.故答案为：260。.

(5)如图，连接AP,ZDBP=ZBAP+ZAPB,ZECP=ZCAP+ZAPC,

ZDBP+ZECP=NBAP+ZAPB+ZCAP+ZAPC,

•/ZBAP+ZCAP=ZA=80°,ZAPS+ZAPC=ZP=150°,

ZDBP+ZECP=ZA+ZP=80°+150°=230°.故答案为：230°.

(6)如图，过点尸作则尸。〃CN,

由(1)知，ZDBP+NECP=ZA+/BPC,A|(ZDBP+ZECP)=1(ZA+ZJBPC),

PQ//BM//CN,ZMBP=ZBPQ,ZNCP=ZCPQ,ZBPQ+ZCPQ=ZBPC=ZMBP+ZNCP,

•;BM、CN分别是ND3尸和NECP,1(ZDBP+ZECP)=ZMBP+ZNCP=ABPC,

.•.ZBPC=1(ZA+ZBPC),:.ZBPC=ZA.故答案为：ZA=ZP.

(7)ZA+2ZO=ZP,理由如下：

由(1)知，ZDBP+/ECP=ZA+/BPC,A|(ZDBP+ZECP)=1(ZA+ZBPC),

QOB、OC分别为4汨尸和/ECP的角平分线，

ZOBP+ZOCP=1(ZDBP+ZECP),:.NOBP+NOCP=g(NA+NBPC),

•.•NO3P+/OCP+(/360°—/3PC)+NO=360°,/.1(ZA+ZBPC)-ZBPC+ZO=0,

:.ZA+2ZO=ZBPC,SPZA+2ZO=ZP.

【点睛】本题考查三角形内角和定理的证明、三角形外角的性质、平行线的性质、角平分线的性质，根据

题干作出正确的辅助线是解题关键.

模型3、角内翻模型

条件：如图1,将三角形纸片ABC沿跖边折叠，当点C落在四边形ABPE内部时，结论：2ZC=Z1+Z2；

条件：如图2,将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2ZC=Z2-Zlo

例L（2023春•江苏镇江•七年级校考阶段练习）如图，ULBC中，ZA=67°,将"LBC沿OE翻折后，点A

落在BC边上的点A处，如果/A'EC=74。，那么NA75E的度数为.

【答案】60°

【分析】根据翻折性质求得4ND,再根据三角形的内角和定理求解即可.

【详解】解:由折叠性质得NDA'E=NA,ZAED^ZAED,

0ZA=67°,ZA，EC=74。,51ZDA'E=67°,ZArED=|ZA'EA=1（180°-74°）=53°,

0ZADE=180°-ZDAE-ZA'ED=180°-67°-53°=60°,故答案为：60°.

【点睛】本题考查翻折性质，三角形的内角和定理，熟练掌握翻折性质是解答的关键.

例2.（2022秋•辽宁抚顺・八年级统考期末）如图，在"1BC中，ZB=30°,将AABC沿直线机翻折，点8

落在点。的位置，则/I-/2的度数是（）

A.30°B.45°C.60°D.70°

【答案】C

【分析】由折叠的性质可得=ND=30。，再根据外角的性质即可求出结果.

【详解】解：将AABC沿直线机翻折，交BC于点E、F,如图所示：

由折叠的性质可知：ZB=ZD=3Q°,根据外角的性质可知：Z1=ZB+Z3,Z3=Z2+ZD,

.-.Z1=ZB+Z2+ZD=Z2+2ZB,.-.Zl-Z2=2ZB=60°,故选：C.

【点睛】本题考查三角形内角和定理、翻折变换的性质，熟练掌握三角形外角的性质和翻折的性质是解题

的关键.

例3.（2023春,重庆黔江,七年级统考期末）如图LAABC中，NA=64。，?B90?,NC=26。.点。是

AC边上的定点，点E在8c边上运动，沿DE折叠ACDE,折叠后点C落在点P处.下面我们来研究折叠

后的△DER有一边与原三角形A4BC的一边平行时ZADF的值.

图2

⑴首先我们来研究边DE.因为DE和AABC的AC、3c相交，所以只有一种可能的情况（如图2）,

DE//AB,此时NAD^=.

