2025高考数学二轮复习：立体几何综合（五大考向）专项训练【含答案】

2025高考数学考二轮专题复习-第十四讲-立体几何综合(五大考向)-专项训练

一：考情分析

命题解读考向考查统计

2023•新高考□卷，

18(1)

1.高考对立体几何综合的考2024•新高考□卷，

查，重点是平行关系

17(1)

(1)了解空间向量的概念，2022•新高考□卷，

了解空间向量的基本定理及其20(1)

意义，掌握空间向量的正交分2023•新高考□卷，

解及其坐标表示。20(1)

垂直关系

(2)掌握空间向量的线性运2024•新高考□卷，

算及其坐标表示，掌握空间向17(1)

量的数量积及其坐标表示，能2022•新高考□卷，

点到面的距离

用向量的数量积判断向量的共19(1)

线和垂直。2022•新高考□卷，

(3)用几何法进行平行、垂19(2)

直关系的证明，以及能用向量2022•新高考□卷，

法证明立体几何中有关线面位20(2)

求二面角

置关系的一些简单定理。2023•新高考□卷，

(4)能用向量法解决异面直20(2)

线、直线与平面、平面与平面2024•新高考□卷，

的夹角问题，并能描述解决这17(2)

一类问题的程序，体会向量法2023•新高考□卷，

在研究空间角问题中的作用。18(2)

已知二面角求其他量

2024•新高考□卷，

17(2)

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考口卷考查了线面平行关系的证明和已知二面角求长度问题。口

卷考查了线线垂直关系的证明和二面角正弦值的求解。难度适中，不过解题的证明方

法还是比较少见的，大家要注意。例如口卷是利用垂直关系的性质来考查平行，二面

角既可以用定义法也可以建系解决。预计2025年高考第（1）问还是主要考查平行与

垂直的判定与性质，第（2）问主要考查利用空间向量的相关知识解决空间角的问题。

三：试题精讲

一、解答题

1.（2024新高考□卷T7）如图，四棱锥尸-ABCD中，底面/BCD,

PA=AC=2,8C=1,AB=G

P

B

⑴若ADLPB,证明：AD〃平面P3C；

（2）若ADJ_DC,且二面角A-CP-O的正弦值为叵，求AD.

2.（2024新高考□卷17）如图，平面四边形/BCD中，AB=8,CD=3,AD=5粗,

21

ZADC=90°,ZBA£»=30°,点E,厂满足=AF^-AB,将△AEF沿所对

折至!PEF,使得PC=4g.

（1）证明：EF±PD；

(2)求面PCD与面P3尸所成的二面角的正弦值.

高考真题练

一、解答题

1.(2022新高考口卷T9)如图，直三棱柱ABC-ABC的体积为4,A^C的面积为

2^/2.

⑴求/到平面ABC的距离；

(2)设。为4c的中点，A^=AB,平面ABC,平面ABB,，求二面角A—3D—C的正

弦值.

2.(2023新高考□卷T8)如图，在正四棱柱ABCO-ABiG。中，AB=2,44,=4.点

4，星,C2,O2分别在棱明，B4，CG,O2上，AA1=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

(1)证明：82c2〃4。2；

(2)点尸在棱B片上，当二面角尸-4c2-&为150。时，求B』.

3.(2022新高考□卷20)如图，P。是三棱锥尸-ABC的高，PA=PB,AB1AC,E

是尸8的中点.

(1)证明：OE〃平面PAC；

(2)若/A8O=/CBO=30。，PO=3,PA=5,求二面角C-AE—8的正弦值.

4.(2023新高考口卷20)如图，三棱锥A-3CD中，DA=DB=DC,BD1,CD,

ZADB=ZADC=60,E为3c的中点.

AF

(1)证明：BC±DA；

(2)点厂满足所=D4，求二面角。-AB-尸的正弦值.

知识点总结

一、直线的方向向量

1、直线的方向向量

如图8-153所示，/为经过已知点A且平行于已知非零向量。的直线.对空间任意一点

O,点P在直线/上的充要条件是存在实数r,使。尸=。4+S口，其中向量a叫做直线

/的方向向量，在/上取A3=a,则式□可化为

OP^OA+tAB^OA+t(OB-OA\=(l-t)OA+tOBn

□和口都称为空间直线的向量表达式，当f=即点P是线段他的中点时，

2

(9P=1(OA+OB),此式叫做线段AB的中点公式.

