2024年中考数学专项复习：圆的综合 27类题型（原卷版）

专题3-6圆的综合（27类题型）

题型•解读，

圆的综合问题常用的规律方法

模块一圆中常见辅助线

【题型1］遇到弦时

【题型2】遇到有直径时

【题型3】遇到有切线时

【题型4】遇到两相交切线时

【题型5】遇到三角形的内切圆时

【题型6】遇到三角形的外接圆时

模块二切线证明

类型1有公共点：连半径，证垂直

【题型7】特殊角计算证垂直

【题型8】勾股定理逆定理证垂直

【题型9】通过平行线代换证垂直

【题型10】利用等角代换法证明垂直

【题型11】利用三角形全等证明垂直

类型2无公共点：作垂直，证半径

【题型12】角平分线的性质证半径

【题型131特殊角计算证垂直

模块三圆中求线段长度

【题型14］结合勾股定理求线段长

【题型15】结合三角函数求线段长

【题型16】结合相似求线段长

【题型17］利用旋转变换求线段长

模块四以圆为背景的阴影部分面积问题

【题型18】和差法（割补）

【题型19］拼接法（等积变形）

模块五其它类型

【题型20】与圆锥的相关计算

【题型21］圆内接四边形

【题型22］圆与相似综合1：等积式相关证明

【题型23］圆与相似综合2：线段积问题

【题型24】圆中线段间的数量关系（和差倍分）

［题型25］选填压轴以圆为背景的多结论判断问题

【题型26】求圆周角的三角函数值

【题型27］圆中的翻折

满分•技巧/

圆的综合问题常用的规律方法：

技法01:第一问常考考点——切线，对应规律

①切线的判定：常用方法

有切点，连半径，证垂直!

无切点，作垂直，证半径！

☆特别地：题目中所需证的垂直，一般是由已知垂直转化而来的，故有“想证，，先找，”

②切线的性质：常用方法T见切点，连半径，得垂直！

因切线所得结论必为，，故常以直角三角形来展开后续问题

技法02:考题常见结合考点

角平分线'

①知2得1：平行线卜口2得In常用于第1问关联“切线”

等腰△

放△相似

②三角形相似：/字、8字相似结合的可能性最大=斐1对配对应边成比例

进而求长度

母子△相似

③三角函数：相似三角形与三角函数不分家，所以应用方法类似;

特殊之处是：给三角函数，必“找"RtA

④特殊角及其转化：

’15。.推30。、75。、75。的等腰△

位回国后声30。-＞推等边△（圆心角为60。亦可得）

沿圆周用为V小

45。一推等腰衣，△（圆心角为90。亦可得）

60。—推1:1：后型等腰△（圆心角为120。亦可得）

技法03:常见辅助线

①连半径——有关切线时，连接的是过切点的半径

②作弦心距——构造RtA,进而用知2得3

•或做两条弦心距，构造矩形或正方形

③连接弦——使直径所对的圆周角=90°,进而在Rt△中展开问题

技法04:圆中等积式证明（三角形相似）

圆中的等积式证明主要有下面几种形式：

(1)BE-EF=DE-AE

(2)CF2=CGCE

(3)CE2=kDEBO

（4）MN-MC^a（证a为定值）

BEAECFCE

其中第（1）（2）的形式属最简单的形式，只需要将线段乘积写成比例的形式（----=----,----=）

DEEFCGCF

然后找到对应的两个三角形相似即可，稍复杂的题目还会有将等积式中的线段替换为其他相等的线

段情况；

第（3）种形式和第（2）种类似，建议先写成线段比例的形式，然后再考虑数字的归属问题，将系

数分配给某一线段；

MN（）

第（4）种情况难度最大，题目中只给两条线段，另外两条需要自己找，建议写成^=——的形式,

（）MC

括号内的一般填入的是题中可求值的线段，再根据题中条件具体分析即可。

【圆中的相似模型】

（1）圆周角定理推论（直径所对圆周角为90。;同弧所对圆周角相等）

⑵圆的内接四边形对角互补（通常是圆内外两个三角形相似）

⑶已知线段比例关系，利用公共角及两边对应成比例证相似

技法05:求阴影部分面积

求阴影部分面积主要有2种形式：①割补法，②等级变形（拼接）

BEC

核心•题型/

模块一圆中常见辅助线

【题型1］遇到弦时

处理方式：常添加弦心距

1.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心。为圆心的圆，如

图1.唐代陈廷章在《水轮赋》中写道‘水能利物，轮乃曲成”.如图2,已知圆心。在水面上方,

且O。被水面截得弦AB长为8米，若点C为运行轨道的最低点，点C到弦2B所在直线的距离

是2,则。。的半径长为米.

