2024学年内蒙古前旗某中学高二数学上学期12月考试卷（附答案解析）

2024学年内蒙古前旗二中高二数学上学期12月考试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1.直线/：x+y+l=0的倾斜角0为（）

A.30°B.45°

C.135°D.150°

2.已知点Z。,4）到直线/:ax+y-1=0的距离为3,则实数。等于（）

3、3

A.3B.—C.0或3D.0或一

44

3.已知圆c：（x+i）2+（y+i/=4,则过点（1,2）的圆C的切线方程为（）

A.5x+12y-29=0B.5x+12y-29=0或％=1

C.5x-12j+19=0D.5%-12>+19=0或x=1

4.已知椭圆c：W+j=l（a>b>0）的离心率为暂，且过点（0,⑹，则C的方程为（）

22

5.已知双曲线C:5=1k>0,6>0）的离心率为2,则C的渐近线方程是（）

ab

A.y=±-^-xB.V=±%C.y=±yplxD.y=±^3%

22

6.设椭圆C*+方=1（。>6>0）的左、右焦点分别为用耳，P是椭圆C上的点，PFQFE，

/尸片乙=30。，则椭圆C的离心率为（）

A."B.百C."D."

323

7.已知双曲线=l的两个焦点分别为小鸟，双曲线C上有一点尸，若|P局=5,则归闾=

（）

A.9B.1C.1或9D.11或9

8.已知抛物线/=12%的焦点为尸，点夕在抛物线上，定点。（5,2）,则|尸。|+|P用的最小值为

（）

A.6B.7C.8D.9

二、多选题（本大题共3小题）

1

9.已知曲线C:f+叼2=i,则下列结论正确的有（）

A.若0＜机＜1,则C是焦点在y轴上的椭圆B.若加=1,则C是圆

C.若加＞1,则C是焦点在y轴上的椭圆D.若冽=0,则C是两条平行于y轴的直线

22

10.已知吊耳是双曲线土-匕=1的两个焦点，若p是双曲线左支上的一个点，下列说法正确的

916

是（）

5

A.e=一

3

B.渐近线方程为y=±|x

C.若尸耳•*=32,则记尸耳的面积为16

D.若工=60°,贝建片尸工的面积为16G

11.设椭圆C：[+：=1的左、右焦点分别为片，F2,P是椭圆C上的动点，则下列说法中正

确的是（）

A.|尸囿+|尸周=4B.椭圆C的离心率e=?

C.|尸用的最大值是3D.△尸耳月面积的最大值为百

三、填空题（本大题共3小题）

12.圆心在直线3无+了-5=0上，且经过原点和点（3,-1）的圆的方程为

13.已知与B为双曲线C:f-r=2的左、右焦点，点尸在C上，线质=0,则2的面积

为.

22

14.已知椭圆]+?=1的左右焦点分别为片，8，点P在椭圆上，设线段尸片的中点为且

\OF2\=\OM\,则△用鸟的面积为.

四、解答题（本大题共5小题）

15.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.

⑴焦点为（-2,0）；

⑵焦点到准线的距离为

16.已知直线/：＞=左(1+1),圆C:x2+y2-4x-4y+4=0.

2

⑴若直线/与圆c相切，求上的值；

⑵记圆C的圆心为C,若直线/与圆C交于A,B两点，V/8C为等边三角形，求后的值.

17.如图，在四棱锥中，底面/BCD是正方形，侧棱底面/BCD,PD=DC=2,

£是尸C的中点，作EF工PB交PB于点F.

⑴求证：PA//面EDB；

⑵求平面CP5与平面的夹角的大小；

⑶求点8到平面E阳的距离.

18.已知动点P与平面上两定点4-血,0）,3（、历,0）连线的斜率的积为定值试求：

⑴动点P的轨迹C的方程；

⑵是否存在过点（0,1）与（1）中曲线C相交所得弦长|初V1=谨的直线，若存在，求直线/的方

3

程；若不存在，试说明理由.

2

19.已知双曲线。的中心在原点，过点（2,0）,且与双曲线一一三=1有相同的渐近线.

⑴求双曲线C的标准方程；

（2）已知A,3是双曲线C上的两点，且线段2B的中点为W（3,3）,求直线AB的方程；

22

⑶设双曲线C：=一4=1（。>0,6>0）的半焦距为。，直线/过（。,0）,（0,6）两点，已知原点到直线

ab

/的距离为"c,求双曲线的离心率.

4

3

参考答案

1.【答案】C

【详解】因为直线/：x+y+i=o的斜率为-1,

即tanc=—l,ae[0°,180°),

所以e=135°,

故选：C.