2、共面向量

如图8-154所示，已知平面a与向量a,作OA=a,如果直线(M平行于平面a或在平

面a内，则说明向量。平行于平面a.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

3、共面向量定理

如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,6共面的充要条件是存在唯一的有

序实数对(x,y),使p=xa+yb.

推论：口空间一点尸位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使

AP=xAB+yAC；或对空间任意一点O,OP-OA=xAB+yAC,该式称为空间平面

ABC的向量表达式.

□已知空间任意一点。和不共线的三点A,B,C,满足向量关系式

OP=xOA+yOB+zOC(其中x+y+z=l)的点P与点A,B,C共面；反之也成立.

二、空间向量的数量积运算

1、两向量夹角

已知两个非零向量b,在空间任取一点。，作。4=a,OB=b,则NAO3叫做向量

a,b的夹角，记作卜,6”通常规定046/)4万，如果(“,»=],那么向量a,b互

相垂直，记作a_L6.

2、数量积定义

已知两个非零向量a,b,则MWcos(a,b)叫做a,b的数量积，记作。力,即

a2=„cos(a0.零向量与任何向量的数量积为0,特别地，a-«=|«|.

3、空间向量的数量积满足的运算律:

（A,a\'b=A（a-b\,a-b=b-a（交换律）；

a-（b+c^=a-b+a-c（分配律）.

三、空间向量的坐标运算及应用

1、设〃=（〃”出，％），”=（仇也也），贝！Ja+b=（%+%%+"2M3+4）；

a-b=-bx,a2-b2,a3-b3^；

Aa=（/14,4a2，4a3）;

a-b=+a2b2+a3b3；

a//Z7仅W0）=>q=肪i,a2=肪2，%=

Q_Lbnaxbx+a2b2+a3b3=0.

2、设4（%,%，4）,B（x2,y2,z2）,贝（J43=。5-04=（%2-%,%-必必-zj.

这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标

减起点的坐标.

3、两个向量的夹角及两点间的距离公式.

□已知a=（%,4，/），”=3也也），贝=3I；++%?

a-b=01bl+a2b2+a3b3；

cnJnh\=_4a+a2b2士。3b3.

，+42+/2J.2+打2+环

□已知A（%,yi，zJ,B（x2,y2,z2）,则网=—J+（M+（4-z2）?，

或者其中d(AB)表示A与8两点间的距离，这就是空间两点的距离公

式.

4、向量a在向量6上的投影为Hcos(a,6)=p.

四、法向量的求解与简单应用

1、平面的法向量：

如果表示向量”的有向线段所在直线垂直于平面a,则称这个向量垂直于平面a,记作

nla,如果〃_La,那么向量〃叫做平面a的法向量.

几点注意：

□法向量一定是非零向量；□一个平面的所有法向量都互相平行；□向量〃是平面的法

向量，向量加是与平面平行或在平面内，则有机,〃=().

第一步：写出平面内两个不平行的向a=(%，%，zj,6=(x2,y2,z2)；

““一…--r-d心目/、「n-a=0(xx.+yy+zz=0

弟一步：那么平面法向重几=(%,yfz),满足1=>\.

nb=0［书+理+ZZ2=0

2、判定直线、平面间的位置关系

□直线与直线的位置关系：不重合的两条直线〃，b的方向向量分别为〃，b.

若a□b,即a=4b,则［〃Z?；

a.Lb,即“•/?=(),贝!JQ_L/?.

□直线与平面的位置关系：直线/的方向向量为“，平面a的法向量为〃，且

若〃□〃，即则LLa；

若即〃•〃=(),则々〃二.

3、平面与平面的位置关系

平面a的法向量为4,平面△的法向量为为.

若"[□%，即用=彳〃2，则a〃£;若々口%，即%•%=（）,则

五、空间角公式

1、异面直线所成角公式：设。，匕分别为异面直线乙，4上的方向向量，。为异面直

线所成角的大小,则cos6=cos（a,»=F3r.

1'71a\\b

2、线面角公式：设/为平面a的斜线，〃为/的方向向量，〃为平面a的法向量，6为

a•n

/与a所成角的大小，贝！Isin6=辰（a,"=

闻〃

3、二面角公式:

设4，的分别为平面夕的法向量，二面角的大小为8,则，=或乃巧）

（需要根据具体情况判断相等或互补），其中|cose\=图].

々〃2

六、空间中的距离

求解空间中的距离

1、异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的

正射影性质直接计算.