2.如图，。。的半径为10匹，弦4B的长为16VLP是弦AB上一动点，则线段OP长的最小值为

B.8V2C.5D.6V2

3.（2022•安徽中考）已知。。的半径为7,48是。。的弦,点尸在弦48上.若尸N=4,PB=6,

则OP=()

A.Vl4B.4D.5

4.如图，4B是。。的直径，弦CD交48于点P,N2PC=30°,点P是04的中点，且4P=2,则

CD=_______

5.已知。。的半径是5cm,弦48||CD,AB=6cm,CD=8cm,则48与CO的距离是（

A.7cmB.7emblemC.5cm或2cmD.lcm

6.如图，已知。。的直径为26,弦AB=24,动点P、Q在。。上，弦PQ=10,若点M、N分别是

弦力B、PQ的中点，则线段MN的取值范围是（）

A.7<MN<17B.14<MN<34C.7<MN<17D.6<MN<16

【题型2】遇到直径时

处理方式：常添加（画）直径所对的圆周角

作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。

7.如图，在△力BC中，AB=AC,ZC=70°,以4B为直径的O。交BC于点D,则前的度数

为°.

8.如图，点力、B、C、。均在。。上，48为直径，BC=CD.若乙4=50。，求NB的度数.

D

C

9.如图，在△力BD中，AB=AD,以力B为直径作O。，交线段BD于点C,过点C作CF14D于点

(2)当/。=30。，CE=g时，求衣的长.

【题型3】遇到有切线时

处理方式：添加过切点的半径(连结圆心和切点)

10.如图，CD切。。于8,若NC=30。,则乙48。的度数是.

11.如图，在。。中，4B切。。于点4连接。B交。。于点C.过点4作ADIIOB交。。于点。，连

则NOCD为（

A.21°B.24°C.25°D.30°

12.如图，半圆。。的圆心在BC上，47、4B分别与。。相切于点C、D,半圆。。交BC于另一点

E.连接DE、A0,求证：DEWAO.

【题型4】遇到两相交切线时

处理方式：常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点（切线长定理）

13.如图，P4PB分别与。。相切于点4、B,连接48.若A8=P8,点C为圆上一点（异于4、

14.如图，从点P向。。引两条切线P4PB,切点为4B,作直径BC,连接2C,若NP=60。,

PB=2,贝i|ac=.

15.如图，P4PB是。。的切线，4、B为切点，^OAB=30°.

（1）求44PB的度数；

（2）当4P=3时，求。。的半径.

【题型5】遇到三角形的内切圆时

处理方式：连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段

作用：利用内心的性质，可得①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；

②内心到三角形三条边的距离相等。

16.（2023•湖北天门中考）如图，在。3c中，乙4cB=70。,△4BC的内切圆。。与3c分别相

切于点D,E,连接。£,/。的延长线交DE于点尸，则N4ED=.

17.如图，在一张纸片中，乙4cB=90。，BC=5,AC=12,O。是它的内切圆.小明用

剪刀沿着。。的切线DE剪下一块三角形4DE,则△4DE的周长为（）

A.19B.17C.22D.20

18.已知：如图，。。是RtaABC的内切圆，ZC=9O°.若aC=12cm,BC=9cm,求。。的半径

r；若AC=b,BC=a,AB=c,求O。的半径r.

【题型6】遇到三角形的外接圆时

处理方式：连结外心和各顶点

作用：外心到三角形各顶点的距离相等(角平分线交点)

19.如图，△4BC内接于。。，AB=AC,连接4。.

(1)求证：AOLBC-

(2)若。4=5,BC=8,求力B的长.

20.如图，一块等腰三角形钢板的底边长为80cm,腰长为50cm.

(1)求能从这块钢板上截得的最大圆的半径：

(2)用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少cm?

