2024年中考数学题型突破：二次函数与平行四边形有关的问题（专项训练）

类型八二次函数与平行四边形有关的问题(专题训练)

4

1.(2023・四川自贡・统考中考真题)如图，抛物线y=炉+匕龙+4与％轴交于小一3,0),台两

点，与>轴交于点C.

(1)求抛物线解析式及8,C两点坐标；

(2)以A,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，求点。坐标；

(3)该抛物线对称轴上是否存在点E,使得4CE=45。，若存在，求出点E的坐标；若不存在，

请说明理由.

【答案】⑴抛物线解析式为片―/-白+七3(1,0),C(0,4)；⑵仇-2,T)或。(T,4)

或£)(4,4)；(3)4-1,1)

【分析】(1)将点A(-3,0)代入抛物线解析式，待定系数法求解析式，进而分别令无,>=0,

即可求得民C两点的坐标；

(2)分三种情况讨论，当AB,AC,8c为对角线时，根据中点坐标即可求解；

(3)根据题意，作出图形，作AG_LCE交于点G,歹为AC的中点，连接GO,GP,则A,O,C,G

在，:F上，根据等弧所对的圆周角相等，得出G在y=-x上，进而勾股定理，根据FG=g建

立方程，求得点G的坐标，进而得出CG的解析式，即可求解.

4

【详解】(1)解：：抛物线>=-§/+扇+4与x轴交于A(-3,0),

4

/.--x(-3)9--3Z?+4=0

Q

解得：b=_,

・・・抛物线解析式为y=--X2-1%+4,

当％=0时，y=4,

C(0,4),

4Q

当y=0时，0=——X2——x+4

33

解得：X1=—3,/=1,

・・・5(1,0)

(2)VA(-3,0),3(1,0),C(0,4),

设D（W）,

・・,以A,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形

、［,、1机+013+14+7?0+0

当AB为对角线时，

2222

解得：m=-2,n=-4,

D（-2,Y）；

当AC为对角线时，可=彳,耳=等

2222

解得：m=-4,n=4

・•・0(-4,4)

—3+m_0+10+4_0+n

当5c为对角线时,

2~~2~2

解得：机=4,〃=4

。（4,4）

综上所述，以A,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，D（-2,T）或。（Y,4）或0（4,4）

（3）解：如图所示，作AGLCE交于点G,尸为AC的中点，连接GO,GF,

,/ZACE=45°

：AGC是等腰直角三角形,

.•.4。。,6在（F±,

VA（-3,0）,C（0,4）,

,AC=，AC>2+CO2=5'GF=^AC=^

•；ZAOG=ZACG=45°,

G在y=r上，

设G（/,T）,贝I]G产="+力+（-f-2）2

7

解得：「一展”0（舍去）

77

二点G

2,2

设直线CG的解析式为y=kx+4

77

・•・一=——左+4

22

解得：左=；.

，直线CG的解析式y=；x+4

VA（-3,0）,3（1,0）,

二抛物线对称轴为直线U=

177

当尸-1时，-x（-l）+4=y,

■■£RTY

【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，圆周

角角定理，勾股定理，求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键.

2.（2023•山东枣庄•统考中考真题）如图，抛物线y=-一+笈+c经过4To）,c（O,3）两点,

并交无轴于另一点8,点〃是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点。.

⑴求该抛物线的表达式；

(2)若点X是x轴上一动点，分别连接MH,DH,求MH+DH的最小值；

(3)若点尸是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点0,使得以M,P,。为顶点的

四边形是平行四边形？若存在，请自毯写出所有满足条件的点。的坐标；若不存在，请说

明理由.

【答案】⑴y=--+2X+3；⑵屈；(3)存在,。(1,3)或Q(l,l)或。(1,5)

【分析】(1)待定系数法求出函数解析式即可；

(2)作点。关于x轴的对称点。内连接DM,DM与x轴的交点即为点进而得到

MH+DH的最小值为DM的长，利用两点间距离公式进行求解即可；

(3)分DM,DP,M尸分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可.

