2025高考数学二轮复习：球的切接问题 专项训练【含答案】

微专题26球的切接问题

［考情分析］求解空间几何体的外接球问题的关键是确定球心的位置，常用的方法为补形法

或者利用多面体的面作垂线，垂线的交点即为球心；求解多面体的内切球问题的关键是求内

切球的半径，常用切线长定理、等体积法等.球的切接问题是高考中的热点，一般为中档题.

-思维导图

空间几何体的结构特征一

棱锥、球的表面积、体积公式一厂外接球问题

球的几何性质一必备常见一内切球问题

基本不等式一知识题型

一一球的切接的最值问题

利用导数求最值一球

的-与数学文化、现实生活相结合的问题

解三角形的有关公式一切

接

问

构造（补形）法一题

一

轴截面法一必备常见不能确定外接球球心

等体积法一解法误区-求有关球的最值问题时忽略变量的范围

坐标法一

考点一空间几何体的外接球

【典例1】⑴（2023•东北三省三校联考）“阿基米德多面体”被称为半正多面体（semi-

regularsolid）,是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如

图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得

到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知/2=殳返，则该半正多面体

2

外接球的表面积为（）

A.1871B.16兀C.14兀D.12TI

答案A

解析如图，在正方体EFGH—EiEGiHi中，取正方体与正方形EiEGiM的中心。，5,连

接EiGi,OOi,OA,OiA,

2

EF

'：A,B分别为EtHi,HiGi的中点,则©Gi=2AB=3啦,

...正方体的边长为EF=3,

故。。1=O\A=|,可得OA=yjoO^+OiA2=,

根据对称性可知，点。到该半正多面体的顶点的距离相等,

则该半正多面体外接球的球心为O,半径R=O4=外乜,

故该半正多面体外接球的表面积为8=4兀7?2=4兀乂12J2=18TU.

（2）（2023・杭州模拟）空间中四个点/,B,C,〃满足/B=2C=/C=3,CM=2也,且直线CM

与平面ABC所成的角为60。，则三棱锥/一的外接球体积最大为（）

A.36兀B.48K

C.32®D.48yl3兀

答案C

解析如图1,设。是△NBC的外接圆的圆心，因为N5=8C=/C=3,所以△NBC是正三

角形，

则三棱锥/一的外接球的球心〃在过点。且与平面/2C垂直的直线00'上,

由题意可得。。=二一乂1=3,过点M作"N,平面4BC于点N,

sin6002

由直线CM与平面/8C所成的角为60。，得NMCN=60。，

因为CM=2\{3,

所以CN=0,

故点N的轨迹是以C为圆心，73为半径的圆，

当球心〃到CM的距离最大时，三棱锥/—的外接球体积最大，

所以点N在。C延长线上时，三棱锥/—V5C的外接球体积最大，如图2,

图2

设CM的中点为G,连接G8,则CG=3,GHLCG,

又。。=3,OH±OC,所以RtZV/OC0RtZV/GC,所以/"CO=///CG=60°,

所以HC=2OC=20

所以三棱锥/一MBC的外接球体积最大为旷=丹叱=32品.

3

跟踪训练1（1）（2022・新高考全国II）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3姻和

43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A.10071B.128K

C.144兀D.192兀

答案A

解析由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为2义也X3A/3=3,2义也义43

3232

=4.

设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1,。2,连接。。2,则。。2=1,其外接球的

球心O在直线。1。2上.

设球。的半径为R,当球心。在线段。。2上时，7?2=32+OO?=42+（l-OOi）2,解得。Oi

=4（舍去）；

当球心。不在线段。。2上时，尺2=42+。0夕=32+（1+。。2）2,解得。。2=3,

所以相=25,

42=1

所以该球的表面积为兀尺007t.