(3)求这块等腰三角形钢板的内心与外心之间距离.

模块二切线证明

根据条件确定是否有明确交点

确定交点

根据有无交点作出相应的辅助线

解题模板:

利用切线的判定方法进行证明

推导证明

类型1有公共点：连半径，证垂直

【题型7】特殊角计算证垂直

21.如图，N5为。。的直径，点C,。在。。上，AC=CD=DB,DELAC.

22.如图，NC是。。的直径，8在。。上，BD平分/4BC交00于点D,过点。作DE〃/C交3c

的延长线于点E.

求证：DE是。。的切线.

23.如图，在。。中，48为。。的直径，NC为弦，。。=4,

ZOAC=60°.

(1)求N/OC的度数；

(2)在图(1)中，尸为直径氏4的延长线上一点，且S»4c=4四，求证：尸C为。。的切线;

24.已知：在。。中，4B是。。的直径，4C是弦，ZD=60°,点尸是力B延长线上一点，且

CP=AC.

(1)求证：PC是。。的切线；

(2)若PB=V^,求。。的直径.

【题型8】勾股定理逆定理证垂直

25.如图，C是。0上一点，点P在直径AB的延长线上，。。的半径为6,PB=4,PC=8.求证:

PC是。0的切线;

26.如图，C是O。上一点，点。在直径4B的延长线上，。。的半径为6,DB=4,DC=8.求证

0C是。。的切线.

VJ

27.如图，AD,BD是。O的弦，AD_LBD,且BD=2AD=8,点C是BD的延长线上的一点,

CD=2,求证：AC是。。的切线.

28.如图，AD,3。是。。的弦，ADVBD,且AD=24D=8,点C是AD的延长线上的一点，CD

【题型91通过平行线代换证垂直

29.已知：N8是。。的直径，8。是。。的弦，延长3。到点C,®AB=AC,连结NC,过点。作

DE1AC,垂足为E.求证：为。。的切线.

A

30.如图，四边形/BCD内接于。O,AB为。。的直径，过点C作“，AD交4D的延长线于点

E,延长EC,4B交于点E,ZECD=ZBCF.

求证：CE为。。的切线;

31.已知：如图，在△48C中，AB=AC,以4B为直径的O。交BC于点。，过点。作。ElAC于点

E.

4-卜’二〃

(1)求证：DE是。。的切线;

(2)若NC4B=120。，。。的半径等于5,求线段DE的长.

【题型10］利用等角代换法证明垂直

32.如图，48是。。的直径，点。在直径上(D与A,2不重合)，CDLAB,>CD^AB,连

接C8,与。。交于点R在CD上取一点E,使得EF=EC.

求证：E尸是。。的切线;

D,

B

33.如图，力B是。。的弦，ODLOB,交4B于E,且=求证：4。是O。的切线.

34.如图，在RtZi4BC中，乙4cB=90。，点。在AC边上，以4。为直径作O。交48于点E,连接

CE,且CB=CE.求证：CE是。。的切线.

35.如图，48是。。的直径，点C是圆上一点，CD,48于点。，点E是圆外一点，C4平分/

ECD.求证：CE是。。的切线.

36.如图，A43C内接于半圆，N8是直径，过/作直线MN,ZMAC=ZABC,。是弧/C的中

点，连接3。交NC于G,过。作。EL48于E,交/C于广

（1）求证：MV是半圆的切线.

(2)求证：FD=FG.

【题型11］利用三角形全等证明垂直

37.如图，4;是。。的直径，P4相切于。。，点B是圆上一点，且PA=PB,连接力B,

ABAC=30°,求证：PB是。。的切线.

38.如图，4B是。。的直径，4C是。。的切线，连接0C,过B作BDIIOC交O。于点D,连接CD

并延长，交4B延长线于E,求证：CE是。。的切线.

39.如图，N2为。。的直径，点C和点。是。。上的两点，连接2C,DC,BC=CD,CELDA

交DA的延长线于点E.

求证：CE是。。的切线；

D

40.如图，已知48是。。的直径，BC1AB,连接。C,弦4D〃OC,直线C©交加的延长线于点

E.

求证：CD是。。的切线;

41.如图，N2为。。的直径，四边形02CD是矩形，连接4D,延长4D交。。于E,连接CE.求

证：CE为。。的切线.