【详解】(1)解：•••抛物线"-炉+物+c经过A(T0),C(0,3)两点,

-l-Z;+<?=0b=2

,解得:

c=3c=3

・・y=-x2+2犬+3；

(2);y=-d+2%+3=-(%-1)?+4,

A/(1,4),

设直线AM:y=kx+m(k0),

—k+m=Qk=2

则:，解得:

k+m=4m=2

AM:y=2%+2,

当％=0时，y=2,

/.。(0,2)；

作点。关于x轴的对称点。C,连接DAf,

则：0(0,—2),MH+DH=MH+iyH>DM,

.•.当M7/Q三点共线时，+有最小值为DM的长,

V17(0-2),“(1,4),

/.D'M=+(4+2『=屈,

即：必/+网7的最小值为：亚;

(3)解:存在；

y=—x2+2x+3=—(x—1)~+4,

对称轴为直线x=l,

设尸(pj),

当以。，M,P,。为顶点的四边形是平行四边形时:

1+p=0+l

①DAf为对角线时:

t+n=4+2

\t+n=6

当p=。时，t=3,

n=3,

.,.2(1,3)；

0+=1+1

②当。p为对角线时:

2+%=4+〃

,.1=2

12+%=4+〃'

当p=2时，/=-22+2x2+3=3,

••〃=1,

1+p=O+l

③当MP为对角线时:

4+1=2+〃

p=0

n-t=2

当p=0时，t=3,

n=3,

•••2(1,5)；

综上：当以。，M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形时，0(1,3)或。(1,1)或。(1,5).

【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题.正确的求出函数解析式，熟

练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键.

3.(2023•山东聊城•统考中考真题)如图①，抛物线y=/+bx-9与x轴交于点4(-3,0),

5(6,0),与y轴交于点C,连接AC,BC.点P是尤轴上任意一点.

(1)求抛物线的表达式;

(2)点Q在抛物线上，若以点A,C,P,。为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求

点。的坐标；

(3)如图②，当点P("，，0)从点A出发沿尤轴向点3运动时(点尸与点A,8不重合)，自点P

分别作PE〃3C,交AC于点E,作PDL5C,垂足为点。.当机为何值时，VPED面积最

大，并求出最大值.

【答案】⑴〉=^炉一如一9；⑵点。坐标(3,-9),或(3+豆7,9)或(』-27,9)；(3)m=|

2222222

时，S△曲有最大值，最大值为10：

O

【分析】(1)将4(-30),台⑹①代入丁二以,+"-%待定系数法确定函数解析式；

1313

(2)由二次函数>-]X-9,求得点C(0,-9),设点P(m,o),点。5*9),

分类讨论：当AC为边，AQ为对角线时，当AC为边，AP为对角线时，运用平行四边形对

角线互相平分性质，构建方程求解；

(3)如图，过点Z)作。GLAB,过点E作跖，AB,垂足为G,F,

可证？FPE?DBP,1PDG?DBP；运用待定系数法求直线AC解析式y=-3》-9,直

33

线5。解析式y=—9；设点E(p,-3p-9),D{q,-q-9),则尸产=m-p,PG=q-m,

3_____________

EF=3p+9,DG=--q+9,运用解直角三角形，RtBOC中，BC=yjoc2+OB2=JH7，

3EF312

tan?OBCRtZkPEF中，tan?FPE——二一，可得夕二一(加-6),PF=-(m+3),

2PF233

PE=尸八理7=迈可(〃?+3);Rt△尸£>G中，tan?PDG—=可得，q=—(.4m+54),

69DG213

PG=-—(zn-6),PD=(m-6),于是

13913

1131

PDE=-PD-PE=--(m+3)(m-6),从而确定根=彳时，最大值为10g・

2228

【详解】(1)将A(—3,0),5(6,0)代入y=〃/+"—9,得

1

ci———

9a—3b—9=0,2

36“+6匕-9=0'解得'

