2024学年湘教版九年级数学上册期末模拟卷（含答案解析）

2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟卷

（湘教版）

（考试时间：120分钟，分值：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.测试范围：湘教版九年级上册全册+九年级下册二次函数。

反比例函数、一元二次方程、图形的相似、锐角三角函数、用样本推断总体、二次函数

4.难度系数:0.65o

第I卷

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列方程中是一元二次方程的是（）

A.x+1=3B.x2+x=0C.ax2+bx+c=0D.v2+3x-1=0

【答案】B

【解析】A、x+l=3,是一元一次方程，不是一元二次方程，本选项不符合题意；

B、x2+x=0,是一元二次方程，本选项符合题意；

C、ax2+bx+c^0,当时，是一元二次方程，本选项不符合题意；

D、y2+3x-1=0,有两个未知数，不是一元二次方程，本选项不符合题意；

故选反

2.为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获30条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼

塘，再从鱼塘中打捞鱼，通过多次重复试验后发现捕捞的鱼中有做记号的频率稳定在2.5%左右，则估计

鱼塘中鱼的条数为（）

A.600条B.1000条C.1200条D.2200条

【答案】C

【解析】30-2.5%=1200.

故选C.

Ar4

3.如图，AB//CD//EF,若一=-,BQ=16,则。尸的长为（）

CE3

【答案】C

【解析】VAB//CD//EF,

.AC_BD

Ar4

Xv—=-,80=16,

CA3

4_16

3DF

:.DF=12,

故选择：C

4.已知关于x的一元二次方程12+10/2〃+6=0,其中一根是另一根的4倍，则。的值为（）

A.—或5B.—或-5C.—D.5

222

【答案】D

设修、被关于工的一元二次方程》2+10x+2a+6=0,X1=m,犯=4加

.jm+4m=-10

Im*4m=2a+6

解得：a=5.

二。的值为5.

故选D.

5.如图，已知E是正方形的边40的延长线上一点,BE交AD于点F,若CD=6,FD=2,则切

的长是（）

E

D

B忆---------------7r

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】解：由题易知8C=CQ=6,设贝!J£C=£7?+QC=x+6,^EFD=AEBC

FDFD?x

解得：U=则二二一二，解得卡3.

故选B.

6.关于双曲线y=-。，下列说法正确的是（）

X

A.必经过点（-3,-2）B.图象位于一、三象限

c.y随x的增大而增大D.图象关于原点成中心对称

【答案】D

【解析】A、当x=-3时，了=-二=2,不过点（-3，-2）,原选项不符合题意；

-3

B、由双曲线了=-9知：-6<0,图象位于第二、四象限，原选项不符合题意；

X

C、由双曲线了=-9知：-6<0,在每一象限内，y随X的增大而增大，原选项不符合题意;

X

D、图象关于原点成中心对称，原选项符合题意；

故选D.

7.如图，A/8C的顶点都在方格纸的格点上，那么sin/的值为（）

【答案】C

【解析】如图，设小正方形边长为1,AEYCE,

则4E=4,CE=3,

AC=^AE2+CE2="+32=5，

...CE3

・・sinZ==-

AC5

故选C.

8.如图，在△/5C中，D,E,尸分别是边Z3,BC,4C上的点，DE〃BC豆EF〃AB,

AD:DB=2:3,那么好:尸C的值为（）

A.2:3B.2:5D.5:7

【答案】A

【解析】•:EF〃AB,

：・BF:FC=AE:EC,

•：DE//BC,

：.AE:EC=AD:DB,

；・BF:FC=AD:DB=2:3,

・・・B尸:FC的值为2:3,

故选A.

9.一次函数^="-b与反比例函数了=或（°,6为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象不可能是

O_____B.

【答案】D

【解析】A、•・•一次函数图象经过第一、二、三象限,

a>0,-b>0,b<0,

ab<0,

.♦•反比例函数了="的图象应该过第二、四象限，这与图形符合，故A不符合题意;

X

B、•.•一次函数图象经过第一、二、四象限，

b<0,

ab>0,

反比例函数>=或的图象应该过第一、三象限，这与图形符合，故3不符合题意;

C、•.•一次函数图象经过第一、三、四象限，

a>0,-b（0,b）0,

/.ab>0,

反比例函数>=或的图象应该过第一、三象限，这与图形符合，故C不符合题意;

D、•.•一次函数图象经过第一、二、四象限，

b<0,

ab>0,

反比例函数歹=丝的图象应该过第一、三象限，这与图形不符合，故。符合题意;

故选D.