如图，设两条异面直线。，。的公垂线的方向向量为“，这时分别在。，b上任取A,B

两点，则向量在力上的正射影长就是两条异面直线°,匕的距离.则

可即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量

I刈I刈

和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.

8

2、点到平面的距离

A为平面a外一点（如图），〃为平面。的法向量，过A作平面a的斜线AB及垂线

AH.

|AB-n|_|AB-n|

\AH\^AB\^m0=\AB\^\cos<AB,n>\=\AB\

\n\

名校模拟练

一、解答题

1.（2024•江西九江•三模）如图，已知四棱锥P-A3a）的底面ABCD为直角梯形,

jr

AB!1CD,AB±BC,^BAD=-,AB=AD,PA。为等边三角形.

(1)证明：PB±AD；

(2)若二面角P-AD-B的大小为彳，求二面角A-PB-C的正弦值.

2.(2024・安徽芜湖•三模)如图，三棱锥ABCD中，平面ABD，平面ACD,平面

平面BCD,平面ACD_L平面BCD,

(1)求证：AD,BD,CD两两垂直;

(2)若。4=1,。3=2,£^=3,2为42中点，。为AC中点，求BQ与平面PAC所成角的正

弦值.

3.(2024・四川成都•三模)如图，三棱柱ABC-A4G所有棱长都为2,ZB,BC=60%

。为AC与交点.

(1)证明：平面3CD，平面AB&；

⑵若郎一手，求二面角4—的余弦值.

7T

4.(2024•江西南昌・三模)如图1,四边形A3CD为菱形，ZABC=-|,£,歹分别为

AD,DC的中点，如图2.将沿AC向上折叠，使得平面ABC/平面ACFE,将

qEF沿EF向上折叠.使得平面平面ACFE,连接

(1)求证：A,B,D,E四点共面:

(2)求平面血(8与平面ED3C所成角的余弦值.

5.（2024•北京顺义•三模）如图在几何体/3CDPE中，底面45co为菱形,

NABC=60°,AE//DF,AEYAD,AB=AE=2DF=4.

(1)判断/。是否平行于平面CER并证明;

(2)若面£46_1面48仪)；求：

(口)平面ABCD与平面CE厂所成角的大小;

（□：）求点A到平面CEF的距离.

6.（2024•安徽合肥•三模）如图一：等腰直角」中且AC=2,分别沿三角

形三边向外作等腰梯形ABB^BCC^CAA.C.使得

7T

AA2=BB2=CC2=1,ZCAA,=ZBAA,=-,沿三边AB,BC,C4折叠，使得

445,凡员工2c3，重合于A，Bi，C1,如图二

（1）求证：M

（2）求直线CC,与平面所成角9的正弦值.

7.（2024•河北秦皇岛•三模）如图，在三棱柱ABC-A4G中，CA=CB,四边形

为菱形，/ABBi=AQl^C.

(1)证明：BC=BB-

⑵已知平面ABC1平面A网A，求二面角B-CG-A的正弦值.

8.(2024•河南•三模)如图，在直三棱柱ABC-ABC中，。是棱3C上一点(点。与

点C不重合)，且AT＞，DC,过4作平面BCC4的垂线/.

(1)证明：///AD；

(2)若AC=CG=2,当三棱锥C「AC。的体积最大时，求/C与平面AOG所成角的正

弦值.

9.(2024•江苏宿迁•三模)如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而

成，BG为半个圆柱上底面的直径，ZACB=90°,AC=3C=2,点E,尸分别为

AC,AB的中点，点。为BG的中点.

(1)证明：平面3cD//平面GEF；

(2)若尸是线段C/上一个动点，当C£=2时，求直线从尸与平面BCD所成角的正弦值

的最大值.

10.（2024•广东汕头•三模）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正

方形，P4,平面ABC。，上4=2,M是BC中点，N是PD中点.

（1）证明：直线肱V〃平面X4B；

⑵若PG=3GC，求平面PC。与平面GMN的夹角的余弦值.

11.（2024•浙江绍兴•三模）如图，在直三棱柱ABC-A瓦G中，AB1BC,

AB=BC=BBy=6,D、E分别为AC、8片的中点，设平面4。“交棱8C于点尸.

⑴求BF;

（2）求二面角的平面角的正切值.

12.（2024•湖南长沙三模）如图，在四棱台A8C。-ABCQ中，AD//BC,

AB_L£)£)i，C£>=2,A£)=3,5C=4,ZADB=30.