3

b=-

2

13

；・抛物线解析式为：y=^-^x-9

13

(2)二次函数、=5/_3尤_9,当x=0时，y=_9

.,.点C(0,-9)

13

设点尸(机,0),点。--n-9),

当AC为边，AQ为对角线时，

V四边形ACQ尸为平行四边形，

AAQ,CP互相平分

13

-n2--n-9=-9解得，n=0(舍去)或〃=3

点。坐标(3,-9)；

i3

同理得，—n2--n-9+(-9)=0

岳力汨33历33717

角牛得，n=-+-----或〃=--------，

2222

13

—n92-—〃-9=9

22

•••点。坐标（』+土叵,9）或（3-3叵,9）

2222

综上，点。坐标（3,-9）,或（3+士叵⑼或（3-白叵,9）；

2222

（3）如图，过点。作OGLAB,过点£作防，45,垂足为G,F,

PE//BC,PDA.BC

：.?DPE?PDB90?

?FPE?DPB90?

?DPB?DBP90?

?FPE?DBP，同理可得？PDG?DBP

设直线AC的解析式为：y=kx+h

—3左+/z=0

则

h=—9

・•・直线AC:y-

3

同理由点8(6,0),C(0,-9),可求得直线BC：y=~^~9

3

设点石(P，-3p-9),D(q,-q-9),

3

则PF=m-p,PG=q-m,EF=3p+9,DG--]9+9

Rt50。中，OB=6,OC=9

BC=y/0C2+OB2=762+92=V117

93

tan?OBC

62

EF3

RtZkPEF中，tan?FPE----=tan?OBC—

PF2

3p+931

•*------二不，解得夕=彳(加-6),

m-p23

2

PF=m-p=—(m+3)

..pppPFOB6

.cos?9FPE---二cos?OBC-----=-----

PEBC#17

••PE—PF•----------(机+3);

69

RtAPDG中，tan?PDG—=tan?OBC-

DG2

q-m_3

32，解得，q=—(4m+54)

■y+y13

.9

PG=q-m=--(m-6)

PG9

9.•sin?PDG——=sin?OBC-j=

PD#17

.“7117VT17

•・PpDn=PG*----=-------(m-6)

913

<PD.PE=6)3)=-<(s+3)0-6),

,・,2qPDE

ii31

即sPDE=-彳。"+3)。"-6)=--(771--)2+10-.

222o

31

，机=彳时，-3<m<6,Sv有最大值，最大值为10[.

2o

【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，平行四边形的性质，一元二次方程求解，解

直角三角形，结合动点运动情况，分类讨论是解题的关键.

4.（2023・山东・统考中考真题）如图，直线y=-x+4交x轴于点B,交丁轴于点C,对称轴

为x的抛物线经过BC两点，交x轴负半轴于点A.P为抛物线上一动点，点尸的横坐

标为机，过点尸作x轴的平行线交抛物线于另一点M,作x轴的垂线PN,垂足为N,直线

脑v交y轴于点。.

备用图

（1）求抛物线的解析式;

3

(2)若当加为何值时，四边形CDNP是平行四边形？

(3)若机＜5,设直线肱V交直线BC于点E,是否存在这样的加值，使跖V=2ME?若存在,

求出此时加的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(l)y=-/+3x+4；⑵2。一屈;(3)存在，机

32

【分析】(1)利用待定系数法求函数解析式；

(2)结合平行四边形的性质，通过求直线的函数解析式，列方程求解；

(3)根据=确定E点坐标，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解.

