2024苏科版七年级数学下册题型专训：乘法公式【十大题型】（含答案）

乘法公式【十大题型】

【苏科版2024］

A题型梳理

【题型1利用乘法公式进行简便运算】...........................................................1

【题型2利用乘法公式求代数式的值】...........................................................1

【题型3由完全平分式求字母的值】.............................................................2

【题型4平方差公式的几何背景】...............................................................2

【题型5完全平方公式的几何背景】.............................................................4

【题型6乘法公式的应用】......................................................................5

【题型7乘法公式的证明】......................................................................6

【题型8由乘法公式求最值】....................................................................8

【题型9乘法公式的规律探究】..................................................................8

【题型10乘法公式中的新定义问题】.............................................................9

►举一反三1

【题型1利用乘法公式进行简便运算】

【例1】（23-24七年级.江苏盐城•期中）用简便方法计算：502-49x51=.

【变式1-1］（23-24七年级•宁夏银川•阶段练习）计算：

（1）99x101；

（2）200M_1.

【变式1-2】（23-24七年级•上海徐汇・阶段练习）计算：2O192_^OX2O18=----------------------

【变式1-3］（23-24七年级.湖南怀化.期末）计算：1012+｛（1-5）（1-蠢）（1-靠）…（1-七）（1-

20232刀-------

【题型2利用乘法公式求代数式的值】

【例2】（23-24七年级・重庆渝中•阶段练习）已知/=2y+5,户2x+5（*y）,则J+2xy+V的值为—.

【变式2-1］（23-24七年级•山东聊城・期末）若％+2y=8,x2+4y2=36,贝ky=.

【变式2-2］（23-24七年级.江苏盐城•期中）如果小一2a=1,那么代数式或a—2）+（a-1产的值为（）

A.-1B.1C.3D.2

【变式2-3］（23-24七年级.重庆北倍・期末）已知a,b满足（a?+1）（6?+4）=8ab,则a（b+£）=.

【题型3由完全平分式求字母的值】

［例3］（23-24七年级•全国•课后作业）若多项式4/+Q+1是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项

式Q是.

【变式3-1］（23-24七年级•山东青岛・期末）若/—依+36是一个完全平方式，则/c=.

【变式3-2］（23-24七年级.陕西宝鸡•期末）已知/+2（k+l）x+16是一个完全平方式，则k的值为（）

A.2B.3或一5C.1D.±2

【变式3-3］（23-24七年级•上海长宁•期中）填空：已知多项式/+/+是一个完全平方.（请在横线

上填上所以的适当的单项式.）

【题型4平方差公式的几何背景】

【例4】（23-24七年级•安徽六安•期中）如图，边长为。的大正方形是由1个边长为6的小正方形和4个形

状大小完全相同的梯形组成.

（1）用含a,6的代数式表示其中一个梯形的面积：；

（2）请用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，由此，你能得到一个怎样的公式？

【变式4-1］（23-24七年级•浙江杭州•期中）两个大小不一的正方形①和②如图1放置时，4B=a,CD=b.现

有①和②两种正方形各四个，摆放成如图2所示形状，那么阴影部分的面积可用a,b表不为（）

B.D.ab

【变式4-2］（23-24七年级•陕西咸阳•阶段练习）【知识生成】

（1）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为a的正方形中剪掉

一个边长为b的正方形如图1,然后将剩余部分拼成一个长方形如图2.图1中剩余部分的面积为,图2

的面积为，请写出这个代数恒等式；

【知识应用】

(2)应用(1)中的公式，完成下面任务：若小是不为0的有理数，已知P=(a+2a)(a-2nI),Q=

(a+m)(a—m),比较P、Q大小；

【知识迁移】

(3)事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个边长为x的正方体挖

去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，通过计算写出一个代数恒等式.

【变式4-3](23-24七年级.河南濮阳•阶段练习)如图1,边长为a的大正方形内有一个边长为6的小正方形.

长

(1)用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为;

(2)将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形

的面积为;(多项式乘积的形式)

(3)比较图1和图2的阴影部分面积，请你写出一个整式乘法的公式；

(4)结合(3)的公式，计算：①(％-2)(%+2)(公+4)；

②(1+9(1+/)I+()(1+。)+亲

【拓展】

直接写出(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)-(232+1)+1结果的个位数字.