类型2无公共点：作垂直，证半径

【题型12】角平分线的性质证半径

42.如图，。为正方形N5CD对角线NC上一点，以。为圆心，长为半径的。。与3c相切于点

M.求证：CD与。。相切.

BM

43.如图，BD是乙4BC的角平分线，点。是BD上一点，O。与A8相切于点M,与BD交于点E、

F.求证：8C是O。的切线.

44.如图，在Rt^ABC中，AACB=90°,4。是△ABC的角平分线，以。为圆心，0C为半径作

00,求证：AB是。。的切线.

45.如图，aABC为等腰三角形，0是底边BC的中点，腰AB与。。相切于点D.求证AC是。

0的切线.

46.如图，在ZL48c中，〃=90。，的角平分线交BC于点。，点。在48上，以点。为圆心,

为半径的圆恰好经过点。，分别交4C、4B于点E,F.

(1)试判断直线BC与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若8。=2而，BF=2,求。。的半径.

【题型13］特殊角计算证垂直

47.如图，在四边形2BCD中，NA=4B=90。，AD+BC=CD,以48为直径作。0,

求证：CD与。。相切.

AD

n

BC

模块三圆中求线段长度

利用圆的相关定理和性质作辅助线

解题模板：—

.分析题目一选取合适的方法进像十算

【题型14］结合勾股定理求线段长

48.如图，在中，ZC=9O°,40是△ABC的角平分线,过点/、。的圆的圆心。在边48

上，O。与边A8交于另一点E.

D

(1)证明：BC与。。相切；

(2)若力C=6,ZB=30°.则AD=.

49.如图，力B是。。的直径，AC是弦，。是通的中点，CD与AB交于点、E.尸是4B延长线上的一

点，且CF=EF.

(1)求证：CF为。。的切线；

(2)连接8D.若CF=4,BF=2,求8。的长.

50.如图，在中，ZC=90°,BD是角平分线，点。在B4上，以点。为圆心，BO长为半径的

圆经过点。，交BC于点E.

(1)求证：4C是。。的切线；

(2)若。B=10,CD=8,求EB的长.

51.如图，四边形/BCD是菱形，以N2为直径作。。，交CB于点F,点E在CD上，且CE=

CF,连接/E.

(1)求证：NE是。。的切线；

(2)连接NC交。。于点P,若AP=虚,BF=\,求。。的半径.

52.如图，在中，ZBAC=90°,8。是角平分线，以点。为圆心，。/为半径的。。与/C

相交于点E.

⑴求证：8c是。。的切线；

(2)若48=5,2c=13,求CE的长.

53.如图，N8是。。的直径，AM,8N分别切。。于点N,B,CD交AM,BN于■点、D,C,。。平

分/ADC.

(1)求证：CD是。。的切线；

(2)若/。=4,BC=9,求。。的半径R.

54.如图，N8为。。的直径，PD切。。于点C,与反4的延长线交于点。，Z)E_LPO交尸。延长

线于点£,连接OC,PB,己知依=6,DB=8,/EDB=NEPB.

(1)求证：尸8是。。的切线；

(2)求。。的半径.

(3)连接2E,求的长.

55.（2023・辽宁大连中考）如图1,在。。中，为。。的直径，点C为。。上一点，AD为NCAB

的平分线交。。于点。，连接交3C于点月

图1图2

⑴求4瓦）的度数；

（2）如图2,过点/作。。的切线交延长线于点尸，过点。作DG〃AF交AB于点、G.若AD=2后,

DE=4,求DG的长.

【题型15］结合三角函数求线段长

56.（2023・四川成都中考）如图，以“BC的边/C为直径作O。，交BC边于点、D,过点C作

CE〃AB交OO于点,E,连接40,DE,AB=ZADE.

（1）求证：AC=BC；

（2）若tan3=2,CD=3,求22和的长.

57,（2022•内蒙古鄂尔多斯中考）如图，以48为直径的。。与的边2C相切于点2,且与/C

边交于点。，点£为8c中点，连接DE、BD.

(1)求证：DE是。。的切线；

4

⑵若DE=5,cosZABD=~,求。£的长.