【详解】(1)解：在直线y=-x+4中，当x=0时，y=4,当y=0时，x=4,

；•点3(4,0)，点。(0,4),

设抛物线的解析式为广小-黄+k,

a+k=0

把点3(4,0)，点C(0,4)代入可得,

a+Z=4

a=-1

解得L25.

k=——

I4

二抛物线的解析式为y=+^=-%2+3X+4；

（2）解:由题意,尸（私-〃/+3加+4）,

•**PN=一机2+3m+4,

当四边形CDVP是平行四边形时，PN=CD,

OD=-m2+3m+4—4=-m2+3m,

D（0,m2-3m）,N（m,0）,

设直线ACV的解析式为y=左次+疗-3机,

把N(m,0)代入可得占机+/-3m=0,

解得勺=3—m,

・•・直线脑V的角星析式为y=（3—m）工+加2—3根,

3

又•・・过点尸作x轴的平行线交抛物线于另一点M,且抛物线对称轴为x==,

2

——in2+3m+4）

；・（3—m）2+m2—3m=-m2+3m+4,

解得叫=31立[（不合题意，舍去），科=匕包；

33

（3）解：存在，理由如下：

'：MN=2ME,

・•・点七为线段肱V的中点，

点E的横坐标为3-：+"=],

;点E在直线＞=-》+4上,

35

把£代入y=（3-m）X+m2—3机中，可得万（3—机）+加2—3m=—,

解得叫=4（不合题意，舍去），^2=1.

【点睛】本题考查一次函数和二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式，利用数

形结合思想和方程思想解题是关键.

5.（2023・四川南充・统考中考真题）如图1,抛物线y=亦2+6尤+3（“0）与x轴交于A（-L,O）,

以3,0）两点，与y轴交于点C.

图1图2

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以3,C,P,。为顶点的四边形为平行四边形，求点

P的坐标；

⑶如图2,抛物线顶点为对称轴与x轴交于点E,过点K(l,3)的直线(直线KD除外)

与抛物线交于G,H两点，直线OG,D”分别交x轴于点N.试探究皿介印是否为

定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.

【答案】(l)y=—V+2x+3；⑵(2,3)或(1-b,-3)或(1+"-3)；(3)定值，理由见详解

【分析】(1)将A(-1,0)，8(3,0)两点代入抛物线的解析式即可求解；

(2)根据尸，。的不确定性，进行分类讨论：①过C作C尸〃x轴，交抛物线于《，过片作

股〃BC,交x轴于2,可得为=3,由_Y+2X+3=3,可求解；②在x轴的负半轴上取

点。2,过。2作2鸟〃BC,交抛物线于心，同时使。2鸟=3。，连接CQ2、82,过外作

轴，交x轴于O,观=-3,即可求解；③当BC为平行四边形的对角线时，在①中，只要

点。在点2的左边，且满足2。=2。，也满足条件，只是点尸的坐标仍是①中的坐标；

⑶可设直线GH的解析式为y=左(了-1)+3,G(m,-加2+2〃7+3),H(^n,-n2+2n+3^,可

[m+n=2-k/、m+3

求7,再求直线OG的解析式为y=-(根-1卜+根+3,从而可求£M=1--------

同理可求EN,即可求解.

【详解】(1)解：抛物线、="2+取+3(=0)与犬轴交于4(-1,0),3(3,0)两点，

Z?+3=0[ci=—1

|QQ7QC,解得匕?,

[9a+30+3=0[b=2

故抛物线的解析式为y=-Y+2%+3.

(2)解：①如图，过。作CP〃x轴，交抛物线于耳，过《作交兄轴于

/=3,

一尤?+2x+3=3,

解得：占=2,%=。，

£（2,3）；

②如图，在X轴的负半轴上取点。2，过。2作Q£〃BC,交抛物线于鸟，同时使Q2P2=BC,

连接C2、BP2,过舄作鸟。轴，交x轴于。，

••・四边形BCQzg是平行四边形,

在,CB&和,鸟。/中,

<ZCBQ2=ZP2Q2B,

CB=P2Q2

CBQ2q£QB（SAS）,

,'.P2D=CO=3f

「•以=-3,

一炉+2x+3=—3，

解得：玉=1—不，&=1+币，

.-.^（I-A/7,-3）；

-y

「V，

如上图，根据对称性：£（1+",-3）,

③当3c为平行四边形的对角线时，由①知,点。在点8的左边，且2。=8。=2时，也满

足条件，此时点P的坐标仍为（2,3）；

综上所述：的坐标为（）或（-近）或

P2,31,-34（1+A/7,-3）.