【题型5完全平方公式的几何背景】

【例5】（23-24七年级.江苏扬州.阶段练习）我们知道，通过几何图形的面积可以表示一些代数慎等式.

例如：如图1得到（a+b'）2=a2+2ab+b2,基于此，请回答下列问题.

若％+y=3,x2+y2=5,贝！|孙=

（2）【类比应用】

若x(3-x)=1,则+(3—x)2

（3）【知识迁移】

两块完全一样的直角三角板（乙4。8=NCOD=90。）如图2放置，其中A,O,。在一条直线上，连接

AC,BD.若力。=16,AaOC和△BOD的面积和SAM；+SABOD=68,求四边形ABC。的面积.

【变式5-1]（23-24七年级.江苏宿迁•期末）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1,已

知点”为力E的中点，连接川/、FH,将乙纸片放到甲的内部得到图2,已知甲、乙两个正方形边长之和为

12,图2的阴影部分面积为10,则图1的阴影部分面积为（

A.24B.2941D.45

【变式5-2]（23-24七年级•浙江杭州•期中）在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长

为a,宽为b,a>b）搭成如图一个大正方形，面积为132,中间空缺的小正方形的面积为28.下列结论

中，不正确的有（）

A.(a—b)2=28；B.ab=26

C.a2+b280D.a2—b2=64

【变式5-3](23-24七年级•安徽合肥•期中)某些等式可以根据几何图形的面积关系进行解释，例如，等式

(2a+b)(a+b)=202+3仍+。2就可以用图(1)的面积关系来解释：图(1)的面积为(2a+6)(a+b),

各部分的面积之和为2a2+3ab+b2,故(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2.

(1)根据图(2)的面积关系可以解释的一个等式为；

(2)已知等式(x+p)(x+q)=/+(p+q)x+pq,请你画出一个相应的几何图形;

(3)请你设计一个几何图形，并解释：(a+b)(a-6)=a?-。2.

【题型6乘法公式的应用】

【例6】(23-24七年级•山东青岛•期中)已知长方形金鱼池的面积为1平方米，周长为6米，以长方形鱼池

相邻两边向外作正方形的小花园，则两个正方形小花园面积之和是.

小花同

金鱼池小佗同

【变式6-1](23-24七年级•湖南邵阳•期中)如图，某校一块边长为2am的正方形空地是七年级四个班的清

洁区，其中分给七年级(1)班的清洁区是一块边长为(a-2b)m的正方形.(0<26<a)

⑴分别求出七年级（2）班、七年级（3）班的清洁区的面积.

（2）七年级（4）班的清洁区的面积比七年级（1）班的清洁区的面积多多少？

【变式6-2］（23-24七年级.浙江温州•期中）学校为迎接艺术节，准备在一个正方形空地4BCD上搭建一个表

演舞台，如图所示，正中间是“红五月”三个正方形平台.其中“五”字正方形和“月”字正方形边长均为a米，

“红”字正方形边长为b米.I号区域布置造型背景，II号区域设置为乐队演奏席.

D

BC

（1）用含a,b的代数式表示阴影部分的面积（即I和II面积之和）并化简；

（2）若阴影部分的面积（即I和H面积之和）为288平方米，且a+b=20米，求“红”字正方形边长6的值.

【变式6-3］（23-24七年级•广东佛山•期中）某楼盘推出“主房+多变入户花园”的两种户型.即在图1中边长

为a米的正方形主房进行改造.户型一是在主房两侧均加长b米（0<6<a）.阴影部分作为入户花园，如

图2所示.户型二是在主房一边减少b米后，另一边再增加6米，阴影部分作为入户花园，如图3所示，设

户型一与户型二的主房面积之差为M,入户花园的面积之差为N.请计算M-N.

图3

【题型7乘法公式的证明】

【例7】（23-24七年级•辽宁沈阳•期末）如图，将大正方形通过剪、害h拼后分解成新的图形，利用等面积

法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能够验证平方差公式的是（）

【变式7-1]（23-24七年级•山西吕梁・期末）初中数学中很多公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行

直观推导和解释，如图，请你利用这个图形的几何意义证明某个数学公式.

（1）利用这个图形可以证明的数学公式是;

（2）在证明（1）中数学公式的过程中，渗透的主要数学思想是什么？

（3）请你写出完整的证明过程.

