2025高考数学二轮复习：直线与圆 专项训练【含答案】

H专题突破

专题六解析几何

第1讲直线与圆

［考情分析］1.求直线的方程，考查点到直线的距离公式，直线间的位置关系，多以选择题、

填空题的形式出现，中低难度2和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度.

考点一直线的方程

【核心提炼】

1.已知直线/i：4x+Sy+G=0,直线小A2x+B2y+C2^0,贝|/1〃/20/山2一在历二。，且

4c2—42C1W0(或5IC2-S2CI^0),ZI±/2O^U2+5IS2=0.

M^o+^o+q

2.点P(xo,/)到直线/:Ax+By+C=O(A,3不同时为零)的距离4=

\JA2+B2

3.两条平行直线/i：Ax+By+Ci=Q,Z2：Ax+By+C2=0(A,3不同时为零)间的距离d=

|Ci~C2|

^A2+B2'

例1(1)(多选)已知直线/的倾斜角等于30°,且/经过点(0,1),则下列结论中正确的是()

A.直线/的方程为了=8+1

B./的一个方向向量为"=b'1

C./与直线/x—3y+2=0平行

D./与直线3x+y+2=0垂直

答案ACD

解析由题意知直线/的斜率为tan3(T=¥，且过点(0,1),所以直线/的方程为了=杀+1,

方向向量为"=(1,左)=1'3j,A正确，B错误；

直线3x—3y+2=0的斜率为，，且不过点(0,1),故两直线平行，C正确；

直线3x+y+2=0的斜率为一45，

则两直线斜率之积为一1,故两直线垂直，D正确.

(2)当点M2，—3)到直线(4加-1)%—(冽一1»+2加+1=0的距离取得最大值时，加等于()

4

A.2B.-C.-2D.-4

7

答案C

解析将直线（4冽-1）%一（加一1»+2加+1=0转化为（4x—y+2）加—x+y+1=0,

4x—y+2=0

联立方程组f

—x+y+l=0,

所以直线恒过定点N(—1,-2),

当直线MN与该直线垂直时，点〃到该直线的距离取得最大值,

此时解得加=—2.

m~\2—(—1)

易错提醒解决直线方程问题的三个注意点

(1)利用4瓦一/刀1=0后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.

(2)要注意直线方程每种形式的局限性.

(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在.

跟踪演练1(1)(多选)下列说法错误的是()

A.过点/(—2,—3)且在两坐标轴上的截距相等的直线/的方程为x+y=—5

B.直线2(根+l)x+(加一3»+7-5%=0必过定点(1,3)

C.经过点尸(1,1),倾斜角为6的直线方程为y—l=tan优x-1)

D.过(xi，yi),(X2,>2)两点的所有直线的方程为(X2—xi)(y—yi)=(y2—yi)(x—xi)

答案AC

解析对于A中，当在两坐标轴上的截距相等且等于。时，直线过原点，

可设直线方程为了=依，又直线过点4(—2,-3),则一3=—2鼠即左=：，

此时直线方程为y=3x,也满足题意，所以A错误；

2

对于B中，直线2(加+l)x+(加一3»+7—5加=0可化为(2x+y—5)加+2x—3y+7=0,由方程

,[2x+y—5=0,八u

组，解得x=l,jv=3,

2x—3y+7=0,

即直线2(加+1)%+(加一3»+7—5冽=0必过定点(1,3),所以B正确；

对于C中，当倾斜角。=四时，此时直线的斜率不存在，tan夕无意义，所以C错误;

2

对于D中，由两点(为,yi),(X2,yi),

当X1WX2时，此时过(%1,yi),(X2,»2)两点的所有直线的方程为V-yi="——(X—X1),即(%2

X2~X1

—xi)(y—yi)=(y2—yi)(x—xx)9

当X1=X2时，此时过(XI,刃)，(X2,>2)两点的所有直线的方程为X=X1或X=X2,适合上式，

所以过(xi,ji),(X2,户)两点的所有直线的方程为(12一》)(y—yi)=(j2—yi)(x—xi),所以D正

确.