58.(2023•四川乐山中考)如图，已知。。是Rt448C的外接圆，//C8=90。，。是圆上一点，£

是DC延长线上一点，连结AD,AE,且AD=AE,CA=CE.

(1)求证：直线/E是。。是的切线；

2

(2)若sinE=§,。。的半径为3,求的长.

59.(2023•内蒙古赤峰中考)如图，是。。的直径，C是。。上一点过点。作CO1/3于点£,

交。。于点。，点尸是NB延长线上一点，连接CF,AD,NFCD=2NDAF.

/\

OEIff/

⑴求证：CF是。。切线；

2

(2)若4产=10,sin尸=§,求CO的长.

60.(2023•甘肃武威中考)如图，内接于。。，力5是。。的直径，。是。。上的一点，CO

平分/BCD,CEA.AD,垂足为E,22与C。相交于点尸.

(1)求证：CE是。。的切线；

3

⑵当。。的半径为5,sin3='时，求CE的长.

61.(2023・湖南衡阳中考)如图，是。。的直径，/C是一条弦，。是就的中点，DEJ.AB于

点、E,交/C于点R交。。于点“，DB交AC于点G.

II、--

(1)求证：AF=DF.

(2)若4F=g,sinN/8O=S，求的半径.

62.如图，已知4B是。。的直径，PB是。。切线，C是。。上的点且ACIIOP.

(1)求证：PC是。。的切线;

(2)若乙4=60。,AB=4,求PC长.

63.(2023•宁夏中考)如图，已知是。。的直径，直线。C是。。的切线，切点为C,

AEVDC,垂足为E.连接/C.

(1)求证：NC平分N84E1；

3

(2)若/C=5,tanZACE=~,求。。的半径.

64.(2023•辽宁沈阳中考)如图，NB是。。的直径，点。是。。上的一点(点C不与点A,B重

合)，连接/c、3C,点。是A8上的一点，AC=AD,AE交CD的延长线于点£,且

BE=BC.

(1)求证：AE1是。。的切线；

(2)若。。的半径为5,ta巫=；,则AE的长为

65.(2023•浙江湖州中考)如图，在RtZUBC中，ZACB=90°,点。在边NC上，以点。为圆心,

OC为半径的半圆与斜边相切于点。，交。4于点E,连结08.

(1)求证：BD=BC.

⑵已知0c=1,NN=30。，求48的长.

66.(2023•湖南湘西中考)如图，点。，E在以NC为直径的。。上，,4DC的平分线交。。于点

B,连接R4,EC,EA,过点E作E/fLNC,垂足为〃，交4D于点尸.

(1)求证：AE2=AF-AD

9反

(2)^sinAABD=-y-,AB^5,求的长.

67.如图，48是O。的直径，点P是O。外一点，P4切O。于点4连接0P,过点8作BCIIOP交O。

于点C,点E是通的中点，且4B=10,BC=6.

(1)PC与。。有怎样的位置关系？为什么？

(2)求CE的长.

68.(2023•山东济南中考)如图，AB,CD为。。的直径，。为。。上一点，过点C的切线与N8

的延长线交于点P,48c=2/BCP,点E是丽的中点，弦CE,RD相交于点E.

(1)求/。四的度数；

(2)若E尸=3,求。。直径的长.

69.(2023・辽宁锦州中考)如图，NE为。。的直径，点C在。。上，与。。相切于点与OC

延长线交于点8,过点8作交NC的延长线于点D

(1)求证：AB=BD；

3

⑵点尸为。。上一点，连接昉，BF,BF与AE交于点、G.若NE=45。,AB=5,XanAABG^-,

求。。的半径及的长.

70.(2023•辽宁丹东中考)如图，己知48是。。的直径，2。是。。的弦，点尸是。。外的一点，

PCLAB,垂足为点C,PC与8。相交于点E,连接P。，且PD=PE,延长PD交24的延长

线于点F.

(1)求证：PD是。。的切线；

74

(2)若。尸=4,PE=~,cosZPFC=-,求3E的长.

71.(2023•辽宁丹东中考)如图，已知48是。。的直径，是。。的弦，点尸是。。外的一点，

PCLAB,垂足为点C,PC与8。相交于点E,连接P。，且PD=PE,延长PD交64的延长

线于点F.