10.如图，抛物线歹="2+及+。的对称轴是直线％=1,下列结论正确的是（）

A.b>0B.2a+b>0C.b1-4ac<0D.a-b+c>0

【答案】D

【解析】由图象可知：抛物线的开口向上，对称轴为直线％=1,与V轴交于负半轴，与工轴有2个交点，当

x=3时，>>0,

/.a>0,6=-2a<0,c<0,b2-Aac>0,x=-l与x=3的函数值相同，

2a+b=0,a-b+c>0；

综上：只有选项D正确，符合题意;

故选D.

第n卷

二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）

「乙〃3…6

11.已知一二一,则----=.

b5b

o

【答案】一

5

【解析】设a=3k,则b-5k.则="""=-.

b5k5

12.据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2024年4月至6月，新能源车月销量由

68.3万辆增加到82.7万辆.设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x,则可列方

程.

【答案】68.3（1+x）2=82.7

【解析】设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x,依题意得，

68.3（1+X）2=82.7,

故答案为：68.3（1+X）2=82.7.

13.已知关于x的一元二次方程无2+6x+%=0有两个相等的实数根，则加=.

【答案】9

【解析】由题可知〃=1,b=6,c=冽则A=/-4QC=36-4加=0.所以加=9.

14.如图，在平面直角坐标系中，正方形Z3CD与正方形BE尸G是以原点O为位似中心的位似图形，且位似

比为g.点4B、E在X轴上，若正方形3EFG的边长为6,则C点坐标为.

//

//

----2尸-L----------------------------------►

O\ABEX

【答案】（3,2）

【解析】•••正方形/BCD与正方形3EFG是以原点。为位似中心的位似图形，且相似比为g,

・AD1

>•—-—，

BG3

•・・BG=6,

：.AD=BC=2,

・・•四边形/BCD是正方形，

AD〃BG,

：.ZXOADSAOBG,

0A1

•・•一-，

OB3

・OA-1

-2+CM—3，

OA=1,

OB—3,

；.（^点坐标为（3,2）,

故答案为：（3,2）.

15.如图，抛物线y=x2-ax-（a+1）（其中。为常数）的对称轴为直线x=l,与x轴交于点/，点8,则

AB的长度为.

【答案】4

【解析】解：：抛物线y=x2-*-（a+1）（其中。为常数）的对称轴为直线x=l,

・___上_=]

2'

解得：4=2,

・"=%2-2%-3,

令y=0,得N-2%-3=0,

解得：%i=-1,X2=3,

：.A(-1,0),B(3,0),

二/5=3-(-1)=4；

故答案为：4

16.如图，无人机于空中/处测得某建筑顶部8处的仰角为45。，测得该建筑底部C处的俯角为17。.若无

人机的飞行高度3为62m,则该建筑的高度2C为m.(参考数据：sin17°«0.29,

cos17°®0.96,tan17°a0,31)

【答案】262

【解析】作在，8c于E,如图所示:

由题意得：AD1DC,BC1DC,/BAE=45°,ZCAE=17°,

四边形/OCE为矩形,

EC=AD=62m,

PC

在中，tan/"C=——,

AE

则AE=———x—=200m,

tanZ^C0.31

在RM4E5中，ZBAE=45°,

/.BE=AE=200m,

BC=BE+EC=262m,

则该建筑的高度BC为262m,

故答案为：262.

17.如图，在四边形/BCD中，N4=NCBD=90°,DB平分/ADC,若2。=3,CD=4,则/Z3C的度

数是.

【答案】150°

【解析】:DB平分/ADC,

：.ZADB=ZCDB,

；//=ZCBD=90°,

：.LADBsABDC,

AD_BD

^BD~~CD

二BD2=AD-CD=n,

二BD=2拒,

VsinZ^5Z)=—=-^==—

BD2732

：.ZABD^60°,

：./ABC=NABD+ZCBD=60°+90°=150°,

故答案为：150。.

18.如图，点/在x轴的负半轴上，点C在反比例函数y=：(x>0)的图象上，/C交y轴于点8,若点8

是NC的中点，的面积为g,则上的值为

【答案】10

【解析】如图，过点c作轴于D,

ZCDB=ZAOB=90°,

丁点8是ZC的中点，

AB=CB,

在△430和△BC。中，

ZOB=ZCDB

<NABO=ZCBD,

AB二BC

：.”O蛇△CDB(AAS),

OB=BD,

••S小BCO~S4CDB~S小AOB~5'

.•SACOD=5,

1|=S,c。。=5,

.•.用=10,

k>0,

"=10.