2.【答案】D

la+4-ll3

【详解】由题意可得I,匕3,解得。=；或“=0,

故选：D

3.【答案】D

【详解】C:(x+l『+(y+l)2=4,则其圆心坐标为(-1,-1),半径为2,

由于(1+1)2+(2+1『＞4,可知点(1,2)在圆外，

当切线斜率不存在时，此时切线方程为x=l,符合题意，

当切线斜率存在时，设切线方程为＞-2=左(％-1),即狂-y-«+2=0,

\—k+1—A+2|55/

贝―J21=2,解得左=2，此时直线方程为＞—2=石(1—1),即5x—12歹+19=0.

综上所述，切线方程为：5x-12j+19=0或x=l.

故选：D.

4.【答案】A

C_V2

a一亍

【详解】由题意可得>=叵,解得。=2,

a2=b2+c2,

X2

所以椭圆。的方程为土+

42

故选：A

5.【答案】D

,故：=2，故="上j一1=6,

【详解】因为离心率为2

4

故渐近线方程为：y=士瓜,

故选：D.

6.【答案】A

【详解】在必消P&中，/刊例=30。，所以|尸闻=2|尸引,

又归周+|尸用=勿，所以吠21=学

所以tan3(T=型，即胃一G,整理得e=9=Yi.

m二7=工a3

7.【答案】A

【详解】根据双曲线定义可得归国-忸闻=2。=4,又卢耳|=5,

所以|尸闾=1或|尸居|=9,

又。2=/+/=9+27=36,c=6,

而\PF2\>c+a^S^\PF2\>c-a4,

所以|%|=9.

故选：A.

8.【答案】C

【详解】因为1网1等于点P到准线的距离，作垂直于准线于。，根据抛物线的定义可知

|叫=即,

所以当PQ垂直于准线时交准线于&,IP0I+I尸可有最小值，|尸盟+|「。卜|PD|+|PQ|牛忸。最小

值为卜%=8.

当且仅当尸在E。与抛物线的交点时取得等号.

5

故选：c.

9.【答案】ABD

【详解】对于A,若0＜加＜1,则L＞1,

m

所以C是焦点在V轴上的椭圆，故A正确；

对于B,若加=1,则曲线UJ+Vw,

所以C是圆，故B正确；

对于C,若加〉1,贝!

m

所以C是焦点在X轴上的椭圆，故C错误；

对于D,若加=0,则x=±l,

所以C是两条平行于y轴的直线，故D正确.

故选：ABD.

10.【答案】ACD

【详解】对于A,由题可得〃=3,Z?=4,c=5,则？=一=彳，故A正确；

a3

b

对于B,双曲线的渐近线方程为：y=±-x=+4^-x,故B错误；

a3

对于C,由题闺闾=2c=10,由图结合双曲线定义可得|尸闾-|尸叫=2a=6,

则（|平|一户4『=+1尸用2-21尸闾.|尸引=36n忸£『+1尸园2=100.

则cosZFtPF2=忸用；忸,用=0,贝UsinAFXPF2=1,

12

2\PFt\-PF2\

得S.F、p%=；|尸片卜|空卜in/4桃=16,故C正确；

对于D,因/RPF?=60°,则cosNRPF=M］咤―中闻=

122阀卜叫2

2

则附|+忸区「-阳区「=附卜忸闾n（忸用-忸闾）2-山引=-|列讣依』，

6

得|力讣户用=64,则邑耳时=曰尸7讣附现sinZF/工=16忑,故D正确.

43

由椭圆的定义可知|尸£|+|尸阊=2。=4,故A正确；

离心率e=£C=1故B错；

a2

由椭圆性质可知"cV|尸耳|Va+c,所以归用的最大值是3,故C对;

因为廉必后=］|百闻,|%）|=|乃|,又-CMyMm，

当/=±百时，即P在短轴的顶点时耳面积的取得最大值，

6历L=5故口对;

故选：ACD

12.【答案】卜一

【详解】因为圆心在直线3尤+了-5=0上，设圆心坐标为（。,5-3a）,

因为圆经过原点和点（3,-1）,则亚+（5一3才=.一3）2+（6-392，解得“=不

故圆心坐标为［,（）］,圆的半径为r=g,

故所求圆的方程为口-;1+/=胃.

25

故答案为:

~9

13.【答案】2

7

【详解】由--必=2得]一9=1,所以。=血/=也,0=户1=2,山闾=4.

不妨设点P在第一象限，则附卜附|=2a=2&,故户可「+|也「-2|期卜|尸用=8

:两.电=0,.•.所，两，

.•.|期（+|尸琦=闺周2,即附「+|尸阊2=[6,

•••I亚H尸月卜4,

此=J尸耳IV工1=2.

故答案为：2.

14.【答案】岳

【分析】

由余弦定理，结合椭圆的定义，可求得|刊讣|助|，因周，再用余弦定理和面积公式求解即可.

【详解】

由题意可得。=3,b=M,。=百二^=2.

因为。,M分别是与巴和打尸的中点，所以，|P周=2|OM|=2Wh2c=4,根据椭圆定义，可得

卢凡,+国司、尸耳2

16+16-47

|尸团=2a-2c=2又因为大工=2c=4,所以,cosNPF2K=

21PH2•闺厂,2x4x41

所以，

8

smZPF2Ft=Jl-co)NPF°F[=--，

8

故APT笆的面积是；|M用-sinNPFE=岳.