综上，该球的表面积为100兀

（2）（2023・广州模拟）已知三棱锥尸一48C的四个顶点都在球。的球面上，PB=PC=2#,AB

=/C=4,PA=BC=2,则球O的表面积为（）

C158兀D79兀

5,5

答案A

解析如图，在三棱锥尸一/8C中，/BZ+K^MZOMP中,贝同理可得P4L4C,

因为48rMe=/,AB,/cu平面NBC,所以E4_L平面NBC,

在等腰△/2C中，NB=/C=4,BC=2,

-BC1

贝（Jcos/ABC=Z__=一，

AB4

sinN4BC=5-cos?N4BC=A,

设△45C的外接圆圆心为Oi,则OOi_L平面。/=1•———二条,

2sinZABCy/15

易知OOM/PA,取24中点D,连接0D,则有O£>_LE4,又。/U平面48C,所以。/_LR1,

从而。/〃。。，四边形。£>/。1为平行四边形，00i=4D=l,又。Oi_LOM,

因此球。的半径尺2=0/2=0]/2+0]02=tM）2+y=R,

所以球。的表面积S=4兀尺2=售.

考点二空间几何体的内切球

【典例2】（1）如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥.高速公路里程、高铁

里程双双都是世界第一.建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重

器更是世界领先水平.如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小

球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切.设则该模型中5个球的表面积之和

为.

答案-a2

3

解析如图所示，设。为大球的球心，大球的半径为R,正四面体的底面中心为瓦棱长为

a,高为〃，CZ）的中点为尸，连接。4,OB,OC,0D,0E,BF,

C

贝IBE=-BF=^-a,

33

正四面体的高h=AE=^AB2—BE2=^a.

因为力_BCD=4FO-'BC,所以1XSA/BCX〃=4X1><SA/BCXR,所以及=与=水。

33412

设小球的半径为r,小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高〃小=/一

2R=­a,

6

所以一%=3g

故该模型中5个球的表面积之和为4nR2+4X471F2=871J?2=8TIX-^-a2=-a2.

1443

（2）（2023・益阳质检）金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬的物质，它的结构是

由8个等边三角形组成的正八面体，如图，某金刚石的表面积为183,现将它雕刻成一个球

形装饰物，则可雕刻成的最大球体积是（）

A.18兀B.9也兀C.6兀兀

答案D

解析如图，设四边形/BCD的中心为O,BC,40的中点分别为77,M,连接。X,EO,

EH,MF,HF,EM,

F

设金刚石的边长为。，则由题知，8X-tz2sin60°=2^/3a2=18\5,所以。=3,

2

在等边△砂。中，5C边上的高

EH=\!EC2^CH2=\j32-\j\2=^L,

在RtAEOH中，岳0=\^^_0杼=:个一；=个,

由题可知，最大球即为金刚石的内切球，由对称性易知球心在。点，

内切球与平面匹C的切点在线段昉■上，

内切球的半径即为截面内切圆的半径，设内切圆半径为K

由等面积法可知，谑解得r=«,所以内切球的半径为尺=出，

22222

则内切球的体积为厂=—4兀建=—4兀国〔24=76兀.

33

跟踪训练2（1）在四面体N—BCD中，BA,BC,8。两两互相垂直，BA=\,BC=BD=2,

则四面体/一BCD内切球的半径为（）

A4—加口5—水

1010

CD5—^6

55

答案C

解析因为84BC,8。两两互相垂直，艮4=1,BC=BD=2,

所以NC=/D=A/5,CD=2\[2.

如图，取CD的中点E,连接/£,则/ELCD,

所以AE4D2—DE?=电,

所以S“cD=，2^X3=yj6,

2

所以四面体/—3CO的表面积S=-X1X2X2+-X2X2+A/6=4+A/6.

22

设四面体N—8C。内切球的球心为。，半径为厂，

贝Uy三棱锥/—5CD=V三棱锥O-ABC~\~V三棱锥O-BCD~\~V三棱锥O—/皿+V三棱锥O—ACD,

所以;X1XgX22=；Sr=；义（4+#>,

解得『匕虫

5

所以四面体/—BCD内切球的半径为匕®

5

（2）（2023・背泽模拟）已知一个装满水的倒圆台形容器的上底面半径为1,下底面半径为5,高

为83，若将一个铁球放入该容器中，使得铁球完全没入水中，则可放入铁球的表面积的最

大值为（）

A.32兀B.36兀

C.48兀D.50兀

答案D

解析依题意，铁球的表面积最大时，该球与圆台下底面和侧面相切，显然铁球球心。在圆

台的轴线上，过圆台的轴作平面截圆台得等腰梯形/BCD,截球得球的大圆O,圆。与/瓦

BC,/D都相切，如图，

RO)/MiN

^v

oj:

