2024年中考数学题型突破：综合探究题之与折叠有关的探究题（专项训练）（学生版）

类型三与折叠有关的探究题（专题训练）

1.（2023・山东枣庄•统考中考真题）问题情境：如图1,在二ABC中，AB=AC=11,5c=30,

AD是BC边上的中线.如图2,将ABC的两个顶点2,C分别沿折叠后均与点。

重合，折痕分别交A民AC,8c于点E,G,F,H.

猜想证明：

（1）如图2,试判断四边形AEDG的形状，并说明理由.

问题解决；

⑵如图3,将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿折叠，使得顶点8与点H重合,

折痕分别交A3,3C于点N,的对应线段交DG于点K,求四边形MKG4的面积.

2.在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作

60。,30。,15。等大小的角，可以采用如下方法：

操作感知：

第一步:对折矩形纸片ABCD，使与重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图13-1）.

第二步：再一次折叠纸片，使点A落在所上，并使折痕经过点6,得到折痕比0,同时

得到线段8N（如图13-2）.

猜想论证:

（1）若延长交于点P,如图13-3所示，试判定，5Alp的形状，并证明你的结论.

拓展探究：

（2）在图13-3中，若=a,BC=b，当a,〃满足什么关系时，才能在矩形纸片ABC。

中剪出符（1）中的等边三角形BMP?

3.（2023・辽宁大连.统考中考真题）综合与实践

问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质.

已知AB=AC,NA>90。，点E为AC上一动点，将一ABE以物为对称轴翻折.同学们经过

思考后进行如下探究:

独立思考：小明：“当点。落在上时，ZEDC=2ZACB.”

小红：”若点E为AC中点，给出AC与。C的长，就可求出BE的长.

实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1,请你回答：

问题1：在等腰ABC中，45=47,44>90。,43。6由.钻石翻折得到.

（1）如图1,当点。落在8C上时，求证：NEDC=2ZACB；

（2）如图2,若点E为AC中点，AC=4,CD=3,求BE的长.

问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成NA<90。的等腰三角形，可

以将问题进一步拓展.

问题2：如图3,在等腰ASC中，ZA<90°,AB=AC=BD=4,2ZD=ZABD.若C£>=1,

则求BC的长.

4.（2021•山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题:

如图①，在，ABCD中，BE±AD,垂足为E,歹为CD的中点，连接所，BF,试

猜想所与3尸的数量关系，并加以证明；

独立思考：（1）请解答老师提出的问题；

实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将，ABCD沿着BF（产为CD的中点）所在

直线折叠，如图②，点C的对应点为C',连接DC并延长交A3于点G,请判断AG与BG

的数量关系，并加以证明；

问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将「A6CD沿过点6的直线折叠，如图③，点A的对

应点为4,使于点折痕交A。于点“，连接A'4,交CD于点、N.该

小组提出一个问题：若此ABCD的面积为20,边长AB=5,BC=2小,求图中阴影部

分（四边形8HNM）的面积.请你思考此问题，直接写出结果.

5.（2023・广西・统考中考真题）【探究与证明】

折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘.

【动手操作】如图1,将矩形纸片A5co对折，使与8C重合，展平纸片，得到折痕所;

折叠纸片，使点8落在所上，并使折痕经过点A,得到折痕40,点、B,E的对应点分别

为B',E',展平纸片，连接ABLBB'，BE'.

（图1）

请完成：

⑴观察图1中Nl,N2和/3,试猜想这三个角的木个去系；

⑵证明(1)中的猜想；

【类比操作】如图2,N为矩形纸片ABC。的边AD上的一点，连接BN,在AB上取一点尸,

折叠纸片，使2,尸两点重合，展平纸片，得到折痕EF;折叠纸片，使点8,P分别落在E尸,

BN上,得到折痕/，点尸的对应点分别为8',P',展平纸片，连接，PB'.

请完成：

(3)证明BB'是NNBC的一条三等分线.