（2）其次，我们来研究边因为点E在3c上，所以所可能与AABC的边A3、AC边分别平行.

当EF〃AB时（如下图），则.

当EF〃AC时（如下图），则/40尸=.

⑶最后，我们来研究边FD.因为点。在AC上，所以FD可能与AABC的边A3、8C边分别平行.

当FD〃A3时，ZADF=.当即〃3c时，ZADF=.

【答案】⑴52°（2）142。或38。；26°⑶64。或116°；26°

【分析】（1）根据折叠的性质得出"EE=NC=26。，再根据外角的性质得出NAZZFu/OEE+NC计算得

出结论即可；（2）当所〃AB时，分情况求出NAD尸的度数，当跖〃AC时，根据平行线的性质直接得出

NADF的度数即可；（3）当FD〃AB时，分情况求出NAT中的度数，当ED〃3c时，根据平行线的性质

直接得出NA/m的度数即可.

【详解】（1）解：由题意知，ZDFE=ZC=26°,

0ZADF=ZDFE+ZC=26°+26°=52°,故答案为：52°；

（2）解：当。〃帅（1）时（如图3）,

0ZF+ZEMF=9O°,ZF=ZC,ZC+ZA=90°,ZEMF=ZDMB=ZA=64°,

回ZADF=180°-ZA-ZB-ZDMB=360°-64°-90°-64°=142°；

当EF〃AB（2）时，0ZAA^=ZA=64°,ZF=ZC=26°,

S!ZADF=ZANF-ZF=64°-26°=38°,故答案为：142。或38°；

当EF〃AC时，ZADF=ZF=ZC=26°,故答案为：26。；

（3）解：当即〃AB时，/4。/=/4=64。或//4£＞歹=180。一/4=116。，故答案为：64。或116。；

当FD〃3c时，ZADF=ZC=26°,故答案为：26。.

【点睛】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握折叠的性质和平行线的性质及三角形内角和是180。等知

识是解题的关键.

例4.（2023•湖北武汉•八年级校考阶段练习）（1）如图，将/A4c沿OE折叠，使点A落在/BAC的内部

的点M处，当NA=50。，ZBDM=30°^,求NCEN的度数；

（2）如图，将/BAC沿£＞后折叠，使点A落在NA4c的外部的点M处.求图中2,ZBDM,

NCEM之间的数量关系；（3）如图，将/A、ZB一起沿所折叠，使点A、点B的对应点M、N分别

落在射线3。的左右两侧，ZCEM,ZDFN,NA、/B的数量关系一.（直接写结果，不需要过程）

【答案】（1）70°,（2）2ZA=NBDM-NCEM,（3）2（ZA+ZB）=Z.CEM-Z.DFN+360°

【分析】（1）根据翻折的性质表示出/3、Z4,再根据三角形的内角和定理列式整理即可得

2ZA=Z1+Z2,问题随之得解；（2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出N3、Z4,再根据三角形

的内角和定理列式整理即可得解；（3）先根据翻折的性质表示出/3、N4,再根据四边形的内角和定理列

式整理即可得解.

【详解】解：(1)如图，ZBDM=4,ZCEM=Z2,ZADE=Z3,ZAED=/4,

El翻折，EZ3=ZEDM=-(18O°-Z1),Z4=ADEM=-(180°-Z2),

22

0ZA+Z3+Z4=18O°,ZA=5O°,Z1=ZBDM=30°,

0ZA+1(18O°-Z1)+1(18O0-Z2)=18O°,整理得，2NA=/1+N2,

0ZA=5O°,Zl=ZBDM=30°,0Z2=2ZA-Z1=7O°,即NC£M=70°；

(2)如图，ZBDM=Z\,/CEM=Z2,ZADE=Z3,ZAED=Z4,

团翻折，EZ3=Z£DM=1(180°-Zl),Z4=ZMED=1(180°+Z2),

0ZA+Z3+Z4=18O°,0ZA+-(180°-Zl)+-(180°+Z2)=180°,

22

整理得，2ZA=Z1-Z2,BP2ZA=ABDM-ZCEM；故答案为：2ZA=ZBDM-ZCEM■,

(3)如图，ZCEM=Zl,ZDFN=Z2,ZAEF=Z3,NBFE=N4,

回翻折，fflZ3=ZFEM=1(180°-Zl),Z4=ZNFE=1(180°+Z2),

oo

0ZA+ZS+Z3+Z4=36O°,0ZA+ZJB+1(180-Zl)+1(180+Z2)=360°,

整理得，2(ZA+ZB)=Z1-Z2+36O°,即2(ZA+NB)=/CW-/ZW+360。.

