2025高考数学一轮复习：二项式定理（学生版）

第03讲二项式定理

（13类核心考点精讲精练）

I他.考情探究•

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

两个二项式乘积展开式的系

2022年新I卷，第13题,5分无

数问题

2020年全国甲卷（理），

求指定项的二项式系数无

第8题,5分

2020年全国丙卷（理），

求指定项的系数无

第14题,5分

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5分

【备考策略】1.理解、掌握二项式定理的通项公式，会相关基本量的求解

2.能分清二项式系数与系数的定义，并会相关求解

3.能清晰计算二项式系数和与系数和及其大（小）项计算

4.会三项式、乘积式的相关计算

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般考查二项式系数和、系数和、求给定项的二项式系数

或系数及相关最大（小）项计算，需重点强化复习

12•考点梳理

知识点1二项式定理

知识点2二项式系数的性质

核心知识点

知识点3二项式系数和

考点1求二项展开式的第k®

考点2求指定项的二项式系数

二项式定理考点3二项式系数和

考点4二项式系数的增成性和最值

考点5求指定项的系数

考点6由项的系数确定叁数

考点7有理项(含常数项)、无理项及其系数

核心考点

考点8二项展开式各项系数和及奇次项与偶次项的系数和

考点9三项展开式的系数问题

考点10两个二项式乘积展开式的系数问题

考点11求系数最大(小)的项

考点12整除和余数问题

考点13杨辉三角

知识讲解

1.二项式定理

(1)二项式定理：(a+b)n=+Cla^b4---H----HC%"(”eN*)；

(2)通项公式：Tk+i=Cd"bk,它表示第k+1项；

⑶二项式系数：二项展开式中各项的系数为C9,C1，…，a.I

若二项展开式的通项为Tr+i=g(r)./，)&=0,l,2,…，n),g⑺W0,则有以下常见结论：

(1)7/⑺=00。+1是常数项.

(2北(厂)是非负整数00+1是整式项.

(3)〃⑺是负整数04+1是分式项.

(4)以厂)是整数今。+1是有理项.

注1.二项式的通项易误认为是第左项，实质上是第左+1项.

注2.易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所

有部分，包含符号，二项式系数仅指C£(/=0,l,…，n).

2.二项式系数的性质

性质内容

对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C：=CL

2

〃+1

当％二项式系数逐渐增大；

增减性

当上＞代7时，二项式系数逐渐减小

当"是偶数时，中间一项（第胃+1项）的二项式系数最大，最大值为

最大值当”是奇数时，中间两项（第F+1项和第审+1项）的二项式系数相等，且同时取得最大值，

n-1n+1

最大值为c?或

3.二项式系数和

（a+6）”的展开式的各个二项式系数的和等于2",即C9+G+C+CS+…+C；=2".

二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即cHcHd+-=c0+cHd

+…=2"T.

考点一、求二项展开式的第项

典例引领

1.（2024•浙江绍兴・二模）］:一2xj的展开式的第四项为.

♦♦即时啊

1.（2024•陕西宝鸡•一模）展开式中的第四项为（）

A.160x3B.-160x3C.240D.-240

2.（2023•北京•校考模拟预测）在［1-京］的二项展开式中，第四项为.

考点二、求指定项的二项式系数

典例引领

1.（2024•辽宁•模拟预测）二项式（x+gj展开式的第3项的二项式系数是.

2.（2024,上海•三模）若［x+工］的二项展开式中第3项与第5项的系数相等，则该展开式中4的系数为

3

即时检测

1.（2024・全国•模拟预测）的展开式中第2项的二项式系数为6,则其展开式中的常数项为

2.（2024•江苏无锡•模拟预测）在（°+㈤"的展开式中，若第4项与第5项的二项式系数之和等于第10项与

第11项的二项式系数之和，则〃=（）

A.16B.15C.14D.13

考点三、二项式系数和

典例引领

1.（2024•浙江•三模）若展开式的二项式系数之和为128,则展开式中x的系数为.

2.（2024•四川攀枝花三模）若（l-2x）"（〃eN*）的展开式中V的系数为-80,则展开式中所有项的二项式系

数之和为_.（以数字作答）

1.（2024•广东东莞・模拟预测）已知的展开式中所有项的二项式系数之和为32,则的展开

式中/的系数为（）

A.-10B.-20C.10D.20

2.（24-25高三上•贵州贵阳•阶段练习）若（五-的展开式的二项式系数和为32,且一的系数为80,则

实数。的值为.