CDQ

令的中点为过点。1的圆0的直径另一端点为。2,过点。2作圆0的切线分别交3C,

AD于E,F,

则EF〃/2,即圆。是等腰梯形ABE尸的内切圆，过点。，P作N2的垂线，垂足分别为

N,

令圆。切40于G,

于是Oi/=5,O\M=1,AM=A,

令圆O的半径为R,0F=r,

显然/斤=/G+GF=/Oi+R?2=5+r,

入FN〃DM,则有坦^=4丝=与，而FN=2R,

FNDM8勺2

因此/N=落，

2

又O\A=AN~\~NOI=AN~\~FO2,即丫=F()2=5R,

2

所以4b=10—4,

2

在中，AF2=AN2+FN2,

于是卜一?4=ffM+(2秒

解得尺=冬，

所以可放入铁球的表面积的最大值4兀尺2=4兀2)=50兀.

考点三空间几何体的切接问题

【典例31(2023•开封模拟)已知棱长为6的正四面体内有一个正方体玩具，若正方体玩具可以

在该正四面体内任意转动，则这个正方体玩具的棱长最大值为()

A.也B.2也C.3D.2yli

答案A

解析如图所示，若正方体玩具可以在该正四面体内任意转动，则正方体的体对角线不超过

该正四面体内切球的直径.

P

7

如图，PO1为正四面体尸一的高，。1是正△48C的中心，。1/=4

3

设。为正四面体尸一45。内切球的球心，则内切球的半径为。。1=尸,

Vp-ABC=Vo-ABC~\~Vo-PAB~\~Vo-PBC~\~Vo-PAC^

^^ABC'PO\+W

,•*S“BC=S丛RiB=S^PBC=SgAC,

：.POi=4r,正四面体尸一/8C内切球的半径厂=«,直径2r=#,

2

设正方体玩具的棱长为a,则其体对角线长为3a,

.,.3aW#,:.aW啦,

正方体玩具的棱长的最大值为

跟踪训练3在公元前4世纪中叶，中国天文学家有一套测定天体球面坐标的仪器称作浑仪,

比古希腊早了近60年.浑仪是由一重重的同心圆环构成，整体看上去近似一个球体.它的运

行制作原理可以如下解释，同心圆环的小球半径为r,大球半径为尺，大球内安放六根等长的

金属丝（不计粗细），使小球能够在金属丝框架内任意转动，若R=由,则r的最大值为

答案1

解析由题意知，小球与正四面体的各条棱相切，大球为正四面体的外接球，即可保证r最

大，如图所示，设正四面体/—BCD的棱长为a,E为△BCD的中心，可得/£_!_平面BCD,

因为CEU平面BCD,则AE±CE,且CE^-X^-a^-a,

323

所以AE=\JAC2—CE2=a,

3

在RtzXOCE中，OCuOE+CE1,可得尺2=13"—R

解得a=2\[2,

过点。作。歹，/C,垂足为F,

2

在RtAOCF中，可得OF=\I0C—C产=\lR2—I2>=小万）百诉2=1,

即小球的最大半径厂=1.

［总结提升］

1.几何体的外接球，常用的方法有构造法、截面法.

2.几何体的内切球

求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为

底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径.

热点突破

1.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榨卯结构，它的外观是如图

所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，6根等长的正四棱柱体分成3组，经90。

榨卯起来.若正四棱柱的高为8,底面正方形的边长为2,现将该鲁班锁放进一个球形容器内，

则该球形容器的表面积至少为（容器壁的厚度忽略不计X）

A.96%B.84兀C.4271D.16TI

答案B

解析若球形容器表面积最小，则正四棱柱与球内接，此时球体的直径等于一组正四棱柱的

体对角线长，即2尺=782+（2+2）2+22=2而,所以尺=也1,球形容器的表面积至少为5=

4HR2=84TI.

