2025高考数学二轮复习：截面、交线问题 专项训练【含答案】

微专题30截面、交线问题

［考情分析］“截面、交线”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些

动态的线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力.求截面、交线问题，一是与解三角

形、多边形面积、扇形弧长等相结合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解.

■思维导图

几何体的结构特征一

空间几何体中点、线、面的位置关系一必备常见截面问题

球的截面性质一知识截题型交线问题

面

三角函数及解三角形一、

交

线

L探究截面、交线错误

作几何体的截面常用平行直线、相交直线「问

必备题常见

找交线常用线面交点法、面面交点法一

解法误区在解决最值、范围问题时,引入

在求截面和交线的最值、范围问题时常用空间向量一新的变量，忽略变量的取值范围

典型例题

考点一截面问题

【典例1】（1）在正方体A8CD—421aoi中，点。是棱OA上的动点，则过/,Q,5三点的

截面图形是（）

A.等边三角形B.矩形

C.等腰梯形D.以上都有可能

答案D

解析当点。与。重合时，过4Q,5三点的截面是等边三角形NBbDi；

当点。与。重合时，过Q,S三点的截面是矩形481G。；

当点。与DA的中点重合时，取CiDi的中点由于,ABM/DCi,所以QM//ABx,

又AQ=MBi,故过Q,21三点的截面是等腰梯形481M0,如图所示.

所以过4Q,囱三点的截面图形可能是等边三角形、矩形或等腰梯形.

（2）（2023•秦皇岛模拟）2023年12月7日为该年第21个节气“大雪”大雪”标志着仲冬时

节正式开始，该节气的特点是气温显著下降，降水量增多，天气变得更加寒冷.“大雪”节

气的民俗活动有打雪仗、赏雪景等.东北某学生小张滚了一个半径为2分米的雪球，准备对

它进行切割，制作一个正六棱柱模型/BCDM—设M为小所的中点，当削去

的雪最少时，平面/CM截该正六棱柱所得的截面面积为________平方分米.

答案4^3

解析设正六棱柱488所一4SGAE1尸1的底面边长为a,高为h.

若要使该正六棱柱的体积最大，正六棱柱应为球的内接正六棱柱中体积最大者，

所以比+层=22,即4=4—配，

44

又正六棱柱的底面积S=6X^-a2,

4

2

所以该正六棱柱的体积/=S，〃=6X遮•Q2/Z=SB(]6—/z)/z.

48

设人〃)=(16—〃2)〃,0<〃<4,则，@)=16—3*,令，6)=0,得仁孚

令，①)>0,解得0Q〈苧,

令f(h)vo,解得个<X4,

f04^11度41回43

所以大人)在I'3J上单调递增，在[3,J上单调递减，所以/(/0max=/l3J,即当为二孩5,

。=延时，『取得最大值.

3

如图，过M作尸0〃4C1,交/由于点P,交GD1于点0,则P,。分别是GD1的

中点，

又所以尸。〃/C,易知四边形NCQP为矩形，

则矩形/CQP即为平面/CM截该正六棱柱所得的截面.

因为PQ=4Ci=4C=3a=2也,且AP=CQ=\IAA^+AIP2=^/z2+^a2=^6,

所以矩形/CQP的面积为NCX/P=2/X#=4d3(平方分米).

跟踪训练1(1)(多选)已知正方体/BCD—45CLDI,若NG，平面a,则关于平面a截此正方

体所得截面的判断正确的是()

A.截面形状可能为正三角形

B.截面形状可能为正方形

C.截面形状可能为正六边形

D.截面形状可能为五边形

答案AC

解析如图，在正方体中，连接AQ,BD,则NG，平面

所以平面a与平面/1BD平行或重合，

所以平面a与正方体的截面形状可能是正三角形、正六边形，但不可能是五边形和四边形，

故A,C正确，B,D错误.