故答案为：10.

三、解答题（本题共8小题，共66分。其中：19-20每小题6分，21-22题每小题8分，23-24题每小题9

分，25-26题每小题10分）

19.（6分）计算:

（1）tan30°sin60°-cos45°sin45°

⑵应+|l-2cos45°|

【解析】⑴解：原式=旦速一叵义叵

3222

_£_J_

~2~2"

=0；（3分）

(2)解：原式=加(-1)-2+1—2、半

=-V2-2+|l-V2|,

=-V2-2+V2-1，

=-3.(6分)

20.(6分)在Rt^/BC中，/8/C=90°,/D是斜边8C上的高.

（1）证明：AABD-ACBA；

⑵若/3=5,8c=13,求/D的长.

【解析】（1）证明：：/8/。=90。，是斜边2。上的高.

：.ZADB^9Q°,Z5+ZC=90°,

AB+ABAD=90°,

：.ABAD=ZC；

又：NB=ZB,

：.AABD-ACBA,（3分）

（2）解：在RtZ\Z3C中，AC=^BC2-AB-=V132-52=12.

,/△ABD-△CBA,

.ADAB

"ACBC'

•••普=哈，解得：工。=詈.（6分）

21.（8分）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习选择.某校计划为学生

提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论.为了解学生需求，该校随

机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查,并根据调查结果绘制成如图两幅不

完整的统计图.

人数

48

42

36

30

2424

1818

1212

0在线在线在线在线方式

阅读听课答题讨论

根据图中信息，解答下列问题:

(1)求本次调查的学生总人数，并通过计算补全条形统计图；

(2)求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；

(3)该校共有学生3060人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数.

【解析】(1)解：本次调查的学生总人数为：18+20%=90(人)，

在线听课的人数为：90-24-18-12=36(人)，

补全的条形统计图如图所示；

阅读听课答题讨论

12

(2)解：扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数是：360。X旃=48。,

即扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数是48。；(6分)

?4

(3)解：3060x^=816(人)，

答：该校对在线阅读最感兴趣的学生约有816人.(8分)

22.(8分)已知关于x的一元二次方程/-化+5)尤+2后+6=0.

(1)求证：此方程总有两个实数根；

(2)若此方程恰有一个根小于-1,求人的取值范围.

【解析】(1)解：关于x的一元二次方程--(k+5)x+2左+6=0,

a=l,b=—^k+5^,c=6+2k

A=Z>2-4ac=[-（左+5）1一4xlx（6+2左）

=yl2+10yt+25-24-8A-

=k2+2k+l

=（^+l）2>0；

此方程总有两个实数根；（4分）

（2）x~-（左+5）x+6+2k=0,

"JA=（4+1『，

.—b+y/b2—4ac左+5土（左+1）

•,“-2a-2

解得再=2,马=4+3,

••.此方程恰有一个根小于-1,

,k+3<-l,

解得左<-4.（8分）

23.（9分）如图，反比例函数y=：（x>0）与一次函数了=必+2的图象交于点/（4,6）,点8是反比例函数

（2）当0C=8时，求△/助的面积.

【解析】（1）解：二.反比例函数y=：（x>0）与一次函数了=蛆+2的图象交于点N（4,6）,

k

6=­,6=4m+2,

4

k=24,m=\,

24

・••反比例函数为：y=一，一次函数的解析式为：歹=x+2,（4分）

x

(2)：0C=8,

.-.C（8,0）,

•.•3。，丫轴于点。，交一次函数的图象于点。,

/.点B的横坐标为8.点O的横坐标为8.

24

%=k=3,=8+2=10,

O

；.B（8,3）,。（8,10）,

Z.2。=10-3=7,

过点“作/£〃无轴交BD于点E,则E（8,6）,

AE=8—4=4,

•••S△曲=；IOZE=；x7x4=14.（9分）

24.（9分）如图1,是某地计划为学校教师添置的一种用于午休的躺椅.图2是将椅子水平摆放，已知座面

宽/B=40c"z,座面高£尸=40cm,背垫为5G,且点G到地面的垂直距离为93.9CMN/8G=100。.图

3是水平摆放时的形状，脚垫长AH//BG,/4BG=160。.（结果保留1位小数）

（1）求背垫8G的长；

（2）如图（2）,求午休躺睡时课椅点G与点〃之间的水平距离.