【变式7-2]（23-24七年级.江苏南京.期末）（1）求证：（a?++d?）=（ac-bd）?+（ad+6c）2.

（2）已知41x53=2173,证明2173是两个正整数的平方之和.

【变式7-3]（23-24七年级.山东聊城•期末）如图1,△力8c中，NC=90。，乙4、4B、NC的对边分别记为

a、b、C.

小聪和小明用八张这样的三角形纸片拼出了如图2所示的正方形.

(1)在图2中，正方形CDEF的面积可表示为正方形〃KL的面积可表示为“用含a,b的式子表示)

(2)请结合图2,用面积法说明(a+6)2,ab,(a-匕尸三者之间的等量关系.

实验二：

小聪和小明分别用四个这样三角形纸片拼成了如图3所示的图形.他们根据面积法得到了一个关于边小反

c的等式，整理后发现，a2+b2=c2.

(3)请你用面积法证明：a2+b2=c2.

【题型8由乘法公式求最值】

【例8】(23-24-江苏南通•二模)已知实数a,。满足a?+ab+b?=1,若2=出)+24+26,则p的最小值

为.

【变式8-1](23-24七年级•山东威海•期中)当多项式--一;久+；存在最大值时，尤的值为.

【变式8-2](23-24七年级•江苏常州•期末)已知：x+y=12,则代数式3『+y2的最小值为

【变式8-3]⑵-24七年级•全国・竞赛)已知实数a,b满足a?-2a+66=5,贝必+3b的最大值为.

【题型9乘法公式的规律探究】

【例9】(23-24七年级•宁夏银川•期末)观察下列等式，并回答问题.

4X1=22-02,

4x2=32-I2,

4x3=42-22,

4x4=52-32,

(1)将2024写成两整数平方差的形式:

2024=4X=-

(2)用含有字母TI(九21的整数)的等式表示这一规律，并用己学的知识验证这一规律.

(3)相邻的两个整数的平方差一定是4的倍数吗？请说说你的理由.

【变式9-1](23-24•辽宁大连•一模)如图，用大小相同的小正方形拼图形，第1个图形是一个小正方形；第

2个图形由9个小正方形拼成；第3个图形由25个小正方形拼成，依此规律，若第〃个图形比第(小1)个

【变式9-2](23-24七年级•河南周口•阶段练习)仔细观察，探索规律：

(l)(a—b)(a+b)=a2—b2；

(a—/?)(a2+ab+fa2)=a3—b3；

(a—b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4—b4.

①(a-b)(an-1+an~2b+—Fabn~2+bn~1')=(其中n为正整数，且n>2)；

②(2-1)x(2+1)=；

③(2-1)X(22+2+1)=；

@(2-1)x(23+22+2+1)=；

⑤(2-1)x(2Z+2n-+…+2+1)=；

(2)根据上述规律求22023+22022+...+2+1的值；

(3)根据上述规律：29-28+27--+23-22+2的值为.

【变式9-3](23-24七年级.河南郑州.期末)观察下列各式:152=225,252=625,352=1225,…

(1)个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数有什么规律？

(2)如果一个两位数的个位数字为5,十位数字为w(1W几W9且"为整数)，请你借助代数式解释(1)中

的规律.

(3)如果把三位数595看成十位数字为“59”个位数字为“5”的“两位数”，请利用发现的规律计算5952,要求写

清计算过程及结果.

【题型10乘法公式中的新定义问题】

【例10】(23-24七年级•辽宁沈阳•期末)定义：对于一组多项式：x+a,x+b,x+c{a,b,c都是非零常

数)，当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差除以尤是一个常数机时，称这样的三个多项式

是一组和谐多项式，，〃的值是这组和谐多项式的和谐值.例如：对于多项式无+1,x+2,x+4,因为

[(%+2)2—(%+1)(%+4)]4-%=-1,所以x+1,x+2,久+4是一组和谐多项式，和谐值为—1.

(1)小明发现多项式x+3,x+6,久+12是一组和谐多项式，求其和谐值；

(2)若多项式久-2,x+3,x+p(p为非零常数)是一组和谐多项式，求p的值.