故答案为：厉.

15.【答案】（1）/=一8尤

(2)y2=5x^y2=-5x或/=5)或/=-5j.

【详解】（1）由于焦点（-2,0）在x轴的负半轴上，且，=2,.10=4,

二抛物线的标准方程为/=-8"

（2）由焦点到准线的距离为:，可知p="

22

二所求抛物线的标准方程为黄=5》或/=-5x或/=5了或工2=-5'

12

16.【答案】⑴左=0或%=《.

⑵k/

【详解】（1）由圆C的方程x2+/-4x-4y+4=0可知圆心C（2,2）,半径厂=2.

直线/：＞=左（％+1）,BPkx-y+k=0.

因为直线/与圆C相切，贝!）生3=2,解得左=0或左=”.

J/+15

（2）因为V/2C为等边三角形，所以圆心C到直线/的距离〃=也一"x2=g.

22

同样根据点到直线距离公式得生邕=6.

Jr+1

化简得6/一12米+1=0.

解得发

6

17.【答案】（1）证明见解析；

⑶逑

3

【详解】（1）在四棱锥P-/BCD中，底面48c。，4D,DCu底面/BCD,

则尸尸DLDC,由底面/BCD是正方形，得/DLDC,

以。为原点，直线。4QC,。尸分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

9

p

因为阳=DC=2,则2(2,0,0),8(2,2,0),尸(0,0,2),耳0,1』，C(0,2,0)

P2=(2,0,-2),55=(2,2,0),DE=(0,1,1),设平面EDB的法向量为、=(匹,必,马),

DB-m=2x,+2y.=0,、_

则|—._，令凶=T,得历=(1,T,1),则尸/.行=2-2=0，

DE•玩=弘+Z]=0

而P4©平面即3,所以尸4//平面四瓦

(2)由(1)知，C(0,2,0),且屈=(2,0,0),定=(0,2,-2),

设平面CPB的法向量为”=卜2，%尼)，

CB-n=2X7=0/、

则一，取力=1,得力=0,1,1,

PC-n=2y2-2z2=0

丽=(2,2,0),丽=(0,0,2),而7=(2,-2,0),贝lj丽•^5=2x2-2x2=0,而•而=0,

~DB±CA,DP1CA,则PBD的一个法向量为第=(2,-2,0),

一►h'CA-21

因止匕cos〈”,CA)=---=—j=------尸=——,

|列CZ|V2-2V22

__►—►2兀

而0W〈五,◎〉〈无，贝!］〈用C/〉=？-,

JT

所以平面CPB与平面尸5。的夹角为

(3)

因为底面/BCD,8Cu底面48CD,

所以3C_L尸。

10

底面/BCD是正方形，所以3C_LDC,

PDeDC=。,尸OCu平面PCD,

所以8C_L平面尸CD,尸Cu平面PCD,

所以8CL尸C,所以在△P5C为直角三角形,

又由题知跖,可，所以在AEPF也为直角三角形,

故APBC与aPEF相似,

2

则s"EPF=黑甯.

2g'

2百

EFPF=

噌3

_________2>/3

而尸3=@+22+2?=2。，所以PF_工_1,

PB一2百3

所以厂是线段PB中靠近点P的三等分点,

由第(1)小问可知,£>(0,0,0),矶0,1,1),8(2,2,0),尸(0,0,2),

因为尸是线段PB中靠近点P的三等分点,所以点尸

设平面EFZ)的一个法向量为力=(x,%z),

224

而。尸,DE=(0,1,1),

3,3,3

--224

p-DF=-x-\--y+—z=0

则有《33，3,令z=-3,贝!]>=3,x=3,万=(3,3,—3),

p-DE^y+z=0

p-BD12

=(-2,-2,0),©

|训丽「3右*2近一3)

设B点到平面E阳的距离为4,

V64A/3

X-------=--------

33

故8点到平面EFD的距离为逋.

3

11

V-2L

18.【答案】⑴万+V=1(工工±也)；

(2)存在，x-y+l=O^x+y-1=O.

【详解】(1)设动点尸(x〃)，

VV1X2

由题意kPAkPB=----月----斤=一不，化简整理得一+/=1,

X+A/2x—7222

2

故点P的轨迹C的方程是5+/=1("±近).

(2)直线斜率不存在时不合题意，

斜率存在时，设直线/:>=丘+1与曲线C的交点为M(XQ)N(X2，%),

y=kx+\，=,,

由；—一得（1+2左2"2+4区=0A=16左2—4（1+2左2）=4（2左2—1）>0,

x+2〉=2

4k

贝!Jxx+x2=—xxx2=0,

1+2左2

整理得一2=0解得r=1或父=-2(舍)

经检验，左=±1符合题意，直线/的方程为了=±%+1,