(1)求证：是。。的切线；

74

(2)若。尸=4,尸£=,，cosZPFC=-,求BE的长.

72.(2023•辽宁鞍山中考)如图，四边形/3CD内接于OO,48为。。的直径，过点。作。尸18C,

交8C的延长线于点尸，交R4的延长线于点£,连接AD.若/EAD+NBDF=180°.

(1)求证：跖为。。的切线.

2

⑵若3E=10,sinZBDC=-,求。。的半径.

73.(2023・四川内江中考)如图，以线段A8为直径作。。，交射线/C于点C,AD平分/CAB交

。。于点。，过点。作直线。交/C的延长线于点E,交AB的延长线于点足连接3。

并延长交NC的延长线于点

(1)求证：直线。E是。。的切线；

(2)当々=30。时，判断的形状，并说明理由；

⑶在(2)的条件下，ME=l,连接3c交4D于点尸，求/尸的长.

74.(2023•新疆中考)如图，48是的直径，点C,尸是上的点，且NCBF=NBAC,连

接4F,过点C作/尸的垂线，交/尸的延长线于点。，交43的延长线于点£,过点尸作

FG，AB于点、G,交4c于点H.

⑴求证：CE是。。的切线；

3

(2)若tan£=w，BE=4,求F”的长.

75.(2023・山东中考)如图，4B为OO的直径，C是圆上一点，。是数的中点，肱DEJ.AB,

垂足为点F.

(1)求证：BC=DE；

(2)P是初上一点，AC=6,BF=2,求tan/APC；

⑶在(2)的条件下，当CP是//C5的平分线时，求。尸的长.

76,(2023•内蒙古呼和浩特中考)已知在RtZ\23C中，NACB=9。。,BC=6,AC=8,以边/C

为直径作。。，与N8边交于点。，点M为边3c的中点，连接DW.

(1)求证：DM是。。的切线；

⑵点户为直线3c上任意一动点，连接在交。。于点0,连接CQ.

①当tanZ84P=；时，求8尸的长；

②求当的最大值.

AP

77.(2023•四川雅安中考)如图，在RtA43C中，ZABC=90°,以N5为直径的。。与/C交于点

。，点E是8c的中点，连接2。，DE.

(1)求证：DE是。。的切线;

(2)若。E=2,tan/BNC=；,求工。的长;

(3)在(2)的条件下，点尸是。。上一动点，求尸N+P8的最大值.

【题型16］结合相似求线段长

78.如图，“3C是。。的内接三角形，AB=AC,/A4c=120。，。是3C边上一点，连接并

延长交。。于点E.若/。=2,DE=3,则。。的半径为()

A

c.2V10D.35/10

是。。的直径，AB=2M,O。的弦CDL48于点E,

CD=6.过点C作。。的切线交的延长线于点尸，连接3C.

(1)求证：BC平分NDCF；

(2)G为石上一点，连接CG交AB于点〃，若CH=3GH,求8〃的长.

80.(2023•四川眉山中考)如图，“3C中，以28为直径的OO交3C于点E.AE平分/B4C,

过点£作瓦?，工。于点。，延长交A8的延长线于点P.

c

⑴求证：PE是。。的切线；

⑵若sinNP=；,8P=4,求C。的长.

81.（2023•青海西宁中考）如图，是。。的弦，半径008,垂足为。，弦CE与4B交于点

F,连接/E,AC,BC.

⑴求证：NBAC=NE；

（2）若43=8,DC=2,CE=3A/10,求CF的长.

82.（2023•江苏苏州中考）如图，A/8C是。。的内接三角形，A8是。。的直径，

AC=#,BC=2垂，点尸在N8上，连接CF并延长，交。。于点D,连接B。，作8EJ_CD,

垂足为E.

B

D

(1)求证：ADBEsAABC；

(2)若NF=2,求的长.

83.（2023•河南中考）如图，尸/与。。相切于点4PO交。。于点3,点C在尸/上，且

CB=CA.若。4=5,PA=12,则O的长为.

84.（2023・湖南常德中考）如图，四边形/BCD是。。的内接四边形，48是直径，C是丽的中点,

过点C作CE，4D交AD的延长线于点E.

（1）求证：CE是。。的切线；

（2）若BC=6,AC=8,求的长.