（3）解：是定值,

理由：如图，,直线G"经过K(l,3),

•••可设直线G"的解析式为>=左(工-1)+3,

G、H在抛物线上，

可设G(m,—+2〃z+3),a。+2〃+3),

:.k(x—1)+3=—x~+2x+3,

整理得:炉+俨-2)x-左=0,

xx=m,x2=n,

m+n—2—k

mn-—k

当x=l时，y=—：P+2xl+3=4,

设直线。G的解析式为y=4x+4,则有

2

mk}+bx=-m+2m+3

4+4=4

k]=-(m-1)

解得

=m+3

•a•直线DG的解析式为y=-(m-l)x+m+3,

当y=0时，—(根—1)%+根+3=0,

m+3

解得:x=-----

m-1

N,。，

m-l)

m+3

:.EM

m-l

_4

m-l

4

同理可求：EN=——,

n-1

44

:.EMEN=--------------

m-ln-1

16

+n)+l

16

16

=16；

当G与H对调位置后，同理可求EM•石N=16；

故EM.七N的定值为16.

【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，求函数图

象与坐标轴交点坐标，动点产生的平行四边形判定，一元二次方程根与系数的关系，理解一

次函数与二次函数图象的交点，与对应一元二次方程根的关系，掌握具体的解法，并会根据

题意设合适的辅助未知数是解题的关键.

6.(2021•四川南充市•中考真题)如图，已知抛物线,=办2+法+4(口片0)与*轴交于

点A(1,0)和B,与y轴交于点C,对称轴为x=°.

2

图1图2

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图1,若点P是线段BC上的一个动点(不与点B,C重合)，过点P作y轴的平行

线交抛物线于点Q,连接0Q.当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由.

(3)如图2,在(2)的条件下，D是0C的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E,且

ZDQE=2ZODQ.在y轴上是否存在点F,使得8斯为等腰三角形？若存在，求点F

的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)丁=k-5x+4；(2)四边形OCPQ是平行四边形，理由见详解；(3)(0,

25

一)或(0,1)或(0,-1)

8

【分析】

(1)设抛物线y=a(x—1)(%-4),根据待定系数法，即可求解；

(2)先求出直线BC的解析式为：y=-x+4,设P(x,-x+4),则Q(x,x2-5x+4)，(0

WxW4),得到PQ=-(x-2『+4,从而求出线段PQ长度最大值，进而即可得到结论；

(3)过点Q作QMLy轴，过点Q作QN〃y轴，过点E作EN〃x轴，交于点N,推出

MQNE

ZMDQ=ZDQN=ZEQN,从而得就=%，进而求出E(5,4),设F(0,y),

MDNQ

分三种情况讨论，即可求解.

【详解】

解：(1)：抛物线,=以2+法+4(。W0)与*轴交于点人(1,0)和B,与y轴交于点C,

对称轴为直线x=2,

2

AB(4,0),C(0,4),

设抛物线y=a(x—l)(x—4),把C(0,4)代入得：4=a(0—1)x(0—4),解得：a=l,

抛物线的解析式为：y=x2-5x+4；

(2)VB(4,0),C(0,4),

直线BC的解析式为：y=-x+4,

设P(x,-x+4),则Q(x,r_5]+4),(0WxW4),

PQ=-x+4-(x2-5x+4)=-x2+4x=-(x-2)-+4,

.•.当x=2时，线段PQ长度最大=4,

，此时，PQ=CO,

又：PQ〃CO,

•••四边形OCPQ是平行四边形；

(3)过点Q作QMLy轴，过点Q作QN〃y轴，过点E作EN〃x轴，交于点N,

由(2)得：Q(2,-2),

:D是0C的中点，

AD(0,2),

：QN〃y轴，

/.AODQ=ZDQN,

又,：/DQE=2/ODQ,

ZDQE=2ZDQN,

ZMDQ=ZDQN=ZEQN,

MQNE

tanZMDQ=tanZEQN,即:

MD~NQ

c2x—2

设E(x,x'-5x+4)，则^=,解得：龙I=5,X=2(舍去)，

x2-5x+4-(-2)2

：.E(5,4),

设F(0,y),则3/2=(4—Oy+(O—y)2=16+/,

EF2=(5-0)2+(4-y)2=25+(4-y)2,BE2=(5-4)2+(4-0)2=17,

925

①当BF=EF时，16+/=25+(4—y),解得：y=一,

8

②当BF二BE时，16+y2=17,解得：丁=1或丁=-1,

③当EF=BE时，25+(4-y)2=17,无解，

25

综上所述：点F的坐标为：(0,—)或(0,1)或(0,-1).

图2

【点睛】

本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握二次函数的性质以及图像上点的坐标特征,

添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键.

7.（2021•重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ox?+法-4（。W0）与

x轴交于点4（一1,。），8（4,0）,与y轴交于点C.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）直线1为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线1对称，点P为直线AD下方抛物线

上一动点，连接PA,PD,求△24。面积的最大值；

（3）在（2）的条件下，将抛物线丁=61?+云—4（。力0）沿射线八口平移4加个单位，得

到新的抛物线为，点E为点P的对应点，点F为％的对称轴上任意一点，在%上确定一点

G,使得以点D,E,F,G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标,

并任选其中一个点的坐标，写出求解过程.

551525725

【答案】(1)y=x?-3x-4；(2)8；(3)或G(j,—3)或G(g,一=)，过程

见解析

【分析】

(1)将4(—1,0)，8(4,0)的坐标代入函数式利用待定系数法求解即可；

(2)先得出抛物线的对称轴，作PE〃y轴交直线AD于E,设P(m,m2-3m-4),用m表示

出4APD的面积即可求出最大面积；

(3)通过平移距离为4后，转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，根据平移变

化得出平移后的抛物线关系式和E的坐标，分DE为对角线、EG为对角线、EF为对角线三种

情况进行讨论即可.

【详解】

解：(1)将A(T,0),B(4,0)代入ywx'+bxY得

a-b-4=0a—\

3+41=。'解得:

b=—3’

该抛物线的解析式为y=x2-3x-4,

(2)把x=0代入y=x?-3x-4中得:y=-4,

AC(0,-4),

3

抛物线y=x2-3x-4的对称轴1为x=—

2

:点D与点C关于直线1对称，

AD(3,-4),

VA(-1,0),

设直线AD的解析式为y=kx+b；

3k+b=-4k=-l

,解得:

-k+b=Ob=-l

直线AD的函数关系式为：y=-xT,

设P(m,m2-3m-4),

作PE〃y轴交直线AD于E,

.'.E(m,-m-1),

/.PE=-m-l-(m2-3m-4)=-m2+2m+3,

22

=—xPEx|xD-xA|=2(-m+2m+3)=-2m+4m+6,

_2

5tAp口=2m+4m+6=-2一1)~+8,

，当m=l时，△?AD的面积最大，最大值为：8

(3)..•直线AD的函数关系式为：y=-x-l,

:.直线AD与x轴正方向夹角为45°,

，抛物线沿射线AD方向平移平移4起个单位，相当于将抛物线向右平移4个单位，再向下

平移4个单位，

VA(-1,O),5(4,0),平移后的坐标分别为(3,-4),(8,-4),

设平移后的抛物线的解析式为X=/+dx+e

9+3d+e=-4<7=—11

则《,解得:

64+8d+e=-4e=20

...平移后yi=x"_llx+20,

抛物线yi的对称轴为：x=—，

2

VP(1,-6),

/.E(5,-10),

•••以点D,E,F,G为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况:

设G(n,n2-lln+20),F(―,y),

2

①当DE为对角线时，平行四边形的对角线互相平分

②当EF为对角线时，平行四边形的对角线互相平分

11

15

3+n_^J,n=—

F~2~2

二哈T

③当EG为对角线时，平行四边形的对角线互相平分

本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式和最值问题，求三角形的面积，以

及平移的性质和平行四边形的性质，注意分类讨论的数学思想.