【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，翻折的性质，熟练掌握折痕是角平分线，三角形的内角和

是180。，是解题的关键.

课后专项训练

1.(2023•四川绵阳•八年级校考期中)如图，AABC中，ZC=90°,将AABC沿DE折叠，使得点B落在

AC边上的点/处，若NCFD=60。且NA£F=NAFE,则/A的度数为()

【答案】B

【分析】平角的定义，求出NARD的度数，翻折，得到=等边对等角，得到

ZAFE=1(180°-ZA),三角形内角和定理，得到NDEE=NB=90O-NA,再根据NAED=

列式求解即可.

【详解】解：EIAABC中，ZC=90°,13ZB=90o-ZA,

回将AABC沿OE折叠，使得点8落在AC边上的点尸处，0ZZJFE=ZB=90°-ZA,

0ZCfZ)=60°,0ZAED=12O°,^\ZAEF=ZAFE,0ZAFE=^(180°-ZA),

EIZAa=ZAfE+N£)PE=90°-ZA+g(180°-ZA)=120°,0ZA=4O°；故选B.

【点睛】本题考查与折叠有关的三角形的内角和问题，等边对等角.解题关键是理清角度之间的等量关

系.

2.(2023•河南安阳•八年级校考期中)如图，把0ABe纸片沿DE折叠，当点A落在四边形8CE。的外部

时，则0A与加和团2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是()

B

A.20A=01-02B.3EIA=2（Ell-02）C.30A=201-EI2D.EA=01-02

【答案】A

【分析】根据折叠的性质可得NA=NA',根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得到

Z1=ZDOA+ZA,ZDOA=Z2+ZA,然后列式整理即可得解.

【详解】解：根据折叠的性质，得NA=N/V.在△AQD中，Z1=ZDOA+ZA,

在AAOE中，ZD（M=Z2+ZA,,囱N1=ZA'+N2+ZA,SP2ZA=Z1-Z2.故选A.

【点睛】本题考查了三角形外角的性质以及折叠的性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内

角的和的性质把角与角之间联系起来是解题的关键.

3.（2023秋・重庆开州•八年级统考期末）如图，将AABC沿BE翻折交AC于点。，又将△3CD沿碗翻

折，点C落在8E上的C'处，其中NA'=18。，/C'DB=68。，则原三角形中NC的度数为（）

A

A.87°B.75°C.85°D.70°

【答案】A

【分析】设/C3D=x°,由翻折得？AfiE1A</BE?CBDx?,根据三角形内角和得到

180-18-3x=180-68-x,求出x=25,再利用三角形内角和求出/C的度数.

【详解】解：设NCBD=x。，由翻折得？ABE?A!^E1CBDX!

0?A?418?,?CDB?CbB687E180-18-3x=180-68-x解得x=25,

ABElAf/BE?CBD25?回加C=3x=75°回？C180?7A?ABC87?故选：A.

【点睛】此题考查了翻折的性质，三角形内角和定理，一元一次方程，正确掌握翻折的性质是解题的关

键.

4.（2023•广东八年级课时练习）如图，在AABC中，NB=28。，将AABC沿直线机翻折，点8落在点。

【分析】根据折叠得出&0=&8=28。，根据三角形的外角性质得出回l=aB+aBERSBEF^2+SD,求出

回1=回2+[32+回。即可.

【详解】解：如图，

盟8=28。，将AABC沿直线机翻折，点8落在点。的位置，回SD=aB=28。，

001=0B+EB£F,国2£尸=回2+回£>,团回]=02+团2+团。，

0E1-02=0B+EI£>=28O+28O=56O,故答案为：56°.

【点睛】本题考查了三角形的外角性质和折叠的性质，能熟记三角形的外角性质是解此题的关键，注意:

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

5.（2023•河南平顶山•八年级统考期末）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接

AB.BC、CD、DE、EA,若/BCD=80°,贝UZA+ZB+ZE>+/E=

A

E

C

D

【答案】260。/260度

【分析】连接80,利用四边形内角和定理和三角形内角和定理计算即可.