85.（2023・山东聊城中考）如图，在RtZ\48C中，ZACB=9Q°,/胡C的平分线/。交3C于点

—4DC的平分线。E交/C于点£.以上的点。为圆心，0。为半径作O。，恰好过点£.

A

3

⑵若CD=12,tanZABC=-,求。。的半径.

86.（2023•四川中考）如图，48为。。的直径，C为。。上一点，连接NC,BC,过点C作。。

的切线交48延长线于点。，。下，8C于点E,交CD于点F.

C

3,

（2）^4sinZG4B=—,AB=10,求8。的长.

87.（2022•新疆中考）如图，。。是“3C的外接圆，N8是。。的直径，点。在。。上,

AC^CD,连接延长DB交过点C的切线于点瓦

C

⑵求证：BEVCE■

(3)若/C=4,BC=3,求的长.

88.（2022・湖北恩施中考）如图，尸为。。外一点，PA、尸3为。。的切线，切点分别为/、B,直

线尸。交。。于点。、E,交Z2于点C.

(1)求证：ZADE=ZPAE.

(2)若N/DE=30°,求证：AE=PE.

(3)若PE=4,CD=6,求C£的长.

89.(2022・四川遂宁中考)如图，0。是的外接圆，点。在5c上，/R4C的角平分线交。。

于点。，连接5D,CD,过点。作的平行线与/C的延长线相交于点尸.

(1)求证：PD是。。的切线；

⑵求证：AABDsaCP；

(3)若48=6,AC=8,求点。到AD的距离.

90.(2023•四川宜宾中考)如图，以28为直径的。。上有两点E、F,BE^EF，过点E作直线

CA_LN尸交Z尸的延长线于点。，交N8的延长线于点C,过C作CM平分//CO交4E于点

(1)求证：CD是。。的切线;

⑵求证：EM=EN-

(3)如果N是CW的中点，且/8=96，求EN的长.

91.(2022•广西柳州中考)如图，已知是。。的直径，点E是。。上异于/,3的点，点尸是诙

的中点，连接AF,BF,过点尸作尸交NE的延长线于点C,交N5的延长线于点£),

N4DC的平分线DG交于点G,交FB于点、H.

(1)求证：CD是。。的切线；

(2)求sinZFHG的值；

@若GH=4亚,HB=2,求。。的直径.

92.(2022・贵州安顺中考)如图，42是OO的直径，点E是劣弧2。上一点，NPAD=NAED,且

DE=42,4E平分/BAD,AE与BD交于点F.

(1)求证：尸/是。。的切线；

历

(2)^tanADAE=,求E尸的长；

(3)延长。E,交于点C,若OB=BC,求OO的半径.

93.(2023•湖北中考)如图，等腰内接于O。，AB=AC,8。是边NC上的中线，过点C

作48的平行线交AD的延长线于点E,BE交OO于点、F,连接尸C.

(1)求证：NE为。。的切线；

⑵若。。的半径为5,BC=6,求尸C的长.

94.（2023•内蒙古通辽中考）如图，N3为。。的直径，D,E是上的两点，延长A8至点C,

⑵求证：CD是。。的切线；

3

（3）若tanE=M，NC=10,求OO的半径.

95,（2023•内蒙古中考）如图，N8是。。的直径，£为。。上的一点，点C是初的中点，连接3C,

过点C的直线垂直于BE的延长线于点D,交BA的延长线于点P.

（2）若PC=2也BO,尸8=10,求8E的长.

96.（2023・陕西中考）如图，A/5C内接于。。，ABAC=45°,过点8作3C的垂线，交。。于点

D,并与C/的延长线交于点E,作BF/4C,垂足为朋,交。。于点尸.

⑵若。。的半径r=3,BE=6,求线段战的长.

97.（2023•辽宁盘锦中考）如图，A/BC内接于O。，为。。的直径，延长/C到点G,使得

CG=CB,连接G8,过点C作CD〃G8,交48于点尸，交点。。于点D,过点。作

DE//AB.交G3的延长线于点E.

（1）求证：DE与。。相切.

（2）若/C=4,BC=2,求5E的长.