(2)若两条平行直线/i：X—27+冽=0(冽>0)与，2：2%+即一6=0之间的距离是23，则加十〃

答案3

解析因为直线/i：x—23?+加=0(加>0)与/2：2x-\~ny—6=0平行,

所以2=旦》」，解得力=-4且加W—3,

1-2m

所以直线b为2x—4j—6=0,

直线/i：%—29+冽=0(机>0)化为2x~4y+2m=0(m>0),

因为两平行线间的距离为2T5,

|2m-(-6)|_

所以23,

作2+(一4尸

得|2加+6|=20,因为加>0,

所以2m+6=20,解得加=7,

所以冽+〃=7—4=3.

考点二圆的方程

【核心提炼】

1.圆的标准方程

当圆心为(〃，b),半径为尸时，其标准方程为(%—q)2+(y—6)2=只

2.圆的一殳方程

x2+j2+r>x+£>+F=0,其中。2+5一”>0,表示以卜5'—J为圆心，勺运壬今三E为半

径的圆.

例2(1)已知圆Cl：x2+f=4与圆C2关于直线2x+y+5=0对称，则圆。2的标准方程为

()

A.(x+4)2+(y+2)2=4

B.(x—4)2+0—2)2=4

C.(x+2)2+(y+4)2=4

解得

所以求得圆的方程为(X—l)2+(y—m)2=1或a+l)2+(y+3)2=l,

22

当a=—3b时，因为尸=同，^a+b=l+r9

联立得；Q2=2同+1,

皿31=3+2收1=-3—2毋

解得，厂或•厂

b=—A/3—2[ft—v3+2,

尸=3+2A/5,

所以求得圆的方程为(X—2他-3)2+8+2+3)2=21+123或(x+23+3)2+(y—2—3)2=

21+12。3.(写出其中一个即可)

(2)(2023•福州模拟)已知。。1：(x—2)2+。―3)2=4,OOi关于直线ax+2y+l=0对称的圆记

为。。2,点£,歹分别为。。1,。。2上的动点，跖长度的最小值为4,则。等于()

A3T5n5T3

A.—或一B.或一

2662

答案D

解析由题易知两圆不可能相交或相切，如图，当所所在直线过两圆圆心且与对称轴垂直，

点£,尸又接近于对称轴时，长度最小，此时圆心5到对称轴的距离为4,所以

\!a2+4

=4,即(2〃+7)2=16(层+4),

解得4=3或a=-.

26

考点三直线、圆的位置关系

【核心提炼】

1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.

其判断方法为：

(1)点线距离法.

⑵判别式法：设圆C:（X—tz）2+（y—6）2="，直线/：Nx+_By+C=O（/2+82W0）,联立方程

“Nx+8y+C=0,

（%—a）2+（y—/>）2=^,

消去力得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为/,则直线与圆相离㈡/<0,直线与圆

相切<4/=0,直线与圆相交台/>0.

2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.

考向1直线与圆的位置关系

例3⑴（多选）（2023・阳泉模拟）已知直线/：>=日+2后+2（左6R）与圆C：x?+产一27一8=0.

则下列说法正确的是（）

A.直线/过定点（一2,2）

B.直线/与圆。相离

C.圆心C到直线/距离的最大值是2也

D.直线/被圆C截得的弦长的最小值为4

答案AD

解析对于A,因为/：y=fcv+2左+2（左6R）,即y=-x+2）+2,

令x+2=0,即》=—2,得y=2,所以直线/过定点（一2,2）,故A正确；

对于B,因为（一2）2+22—2X2—80,

所以定点（一2,2）在圆C：x2+『—2y—8=0的内部，所以直线/与圆C相交，故B错误；

对于C,如图，因为圆C：N+产一2y—8=0,可化为炉+。-1>=9,圆心。。1）,

当圆心C与定点（一2,2）的连线垂直于直线/时，圆心C到直线/的距离取得最大值，

此时其值为4（一2?+（2—1）2=叱,故C错误；

对于D,由弦长公式l/BlnzU2二7可知，当圆心C到直线/的距离最大时，弦长取得最小

值，所以直线/被圆C截得的弦长的最小值为2义49二5=4,故D正确.

（2）（2023・新高考全国II）已知直线x—即+1=0与。C：0-1）2+产=4交于/,3两点，写出

满足“△/2C面积为8”的根的一个值为

5------------

2,-2,一g中任意一个皆可以）

答案21

解析设直线x—叼+1=0为直线/,点C到直线/的距离为

由弦长公式得尸2y4一屋,

所以S^ABC—^XX2^/4—^=I,

解得d=%后或d=",

55

又Jl+”=2

「1+冽2\!l+m2

行,24芯-22^5

所以I=---或I.=---

寸1+冽25yjl-hm25

解得加=J或机=±2.