⑴证明：平面ADD]A，平面ABC。；

⑵若四棱台ABC。-的体积为笔1,BG=2,求平面ABC。与平面

CDRG夹角的余弦值.

13.（2024•山东烟台•三模）如图，在直三棱柱ABC-A与G中，AB=BC=BBt=2,

M,N分别为B耳，AC中点，且

⑴证明：CXM1\N.

（2）若。为棱4反上的动点，当。N与平面ABC所成角最大时，求二面角A-DM-N的

余弦值.

14.（2024・四川成都・三模）中国是风筝的故乡，南方称“鹤”，北方称“莺如图，某种

风筝的骨架模型是四棱锥尸-ABCD,其中AB=>1D=AP=2,CB=CD=CP=4,AC

交3D于点0.

(1)求证：平面PACJ_平面PB£＞；

⑵若AC=2石，且二面角P-AC-3为求直线尸8与平面PAO所成角的正弦值.

15.(2024•山东青岛•三模)如图所示，多面体ABCDEF,底面ABC。是正方形，点。

为底面的中心，点"为防的中点，侧面AD跖与3CEF是全等的等腰梯形，EF=4,

其余棱长均为2.

(1)证明:MO，平面ABCD；

⑵若点尸在棱CE上，直线3尸与平面所成角的正弦值为出，求砂.

16.(2024•新疆喀什三模)如图，在正四棱台ABCD-ABGR中，ZB,BA=60°,

AB=2AlBl=4,E是CD的中点.

(1)求证：直线AC,平面出汨4；

(2)求直线ED］与平面ABB^所成角的正弦值

17.(2024淅江•三模)如图，在三棱柱ABC-ABG中，底面ABC是边长为2的正三角

TT

形，平面ACG4,底面ABC,ZAAC=-,M=2,E,尸分别是AC,4a的中点，

产是线段所上的动点.

⑴当P是线段跖的中点时，求点尸到平面的距离；

(2)当平面PCCt与平面BB©C的夹角的余弦值为嚏1时，求EP.

18.(2024•湖南邵阳•三模)如图所示，四棱锥尸-9CD中，PAL平面ABCD,

ABCD,ABLAD,AP=AB=2AD=2CD,E为棱PC上的动点.

P

(1)求证：BC1AE；

⑵若PE=2EC,求直线DE与平面PBC所成角的正弦值.

19.(2024•江西新余•二模)如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD是直角梯形,

ABCD,ZABC=90°,S.PA=PD=AD,PC=PB.

(1)若。为的中点，证明：平面尸OC，平面ABC。；

⑵若/CQ4=60。，AB=^CD=l,线段尸D上的点〃满足DM=,且平面PCS与

平面ACM夹角的余弦值为叵，求实数2的值.

7

20.(2024•贵州六盘水•三模)已知四棱台A3CD-ABCQ的上、下底面分别是边长为

2和4的正方形，平面ADR4_L平面ABCD,M=3,DD、=岳,

cosZA^O=-—，点p为。Q的中点，点Q在棱8C上，且BQ=3QC.

⑴证明：尸。〃平面A叫a；

(2)求二面角。-4尸-A的正弦值.

21.(2024•新疆•三模)已知底面ABCD是平行四边形，24,平面ABC。，PA//DQ,

PA=3DQ=3,AD=2AB=2,S.ZABC=60°.

p

Q

D

B

⑴求证：平面尸AC_L平面CQQ；

(2)线段PC上是否存在点M，使得直线AM与平面PCQ所成角的正弦值是孚.若存

在，求出黑的值；若不存在，说明理由.

22.(2024・浙江绍兴•三模)如图，在三棱锥A-BCD中，ABC是正三角形，平面

45cl平面BCD,点E是BC的中点，AO=2OE.

⑴求证：。为三棱锥4-BCD外接球的球心；

(2)求直线AO与平面BCD所成角的正弦值；

(3)若/BCD=60。，BG=ABD,求平面AEG与平面ACD所成锐二面角的余弦值最大时

4的值

参考答案与详细解析

一：考情分析

命题解读考向考查统计

2023•新高考□卷，

18(1)

1.高考对立体几何综合的考2024•新高考□卷，

查，重点是平行关系

17(1)

(1)了解空间向量的概念，2022•新高考□卷，

了解空间向量的基本定理及其20(1)

意义，掌握空间向量的正交分2023•新高考□卷，

解及其坐标表示。20(1)

垂直关系

(2)掌握空间向量的线性运2024•新高考□卷，

算及其坐标表示，掌握空间向17(1)