【题型17］利用旋转变换求线段长

98,（2023•内蒙古呼和浩特中考）如图，A/5C内接于。。且//CB=90。，弦CD平分NNCB,连

接ND,BD.若4B=5,AC=4,则,CD=.

模块四以圆为背景的阴影部分面积问题

【题型18］和差法（割补）

99.如图，以边长为2的等边顶点/为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与边相切，分

别交NSNC于D,E,则图中阴影部分的面积是（）

（6一加道71

n~~3D.V3-^

如图，在扇形045中，已知N495=90°,04=2,过AB的中点。作CE工OB,垂足分

别为点。，E,则图中阴影部分的面积为（

A.H-1B.TT-2C.Ji-4D.5—1

100.（2022•山西•中考真题）如图，扇形纸片/。8的半径为3,沿N8折叠扇形纸片，点。恰好落

在标上的点C处，图中阴影部分的面积为（）

A.3兀-3KC.2兀-36

101.如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边△N2C,分别以点/,B,C为圆心，以N8

长为半径作曲，AC,AB,三弧所围成的图形就是一个曲边三角形.如果一个曲边三角形的周长

为2m则此曲边三角形的面积为（）

A.2TT-2V3B.2TT-V3C.2nD.TT—y/3

102.（2023・湖北鄂州中考）如图，在A/3C中，ZABC=90°,乙4c3=30。，AB=4,点、。为BC

的中点，以。为圆心，03长为半径作半圆，交/C于点。，则图中阴影部分的面积是（）

A

D

A.5A/3-—B.56-47C.573-2/rD.10君一2万

3

1厂1厂60%x(2g『

S阴影=^AACB一SRCOD一$扇形＜®B=3x4x4J3--xV3x6—=5v312n

22JoU

2一

103.如图，在口/BCD中，AD=^AB,N24D=45°,以点/为圆心、/。为半径画弧交于点

E,连接CE,若AB=3a,则图中阴影部分的面积是

104.如图，直径为6的半圆，绕“点逆时针旋转60°,此时点8到了点玄，则图中阴影部

分的面积是.

105.在中，已知N/8C=90°,ZBAC=30°,BC=1.如图所示，将△/3C绕点/按逆

时针方向旋转90。后得到△N®。.则图中阴影部分的面积为

106.（2023•浙江衢州中考）如图，在RtZ\4BC中，4cB=90。，。为/C边上一点，连结。8,

以OC为半径的半圆与边相切于点。，交4c边于点E.

队

(1)求证：BC=BD；

⑵若。8=04,AE=2,①求半圆。的半径；②求图中阴影部分的面积.

107.(2023•山东潍坊中考)如图，正方形48c。内接于。O,在标上取一点E,连接/E,

DE.过点/作/G1/E,交。。于点G,交DE于点、F,连接CG,DG.

(2)若N3=2,NBAE=30°,求阴影部分的面积.

108.(2022•内蒙古通辽中考)如图，在放A/08中，4402=90。，以。为圆心，。的长为半径

的圆交边48于点。，点C在边CM上且CD=/C,延长C0交08的延长线于点E.

⑴求证：CD是圆的切线；

(2)已知sin/OCD=g,AB=4^,求ZC长度及阴影部分面积.

109.(2023•湖南怀化中考)如图，AB是。。的直径，点P是。。外一点，P4与O。相切于点A,

点C为。。上的一点.连接PC、AC,0C,且尸。=尸/.

Pz

(1)求证：尸C为。。的切线;

(2)延长尸C与4B的延长线交于点。，求证：PDOC=PA-OD；

(3)若/C48=30。，00=8,求阴影部分的面积.

110.(2022•湖南益阳中考)如图，C是圆O被直径N3分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线

交N8的延长线于点尸，连接C4,CO,CB.

(1)求证：ZACO^ZBCP；

(2)若/ABC=2/BCP,求NP的度数；

⑶在(2)的条件下，若48=4,求图中阴影部分的面积(结果保留兀和根号).

【题型19］拼接法(等积变形)

111.如图，菱形。N2C的三个顶点B,C在。。上，对角线/C,。5交于点D,若。。的半径

V3有

A.2KB.6TTC.D.V3n

112.如图，在边长为6的正方形/BCD中，以为直径画半圆，则阴影部分的面积是()

A.9B.6C.3