2

考向2圆与圆的位置关系

例4(1)(2023•淄博模拟)“aN?”是“圆G：工2+产=4与圆C2：(x—a)2+(y+a)2=l有公

切线”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析圆Cl：/+产=4的圆心的(0,0),半径八=2,

圆Q：(x—a)2-\-(y-\-a)2=1的圆心Q(a,—。)，半径尸2=1,

若两圆有公切线，则|。1创三|门一/21，

即,次+(一q)22],

解得aW-也或也，

22

所以“a毯”是“圆G：/+产=4与圆。2：(%—〃)2+。+〃)2=1有公切线”的充分不必要

条件.

(2)(多选)(2023•福建统考)已知。。：7+产=1,。口：(^-2)2+^2=^>0),则下列说法正确

的是()

A.若r=2,两圆的公切线过点(-2,0)

B.若r=2,两圆的相交弦长为3

C.若两圆的一个交点为“，分别过点M的两圆的切线相互垂直，则厂=3

D.当r>3时，两圆的位置关系为内含

答案AD

解析当r=2时，如图，两圆的一条公切线分别与。。，。。1切于点B,交x轴于点。,

器=黑=异夜=2,故0(—2,。)，故A正确;

当厂=2时，两圆公共弦所在的直线方程可由两圆方程相减得到，公共弦所在的直线方程为x

相交弦长为故B错误;

若W|W|2+|MOi|2=|OOi|2,即J+1=4,则厂=贴，故C错误;

当厂>3时，r-l>2=|O6»i|,故两圆的位置关系是内含，D正确.

规律方法直线与圆相切问题的解题策略

当直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关

于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式.过圆外一点求解切线段长的问题，

可先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算.

跟踪演练3(1)(2023•运城模拟)已知直线/：2x—y—2=0被圆C：/+产一2苫+47+加=0截

得的线段长为个，则加=.

答案4

2222

解析圆C：x~\~y—2x+4y+加=0,即(％—l)+(y+2)=5—m9圆心为C(l,—2),半径尸

=^5—m,

则圆心C到直线/：2x-y-2=0的距离dJXl-L上辿=咨

钞+.，5

又直线被圆截得的线段长为个，

所以2»^=言，

即2\^5—加一Hl：了,解得加=4.

(2)(多选)(2023・辽阳模拟)已知。E：@—2)2+。-1)2=4,过点尸(5,5)作圆E的切线，切点分

别为M，N,则下列命题中真命题是()

A.\PM\=^2A

B.直线MN的方程为3x+4y—14=0

C.圆/+产=1与。石共有4条公切线

D.若过点尸的直线与OE交于G,"两点，则当面积最大时，|G〃]=2/

答案ABD

解析因为圆E的方程为(x—2y+(y—1)2=4,

所以圆心£的坐标为(2,1),半径为2,如图，

所以|皿=1班=2,

又尸(5,5),所以『©=)(5—2>+(5—1)2=5,

由已知得PN±NE,

所以|产”|=乖用二I丽2=亚，A正确；

因为PMLME,PNLNE,

所以点尸，M,E,N四点共圆，且圆心为PE的中点,

线段PE的中点坐标为'J,

所以圆尸的方程为卜3+53)2=?,

即X2—7%+产一6y+15=0,

因为：一2<|£F|=|<：+2,所以圆£与圆尸相交，

又圆E的方程可化为%2—4x+/—2j；+l=0,

所以圆E与圆厂的公共弦方程为3x+4j-14=0,

故直线A/N的方程为3x+4y—14=0,B正确；

圆N+y=i的圆心。的坐标为(o,o),半径为1,

因为|。©=W，2-1<|0£|<1+2,

所以圆/+产=1与圆£相交，故两圆只有2条公切线，C错误；

如图，设/HEG=9,则ee(o,兀)，

AEHG的面积SAEHG=^EH\-\EG\sin6>=2sin6,

所以当0=1时，△EHG的面积取得最大值，最大值为2,此时口q=4在4=2也，D正确.