【详解】如图，连接8。，

则ZA+ZABC+/CBD+/CDB+NCDE+NE=360。,Z.CBD+Z.CDB+Z.BCD=180°,

0Z.BCD=80°,0NCBD+NCDB=100°,

0ZA+ZABC+ZCDE+ZE=36OO-1OOO=26O°,故答案为：260。.

【点睛】本题考查了四边形内角和定理和三角形内角和定理，熟练掌握两个定理是解题的关键.

6.（2023秋•浙江•八年级专题练习）如图，在AABC中，C£＞是A3边上的高，点E,尸分别是AB,AC边

上的点，连接所，将AAE尸沿着跖翻折，使点A与2c边上的点G重合，若NEGB=90°,

ZDCB+ZCFG=82°,则—ACD的度数为.

【答案】49°/49度

【分析】利用三角形内角和求出ZBEG=ZDCB,结合已知得到NBEG+NCFG=82。，可求得

ZAFG+ZAEG=m°,再根据折叠的性质，可得ZAFE=gZAFG,ZAEF=^ZAEG,进一步求出NA,再利

用三角形内角和求出结果.

【详解】解：团8是A3边上的高，/EGB=90°,51ZBDC=ZADC=ZBGE=90°,

EIZB=ZB,0NBEG=NDCB,0NDCB+NCFG=82°,0ZBEG+ZCFG=82°,

0ZAFG+ZAEG=18O0x2-82°=278°,由折叠可得：ZAFE=^ZAFG,ZAEF=^ZAEG,

0ZAFE+ZAEF=；(NAFG+ZAEG)=139°,ElNA=180°-139°=41°,

0ZACD=1800-ZAZ)C-ZA=49°,故答案为：49°.

【点睛】本题考查了三角形内角和，折叠的性质，三角形的高，图中线段较多，解题的关键是理清角之间

的关系，根据折叠得到相等的角.

7.(2023春•江苏镇江•七年级校考阶段练习)如图，中，NA=67。，将AABC沿OE翻折后，点A落

在5c边上的点A处，如果NA'EC=74。，那么/dDE的度数为.

【答案】60760a

【分析】根据翻折性质求得NAED,再根据三角形的内角和定理求解即可.

【详解】解：由折叠性质得mVE=ZA,ZAED=ZAED,

0ZA=67°,ZA'EC=74°,回/"'£=67°,ZA'ED=|ZA^=1(180°-74°)=53°,

0ZA/DE=180°-ZDAE-ZAED=180°-67°-53°=60°,故答案为：60°.

【点睛】本题考查翻折性质，三角形的内角和定理，熟练掌握翻折性质是解答的关键.

8.(2023•湖南永州•八年级统考期中)如图，若△OAD回△QBC,且/O=60。，ZC=20°,则

ZOAD^.

O

【答案】1007100M

【分析】根据三角形内角和求得N08C=100。，再根据全等三角形的性质得/Q4D=NOBC=100°即可.

【详解】解：EZO=60°,ZC=20°,0ZOBC=100°,

又回△Q4D回△O3C,0Zft4D=ZOBC=lOO0.故答案为：100°.

【点睛】本题考查三角形内角和及全等三角形的性质，解题关键是理解全等三角形的对应角相等.

9.（2023春四川,七年级统考期末）在四边形ABCD中，ZA=98°,ZD=140°.

图1图2图3

(1)如图1,若NB=NC,贝度；

(2)如图2,作ZBCD的平分线CE交A3与点E,^CE//AD,求—8的度数；

(3)如图3,作—ABC和/DCB的平分线交于点E,求—3EC的度数.

【答案】⑴61。⑵42。(3)119°

【分析】(1)根据四边形内角和，ZA=98°,ZD=14O。求出NB+NC的值即可求解；

(2)根据平行的性质及角平分线求出NECB=40。，NCEB=98。,结合三角形内角和定理即可求解;

(3)根据角平分线求出NEBC+NECB=61。，再利用三角形内角和定理求解.