量的数量积及其坐标表示，能2022•新高考□卷，

点到面的距离

用向量的数量积判断向量的共19(1)

线和垂直。2022•新高考□卷，

(3)用几何法进行平行、垂19(2)

直关系的证明，以及能用向量2022•新高考□卷，

法证明立体几何中有关线面位20(2)

求二面角

置关系的一些简单定理。2023•新高考□卷，

(4)能用向量法解决异面直20(2)

线、直线与平面、平面与平面2024•新高考□卷，

的夹角问题，并能描述解决这17(2)

一类问题的程序，体会向量法2023•新高考□卷，

在研究空间角问题中的作用。18(2)

已知二面角求其他量

2024•新高考□卷，

17(2)

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考口卷考查了线面平行关系的证明和已知二面角求长度问题。口

卷考查了线线垂直关系的证明和二面角正弦值的求解。难度适中，不过解题的证明方

法还是比较少见的，大家要注意。例如口卷是利用垂直关系的性质来考查平行，二面

角既可以用定义法也可以建系解决。预计2025年高考第（1）问还是主要考查平行与

垂直的判定与性质，第（2）问主要考查利用空间向量的相关知识解决空间角的问题。

三：试题精讲

一、解答题

1.（2024新高考□卷-17）如图，四棱锥尸-ABC。中，底面48cD,

PA=AC=2,BC=1,AB=G

P

（1）若ADLPB,证明：AD〃平面P3C；

（2）若ADJ.DC,且二面角A-CP-O的正弦值为叵，求AD.

【答案】⑴证明见解析

(2)73

【分析】（1）先证出平面的，即可得AD上由勾股定理逆定理可得

BCLAB,从而AD//BC,再根据线面平行的判定定理即可证出；

（2）过点D作DE/AC于E,再过点E作历，CP于尸，连接OR,根据三垂线法可

知，ZDFE即为二面角A-CP-。的平面角，即可求得tan/DFE=",再分别用AD

的长度表示出所，即可解方程求出AD.

【详解】(1)(1)因为PA-L平面A3CD,而")u平面ABCZ),所以丛J_AD,

又AIUPB,PBPA=P,PB,PAu平面PAB,所以AD_L平面卓B,

而ABu平面RLB,所以AD工

因为3c?+AB?=AC。所以3C_LAS,根据平面知识可知的>〃8C,

又A£>u平面P3C,3Cu平面BBC,所以AD〃平面BBC.

(2)如图所示，过点D作。E1AC于E,再过点E作跖，CP于尸，连接。尸，

因为尸A_L平面ABCD,所以平面R1C_L平面A3CD,而平面PAC平面ABCD=AC,

所以DEI平面PAC,又EFLCP,所以CPL平面DEF,

根据二面角的定义可知，ND尸E即为二面角A-CP-D的平面角，

即sin/OFE=匹，BPtanZDF£=76.

7

因为AO_LDC,设A£)=x,则CD=，4一0，由等面积法可得，DE=X^~X,

2

又CE=J(4-n」2(二，)=丁,而_及。为等腰直角三角形，所以后尸=笈，

XA/4-X2

故tan/DFE——J—=^/6,解得x=,即AD=^3.

4-x

26

2.(2024新高考□卷T7)如图，平面四边形Z3C。中，AB=8,CD=3,4。=56,

21

ZADC=90°,NBAD=30°,点、E,歹满足AE='A。，AF=-AB,将沿EF对

折至!PEF,使得PC=45/3.

P

(1)证明：EF±PD；

(2)求面PCD与面尸AF所成的二面角的正弦值.

【答案】⑴证明见解析

力8期

65

【分析】(1)由题意，根据余弦定理求得跖=2,利用勾股定理的逆定理可证得

EF1AD,则即CE,E尸，OE,结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；

(2)由(1),根据线面垂直的判定定理与性质可证明尸EJ.ED,建立如图空间直角坐

标系£-型，利用空间向量法求解面面角即可.