（2）（2023•河北联考）如图，在直三棱柱N5C一/山C中，△NBC为等腰直角三角形，ZACB

=90°,AB=AAi=4,平面N3G截三棱柱/3C—43cl的外接球所得截面的面积为（）

A16兀

A.——B-C.-D.8兀

555

答案C

解析由于△A8C为等腰直角三角形，所以△NBC的外心是AB的中点，设为。2,

设4瓦的申点为。,连接。1。2,设。1Q的中点为。，

则。是直三棱柱/BC—NiBiG的外接球的球心，

连接OC1,OA,OB,OAi,O1C1,如图所示，

设外接球的半径为上

则尺=04=也2+22=2仍.

由于G/i=CiS,所以CiOiL/iS,根据直棱柱的性质可知G01L441,

由于441rl4S=a,AAi,48iU平面4gBi4,

所以Ci。/平面CiOi=-^i5i=2,

2

,i[-X4X21R

所以心棱锥」*2=3，

/C=3C=4X也=2也，

2

ACi=BCi=^42+（2A/2）2=2^6,所以=；*4义-（2#）2—（^2=4/，

设。到平面48cl的距离为肌则1乂4近乂〃=8,h=壬,

33y5

所以平面N2G截三棱柱NBC—421cl的外接球所得截面的半径为；（2/）2—

所以截面面积为兀义[\^2=亭.

考点二交线问题

【典例2】（1）（2023・茂名模拟）如图所示，正三棱锥尸一N3C,底面边长为2,点尸到平面/8C

的距禺为2,点M在平面X4C内，且点M到平面48C的距禺是点尸到平面/8C距离的-，

3

过点M作一个平面，使其平行于直线PB和AC,则这个平面与三棱锥表面交线的总长为（）

答案B

解析因为三棱锥尸一/3C为正三棱锥，所以△NBC为等边三角形并且边长为2,

即AB=AC=BC=2.

又因为尸一/8C为正三棱锥，如图，过点尸作底面48c的垂线，垂足为O,连接/O,则点

O为△/8C的中心.

过点8作/C的垂线交NC于点“，连接PR

由于△48C为等边三角形，因此N〃=C7f=l,3//=y22-12=3,

13

OH=-BH=^,

33

在RtAAHO中,

AO^AIfl+OH2^

又因为尸。=2,在RtZk/O尸中，

y4P=^102+0P2=vh^）2+22=^,

故/尸=3尸=。尸=迪.

3

因为三棱锥尸一/8C为正三棱锥，因此△4PC,△4P8,△BPC均为等腰三角形.

又点M到平面ABC的距离为点P到平面ABC距离的2

3

过尸〃的三等分点（靠近点P）作QQ〃/C交PC于点Q,交融于点02,

则”位于线段。102上.

过点勒作。1Q〃AP交8C于点04,过点04作。3。4〃/。交48于点Q,连接0203.

所以。102〃/。〃03。4,则。1,。2,03,Q四点共面.

因为。1。4〃3/1,01QU平面01。2。3。4,

3网平面。1。2。3。4,

所以8P〃平面。1。2。3。4.

同理可得/C〃平面。1。2。3。4,

所以平面01。2。3。4即为过点M且平行于直线PB和AC的平面.

利用三角形相似可得，0102=0304=%。=｝。2。3=0。4=学尸=厅.