【变式10-11(23-24・四川泸州•模拟预测)如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们把这个数叫做“幸

福数”，如32-I?=8,则8就为“幸福数”，下列数中为“幸福数”的是()

A.502B.520C.525D.205

【变式10-2](23-24七年级•安徽六安・期末)如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该

正整数为“和谐数”如(8=32—P,16=52—32,即8,16均为“和谐数”),在不超过2024的正整数中，

所有的“和谐数”之和为()

A.257048B.257024C.255048D.255024

【变式10-3](23-24七年级•山东威海.期末)问题提出：

(1)数学课上王老师在黑板上写了如下式子：

a=(2+1)=2+1)(24+1)…(22°48+1)

小丽同学想到刚学的平方差公式，她的方法是：

a=1X(2+1)(22+1)(24+1)-(22048+1)=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)-(22048+1),

求出a=_.

问题解决：(2)请借鉴小丽的方法求出6的值.

b=(3+1)(32+1)(34+1)---(31024+1)

迁移应用：定义一种新运算：产=—i.

(3)(2+3i)(2-3i)=.

(4)求[1+(2i)2][l+(2i)4][l+(2i)8]-[1+(2i)256][l+⑵严]的值.

参考答案与试题解析

乘法公式【十大题型】

【苏科版2024]

＞题型梳理

【题型1利用乘法公式进行简便运算】...........................................................1

【题型2利用乘法公式求代数式的值1...........................................................1

【题型3由完全平分式求字母的值】.............................................................2

【题型4平方差公式的几何背景】...............................................................2

【题型5完全平方公式的几何背景】.............................................................4

【题型6乘法公式的应用】......................................................................5

【题型7乘法公式的证明】......................................................................6

【题型8由乘法公式求最值】....................................................................8

【题型9乘法公式的规律探究】..................................................................8

【题型10乘法公式中的新定义问题】.............................................................9

►举一反三

【题型1利用乘法公式进行简便运算】

【例1】(23-24七年级•江苏盐城•期中)用简便方法计算：502—49x51=—

【答案】1

【分析】考查平方差公式的相关应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键；

按照平方差公式将49x51进行转化为(50-l)x(50+1),即可简便计算结果.

【详解】502-49X51

=502-(50-1)x(50+1)

=502-(502-1)

=502-502+1

=1.

故答案为：1.

【变式1-1](23-24七年级•宁夏银川•阶段练习)计算：

(1)99x101；

(2)200M_1.

【答案】⑴9999

(2)4004000

【分析】本题考查平方差公式，(1)利用平方差公式进行计算即可;

(2)利用平方差公式进行计算即可.

【详解】(1)解：原式=(100-1)(100+1)

=1002-I2

=10000-1

=9999；

(2)解：原式(2001+1)(2001—1)

=2002x2000

=4004000.

2019

【变式1-2】(23-24七年级•上海徐汇•阶段练习)计算:

20192-2020X2018

【答案】2019.

【分析】原式利用数的变形化为平方差公式2020x2018=(2019+1)(2019-1)=20192-1,计算即可求

出值.

【详解】解：V2020x2018=(2019+1)(2019-1)=20192-1

_____竺炉____=____些____=理=2019

2O192-2O2OX2O1820192-(20192-1)1

故答案是：2019.

【点睛】此题考查了用平方差公式进行简便计算，熟悉公式特点是解本题的关键.

【变式1-3](23-24七年级•湖南怀化.期末)计算：1012+{(1)(1—*)(1—…(1—元轰)(1—

【答案】2023

【分析】利用平方差公式将变形为(1-£)(1+；),通过相邻的项约分化简即可求解.

【详解】解：1012+*)(1-*)-(1-感)(1-募)}=

=1012-{(1-0(1+1)(1-1)(!+枳1-*1+-1-募)(1+募)(1-康)(1+盍)}=

324352021202320222024'

1012+-X-X-X-X-X...X-------X--------X--------X--------

233442022202220232023,

1012+*盥)

1012

=1012+

2023

2023

=1012x

1012

=2023

故答案为：2023.

【点睛】本题考查利用平方差公式进行简便运算，解题的关键是将1-*变形为(1-£)(1+；).

【题型2利用乘法公式求代数式的值】

【例2】(23-24七年级・重庆渝中•阶段练习)已知f=2y+5,y2=2x+5(x^y),则丁+24+^的值为.

【答案】-12

【分析】首先根据题意得出/-y2=(%+y)(x一y)=2(y-%)且/+y2=2(%+y)+10,从而进一步得

出％+y=-2,由此进一步求出%y的值，最后再通过将所求式子分解为(％+y)(x2+y2-xy)+2进一步计

算即可.