考点四、二项式系数的增减性和最值

典例引领

1.（23-24高二下•广东深圳•期中）（2/-的展开式中二项式系数最大的项为（）

A.第二项B.第三项C.第四项D.第五项

2.（2024•江西南昌•三模）（多选）已知上-的展开式中二项式系数的最大值与（x+£|3的展开式中;的

系数相等，则实数。的值可能为（）

4

A.拒B.一点C.也D.一巨

22

即时检测

1.（23-24高二下,四川南充,阶段练习）（1-2x）"的展开式中只有第6项的二项式系数最大，贝（）

A.9B.10C.11D.12

2.（2024・贵州•模拟预测）的展开式中，二项式系数最大的项的系数是.（用数字作答）

考点五、求指定项的系数

典例引领

1.（2024•湖北武汉•模拟预测）（2工-：；展开式中含5项的系数为（）

A.420B.-420C.560D.-560

2.（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知二项式的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,

则其展开式中%5的系数为.

即

1.（2024•浙江绍兴•三模）（尤-咪的展开式中丁的系数为.（用数字作答）

2.（2024•黑龙江大庆・三模）在12三+）：的展开式中，含一项的系数是.

考点六、由项的系数确定参数

典例引领

1.（2024•黑龙江•模拟预测）若1+/］的展开式中｛的系数为144,则〃=.

2.（2024•福建宁德•模拟预测）已知（x+ay）6的展开式中含彳3》3项的系数为160,则实数a的值为.

即0唧（

1.（2024.安徽芜湖•模拟预测）（x+1）"的展开式中炉的系数为15,则〃=

5

5

a

2.（2024・山东•模拟预测）二项式XH----|的展开式中，/的系数为10,则。=

X

考点七、有理项（含常数项）、无理项及其系数

典例引领

1.（2024•江西鹰潭・模拟预测）［岳-点］的展开式中，常数项的值为.

2.（浙江•高考真题）在二项式（应+x）9的展开式中，常数项是；系数为有理数的项的个数是.

即时

1.（2024•湖北武汉•模拟预测）1+而展开式的7项中，系数为有理数的项共有（）项

A.1B.2C.3D.4

2.（2024・河南•模拟预测）（其中。＞0）的展开式中的第7项为7,则展开式中的有理项共

有（）

A.6项B.5项C.4项D.3项

3.（2024•辽宁・模拟预测）（多选）若［私+j］（〃26）的展开式中第4项的二项式系数最大，则二项展开式

中的有理项（x"项中a是整数）可以是（）

A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项

考点八、二项展开式各项系数和及奇次项与偶次项的系数和

典例引领

1.（2024・上海•高考真题）在（x+1）”的二项展开式中，若各项系数和为32,则/项的系数为.

2.（2024•福建泉州•一模）（多选）已知［+击）（〃eN*）展开式中共有8项.则该展开式结论正确的是（）

A.所有项的二项式系数和为128B.所有项的系数和为

C.系数最大项为第2项D.有理项共有4项

3.（2024•河南驻马店•二模）（多选）已知（4—3无y=%+q（1—3无）+%（1-3尤）2+…+/（1—3x）7,则（）

6

A.2=945B.):4=4—1

z=i

C.a。+2+%+“6=2受+2‘D.4+/+%+%=26一

4.(2024・四川乐山•三模)设(％+2024)(21—1严23=/+〃]]+%/+…+%0292。24,则与十杂皆十一舞

()

A.1B.-1C.2024D.-2024

即时

1.（2024・辽宁・三模）（多选）关于二项式（3尤-Ip的展开式，下列说法正确的是（）

A.第三项系数为270B./的系数为90

C.二项式系数和为D.系数和为25

9

2.（2024•福建福州•模拟预测）（多选）已知(1-2x)9=/+4%+的/H------1-a9x,贝!]()

A.“0=1

B.q=18

C.〃]+4+，，•+为=-1

1+39

D.4+。3+。5+%+〃9=—

2

6

3.（2024•湖北武汉•模拟预测）（多选）已知（1一%）6=%+〃］工+出/+—I-a（）x,则下列结论正确的是（）

A.4=15B.。]+4+/+,•,+%=0

C.4+。2+。4+。6=64D.q+2%+3/+,,•+66=0

考点九、三项展开式的系数问题

典例引领

1.（2024•湖南衡阳•一模）（/-4+y）6的展开式中孙的系数为（）

X

A.30B.-30C.60D.-60

2.（2024•江苏南京•模拟预测）的展开式中，三的系数为（）

A.60B.-60C.120D.-120

7

1.（2024・云南昆明•模拟预测）（/+2工-7丫的展开式中，尤5y2项的系数为（）

A.10B.-30C.60D.-60

/1Y2

2.（2024•安徽•三模）一尤2+，=+y的展开式中21的系数为.