8.(2022•四川眉山)在平面直角坐标系中，抛物线y=---4x+c与x轴交于点A,B(点

A在点B的左侧)，与y轴交于点C,且点A的坐标为(-5,0).

(1)求点C的坐标；(2)如图1,若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距

离的最大值；(3)如图2,若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在

点M使以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐

标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴(0,5)⑵PE最大为空徨⑶存在，M的坐标为(-3,8)或(3,-16)或(-7,-16)

8

【分析】(1)把点A的坐标代入y=-V-4x+c,求出c的值即可；

(2)过P作尸于点E,过点P作尸尸，x轴交AC于点证明是等腰直角

三角形，得「£=爸，当尸”最大时，PE最大,,运用待定系数法求直线AC解析式为

>=尤+5,设P(加，一利2-4加+5),(-5<m<0),则”0,机+5),求得PH,再根据二次函数

的性质求解即可；

(3)分①当AC为平行四边形ANMC的边，②当AC为平行四边形AMNC的边，③当AC为对角

线三种情况讨论求解即可.

(1)

(1)•••点A(-5,0)在抛物线y=--一4x+c的图象上，

/.0=-52-4X5+C

••c=5,

.♦.点C的坐标为(0,5)；

(2)过P作PELAC于点E,过点P作尸轴交AC于点如图:

：.OA=OC,

・・・△AOC是等腰直角三角形,

・・・ZCAO=45°f

PF_Lx轴,

：.ZAHF=45°=ZPHE,

是等腰直角三角形,

・PE.里

♦♦④，

,当尸H最大时，PE最大,

设直线AC解析式为丁=辰+5,

将A(-5,0)代入得0=5左+5,

k=',

二直线AC解析式为y=x+5,

设P(租,一/一4机+5),(—5<m<0),则租+5),

・•・PH=—TH1—4m+5)—(机+5)=—m2—5mm+~1

：a=-l<0,

525

•・•当呀-5时，PH最大为了，

：.此时PE最大为"且，即点P到直线AC的距离值最大;

8

(3)存在.,・・y=—/一4%+5=—(兀+2月+9

抛物线的对称轴为直线尸-2,

设点N的坐标为(-2,m),点M的坐标为(x,-/一4元+5)

分三种情况：①当AC为平行四边形ANMC的边时，如图，

/.xc-xA=xM-xN,即无一(一2)=0-(-5)

解得，x=3.

A-X2-4X+5=-32-4X3+5=-16,

二点M的坐标为(3,-16)

②当AC为平行四边形AMNC的边长时，如图,

方法同①可得，X=-7,

-%2-4X+5=-(-7)2-4X(-7)+5=-16,

...点M的坐标为(-7,-16)；

③当AC为对角线时，如图，

VA(-5,0),C(0,5),

••・线段AC的中点H的坐标为(二^2,手)，即H(-|,|)

.x+(-2)_5

••-------=一:，角牛得，x=-3。

22

一/_4x+5=-(一3)2—4x(-3)+5=8,

，点M的坐标为(-3,8)

综上，点M的坐标为：(T8)或(3,-16)或(-7,-16).

【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象

与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质.熟知几何图形的性质利用数形结

合是解题的关键.

9.(2021•重庆中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=f+Z?x+c经过A(0,

-1),B(4,1).直线AB交x轴于点C,P是直线AB下方抛物线上的一个动点.过点P

作PDLAB,垂足为D,PE〃x轴，交AB于点E.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)当4PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和4PDE周长的最大值;

(3)把抛物线丁=必+治;+。平移，使得新抛物线的顶点为(2)中求得的点P.M是新抛

物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A,B,M,N为顶点的四

边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来.