（参考数据：s%80%0.98,cos80%0.17,si〃20%0.34,cos20°u0.94）

图1图2图3

24.【解析】（1）解：过点G作G/垂直N5的延长线于点相

G

A~E^BM

CFD

图(1)

由题易知，ZGBM=SO°,

点G到地面的垂直距离为93.9cm,则EF+GM=93.9,

'：EF=40

：.GM=93.9-EF=53.9.

在瓦△GBAf中，ZGMB=90°,

.,.2G=GAFs山80°=53.9+0.98=55.

答：5G的长为55.0c九(4分)

(2)过点〃作印5〃CD,过点/作/M,BN,G。分别垂直于印3,垂足分别为M,N,O.

图（2）

由（1）可知3G=/〃=55,

'JAH//BG,ZABG=\60°.

：.ZHAB=ZABG=l60°,ZHAB=20°.

在用中，ZAMH=90°,

：.HM=AH^cos200=55x0.94=51.7.

'：AB=40.

：.HO=MH+MN+NO=51.7+40+51.7=143.4.

答：午休躺睡时课椅点G与点〃之间的水平距离为143.4cm.（9分）

25.（10分）如图（1）,在矩形N8CD中，已知48=10,BC=5,点£为对角线8。上一动点，连接CE,过

点C作CFLCE,且。尸=!庭，连接成交DC于点G.

2

（1）若EF〃:BC,求证：四边形2CFE为平行四边形；

（2）如图（2）,点£运动至EC=3C时，求EG的长;

(3)点E从点5运动至点C,直接写出点厂运动的距离.

BC

图⑴图(2)

(1)证明：•・,四边形48C。为矩形，CFLCE

：.ZBCD=ZECF=90°.：.NBDC+/DBC=90°

：.DC=AB=lOfBC=5,

.CFCE

•：CF=-CE,

2*5C-DC

:.ACEFSMBD.

：./FEC=/DBC.

'：EF//BCf：.ZDEF=ZDBC

：.ZDEC=ZDEF+ZFEC=9G°

：./DEC+NECF=18O。.

J.BE//CF,

：.四边形BCFE为平行四边形.(4分)

(2)解：过点。作CM垂直8。于点过点。作CN垂直所于点N.

图（2）

过点则ZEMC=ZCNE=90。

：.EF//CM,

：./EMC=/MEN=/ENC=92。

・・•四边形MCWE为矩形.

■:CE=CB,CM^LBE,

：.ZBCM=ZECM=ZFEC.

■:BC=5,由题易得：BM=ME=CN=5CM=EN=2、A>

DE=BD-BE=5^5-2A/5=3A/5，

EGDE

由△DEGs^CNG可得——=——=3,

GNCN

EG=-xEN=-x2y[5（8^）

442

（3）如图（3）,点厂运动的距离尸0长为至

.（10分）

2

ADAED

舲一、

QBcFQ

图（3）图（3）

26.（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=尔+旅+2过点（1,3）,且交无轴于点”（TO）,8两点,

交》轴于点C.

(1)求抛物线的表达式；

⑵点尸是直线BC上方抛物线上的一动点，过点尸作尸D12C于点。，过点尸作y轴的平行线交直线2。于

点£,求△2/九•周长的最大值及此时点尸的坐标；

(3)在(2)中△立)£周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线C2方向平移右个单位长度，点M为平

移后的抛物线的对称轴上一点.在平面内确定一点N,使得以点n,P,M,N为顶点的四边形是菱形,

直接写出所有符合条件的点N的坐标.

3=Q+b+2

【解析】(1)把。,3)、T(T,O)代入y=+bx+2得,

0=Q—b+2

_1_

a=

~2

解得V

2

b=

2

i3

・・・抛物线的表达式为V=-5/+5X+2；(3分)

(2)延长PE交工轴于尸，

•・•过点P作PQ，5c于点。，过点P作丁轴的平行线交直线5C于点E,

:・/DEP=/BCO,/PDE=/COB=90°,

：.ADPE〜△08。,

・周长_PE

J△CBC周长一记'

PF

・•・△/)%周长=——△08。周长,

BC

当PE最大时△PDE周长的最大

i3

・・,抛物线的表达式为k-/+M+2,

・・・8(4,0),

工直线解析式为＞=+2,BC=^OC2+OB2=2V5

设^尸(加，-3m2+57/2+2],则E]加,——171+21

PE=--m2+—m+2-|——m+2|=--m2+2m=-—(m-lY+2,

22I2J22V7

当根=2时PE=2最大，止匕时尸(2,3)

*.*"0C周长为OC+O5+5C=6+2行，

26遂