【详解】Vx2=2y+5,y2=2%+5,

/.x2—y2=(%+y)(x—y)=2(y—%),%2+y2=2(%+y)+10,

Vx中y,而(％+y)(x—y)=2(y—%),

.*.x4-y=-2,

.*.x2+y2=2(%+y)+10=6=(%+y)2—2xy,

.*.xy=­1,

/.X3+2%2y2+y3=(%+y)(%2_|_y2_盯)+2=—2x7+2=-12,

故答案为：—12.

【点睛】本题主要考查了乘法公式的综合运用，熟练掌握相关公式及方法是解题关键.

【变式2-1](23-24七年级•山东聊城・期末)若久+2y=8,x2+4y2=36,贝ky=.

【答案】7

【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.根据完全平方公式进行计算即

可.

【详解】解：％+2y=8,%2+4y2=36,

(%+2y尸=64,

•••x2+4xy+4y2=64,

・•.xy=7,

故答案为：7.

【变式2-2](23-24七年级•江苏盐城•期中)如果a?—2a=1,那么代数式a(a—2)+(a—1产的值为()

A.-1B.1C.3D.2

【答案】C

【分析】本题考查了整式的化简求值；分别利用单项式乘多项式法则与完全平方公式展开，再合并同类项，

最后整体代入即可.

【详解】解：a(a—2)+(a—l)2

=a2-2Q+a2—2a+1

=2a2一4a+1

=2(。2—2a)+1；

当小-2a=1时

原式=2x1+1

=3.

故选：C.

【变式2-3](23-24七年级•重庆北倍•期末)已知a,b满足(a?+1)(炉+4)=8ab,贝卜(。+£)=.

【答案】|

【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.由(a-1)220,(6-2尸20,

(a2+1)(62+4)=8ab,得a=1,b=2,代入求解即可.

【详解】解：•・•3—1)2NO3—2)2之0,

Aa24-1>2a,h24-4>4b,当a=l及b=2时，等号成立，

(a2+1)(62+4)>Bab,当a=1及，=2时,等号成立，

V(a2+l)(62+4)=8ah,

a=1,b=2,

.-.a(h+i)=lx(2+j)=j.

故答案为：|.

【题型3由完全平分式求字母的值】

【例3】(23-24七年级.全国•课后作业)若多项式4/+Q+1是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项

式Q是.

【答案】±4x,4x",-1,-4/

【分析】根据题意可知本题是考查完全平方式，设这个单项式为Q,①如果这里首末两项是2x和1这两个数

的平方，那么中间一项为加上或减去2x和1积的2倍，故Q=±4x;②如果如果这里首末两项是Q和1,则

乘积项是4/=2x2x2,所以Q=4X4

【详解】解：,；4X2+1±4X=(2X±1)2

4/+1+4/=(2/+1)2;

加上的单项式可以是±4x,-4/中任意一个，

故答案为：±4x,4x,,-1,-Ax2

【点睛】本题主要考查完全公式的有关知识，根据已知两个项分类讨论求出第三项是解题的关键.

【变式3-1](23-24七年级•山东青岛•期末)若比2—依+36是一个完全平方式，则/c=.

【答案】±12

【分析】本题主要考查完全平方式，利用完全平方式的结构特征即可求出结果.

【详解】解：x2-kx+36是一个完全平方式

即(*±6)2—x2+12x+36

k=±12

故答案为：±12.

【变式3-2](23-24七年级•陕西宝鸡•期末)已知/+2世+1)*+16是一个完全平方式，则k的值为()

A.2B.3或一5C.1D.±2

【答案】B

【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.利用完全平方公式的结构特征判

断即可确定出k的值.

【详解】解：+21k+l)x+16是一个完全平方式，

；.2(k+1)=±4x2,

解得：卜=3或4=一5,

故选：B.

【变式3-3](23-24七年级•上海长宁•期中)填空：已知多项式/+/+是一个完全平方.(请在横线

上填上所以的适当的单项式.)

【答案】[2/

44

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可.

【详解】解：完全平方公式(。+5)2=小+2勘+/,分情况讨论：

(1)当％4相当于2ab项时，%2+%4+jx6=(%+1%3)2,可满足题意；

(2)当％2相当于2ab项时，%2+%4+1=(x2+1)2,可满足题意；

(3)当％4与％2相当于2与b,则需要求的是2ab项，则/+/+2/=(%+%2)2,可满足题意.