专题强化练

一、单项选择题

1.(2023・丹东模拟)若直线/i：x+ay—3=0与直线小(a+l)x+2y—6=0平行，则a等于

()

A.一2

C.-2或1D.一1或2

答案A

解析由题意知，直线/i：x-\-ay—3=0与直线/2：(a+l)x+2y—6=0平行，

1X2=a(a+1),解得a=—2或a=l.

当a=12时，Zi：x—2y—3—0,h：—x+2j—6—0,l\//h.

当a=l时，/i：x+y—3=0,h'x+y—3—0,/i与七重合.综上所述，a——2.

2.(2023•蚌埠质检)直线/：x+my+1-m^O与圆C：(x-l)2+(y-2)2^9的位置关系是()

A.相交B.相切

C.相离D.无法确定

答案A

解析已知直线/：x+my+1—〃?=0过定点(-1,1),

将点(一1,1)代入圆的方程可得(一1—1尸+(1—2)2<9,

可知点(一1,1)在圆内，

所以直线/：x+叼+1一加=0与圆C：(x—l)2+(y—2)2=9相交.

3.(2023•湖北星云联盟模拟)过三点3(2,1),C(2,—3)的圆与直线x—2y—1=0交于

M,N两点，则1MM等于()

C4

答案B

解析依题意，设过4B,C三点的圆的方程为彳2+产+m+£>+尸=0,3+5―4QO,

1+D+F=Q,

于是-5+2D+E+尸=0,

13+2D-3E+F=0,

D=—6,

解得.E=2,

F=5,

则圆的方程为x2+y2—6x+2y+5=0,

即(X—3)2+8+1)2=5,其圆心为(3,-1),半径r=d5,

点(3,-1)到直线x—2y—1=0的距离

|3-2X(-1)-1|_4

'AJ12+(-2)2F，

4.(2023•滨州模拟)已知直线/：小+在=1与圆。：/+产=1相切，贝！JHW的最大值为()

A,-B,-C.1D.2

42

答案B

解析由于直线7：mx+ny=l与圆。：x2+y2=l相切,

1

故圆心到直线/的距离2==1,即m2+w2=1,

故+〃=1,当且仅当机=几=’时取等号.

222

5.(2023・洛阳模拟)已知点尸为直线y=x+l上的一点，M,N分别为圆G：(x-4)2+(y-l)2

=1与圆C2：,+。一匐2=1上的点，则|尸M+甲川的最小值为()

A.5B.3C.2D.1

答案B

解析由圆G：(%—4)2+(y—1)2=1,可得圆心G(4,l),半径/i=l,

圆G：x2+(y—4)2=1,可得圆心G(0,4),半径/2=1,

可得圆心距。。2|=^(4-0)2+(1-4)2=5,

如图，1PM弃尸Cf，\PN\^\PC2\-r2,

所以|PM+|PNN『CI|十|PC2|一八一/2=『。|+|尸。2］一2刁CG|—2=3,

当点M,N,Ci,C2,尸共线时，+I呼取得最小值，

故1PM+|即的最小值为3.

6.(2023•信阳模拟)已知圆C：x2+V+2x—3=0与过原点。的直线/：(左W0)相交于力,

8两点，点尸(加，0)为x轴上一点，记直线为，P8的斜率分别为质，依，若后+依=0,则实

数m的值为()

A.—3B.—2C.2D.3

答案D

解析设4>1,勿），8（X2,夕2）,因为直线/的方程为

代入圆C的方程，得（济+1）9+2工一3=0,

,23

所以修+也=—；7^—，xi%2=­一•

左」十1kZ~\-1

所以上1+后='^+'^

x\~mX2~m

kx\।kxi

x\-mX2~m

_2kxiX2—km(xi+x2)

(xi—m)(x2-m)

=(2m—6)k=0

(Xl—Z77)(X2—W)(^+1)

因为《WO,所以2〃?-6=0,解得加=3.

7.(2023•全国乙卷)已知实数x,y满足x2+/—4x—2y—4=0,则x-y的最大值是()

C.1+3/D.7

答案C

解析方法一令x—y=k,则x=L+y,

代入原式化简得2y2+（2左一6»+/一4左一4=0,

因为存在实数乃贝以三0,

即（2后一6）2—4X2（小一4左一4）20,

化简得好一2左一17W0,

解得1—3也W左W1+3也，

故x~y的最大值是3也+1.