【详解】(1)由AB=8,AD=5>f3,AE=^AD,AF=^AB,

得AE=2"AF=4,又/BAD=30°,在△钻产中，

由余弦定理得EF=-JAE2+AF2-2AE-AFcosABAD=^16+12-2-4-2^-^=2,

所以AE?+跖？=A尸2,则AE_LE广，即斯工AD,

所以EF_LPE,EF_LDE,又PEDE=E,PE、DEu平面PDE,

所以E尸上平面尸DE,又PDu平面BDE,

故EFJ.PD；

(2)连接CE,ZADC=90\ED=3y/3,CD=3,贝!|CE2=ED°+CD2=36,

在，.PEC中，PC=4®PE=2&EC=6,得EC。+PE?=PC?,

所以PE_LEC,由(1)知PE_LEF,又ECEF=E,EC、EFu平面ABCD,

所以PEJL平面ABC。，又EDu平面ABC。，

所以PE工ED,则PE,E尸,EQ两两垂直，建立如图空间直角坐标系E-到Z,

则£(0,0,0),尸(0,0,2&),0(0,3上,0),C(3,3点0),尸(2,0,0),A(0-2^3,0),

由I是AB的中点,得3(4,26,0),

所以PC=(3,3+「2上\PD=(0,3瓜-2®,PB=(4,2君,-2右),PF=(2,0,-2占)，

设平面PCD和平面PBF的一个法向量分别为〃=(占,%,4),m=(务,为，Z2)，

叫”.尸。=3尤]+3石％-2A^Z]=0m-PB=4x2+1^3y2-1>j3z2=0

n-PD=3^3-20Z]=0m-PF=2x2-2>j3z2=0

令>1=2,%=君,得玉=°，4=3,%=-1/2=1,

所以“=(0,2,3),机=1),

所以k°s根，司=揣=寻后=普，

设平面PCD和平面PBF所成角为。，贝！Isin夕=Vl-cos20=遮，

65

即平面PCD和平面F5厂所成角的正弦值为运.

65

高考真题练

一、解答题

1.（2022新高考口卷T9）如图，直三棱柱ABC-A与G的体积为4,的面积为

2A/2.

⑴求/到平面ABC的距离;

（2）设。为AC的中点，AAi=AB,平面ABC，平面ABBiA，求二面角A—8£>—C的正

弦值.

【答案】⑴④

⑶/

2

【分析】（1）由等体积法运算即可得解；

（2）由面面垂直的性质及判定可得平面AB瓦A,建立空间直角坐标系，利用空

间向量法即可得解.

【详解】（1）在直三棱柱ABC-A4C中，设点A到平面ABC的距离为h,

1nBiiA

=

则匕ARC—SABC•h=---h=V=—S,A,A=—VDABr=—,

A-33A一A6BCC3AB6Cc13ACv—A]4。]3

解得h=母,

所以点A到平面ABC的距离为亚；

(2)取的中点E,连接AE,如图，因为所以然,片巴

又平面A.BC1平面ABB^,平面A.BCC平面ABB^=\B,

且AEu平面AB4A，所以平面ABC,

在直三棱柱ABC-A与G中，BBJ平面ABC,

由BCu平面ABC,3Cu平面ABC可得AE_L8C,BB[±BC,

又AE,BB,u平面ABB^且相交，所以BC」平面ABB^,

所以BC,848与两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图,

由（1）得AE=6,所以AA=AB=2,AB=2血,所以3c=2,

则4（0,2,0）,4（0,2,2）,3（0,0,0）,C（2,0,0）,所以4C的中点£＞（1,1,1）,

则=（1,L1）,SA=（0,2,0）,5C=（2,0,0）,

m•BD=x+y+z=0

设平面ABD的一个法向量m=(x,y,z),则

m-BA=2y=0

可取加=(1,0,—1),

n•BD=a+b+c=0

设平面&X?的一个法向量〃=(〃,/?©,贝/

n-BC=2a=0

可取〃=(0/「1)，

/\m-n11

则侬佃力=丽=万*=5,

所以二面角m-c的正弦值为'出一=冬

2.(2023新高考□卷T8)如图，在正四棱柱ABC。-431Gq中，AB=2,A4,=4.点

4，打＜2,2分别在棱A^KBrCC],。。]上，AA,=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

⑴证明：B2C2//A2D2.

⑵点尸在棱B片上，当二面角尸-为150。时，求息P.

【答案】⑴证明见解析；

(2)1

【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；

(2)设「(0,2,2)(04X44),利用向量法求二面角，建立方程求出入即可得解.

【详解】(1)以C为坐标原点，C2C5C4所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

如图，

则C(0,0,0),C2(0,0,3),B2(0,2,2),D2(2,0,2),4(2,2,1),

:.B2c2=(0-2,1),aR=(0,-2,l),

又BO42不在同一条直线上，

B2C2//A,£)2.