2.（2023•江苏四市调斫）已知正四面体尸一/8C的棱长为1,点。为底面△/BC的中心，球。

与该正四面体的其余三个面都有且只有一个公共点，且公共点非该正四面体的顶点，则球。

的半径为（）

答案B

解析因为正四面体尸一48C的棱长为1,则正四面体尸一4BC的高为h=

由题可知球。与该正四面体的其余三个面都相切，设球。的半径为八

3

贝UVp_ABC=Vo-PAB~\~Vo-PBC~\~Vo-BiCy所以X道X—=X''尸+lX盘/+'X?T,

343343434

所以

3.（2023・德阳模拟）已知矩形/BCD的面积为8,当矩形/5CQ周长最小时，沿对角线4c把

△4CD折起，则三棱锥D-ABC的外接球表面积等于（）

A.8兀B.16兀

C.48仍兀D.不确定的实数

答案B

解析设矩形Z5CZ）的边长分别为x,小贝I」肛=8,所以矩形Z5CQ的周长C=2（x+y）,

Vx>0,y>0,

C=2（x+y）=8^/2,当且仅当x=y=2/时取等号,

・,•当矩形的周长最小时，x=y=2啦,

AC_4_

：.DE——————2O.

22

,:DE=EB=AE=CE=2,

：.外接球的半径R=DE=2,

外接球的表面积S=4TIR2=4X22TI=I671.

4.（2023・广东联考）已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面、底面均相切）的体积为等，则该圆

锥的表面积的最小值为（）

A.32兀B.28兀C.24兀D.20兀

答案A

解析设圆锥的内切球半径为厂，则*/=券，解得厂=2,

设圆锥顶点为/,底面圆周上一点为8,底面圆心为C,内切球球心为，内切球切母线48

于点£,底面半径8C=R>2,ZBDC=6,

D

则tan<9=一,又/ADE=n—2。,

2

故45=5E+4E=E+2tan（兀一2<9）=R—2tan2仇

2tan9R_=4R

又tan20=

1—tan20

4

SR_R（R2+4）

故AB=R

4—R2R2-4

故该圆锥的表面积为5=成2（叱+4）

R2—4

令片笈―4>0,则S=^±^=2兀（+：+8）》2l2Y+q=32兀,

t

当且仅当/=/，即f=4,R=2/时取等号.

5.（2023・桂林模拟）已知△&4B是边长为2的等边三角形，ZACB=45°,当三棱锥S-45c

体积取最大时，其外接球的体积为（）

.20而兀遇

A.B

273

c28^2171D她

.273

答案C

解析取的中点。，连接CD,SD,如图,

在△48。中，由余弦定理得2/C3Ccos//C82（2—也）/C8C,

即/C5CW2（2+也），当且仅当/C=8C时取等号，

又2&>=B+E

则4cb2=C^2+CS2+2C4-C^=4+Ay2|C4||CS|+2|G4||CS|cosZ^CS=4+2^2|C4||CB|=4+

2也ACBC,

当且仅当/C=BC时，|丽|最大，即CD最大，

-AC-BCsinZACB=^ACBC最大,

△48。的面积S^ABC

令直线CD与平面SAB所成角为仇

贝U点C到平面SAB的距离h=CDsinO^CD,当且仅当0=90。时取等号，

因此三棱锥S-ABC的体积VS-ABC=Vc-SAB=\s^sAB-h,即当h=CD最大时，三棱锥S-ABC

体积最大，

因此当三棱锥S—A8C体积最大时，NC=8C且C£>_L平面S48,而S〃u平面S48,即有

CD±SD,在正中，SD±AB,ABCCD=D,贝U5D_L平面NBC,

令正△£18的外接圆圆心为Q,等腰△43C的外接圆圆心为。1,则Q,。1分别在SO,CD

上，令外接球球心为。，

于是O。」平面/2C,。。2,平面“及tOOi//SD,OO2//CD,即四边形。。刃。2是矩形，

而。2r>=1$。=3，。1/=1-———=也，在RtZUOl。中，OiO=OiD=&

332sinZACB3

因此球0的半径尺=。/=寸。1/2+0102=；（也）2+日2=得,

所以三棱锥s—48c外接球的体积K=—7?3=—Xlv3j3=28^2171.

