2025高考数学二轮复习：空间几何体 专项训练【附答案】

H专题突破

专题四立体几何

第1讲空间几何体

［考情分析］空间几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考

的重点与热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏上.

考点一空间几何体的折展问题

【核心提炼】

空间几何体的侧面展开图

(1)圆柱的侧面展开图是矩形.

(2)圆锥的侧面展开图是扇形.

(3)圆台的侧面展开图是扇环.

例1(1)(2023•南宁模拟)如图，已知圆锥的底面半径为1,母线长&4=3,一只蚂蚁从/点

出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点则蚂蚁爬行的最短距离为()

A.23

C.6

答案B

解析已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，如图，一只蚂蚁从N点出发绕着圆锥的侧

面爬行一圈回到点N的最短距离为44',

设=a9

圆锥底面周长为2兀，所以/4=aX3=2兀,

所以看学

在△S44'中，由=3和余弦定理，得

AA'=^SA2+SA'2-2SA-SA'-cosot

=-32+32—2X3X3义[—J=3^3.

（2）（2023•深圳模拟）如图，在三棱锥尸一/BC的平面展开图中，4C=®AB=1,4D=1,

ABLAC,ABLAD,ZCAE=30°,则cos/FC2等于（）

A-2B.-

3

D

解析由题意知，AE=AD=AB=\,BC=2,

在△/<?£中，由余弦定理得

CE2=AE2+AC2-2AE-AC-cosZCAE

=1+3-2X1X3X/=1,

2

：.CE=CF=],而BF=BD=0BC=2,

.•.在中，由余弦定理的推论得，

/…BC2+CF^-BF24+1-23

cosZFCB=---------------------=-----------=

2BC-CF2X2X14

规律方法空间几何体最短距离问题，一般是将空间几何体展开成平面图形，转化成求平面

中两点间的最短距离问题，注意展开后对应的顶点和边.

跟踪演练1（1）（多选）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中

正确的是（）

A.CQGH

B.CD与斯是共面直线

C.AB//EF

D.与是异面直线

答案ABD

解析由图可知，还原正方体后，点C与G重合，即CCGH,又可知CD与EF是平行直线,

即CD与£尸是共面直线，48与EF是相交直线(点3与点尸重合)，与EF是异面直线，

故A,B,D正确，C错误.

(2)(2023•鞍山模拟)如图，在三棱锥「一/2C中，VA=VB=VC=8,ZAVB=ZAVC^ZBVC

=30。，过点/作截面/EF,则△/斯周长的最小值为()

A.6^2B.6出C.8/D.8^3

答案C

解析沿侧棱口把正三棱锥修一/3C展开在一个平面内，如图所示，则44'即为周

长的最小值，又因为VC=ZBVC=3Q°,

所以=3X30。=90。，在△以H中，VA^VA'=8,由勾股定理得44'=

y总2+以'2=782+82=8也.

考点二表面积与体积

【核心提炼】

1.旋转体的侧面积和表面积

(l)SBtt«=27trZ,S回叱=2仃&+/)&为底面半径，/为母线长).

(2)SB#«=itrl,S=7t;-(r+/)(r为底面半径，/为母线长).

(3)S赚=4位?2(尺为球的半径).

2.空间几何体的体积公式

(1)%柱=S〃(S为底面面积，〃为高).

(2)匕为底面面积，人为高).

(3)乙=如上+M^Z+ST)/Z(S上，5下分别为上、下底面面积，h为高).

4

(4)嗫=；成3便为球的半径).

例2(1)(2023•潍坊模拟)如图，圆锥的底面半径为1,侧面展开图是一个圆心角为;的扇形.把

该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为1,则圆台的

3

侧面积为()

A8兀c435兀》16兀-0

A.——B.------C.----D.8兀

323

答案c

解析假设圆锥的底面半径为七母线长为/,则R=1.设圆台上底面半径为广，母线长为/1,

则r~~.

3

由已知可得宜=邛=?,解得/=6.

3II

如图，作出圆锥、圆台的轴截面，

_r

则有

R~3

所以Zi=4.

所以圆台的侧面积为兀(R+r)/i=4XI+)兀=号.

(2)(2023•全国甲卷)在三棱锥尸一4BC中，△48C是边长为2的等边三角形，PA=PB=2,PC

=#,则该棱锥的体积为()

A.1B.3C.2D.3

答案A

解析如图，取N8的中点。，连接尸A,CD,

因为△NBC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2,

所以尸£>_L48,CDLAB,所以PD=CD=3,又尸C=#,

所以所以尸

又4BCCD=D,AB,CDU平面ABC,

所以PD,平面/2C,

所以Vp_ABC=；XS“BCXPD

=-X-X2XA/3XA/3=1.