故答案为［6；1.%3.

442

【点睛】本题考查了完全平方式，以及单项式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

【题型4平方差公式的几何背景】

【例4】(23-24七年级•安徽六安•期中)如图，边长为。的大正方形是由1个边长为6的小正方形和4个形

状大小完全相同的梯形组成.

(1)用含a,6的代数式表示其中一个梯形的面积：；

(2)请用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，由此，你能得到一个怎样的公式?

【答案】(1月(a+b)(a-b)或;(a2-力2)

44

(2)方法一：(a+b)(a-6),方法二：a2—fa2；公式：(a+6)(a—b)=a?-b?

【分析】本题主要考查的是平方差公式的几何背景，整式的运用，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的

关键.

(1)根据梯形的面积公式求解即可；

(2)方法一：用(1)中梯形面积乘以4即可；方法二，用大正方形的面积减去小正方形的面积即可.

【详解】(1)解：根据题意得：梯形的面积为(°;=~=/a+b)(a—b),

或：(小—ft2)+4=i(a2—序)；

故答案为：+b)(a-b)或［(a?一炉)；

(2)解：方法一：用梯形面积乘以4,即[](a+b)(a—b)]x4=(a+b)(a-6)；

方法二：用大正方形的面积减去小正方形的面积，即a?-炉.

【变式4-1](23-24七年级•浙江杭州•期中)两个大小不一的正方形①和②如图1放置时，力B=a,CD=b.现

有①和②两种正方形各四个，摆放成如图2所示形状，那么阴影部分的面积可用a,b表示为()

（图2）

【答案】B

【分析】本题考查了整式的运算，设正方形②的边长为X,正方形①的边长为y,由图1可得x+y=a,x-y=

b,即可得(x+y)(x—y)=ab,得到/—y2=M,再由图2可得S阴影=4/-4/=4(*2一丫2)=4a人，

即可求解，掌握平方差公式的运用是解题的关键.

【详解】解：设正方形②的边长为x,正方形①的边长为y,

由图1可得，x+y=a,x—y=b,

(x+y)(x—y')=ab,

即％2—y2=ab,

；.S阴影=4x2—4y2=4(%2—y2)：4ab,

故选：B.

【变式4-2](23-24七年级•陕西咸阳•阶段练习)【知识生成】

(1)我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为a的正方形中剪掉

一个边长为b的正方形如图1,然后将剩余部分拼成一个长方形如图2.图1中剩余部分的面积为,图2

的面积为,请写出这个代数恒等式；

【知识应用】

(2)应用(1)中的公式，完成下面任务：若m是不为0的有理数，已知P=(a+27n)(a-2ni),Q=

(a+m)(a-m),比较P、Q大小；

【知识迁移】

(3)事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个边长为x的正方体挖

去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，通过计算写出一个代数恒等式.

【答案】(1)—3m2；(2)P<Q；(3)x(x+1)(%—1)=x3—x.

【分析】(1)分别用代数式表示图1,图2的面积即可；

(2)利用(1)中得到的等式计算P—Q的值即可；

(3)分别用代数式表示图3中左图和右图的体积即可.

【详解】解：(1)图1中剩余部分的面积为a?-62,

图2的面积为(a+b)(a—b),

所以代数恒等式为(a+b)(a-b)=a2-b2；

(2)P=(a+2m)(a-2m),Q=(a+m)(a—m),

P—Q=(a+2m)(a—2m)—(a+m)(a—m)=a2—4m2—(a2-m2)=—3m2

因为小是不为0的有理数，

所以一3ni2<。，即p—Q<0,所以P<Q；

(3)图3中左图的体积为x——lxx=%3一%,

图3中右图是长为x+1,宽为x,高为的长方体，

因此体积为(X+1)-X-(%—1),所以有x(x+1)(%-1)=%3-X.

【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提，利用代数式表示

图形的面积和体积是正确解答的关键.

【变式4-3](23-24七年级.河南濮阳•阶段练习)如图1,边长为a的大正方形内有一个边长为b的小正方形.