这个平面与三棱锥表面交线的总长为QQ+0Q3+QQ+°@=2X^+2X：=

12+163

9,

（2）（多选）（2023・潍坊模拟）已知四棱锥P—/BCD,底面/BCD是正方形，B4_L平面/BCD,PA

=AD=2,点M在平面/8C〃上，且4W=/U£＞（O＜；1＜1）,贝U（）

A.存在人使得直线网与所成的角为5

B.不存在九使得平面R13_L平面

C.当a为定值时，点P与点M轨迹上所有的点连线和平面4BCD围成的几何体的外接球的

表面积为40+Ip兀

D.若2=退，以P为球心，为半径的球面与四棱锥尸一/38各面的交线长为Z2±①1

22

答案BCD

解析对于A,如图,

由题意知乙叨4=匹为直线网与平面所成的角，所以尸8与所成的角不小于生;冷

4446

故A错误；

对于B,E4_L平面48cD,BCU平面4BCD,

所以2CJ_以，又BC_LAB,PAdAB^A,PA,ABU平面以瓦

所以2C_L平面为瓦所以点”要在直线上，

因为也0=九4。（0</1<1）,所以不存在人使得平面以3J_平面尸员0,故B正确；

对于C,由题意知，几何体为圆锥，作圆锥及外接球的轴截面图，如图，

所以外接球的半径R满足尺2=（2—灭）2+（242,解得R=B+1,

所以外接球的表面积S=4Q2+1）2兀，故C正确；

对于D,易知AM=也,尸〃=322+（亚）2=4,

将侧面展开，知球与侧面的交线为以点P为圆心，#为半径的圆与侧面展开图的交线,

设与48交于点尸，与40交于点£,即图中EA〃"

因为tanN/P尸=^=tan/APC=3=贞，所以ZAPF=ZBPC,

22^22

又ZAPF+ZFPB=~,所以ZFPC=ZBPC+ZFPB=~,

44

由对称性知/万。=/而（,所以NFPE=匹,

2

故EMF的长为nX#,

2

又球与底面的交线是以点/为圆心，3为半径的圆与底面N3CD的交线，

故长度为三X亚，所以球面与四棱锥P一/BCD各面的交线长为述上险阻故D正确.

22

跟踪训练2在正四棱锥P-/BCD中，已知F4=/2=2,O为底面48CD的中心，以。为

球心作一个半径为个的球，则该球的球面与侧面PQ9的交线长度为（）

答案A

解析如图，取CD的中点E,则有。ELCD,PELCD,

由H=/B=2,可得OE=1,PE=0故。P=啦,

△PCD为正三角形，球心。在平面PCD上的投影"即为△PCD的中心,

0M="』球的半径"二个,

在RtZXOMF中，截面圆半径

MF=yoF-OA^=；

在正△?（?£＞中，以“为圆心，作半径为也的圆，易知ME=q§,

33

3

则EF=—=ME,

3

所以/引WE=45。，

圆与三角形截得的三部分，由对称性可知，圆心角都为90。，故该球的球面与侧面PC。的交

线长度为截面圆周长的1,

4

即为1义2兀义板=皿，故选A.

46

［总结提升］

截面和交线问题在高考中一般为选择和填空题，难度较大.探究找截面一是几何法，常用直

接连接、作平行线或作延长线找交点，找交线的方法常用线面交点法和面面交点法，二是利

用空间向量法.

热点突破

1.（2023・铅山一中模拟）将水平放置棱长为1的正方体容器（不计容器壁厚度）中注入一半的水,

现将该正方体容器任意摆放，并保证水不溢出，则水面面积的最大值为（）

A坐B.1C2D.^2

24

答案D

解析如图所示，

因为水的体积恰好是容器容积的一半，

所以①水面可以是以也为边长的正六边形，此时水面面积为6义1义啦X啦Xsin”二@

222234

②水面可以是正方体的体对角面，此时水面面积为出,

所以水面面积的最大值为侦.

2.已知正方体的棱长是2,E,尸分别是棱21cl和CG的中点，点尸在正

方形3CCi3i（包括边界）内，当4P〃平面出所时，4P长度的最大值为。以/为球心，a为

半径的球面与底面AxBxCxDx的交线长为（）

A.-B.nC.&D.君兀

22

答案A

解析如图所示，

分别取ABi,2C的中点M,N,连接MN,AM,AN,

所以EF〃MN,又AGW平面小£下，EFU平面小石尸，

所以〃平面小£尸，

同理4V〃平面Ni£F,又ANCMN=N,

所以平面4W〃平面AiEF,

因为点尸在正方形BCC山1（包括边界）内，且4P〃平面4所,

所以点P的轨迹是线段MN,

所以NP长度的最大值为A/5,

在平面43CQ1内取一点G,使得WG=1,则NG=弱，

所以以《为球心,七为半径的球面与底面//iCiDi的交线为以4为圆心，1为半径的RG。，

其长度为1义2兀X1=K,故选A.