(2)设尸(0,2,4)(0van4),

则AC2=(-2,-2,2),PQ=(0,-2,3-A),£>2C2=(-2,0,l),

设平面PAG的法向量〃=(尤,y,z),

叫n•A^C2=—2x-2y+2z=0

nePC2——2y+(3—/l)z=0

令z=2,^y=3—A,x=A—l,

n—(X—1,3—4,2),

设平面4c2。2的法向量m=(a,b,c),

m•AC=-2a-2b+2c=0

则?，

m-D2c2=-2a+c=0

令a=l9得b=l,c=2,

m=(1,1,2),

I,xin-m£R

cos(n,m)=—n—=「/------=Icosl50°|=—

1Z|

、7674+(2-l)2+(3-A)2112

化简可得，纪-42+3=0,

解得4=1或4=3,

...尸(0,2,1)或尸(0,2,3),

:.B2P=1,

3.(2022新高考□卷20)如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA=PB,ABJ.AC,E

是P8的中点.

(1)证明：OE〃平面PAC；

(2)若NASO=/CBO=30。，PO=3,PA=5,求二面角C—AE-3的正弦值.

【答案】⑴证明见解析

(2书

【分析】（1）连接3。并延长交AC于点O,连接。4、PD,根据三角形全等得到

OA=OB,再根据直角三角形的性质得到AO=DO,即可得到。为的的中点从而得到

OE//PD,即可得证；

（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根

据同角三角函数的基本关系计算可得.

【详解】（1）证明：连接30并延长交AC于点O,连接。4、PD,

因为P。是三棱锥P-ASC的高，所以「平面ABC,AO,8Ou平面ABC,

所以PO_LAO、POLBO,

又PA=PB,所以APOA合APOB,即。4=03,所以=

又ABIAC,BPABAC=90°,所以Nft4B+N（MD=90。，ZOBA+ZODA^90°,

所以=

所以AO=DO,即40=00=03,所以。为3D的中点，又E为尸8的中点，所以

OE//PD,

又OEZ平面PAC,尸£>u平面PAC,

所以0E//平面PAC

(2)解：过点A作上//OP,如图建立空间直角坐标系,

因为PO=3，AP=5,所以QA=JAP?—尸。2=4,

XZOBA=ZOBC=30°,所以3D=2cM=8,贝!]AD=4,AB=4也,

所以AC=12,所以O（2后2,0）,B（473,0,0）,网2M2,3）,C（0,12,0）,

所以石[3后1,||,

则AE=（3K,1,0,AB=（4A/3,0,0）,AC=（0,12,0）,

-3

/、n-AE=36x+y+—z=0

设平面型的法向量为〃=«y,z）,贝！|2令z=2,则

"•A5=4瓜=0

产一3,x=0,所以〃=（0,-3,2）；

-3

、r一一一、—、1/、irm-AE=3yJ3a+b+—c=0

设平面AEC的法向量为根=（〃也c）,贝,2,

m-AC=12b=0

令a=6，贝！1。=—6,b=09所以机=（6,0,-6）；

n-m_-124百

所以cos(2机

InllmlA/13XA/39IT-

设二面角C-AE-3的大小为e,贝！J|cosM=|cos^n,m

4.(2023新高考口卷20)如图，三棱锥中，DA=DB=DC,BDVCD,

ZADB=ZADC=60,E为3c的中点.

(1)证明：BCLDA.

(2)点尸满足所=D4，求二面角O-AB-尸的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2卓

【分析】(1)根据题意易证平面ADE,从而证得3CLZM；

(2)由题可证短，平面8。，所以以点E为原点，£。,£民以所在直线分别为％M2

轴，建立空间直角坐标系，再求出平面海，ABB的一个法向量，根据二面角的向量公

式以及同角三角函数关系即可解出.

【详解】(1)连接因为E为BC中点，DB=DC,所以口，

因为DA=DB=DC,ZADB=ZADC=60,所以一ACD与△ABD均为等边三角形，

AC^AB,从而AE_L8CC],由口口，AEDE=E,AE,u平面ADE,

所以，平面ADE,而ADu平面ADE,所以BC_LD4.

(2)不妨设DA=£®=£)C=2,BDA.CD,BC=272,DE=AE=j2.

:.AE2+DE2=A=AD2,:.AE±DE,又AE±BC,DEBC=E,DE,BCu平面3co

.•.AE_L平面BCD.