方法二由x2-by2—4x—2y—4=0可得（x—2）2+（y—1）2—9,

设》一了=晨则圆心到直线工一了=左的距离

一W3,

解得1-3也WkWl+3也.

故x—y的最大值为3亚+1.

8.已知圆。：/+产=1,点p在直线/：》一/一2/=0上运动，过点尸作圆O的两条切线,

切点分别为/,B,当//网最大时，记劣弧崩及为，尸3所围成的平面图形的面积为S,则

()

A.2Vs<3B.1<SW2

C.1<SW3D.0<S<l

答案D

解析如图所示,

圆。：/+产=1的圆心。的坐标为(0,0),半径为1,

y1

因为在RtZ\O8P中，sin/OPB=—^=」-，

|。尸|\OP\

且尸sinx在［°，上单调递增，

所以当最小时，/OPB最大,即/4P8最大，此时OP垂直于直线/,

且QP尸〒^==2,

-2+(一厅

\PA\=\PB\=^,

从而四边形OAPB的面积为

S理*04PB=2X；X3X1=3,

设N/0P=〃，则N/O3=2。，

$'0^=3x12x20=0,

从而劣弧盛及玄，网所围成的平面图形的面积为S=3—。，

又因为sind=也,。所以。=支，

24°'3

从而o<s=3—0=出—々1.

3

二、多项选择题

9.下列说法正确的是()

A.直线了=如一2a+4(062必过定点(2,4)

B.直线y+l=3x在y轴上的截距为1

C.直线3x+3y+5=0的倾斜角为120。

D.过点(一2,3)且垂直于直线苫一27+3=0的直线方程为2x+y+l=0

答案AD

解析对于A选项，直线方程可化为y=a(x—2)+4,

,x—2=0,|x=2,

由・可得・

y=4,b=4,

所以直线夕=办一2°+4(。62必过定点(2,4),A正确；

对于B选项，直线方程可化为y=3x—1,故直线y+l=3x在y轴上的截距为一1,B错误；

对于C选项，直线3x+3y+5=0的斜率为一；，该直线的倾斜角为150。，C错误；

对于D选项，过点(一2,3)且垂直于直线》一2了+3=0的直线方程可设为2x+y+c=0,

则2X(—2)+3+c=0,可得c=l,

所以过点(一2,3)且垂直于直线x—2y+3=0的直线方程为2x+y+l=0,D正确.

22

10.(2023•河池模拟)已知直线/：fcv—y—4=0与圆环X+y-4x-2y+l=Q,则下列说法

正确的是()

A.圆M的圆心坐标为(2,1)

B.存在实数匕使得直线/与圆"相切

C.若左=1,直线/被圆M截得的弦长为4

D.直线/被圆河截得的弦长的最小值为2贴

答案AC

解析圆A/：N+y2—4x—2y+l=0可化为(x—2)2+(y—1)2=4,圆心坐标为(2,1),A正确；

直线方程可化为Mx—1)—y=0,故直线/过定点(1,0),且(1—2)2+(0—1)2<4,即点(1,0)在圆

内，直线/与圆相交，B错误；

若左=1,则直线/：x—y—1=0,圆心(2,1)在直线/：x—y—1=0上，

故直线/被圆/截得的弦为直径，长度为4,

C正确；

圆心到直线/距离的最大值为圆心(2,1)到定点(1,0)的距离d=1(2—1)2+(1—0)2=也故弦长

的最小值为2也2―(也)2=2也,D错误.

11.点尸在圆G：x2+y2=\±,点。在圆。2：x2+y2—6x+4y+9=0上，则()

A.尸。|的最小值为"后一3

B.|尸。的最大值为岳

c.两个圆心所在的直线斜率为一？

3

D.两个圆公共弦所在直线的方程为6x—4y-10=0

答案AC

解析根据题意，圆G：炉+产=1,

其圆心Ci(0,0),半径夫=1,

圆G：N+y2—6x+4y+9=0,

即。-3)2+3+2)2=4,

其圆心。2(3,-2),半径r=2,

则圆心距|。1。2|=而时=标>&+〃=3,两圆外离，不存在公共弦，故D不正确；

|尸。|的最小值为|C1C2|—R—r=V13—3,最大值为|CC2|+R+r=V13+3,

故A正确，B不正确；

因为圆心Ci(0,0),圆心C2(3,-2),

则两个圆心所在的直线斜率左=—^7^—0=—94

3-03

故