32

规律方法空间几何体的表面积与体积的求法

（1）公式法：对于规则的几何体直接利用公式进行求解.

（2）割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，或把不规则的几何体补成规则的几何体，不

熟悉的几何体补成熟悉的几何体.

（3）等体积法：选择合适的底面来求体积.

跟踪演练2（1）（2023•贵阳统考）如图，在棱长为2的正方体4BC。-451GA中，E,尸分别

为棱AB,3c的中点，则四棱锥2一/1EFQ的体积为（）

247

A.-B.1C.-D.-

333

答案B

解析方法一七-4Eg=%―4乌°1一腺-4乌「]x2—；X2X2=l.

方法二七-&EFC[=/-4g=Q-EBF+Bg=3义3X2+；X1X2=1.

⑵（2023・连云港调研）折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意

“善良”“善行”.它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是运筹帷幄，决胜千

里，大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个

圆弧所在圆的半径分别是1和3,且WC号，则该圆台的表面积为——

B

图1图2

答案3471

解析设圆台的上底面半径为尸，下底面半径为我,

L_2兀1

2兀尸=—1,_1

3

—3,

则解得

lTtR=—-3,

3R=l,

且圆台的母线长为3—1=2,

所以圆台的上底面面积为匹，下底面面积为兀,

9

侧面积为7ix（j+l]x2=囱,

3

所以圆台的表面积S=-+7t+—=—

939

考点三多面体与球

1核心提炼】

求空间多面体的外接球半径的常用方法

（1）补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长

方体中去求解；

⑵定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，

找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点的距离也是半径，列关系式求解即可.

例3⑴（2023・聊城模拟）某正四棱台形状的模型，其上、下底面的边长分别为也cm,2^2cm,

高为3cm,则该模型的外接球的表面积为（）

A.20兀cm2B.IO71cm2

C.5兀cm2D.—cm2

2

答案A

解析如图，取上底面EFG"的中心"，下底面45CQ的中心N,贝UAW=3cm,

故该模型的外接球的球心在MN上，设为点。，连接旌，NA,OE,OA,

故EAf=lcm,NA=2cm,

设ON=ycm,则OA/=(3—y)cm,

由勾股定理得EOZnOM+EMuG—yp+l,

AO2=ON2+AN2=y1+4,

故(3—>>)2+1=产+4,解得了=1,

故外接球半径为"M4=Y5(cm),该模型的外接球的表面积为47f(A/5)2=2O7t(cm2).

(2)(2023•全国甲卷)在正方体4BCD—415GA中，E,尸分别为48,GA的中点.以EF为

直径的球的球面与该正方体的棱共有个公共点.

答案12

解析如图，线段EF过正方体的中心，所以以EF为直径的球的球心即正方体的中心，球的

半径为空，而正方体的中心到每一条棱的距离均为空，所以以所为直径的球与每一条棱均

22

相切，所以共有12个公共点.

规律方法(1)求锥体的外接球问题的一般方法是补形法，把锥体补成正方体、长方体等求解.

(2)求锥体的内切球问题的一般方法是利用等体积法求半径.

跟踪演练3⑴已知三棱锥尸一/8C的外接球。，尸C为球。的直径，且“=2,刃=尸8=他,

AB=\,那么三棱锥尸一/8C的体积为()

答案D

解析由尸C为球。的直径可知，

PA±AC,PB±BC,即/C=2C=1,又4B=1,

所以△48C为等边三角形，则△A8C外接圆的半径，=/，

3

因为球。的半径R=l,所以点。到平面/2C的距离占#2_户=击,

3

故顶点尸到平面/8C的距离为2d=个,

所以jz=lx狙XP义变而=也.

3436

⑵（2023・潍坊模拟）在半径为1的球中作一个圆柱，当圆柱的体积最大时，圆柱的母线长为

解析设圆柱的底面半径为.，球心到圆柱底面的距离为肌则圆柱的母线长为2〃,

由球截面的性质得户+盾=1,

则r2=1—h2（0<h<l）,

圆柱的体积/=2兀/〃=2兀〃（1—%2）=2兀〃一2兀炉，

V'=2无一6%序=一6兀1-1

当he

时,V<0,

所以函数在区间Lh单调递增,

在区间E'I上单调递减，

所以当时，/取得最大值+，此时圆柱的母线长为

专题强化练

一、单项选择题

1.（2023・唐山模拟）若圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的

比为（）

A.1：1B.1：2

C.2:D.2：3

答案A

解析设球的半径为乙依题意知圆柱的底面半径也是广，高是2厂，圆柱的侧面积为2b-2厂

=4无”，球的表面积为4无“，其比为1：1.

2.（2023•锦州模拟）已知正方体48c£>—的棱长为4,P,。是棱。Di的两个三等分

点，则三棱锥。一P2C的体积为（)

答案B

解析如图所示.