以点E为原点，£。,血,阴所在直线分别为工，％2轴，建立空间直角坐标系，如图所

示:

设。(也0,0),A(0,0,扬,8(0,72,0),£(0,0,0),

设平面DAB与平面AB尸的一个法向量分别为4=&,%*］）,%=（工2，%/2），

二面角。-钻-/平面角为。，而AB=（。，"-0）,

因为EP=ZM=卜&,0,a）,所以川-夜,0,0）,即有A/H-垃,0,0卜

i+A/^Z]=0

取玉=1,所以4=（1」,1）;

K--\Z2zj=0

\y/2y2-42z2=0

取为=1,所以巧=（0」,1）,

\^—y/2,X2=0

所以，"=|二心邛，从而si“=7f邛.

所以二面角。-AB-歹的正弦值为4.

知识点总结

一、直线的方向向量

1、直线的方向向量

如图8-153所示，/为经过已知点A且平行于已知非零向量。的直线.对空间任意一点

。，点尸在直线/上的充要条件是存在实数八使OP=Q4+〃口，其中向量。叫做直线

/的方向向量，在/上取AB=a,则式□可化为

0P=0A+tAB^0A+t（0B-0A）^（1-t}0A+t0BU

□和□都称为空间直线的向量表达式，当，=工，即点尸是线段4?的中点时，

2

OP=1（OA+OB）,此式叫做线段AB的中点公式.

2、共面向量

如图8-154所示，已知平面a与向量a,作0A=a,如果直线平行于平面a或在平

面a内，则说明向量。平行于平面a.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

3、共面向量定理

如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,6共面的充要条件是存在唯一的有

序实数对（羽,），使°=苫4+*.

推论：□空间一点尸位于平面内的充要条件是存在有序实数对（x,y）,使

AP=xAB+yAC■,或对空间任意一点O,OP-OA=xAB+yAC,该式称为空间平面

ABC的向量表达式.

□已知空间任意一点。和不共线的三点A,B,C,满足向量关系式

OP=xOA+yOB+zOC（其中x+y+z=l）的点P与点A,B,C共面；反之也成立.

二、空间向量的数量积运算

1、两向量夹角

已知两个非零向量”，b,在空间任取一点O,作Q4="，OB=b,则NAOB叫做向量

a,b的夹角，记作,力），通常规定0〈卜,»<»，如果（a,》”],那么向量a,6互

相垂直，记作〃，心

2、数量积定义

已知两个非零向量〃，b,则WWCOS（Q,Z?）叫做a,b的数量积，记作〃•6，即

a2=WWcos（a,9.零向量与任何向量的数量积为0,特别地，〃・〃=忖.

3、空间向量的数量积满足的运算律：

6）,a-b=b-a（交换律）；

a-^b+c\=a-b+a-c（分配律）.

三、空间向量的坐标运算及应用

1、设a=（4，〃2,。3），匕=（仇也也），贝（Ja+匕=（4+白,%+人2，。3+4）；

CL-b=（%-Z?j,a?一打，〃3-4）；

,Za2,4a3）；

a-b=%瓦+a2b2+a3b3；

=g,%=Ab2，％=劝3；

Q_Lbn〃占+a2b2+a3b3=0.

2、设4（占,乂，4）,B（x2,y2,z2）,则4避=0月-OA=（3-省,当一一zj.

这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标

减起点的坐标.

3、两个向量的夹角及两点间的距离公式.

□已知〃=(%,。2，。3)，6=(4,4也)，则

1+%2+a2；

a-b=01bl+a2b2+a3b3；

MZ

□已知A(%，，J,B(x2,y2,z2),贝”AB卜｛(占一为1—％J+(4-z2y,

或者〃(A3)=|AB].其中4(48)表示A与3两点间的距离，这就是空间两点的距离公

式.

4、向量a在向量Z?上的投影为141cos.

四、法向量的求解与简单应用

1、平面的法向量：

如果表示向量〃的有向线段所在直线垂直于平面。，则称这个向量垂直于平面a,记作

nla,如果〃_La,那么向量〃叫做平面。的法向量.

几点注意：

□法向量一定是非零向量；□一个平面的所有法向量都互相平行；□向量〃是平面的法

向量，向量机是与平面平行或在平面内，则有加•〃=().

第一步：写出平面内两个不平行的向”(七,zj,Z?=(x2,y2,z2)；

n-a=0孙+孙+ZZ]=0

第二步：那么平面法向量〃=(x,y,z),满足v

nb=0xx2+yy2+zz2=0

2、判定直线、平面间的位置关系

口直线与直线的位置关