长

(1)用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为;

(2)将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形

的面积为;(多项式乘积的形式)

(3)比较图1和图2的阴影部分面积，请你写出一个整式乘法的公式；

(4)结合(3)的公式，计算：①(x-2)(%+2)(尤2+4)；

②(1+9(1+3(1+3(1+幼+亲

【拓展】

直接写出(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)-(232+1)+1结果的个位数字.

【答案】(1)a2—b2；(2)(a+b)(a—b)；(3)a2—b2=(a+b)(a—b)；(4)©x4—16；②2；拓展:

6.

【分析】(1)用大正方形面积减去小正方形面积，即可得到图1中阴影部分的面积；

(2)由图1可知，长方形的长为a+b,宽为a-b,即可求出此长方形的面积；

(3)根据图1中阴影面积与图2长方形面积相等，结合(1)和(2)的结论，即可得到答案；

(4)①利用(3)中的整式乘法的公式直接计算，即可得到答案；

②将原式变形，再利用(3)中的整式乘法的公式计算，即可得到答案；

拓展：将原式x(2-l)变形，再利用(3)中的整式乘法的公式计算，得到结果263再分析小结果的个位

数字4次为一个循环，进而得到264结果的个位数字，即为答案.

【详解】解：(1)由图1可知，阴影部分的面积为。2一。2,

故答案为：a2-b2-,

(2)由图1可知，长方形的长为a+b,宽为a-b,

・•.图2中长方形的面积为(a+b)(a-b),

故答案为：(a+b)(a-b)；

(3)由题意可知，图1中阴影面积与图2长方形面积相等，

•••/—匕2=①+匕)(。_6)，

故答案为：a2-62=(a+b)(a-6)；

(4)①(久—2)(%+2)(%2+4)

=(x2—4)(x2+4)

=X4—16；

②(1+3(1+3(1+3(1+3十余

=2(1-，(1+，(1+月(1+/1+/)+2

=2(1一月(1+颉1+/1+!)+击

=2(1-自(1+3(1+2)+2

=2；

拓展：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)-(232+1)+1

=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)-(232+1)+1

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)-(232+1)+1

=(24一1)(24+1)(28+1)---(232+1)+1

=(28-1)(28+1)-(232+1)+1

=(216-1)(216+1)(232+i)+i

=(232一1)(232+i)+i

=264-1+1

=264,

•.•21=2,22=4,23=8,24=16,=32,26=64,27=128,

•••2。结果的个位数字4次为一个循环，

•••644-4=16,

・•.264结果的个位数字为6.

【点睛】本题考查了平方差的几何背景以及平方差公式的应用，正确理解平方差公式的结构是关键.

【题型5完全平方公式的几何背景】

【例5】(23-24七年级•江苏扬州•阶段练习)我们知道，通过几何图形的面积可以表示一些代数慎等式.

例如：如图1得到(a+b)2=a2+2ab+b2,基于此,请回答下列问题.

(1)【直接应用】

若尤+y=3,x2+y2—5,贝!|xy=.

⑵【类比应用】

若x(3—x)=1,则/+(3—%)2=.

(3)【知识迁移】

两块完全一样的直角三角板(乙40B=NCOD=90。)如图2放置，其中A,O,。在一条直线上，连接

AC,BD.若2。=16,△ZOC和AB。。的面积和SNOC+SABOD=68,求四边形ABCD的面积.

【答案】(1)2

(2)7

(3)128

【分析】本题考查通过对完全平方公式变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用：

(1)利用完全平方公式求解；

(2)利用完全平方公式将原式变形为[x+(3-%)]2-2久(3-%),即可求解；

22

(3)设。4=。。=0，OB=OD=b,则Q+b=ZD=16,SLA0C+SLB0D=1a+|h=68,利用完全平

方公式的变形计算出出?，贝！JS—OB+S^coo=[ab+]。力=由此可解.

【详解】(1)解：%y=|[(%+y)2-(x24-y2)]=|x(32-5)=2,

故答案为：2；

(2)解：x2+(3-x)2=[%+(3-%)]2-2x(3-%)=32-2xl=7,

故答案为：7；

(3)解：设。/=0C=a,OB=0D=b,

由题意知，a+b=AD=16,SAAOC+^LBOD=+1^2=68,

a2+b2=136,

ah=|[(a+b)2—(a2+b2)]=|x(162—136)=60,

S^AOB+SACOD~5ab+-ctb—ctb—60,

・・・四边形ABCD的面积=SAA0C+SABOD+SAAOB+SACOD=68+60=128.