VQ-PBC—VB-PQC—~S^PQCBC

=11X-1X-4X4X4=3—2.

3239

3.（2023•石家庄模拟）一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，若该圆锥的体积

为9a,则该圆锥的母线长为（）

A.3B.33C.6D.6^3

答案C

解析设圆锥的底面圆半径为厂，高为〃，母线长为/,则圆锥侧面展开的扇形面积为兀〃，底

面圆面积为“2,

因为兀〃=2兀r2,所以/=2r,

得h=\]p—F2=A/3F,

所以圆锥的体积％="户/!=1兀e3厂=9寸3兀，解得r=3,所以/=6,即圆锥的母线长为6.

33

4.已知一个直三棱柱的高为2,如图，其底面△/8C水平放置的直观图（斜二测画法）为

△HB'C,其中。'A'=O'B'=O'C=1,则此三棱柱的表面积为（）

B'~/O'~C

A.4+4也B.8+4也

C.4+43D.8+4m

答案D

解析由斜二测画法还原底面的平面图如图所示,

因为O,A'=O'B'=O'C=1,

所以04=2,OB=OC=1,

所以AB=AC=\l5,

所以此直三棱柱的底面积为】X2X2=2,

2

因为直三棱柱的高为2,故直三棱柱表面积为

S=2X2+（2+2峋X2=8+4在

5.（2023・长沙模拟）最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该

书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”“圆罂测

雨”“峻积验雪”和“竹器验雪”.其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收

集雨水.已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，当盆中积

水深九寸时，平地的降雨量是（）

（注：一尺=10寸，平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积）

A.9寸B.6寸

C.4寸D.3寸

答案D

解析如图所示，由题意知天池盆盆口半径是14寸，盆底半径是6寸，高为18寸，

由积水深9寸知水面半径为

卜（14+6）=10（寸），

则盆中水体积为\tX9X（62+102+6X10）=588兀（立方寸），所以平地降雨量为厘三=3（寸）.

37tX142

6.（2023・日照模拟）红灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征

美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1,某球形灯笼的轮廓由三部分组成，

上、下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上、下两个相同球冠剩下的部分.如

图2,球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，

若球冠所在球面的半径为凡球冠的高为肌则球冠的面积S=2兀及.如图1,已知该灯笼的高

为58cm,上、下圆柱的高为5cm,圆柱的底面圆直径为14cm,则围成该灯笼中间球面部

分所需布料的面积为（）

图2

A.1940兀cm2

C.2400兀cm2

答案C

解析由题意得发一

所以R=25cm,

所以h=25--------=l（cm）,

所以两个球冠的面积为2s=2X2兀R〃=2X2X7tX25Xl=10（k（cm2）,

则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为

4%尺2-25=4X^X252-10071=24007t(cm2).

7.（2023•广西联考）已知在一个表面积为24的正方体48。-48cbDi中，点£在站。上运

动，则当3E+4E取得最小值时，/£等于（）

答案A

解析作出图形，如图所示.

依题意6/炉=24,故48=2,

将平面AiBiD翻折至与平面BBiD共面,

易得

故当力归上⑸。时，BE+41E有最小值，此时旦出=L过点E作平面N5C。的垂线，垂足为

DE2

F,

则时三3个,所三班产;

由余弦定理得

AFJ2=AB2+BF2-2ABBFcos45°

=4+--2X2X^X也=20

9

则AE=\jAF^+EF2==2.

8.已知球。的半径为2,三棱锥尸一/8C的四个顶点均在球面上,△A8C为等边三角形,

且边长为3,则三棱锥尸一45C的最大体积为（）

aB蝮

44

c3^3D通

.42

答案B

解析如图所示，设△48C的中心为。1,连接。尸，0C,（901,△/2C为等边三角形,

边长为3,

・S乂»3=93

••/\ABCzx3z\3,

224

OIC=3X^X-=A/3,

23

又OC=R=2,

001=也2_~3)2=1,

当尸为射线。1。与球的交点时，Pp-ABC最大,

(Kp-4BC)max=JSAABC'(PO+。。1)

=3X9TX3=93

4,

二、多项选择题

9.有一张长和宽分别为8和4的矩形硬纸板，以这张硬纸板为侧面,将它折成正四棱柱，则

此正四棱柱的体对角线的长度为（）

A.2/B.2、卜C.4A/5D.^66

答案BD

解析分两种情况求解：

①若正四棱柱的高为8,则底面边长为1,此时体对角线的长度为#41^1=466；

②若正四棱柱的高为4,则底面边长为2,此时体对角线的长度为再2不/=2加.