6.(2022•重庆市A卷)如图，在锐角aABC中，NA=60。，点D,E分别是边AB,AC上一动

点，连接BE交直线CD于点F.

(1)如图1,若AB>AC,且BD=CE,zBCD=ZCBE,求NCFE的度数；

(2)如图2,若AB=AC,且BD=AE,在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60。得到线段

CM,连接MF,点N是MF的中点，连接CN,在点D,E运动过程中，猜想线段BF,CF,CN之间

存在的数量关系，并证明你的猜想；

(3)若AB=AC,且BD=AE,将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到△ABP,点H是

AP的中点，点K是线段PF上一点，将APHK沿直线HK翻折至APHK所在平面内得到AQHK,

连接PQ.在点D,E运动过程中，当线段PF取得最小值，且QK1PF时，请直接写出会的值.

图2备用图

7.(2022•广东省深圳市)(1)发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB

沿BE翻折到ABEF处，延长EF交CD边于G点.求证：△BFG之△BCG；

(2)探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8,AB=6.将△AEB沿BE翻

折到ABEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H,且FH=CH,求AE的长.

(3)拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB=6,E为CD边上的三等分点，ND=60。.将△ADE沿

AE翻折得到AAFE,直线EF交BC于点P,求PC的长.

图①图②图③

8.(2021•湖北省荆州市)在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,F是对角线AC上不与点A,C重

合的一点，过F作FE1AD于E,将△AEF沿EF翻折得到AGEF,点G在射线AD上，连接CG.

(1)如图1,若点A的对称点G落在AD上，NFGC=90。，延长GF交AB于H,连接CH.

①求证：△CDG^AGAH；

②求tan/GHC.

(2)如图2,若点A的对称点G落在AD延长线上，ZGCF=90°,判断△GCF与△AEF是否全等,

并说明理由.

EGDEDG

图1

9.(2022•四川省成都市)在矩形ABCD的CD边上取一点E,将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落

在AD边上点F处.

(1)如图1,若BC=2BA,求NCBE的度数；

(2)如图2,当AB=5,且AF-FD=10时，求BC的长;

(3)如图3,延长EF,与NABF的角平分线交于点M,BM交AD于点N,当NF=AN+FD时，求

黑的值•

DC

图1

10.在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把AADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F.

(1)求证：△ABFSAFCE；

(2)若AB=2g，AD=4,求EC的长；

(3)若AE-DE=2EC,记NBAF=ex,NFAE=0,求tana+tan0的值.

11.已知：在矩形ABCD中，AB=6,AD=2^3,P是5C边上的一个动点，将矩形A6C£)

折叠，使点A与点尸重合，点。落在点G处，折痕为E尸.

(1)如图1,当点尸与点C重合时，则线段石3=,EF=；

(2)如图2,当点P与点6,C均不重合时，取所的中点。，连接并延长尸。与G尸的

延长线交于点"，连接P尸，ME,MA.

①求证：四边形ME/不是平行四边形：

②当tan/MAD=g时，求四边形MEM的面积.

12.(2021•湖南中考真题)如图，在RtZXABC中，点尸为斜边上一动点，WAABP

沿直线AP折叠，使得点3的对应点为3',连接A8',CB',BB'，PB'.

(1)如图①，若PB'LAC,证明：PB'=AB'.

(2)如图②，若A6=AC,BP=3PC,求cos/5'AC的值.

PC

(3)如图③，若NACB=30°,是否存在点P,使得A3=CB'.若存在，求此时——的

BC

值；若不存在，请说明理由.

13.（2021•浙江中考真题）（推理）

如图1,在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，

连结BE,CF,延长CF交AD于点G.

（1）求证：ABCE©CDG.

（运用）

（2）如图2,在（推理）条件下，延长BF交AD于点H.若=CE=9,求线段DE

HF5

的长.

（拓展）

（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF,延长CF,BF交直线AD于G,两点,

AD