【详解】(1)解：在四边形ABCD中，ZA+ZS+ZC+ZD=360°,

•/ZA=98°,ZD=140°,ZB+ZC=360°-98°-140°=122°,

-.-ZB=ZC,.­.ZB=-xl22°=61°；

J2

(2)解:■.■CE//AD,:.ZCEB^ZA=98°,ZD+ZDCE=180°,

ZDCE=180°-ZD=l80°-140°=40°,

CE平分ZBCD,ZECB=ZDCE=40°,

在.BCE中，ZB+NBCE+NCEB=180°,

.-.ZB=180°-Z,CEB-Z.BCE=180°-98°-40°=42°；

(3)解:由(1)可知/ABC+/BCD=122。，

BE平分/ABC,CE平分ZBCD,

ZEBC=-ZABC,ZECB=-ZBCD,

22

NEBC+ZECB=-ZABC+-ZBCD=-(ZABC+ZBCD)=-xl22°=61°,

222''2

.•.ZBEC=180o-(Z£BC+ZECB)=180o-61o=119°.

【点睛】本题考查多边形内角和，三角形内角和，角平分线的定义，平行性质，掌握相关定理性质是关

键.

10.（2023•浙江杭州•八年级专题练习）（2018十三中开学考）已知，在AABC中，0A=6O°,

（1）如图①，I3ABC和回ACB的角平分线交于点O,则回BOC=；

（2）如图②，回ABC和回ACB的三等分线分别对应交于点Oi,5,则/BCC=;

（3）如图③，团ABC和回ACB的〃等分线分别对应交于点Ch,。2,…,O,T（内部有n-1个点）,则

（4）如图③，团ABC和回ACB的〃等分线分别对应交于点Ch,Ch,…，若NBO,TC=90。，求〃的

值.

【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可求出回ABC+回ABC,然后根据角平分线的定义即可求出回OBC+

0OCB,再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（2）根据三角形的内角和定理即可求出回ABC+回ABC,

然后根据三等分线的定义即可求出回O2BC+国O2CB,再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（3）根据三

角形的内角和定理即可求出回ABC+回ABC,然后根据〃等分线的定义即可求出回0-iBC+团On—iCB,再根据三

角形的内角和定理即可求出结论；（4）根据（3）的结论列出方程即可求出结论.

【详解】解：（1）国在&43C中，囿4=60°,00ABC+EABC=18O°-0A=12O°

EBABC和I3ACB的角平分线交于点。，EEOBC=^-E1ABC,0OCB=yElACB

03C）BC+EIC）CB=1■回ABC+；回ACB=：（0ABC+0ACB）=60°

00BOC=18O°-（0OBC+EOCB）=120°故答案为：120°.

（2）团在AABC中，0A=6O°,00ABC+0ABC=18O0-0A=12O°

瓯ABC和回ACB的三等分线分别对应交于点Oi,。2,

22222

回回02BC=§回ABC,回02cB回ACB回团O2BC+回02cB回ABC+§回ACB=§（回ABC+回ACB）=80°

团/5。2。=180°—(0O2BC+0O2CB)=100°故答案为：100°.

(3)团在AABC中，0A=6O°,fflABC+0ABC=18O°-0A=12O°

加ABC和团ACB的n等分线分别对应交于点。1,02,%

n-1n-1

MO-iBC=——团ABC,团On—1CB二——回ACB

nnn

,n-1,n-1n-l/,、120及一120

加0n-iBC+00n-iCB=——回ABCT——回ACB二——(团ABC+团ACB)

nnnIn

60〃+120）。工二林460〃+120)。

=180°-(团O2BC+回O2CB)--------P故答案为A:L

Inn

60n+120、门

(4)由(3)知：NBO〃TC=

n

回60〃+120=90解得:"4经检验：n=4是原方程的解.

n

【点睛】本题考查了n等分线的定义和三角形的内角和定理，掌握n等分线的定义和三角形的内角和定理

是解决此题的关键.

11.（2023•北京•一模）在课外活动中，我们要研究一种凹四边形一一燕尾四边形的性质.

定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四

边形（如图1）.

(1)根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号）

②③

定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）.

c

32

特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形.

小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究.

下面是小洁的探究过程，请补充完整：（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性

质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；（3）如图2,在燕尾四边形ABC。中，AB=A