42

3.如图，在长方体/BCD—HB'CD1中,/2=BC=也,44'=他,上底面HB1CD'

的中心为。'，当点E在线段CC'上从点C移动到点C'时，点。'在平面加㈤上的投影

G的轨迹长度为()

答案B

解析如图，以C4,CC'所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则有。(0,0),

(9(1,0),O'(1,3),

设G(x,y),由。'G±OG,可得二-匚8=—1,

X—1X—1

3

整理可得(X—1)2+

4

所以点在平面3DE上的投影G的轨迹是以下

因为MG吁

所以△。，G尸是等边三角形，即NGR9=',

3

所以。G的长Z=-x^=^.

323

4.已知正方体48CD—//iCiDi的棱长为4,E,尸分别是棱44i,2C的中点，则平面AM

截该正方体所得的截面图形的周长为（）

A.6B.10也

C.V13+2A/5D2A/13+9A/5+25

3

答案D

解析如图，取CG的中点G,连接8G,

则。iE〃8G,取CG的中点N,连接FN,

则FN//BG,：.FN//DiE,

则直线尸NU平面*

延长Di£,DA交于点、H,连接交于点M,

连接ME,则/为他的中点，

则平面DiEF截该正方体所得的截面图形为DiEMFN,

由题意得A\E=AE=?.,

则CW=3,CN=1,

Di£=^42+22=2^5,

皿川42+32=5,

FN=\Jl2+22=\l5,

取/。的中点。，连接。R贝四〃/。，

.AM=AH

"FQ~HQ'

4H48

：.AM=^-XFQ=-X4=~,

HQ63

则

3

则EM=yjAE2+AM2=\j4-^2=^-,

，平面。1E万截该正方体所得的截面图形DiEMFN的周长为D\E+EM+MF+FN+ND\=2^5

+—+^^+^5+5

33

=2而+9弱+25

3

5.（多选）（2023・杭州模拟）如图，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，

。2,5分别为圆柱上、下底面的圆心，。为球心，昉为底面圆。的一条直径，若球的半径

r为2,贝!J（）

A.球与圆柱的体积之比为2：3

B.四面体CD所体积的取值范围为（0,32]

C.平面。跖截得球的截面面积最小值为电

5

D.若尸为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE+尸尸的取值范围为[2+2弱，4啊

答案AD

解析对于A,球的体积%=如=地，圆柱的体积彳=兀户乂（2厂）=16%，则球与圆柱的体

33

积之比为2:3,A正确；

对于B,设d为点E到平面2co的距离，则0<dWr,而平面BCD经过线段斯的中点。，

=

所以嗫面体CDEF=2匕棱锥E_0QCySAOi£）c-d=|x|x4X4X（/=^|^<^,B错误；

对于C,如图，过点。作的于点〃，而01。2，。。2,贝I]Sin/DO1O2=Q^=&^,

（901DOi

22

又DOi=\1f+Qr)2=2弱,于是。力设截面圆的半径为ri,球心。到平面DEF的距离

7

为di,贝U

又n=占二次=』%三、［4—g=A，则平面。所截得球的截面面积5=兀齐三一，C错

误；

对于D,令经过点P的圆柱的母线与下底面圆的公共点为0,连接0£,QF,

当Q与E,尸都不重合时，设NQFE=6,则。尸=4cos0,QE=4sin。，当Q与E,9之一重

合时，上式也成立，

0矶

因此0尸=4cos0,Q£=4sin。，'2J,

则FE+PF=\/PQ2+QE2+\/PQ2+Q^

=2（\/l+4sin26*+\;，1+4cos26*）,

令t—A/l+4sin20+\lI+4cos20,

贝l|t2—6+2^5+4sin226*,而0W26kn,

即OWsin20W1,

因此6+2痛=5/2・12,解得l+d5W/W23,所以PE+PF的取值范围为［2+23，4A/3］,D

正确.