10.（2023•新高考全国II）已知圆锥的顶点为尸，底面圆心为O,AB为底面直径，ZAPB=120°,

刈=2,点C在底面圆周上，且二面角P—/C—。为45。，则（）

A.该圆锥的体积为兀

B.该圆锥的侧面积为43兀

C.4c=2也

D.△aC的面积为他

答案AC

解析依题意，ZAPB^120°,PA=2,

所以OP=1,OA=OB=S.

A项，圆锥的体积为1X兀义~3）2乂1=兀，

故A正确；

B项，圆锥的侧面积为兀><3X2=23兀，故B错误；

C项，取/C的中点。，连接。D,PD,如图所示，

则NCJ_O。，ACLPD,所以/PDO是二面角尸一/。一。的平面角，

则/尸£>0=45°,

所以OP=OD=1,故AD=CD=\/3^1=也,

则/C=2/，故C正确；

D项，尸。=>12+12=也

所以S△以c=1X2mX也=2,故D错误.

2

11.（2023・辽阳统考）若正三棱锥P—A8C的底面边长为3,高为水,则该正三棱锥（）

A.体积为迤

4

B.表面积为93

C.外接球的表面积为27兀

D.内切球的表面积为宜

2

答案ABD

解析如图‘三棱锥尸一肥的体积仁?"。.仁;义^^加二丫,故A正确;

取的中点D,连接CD,PD,

则在正三棱锥产一/8C中，ABLCD,ABLPD.

作/W_L平面/8C,垂足为〃，贝!］尸〃=水.

由正三棱锥的性质可知//在CD±,

且CH=2DH.

因为48=3,所以CD=^,则CH=g

2

因为PH=«,所以产。=加工6=3,

则三棱锥尸一N3C的表面积为喳X4=9^,

4

故B正确；

设三棱锥尸一4BC的外接球的球心为。，半径为七则O在尸以上，

连接。C,则R2=次+。〃2=(PH—0H)2,

即尺2=3+。/=(«—0切2,解得0H=宣，

4

所以尺2=3+|=¥，

o8

则三棱锥P—N5C的外接球的表面积为4TT7?2=-,故C错误；

2

设三棱锥P—4SC的内切球的半径为r,

则1义943厂=迤，

34

解得r=*,从而三棱锥P—48c的内切球的表面积为4兀户=红，故D正确.

42

12.(2023・白银模拟)甲工程师计划将一块边长为6m的正方形铁片加工成一个无盖正四棱台，

其工程平面设计图如图1所示，正方形EFG//和正方形/BCD的中心重合，I,J,K,L,M,

N,O,尸分别是边48,BC,CD,ZM上的三等分点，且EF〃AB,IJ<EF<AB,将图中的四

块阴影部分裁下来，用余下的四个全等的等腰梯形和正方形MG"加工成一个无盖正四棱台，

如图2所示，贝1()

A.甲工程师可以加工出一个底面周长为8m的正四棱台

B.甲工程师可以加工出一个底面面积为8m2的正四棱台

C.甲工程师可以加工出一个高为1.5m的正四棱台

D.甲工程师可以加工出一个侧棱长为1.5m的正四棱台

答案BCD

解析令正四棱台的底面边长£F=2am,高为〃m,侧棱长为/m,等腰梯形£氏〃的高为

h\m,

则由题意可知，IJ=^AB=2m,2a+2hi=AB,

即/?i=(3—tz)m.

对于A,当正四棱台的底面周长为8m时，

EF=2m,不满足故A错误；

对于B,当正四棱台的底面面积为8m2时，

EF=2/m,满足IJ<EF<AB,故B正确；

对于C,如图，当正四棱台的高为1.5m时，

记正四棱台的上、下底面的中心分别为。1,02,取〃，尸G的中点。，R,连接。。2,<912,

。2凡QR,过点0作。SJ_。次于点S,则QS=1.5m,QR=(?>-a)m,RS=(a—l)m,

所以1.52+(tz—1)2=(3—d)2,

=

解得«=77'则EFTm，

满足IJ<EF〈AB,故C正确；

N(O)L(M)

EF1

对于D,如图，当正四棱台的侧棱长为1.5m时，

/=1.5m,

过点J作〃_LFG于点T,则JF=1.5m,

JT=(3—a)m,FT=(«—l)m,

所以1.52—(a—1)2+(3—a)2,

8士/

即8层一32。+31=0,解得a

4

则斯=旺旺m,满足〃<£尸<48,故D正确.

2

三、填空题

13.(2023•郑州模拟)攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角

攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它

的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面的等腰三角形的顶角为60°,

则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为.

答案3

解析设底面棱长为2am>0),正四棱锥的侧面的等腰三角形的顶角为60。，则侧面为等边三

角形，

0X(2a)2X4广

则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为工__________=3.

(2a)2

14.(2023・新高考全国II)底面边长为