【答案】(1)y=必—1%—1；(2)t=2时，4PDE周长取得最大值，最大值为生1+8，

25

点P的坐标为(2,-4)；(3)满足条件的点M的坐标有(2,-4),(6,12),(-2,

12),过程见解析

【分析】

(1)利用待定系数法求函数表达式即可；

(2)先求出直线AB的函数表达式和点C坐标，设gf-",其中o〈t〈4,则E

12〃—7/,〃—g/—",证明△PDEs^AOC,根据周长之比等于相似比可得

1=3小+51-2(/-2)2+81=-6^+10(Z-2)2+生6+8，根据二次函数求最值的方

法求解即可；

(3)分以下情况①若AB是平行四边形的对角线；②若AB是平行四边形的边，1)当MN〃

AB时；2)当NM〃AB时，利用平行四边形的性质分别进行求解即可.

【详解】

解(1),・•抛物线了二/+陵+。经过点A(0,-1),点B(4,1),

16+4/?+c=l'

_L

解得彳b=2.

c=-1

7

/.该抛物线的函数表达式为y=x92--x-l；

(2)VA(0,-1),B(4,1),

二直线AB的函数表达式为y=gx—l,

AC(2,0)，

设P1,『一其中0<t<4,

;点E在直线y=；x—l上，PE〃x轴，

...E12『一7/,/——1),ZOCA=ZDEP,

PE=-2r+87=—2«—2)2+8,

VPD±AB,

ZEDP=ZCOA,

.•.△PDE^AAOC,

VAO=1,0C=2,

:.AC=5

•,.△AOC的周长为3+75，

令APDE的周长为1,则1±或=如，

IPE

•••/=3?+51—2(/—2)2+可=+1。《_2『++8,

...当t=2时，4PDE周长取得最大值，最大值为生5+8，

5

此时点P的坐标为(2,-4),

(3)如图所示，满足条件的点M的坐标有(2,-4),(6,12),(-2,12).

由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为y=V—4%,对称轴为直线x=2.

①若AB是平行四边形的对角线，

当MN与AB互相平分时，四边形ANBM是平行四边形，

即MN经过AB的中点C(2,0),

••,点N的横坐标为2,

二点M的横坐标为2,

...点M的坐标为(2,-4)；

②若AB是平行四边形的边，

1)MN〃AB时，四边形ABNM是平行四边形，

VA(0,-1),B(4,1),点N的横坐标为2,

点M的横坐标为2-4=-2,

.•.点M的坐标为(-2,12)；

2)当NM〃AB时，四边形ABMN是平行四边形，

VA(0,-1),B(4,1),点N的横坐标为2,

，点M的横坐标为2+4=6,

.•.点M的坐标为(6,12),

综上，满足条件的点M的坐标有(2,-4),(6,12),(-2,12).

【点睛】

本题考查待定系数法求函数的表达式、相似三角形的判定与性质、求二次函数的最值、平行

四边形的性质等知识，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质，运用平行四边形的性质，结

合数形结合和分类讨论的思想方法进行探究、推导和计算.

10.(2021•广东中考真题)已知二次函数y=ad+6x+c的图象过点(-1,0),且对任意实数

X,4x—12<ax2+bx+c<2x2—8x+6.

(1)求该二次函数的解析式；

（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A,与y轴交点为C；点M是（1）中二

次函数图象上的动点.问在x轴上是否存在点N,使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平

行四边形.若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴y=Y-2x-3；（2）存在，（1,0）或（5,0）或（正-2,。）或（-2-6,0）

【分析】

（1）令4x—12=2尤2-8元+6,解得％=9=3,可得函数>=依2+法+。必过（3,0）,再结

y=ax2+bx+c必过（一1,0）得出b=-2o,c=-3a,即可得至Uy=办。一2以一3。，再根据

4x-12<ax2-2ax-3a,可看成二次函数y二以。-2ax-3a与一次函数y=4x-12仅有一个交

点，且整体位于y=4x-12的上方，可得。>0,4^-12=ax2-2ax-3a有两个相等的实数根，

再根据△=€>,可解得。的值，即可求出二次函数解析式.

（2）结合（1）求出点C的坐标，设机2—2m-3）,N（",0）,①当AC为对角线时，②

当AM为对角线时，③当