3327

6.（多选）某组合体由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为手，托盘由边长为

4的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，如图②.则下列说法正确的有

（）

DE

A.多面体48C—DEF的体积为9

B.经过三个顶点/,B,C的球的截面圆的面积为支

C.异面直线/。与CF所成角的余弦值为上

8

D.球离球托底面△。跖的最小距离为3+独一1

3

答案ACD

解析因为托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成,

所以连接/瓦2c和/C得几何体48C—OEG

因此构建一个底面边长为2,高为3的正三棱柱DEF—。1团为，

DiEi,瓦Fi和。内的中点分别为4,8和C,

则几何体/8C—DEF就是题意中的几何体，如图.

几何体48。一。即的上底面△48C是边长为1的正三角形,

下底面是边长为2的正三角形，高为3.

因为铜球的体积为何，所以由球的体积公式得铜球的半径R=l.

3

对于A,由几何体48C—DE■厂的构成知，

多面体48C—DEF的体积为三棱柱的体积减去3个三棱锥的体积，

即也X22XM3—3X1X/X12XM3=2故A正确；

4344

对于B,因为经过三个顶点4B,C的球的截面圆就是正△NBC的外接圆,

所以若边长为1的正三角形的外接圆半径为r,

1s

则—n=2r,解得厂=胃.

sin-3

3

因此经过三个顶点aB,C的球的截面圆的面积为兀”=匹，故B不正确;

3

对于C,取EF的中点G,连接NG,则由几何体ABC—。斯的构成知,

AC//GFS.AC^GF,因此四边形ZGFC是平行四边形，

所以CF〃/G,因此/ZMG就是异面直线与CF所成的角.

连接DG,在△£MG中，AD=CF=AG=2,DG=0

AD2+AG2~DG24+4—3=5

因此cosZDAG=

2ADAG8—8’

即异面直线/。与CF所成角的余弦值为3故C正确;

8

对于D,由B知，经过三个顶点/,B,C的球的截面圆的半径厂=1.

所以铜球的球心到平面A8C的距离为4氏2一“=

因此球离球托底面△DM的最小距离为他一

7.（多选）（2023•张家口模拟）已知圆锥PE的顶点为尸，E为底面圆的圆心，圆锥尸£的内切球

球心为Q,半径为片外接球球心为。2,半径为A以下选项正确的有（）

A.当。1与。2重合时，R=W

B.当E与。2重合时，R=（l+/）r

C.若r=2,则圆锥PE的体积的最小值为典

3

D.若R=2,则圆锥PE的体积的最大值为海

27

答案BC

解析设N8为底面圆的一条直径，圆锥PE的内切球半径和外接球半径分别为其轴截面

△为3内切圆半径和外接圆半径.当。1与。2重合时，如图1,

O为重合的圆心（球心），M为一个切点，

由PO=/O=A,PO,均为对应角的角平分线，

所以所以久PA=PB,

所以为等边三角形，故/。/"=30。，所以R=2r,所以A错误;

当E与。2重合时，如图2,

PE=AE=R,

所以/£E4=45。,

r3

故sinZEPA

R-r2

所以R=(l+也)厂，故B正确；

若r=2,设圆锥底面半径为a,则a>2,

设圆锥的高为〃，则母线长为W2+J,轴截面的面积S=：X2aX〃=g2a+2：4”)r,

即ah-2a=2y]a2+h2,平方整理得人="",

a2—4

圆锥的体积V=-na2h=—

33层一4

_4

—3%1一+

a2a4

所以当4=1时，/最小，最小值为驷，故C正确；

a283

若R=2,设圆锥底面半径为“，圆锥的高为〃，

则0<7z<4,易得一2『+层=4,

所以层=4〃一炉，圆锥的体积V—=j7i(4/z2—/z3),

则V=$〃(8—3町.

科/]

当f03j时，V>0,当/?e13'4J时，V<0,

所以当力=与时，%最大，最大值为

3

故D错误.

8.(2023・汕头模拟)如图，在正四棱台48CO—中，48=4,//i=2,若半径为r的

球。与该正四棱台的各个面均相切，则该球的表面积S=.

答案8兀

解析设球。与上底面、下底面分别切于点01,()2,与平面4DD14,平面分别切

于点及F,

作出其轴截面如图所示，则MOi=〃E=l,EN=NOz=2,

MO