【变式5-1](23-24七年级•江苏宿迁•期末)现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1,已

知点”为4E的中点，连接。“、FH,将乙纸片放到甲的内部得到图2,已知甲、乙两个正方形边长之和为

12,图2的阴影部分面积为10,则图1的阴影部分面积为()

【答案】C

【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，设甲正方形的边长为x,乙正方形的边长为》根据题意得

(x+y)2=144,(x-y)2=10,两式相加可得/+y2=77,在图1中利用两正方形的面积之和减去两个

三角形的面积，代入计算即可.

【详解】解：设甲正方形的边长为X,乙正方形的边长为》

则/。=x,EF=y,AE=%+y=12,

(%+y)2=144,

.\x2+V+2xy=144,

,・•点”为/E的中点，

.'.AH=EH=6,

图2的阴影部分面积为(％-y)2=x2+y2-2xy=10,

/.(x+y)2+(x—y)2=144+10,

Ax2+y2=77,

图1的阴影部分面积为/+y2-1x6-x-|x6-y=%2+y2-3(x+y)=77-3x12=41,

故选：c.

【变式5-2]（23-24七年级•浙江杭州•期中）在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长

为a,宽为b,a>b）搭成如图一个大正方形，面积为132,中间空缺的小正方形的面积为28.下列结论

中，不正确的有（）

A.(a-b)2=28；B.ab=26

C.a2+b2=80D.a2—b2=64

【答案】D

【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，根据拼图得出，(Q+b)2=132,(a-6)2=28,

再根据公式变形逐项进行判断即可.

【详解】解：由拼图可知，大正方形的面积的边长为a+b,中间的小正方形的边长为a-b,

(a+bp=132,(a—Z))2=28,

(a+b)2—(a—b)2=132—28,a2+2ab+炉=132,

/.a2+2ab+/?2—a2+2ab—b2=104,

/.4ab=104,

••ctb—26,

：.a2+b2=132-2ab=132-2x26=80,

V(a+6)2=132,{a-bY=28,

[(a+Z?)(a-Z?)]2=(a+b)2(a-b}2=132x28=3696,

a>b.

/.a2—h2=（a+h）（a—b）=V3696H64,

故选项A、B、C正确，选项D错误，

故选：D.

【变式5-3]（23-24七年级.安徽合肥.期中）某些等式可以根据几何图形的面积关系进行解释，例如，等式

（2。+6）5+5）=2小+3必+炉就可以用图（1）的面积关系来解释：图（1）的面积为（2a+b）（a+b）,

各部分的面积之和为2a2+3ab+b2,故（2a+h）（a+b）=2a2+3ab+b2.

hhr

图1图2

(1)根据图(2)的面积关系可以解释的一个等式为；

(2)已知等式(x+p)(x+q)=久2+⑦+q)x+pq,请你画出一个相应的几何图形;

(3)请你设计一个几何图形，并解释：(a+b)(a-6)=a?-。2.

【答案】⑴(a+b}2-a2+2ab+b2；

(2)见解析;

(3)图见解析，解释见解析.

【分析】本题主要考查完全平方公式及多项式乘以多项式与几何图形的关系；熟练掌握完全平方公式是解题

的关键；

(1)利用正方形的面积公式即可证明.

(2)画一个长为x+p,宽为久+q的长方形即可；

(3)把边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形后，拼成一个长为a+b,宽为a-6的长方形即可.

【详解】(1)解：在图2中，大正方形的边长为(a+6)2,

组成大正方形的5个部分的面积和为a?+2ab+b2,

所以有(a+b)2=a2+2ab+b2,

故答案为：(a+b)2=a?+2ab+炉；

(2)解:如图3所示：

V

图3

整体大长方形的长为x+p，宽为x+q,组成长方形的4个部分的面积和为/+(p+q)x+pq,

因此有(x+p)(x+q)=x2+(p+q')x+pq；

(3)解：如图4,

图4

把边长为。的正方形中减去一个边长为方的正方形后，拼成一个长为a+6,宽为a-b的长方形，

因此可以验证(a+b)(a—b)=a2—/A

【题型6乘法公式的应用】

【例6】(23-24七年级•山东青岛•期中)己知长方形金鱼池的面积为1