6.（多选）（2023•承德模拟）如图，正六棱柱/BCDEb—4SGD1EF1的各棱长均为1,下列选项

正确的有（）

FiE,

BC

A.过/,Ci,£i三点的平面a截该六棱柱的截面面积为

12

B.过4Ci,用三点的平面a将该六棱柱分割成体积相等的两部分

C.以/为球心，1为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为囱

3

D.以N为球心，2为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为11+1L

答案ACD

解析对于A,过点工作G8〃CiEi,设GXCBC=G,GHC\EF=H,

连接CiG,EiH,设GGn35i=M,EiHCFFi=N,连接NM,AN,

则过4Ci,Ei三点的平面a截该六棱柱的截面即为NMGEiN,

可得BC_L/G,AG=AH=-CxE\=^,GB=-,CIG=AJGC2+CIC2=^,

2222

因为G8=LGC,SLBBJ/CCX,则MB=LCCI=LC1M=-C1G=~,GM^-C1G^—,

3333336

可得AM=山=+BM2=T,

因为ABi_L平面ABCDEF,GHU平面ABCDEF,

所以BBxLGH,

BCCBBi=B,BC,3SU平面BCGBi,可得G/fJ_平面BCGBi,

GGU平面8CGS,则GH_LCiG,

由G〃〃Ci©,则GEi_LGG,

连接MN,则MN=BF=0

故截面面积S=SU“N+"鸣G=3义市义弓+/xf=鼻?，故A正确；

对于B,连接CE,BE,

因为881_L平面ABCDEF,G8u平面ABCDEF,

所以BBdGB,

BFA.GB,BFCBB尸B,BF,BBiU平面BFFiBi,可得G8_L平面BFABi,

则四棱锥的高为GB=~,

2

则V四版器4-BFNM=gxgxgx«=£,

32318

V

四棱柱BCGM一在耳汽

2棱柱CQE—G。也1=5、也义5义1=,

故平面a下半部分的体积-L/四棱锥Z-BFNM+峪棱柱8℃幽-尸阳N+嚏棱柱CDE

3=353

4-36

正六棱柱/BCD跖一48C1AE1/1的体积K=6X-XIX1X^X1=^,

222

显然“了，故B错误;

对于C,因为球的半径为1,则球只与侧面482X1、侧面/万户Mi和底面48cDE产相交,

因为N/iZF=///2=匹，ZFAB—-在侧面4821/1、侧面/口Mi的交线为1个圆，在底

234

面/8CDEF的交线为g个圆，半径均为1,

故球面与该六棱柱的各面的交线总长为2X-X27iXl+-X27tXl=—,故C正确;

433

对于D,因为球的半径为2,显然球不与侧面NA814、侧面/"Xi相交，

由选项A可知，G8_L平面2CC121,即/G_L平面BCG31,且山石2工石石2=2,

则球与侧面3CC/1、侧面EFFiEi分别交于点Ci,Ei,

连接/C,则/C_LCD,

因为CG_L平面ABCDEF,NCU平面ABCDEF,

所以CGL/C,

又CDCCG=C,CD,CCiU平面CDACi,可得/C_L平面CDDCi,

且/C=3,R—（俗=1,则球与侧面CDDCi的交线为;个圆，且半径为1,

同理可得，

球与侧面即。国的交线为:个圆,且半径为1,

又因为44」平面436D1E回，且44尸1,亚二？=3,

则球与底面AiBiGDiEiFi的交线为1个圆，且半径为

6

又因为《。=2,则球与底面N5CDEF的交点为