考点十、两个二项式乘积展开式的系数问题

典例引领

1.（2024•山西长治•模拟预测）（x+2y）（x-yf的展开式中的系数是（）

A.-10B.0C.10D.30

2.（2024•江苏南京•模拟预测）（f+2x+3）（2x+l）6的展开式中，/的系数是

即时检测

1.（2024•江西•一模）（二+二）。-1）7的展开式中的常数项为（）

xx

A.147B.-147C.63D.-63

2.（2024•江西宜春•模拟预测）在（°-26+1）（2。-6）6的展开式中，/匕4项的系数是

考点十一、求系数最大（小）的项

1.（23-24高二下•河北邢台,阶段练习）（x+l）24的展开式中，系数最大的项是（）

A.第11项B.第12项C.第13项D.第14项

2.（2024•安徽•二模）己知，-彳1的展开式二项式系数和为256,则展开式中系数最大的项为（）

A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项

即时检测

1.（2023•上海嘉定•一模）已知（l+2x）6的二项展开式中系数最大的项为

考点十二、整除和余数问题

8

典例引领

I_____________________

1.（2024•湖北•模拟预测）22°24被9除的余数为（）

A.1B.4C.5D.8

2.（2024・甘肃张掖•三模）已知今天是星期四，则67-1天后是（）

A.星期一B.星期二C.星期三D.星期五

即0唧（

1.（24-25高三上•河南焦作•开学考试）32。被10除的余数为.

2.（2024•贵州黔南•二模）我国农历用"鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按

顺序轮流代表各年的生肖年号，今年2024年是龙年.那么从今年起的（1）4+1）年后是（）

A.虎年B.马年C.龙年D.羊年

考点十三、杨辉三角

典例引领

1.（2024•宁夏•二模）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究

成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多规律，如图是一个5阶杨辉三角.

0行

1

1行

11

2行

121

3行

1331

4行

.14641

5行

15101051

若第〃行中从左到右第3个数与第5个数的比为3:5,贝”的值为.

2.（2023•海南•三模）（多选）〃杨辉三角〃是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉

1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲发现早500年左右.如图所示，在〃杨辉三角〃中，除

每行两边的数都是1外，其余每个数都是其''肩上〃的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下

列命题中正确的是（)

第0行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第2行14641

第5行15101051

9

A.在"杨辉三角"第6行中，从左到右第6个数是15

B.由"第〃行所有数之和为2""猜想：C；+C；+C+...+C：=2"

C.C；+Cj+C；+…+C：o=164

D.存在我N*,使得｛C+i-C｝为等差数列

3.（23-24高二上•山东青岛,期末）（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展

示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（）

杨辉三角

第

0行

第

1行1

第

2行11

第

3行121

第

4行1331

14641

第

5行

第15101051

6行

第1615201561

7行

第172135352171

8行

第918285670562881

行

第1193684126126843691

昭

第11104512021025221012045101

HT115516533046246233016555111

A.第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数

B.1+C"或+C；=C；

C.第2020行的第1010个数最大

D.第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为2:11

1.（2023•安徽黄山•二模）如图给出的三角形数阵，图中虚线上的数1、3、6、10、L,依次构成数列｛%,｝,

111

贝u—+—+…+——=.

1

11

12X

133'1

146'41

15W/1051

2.（2024•河南新乡•三模）如图所示的"分数杨辉三角形"被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形中的C：

换成77一得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（）

10

1

T

11

22

111

~3~6J

1111

412124

1J_J_J_1

52030205

111111

A---------1-------------------------------B----1----------r-------------------

,yy”(H-i)c：+1y呜*(H-i)cu

111iii

C--------1------------------r=----------D--------1------------------r=---------

+1

5+DC；(H+1)C：nC：+15+I)C：(w+i)c「〃C；T

3.（2023•黑龙江哈尔滨•模拟预测）（多选）"杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南

宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在"杨辉三角”中，除每行两边的

数都是1外，其余每个数都是其"肩上"的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题

中正确的是（)

第。行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行1510105

第〃行

A.在第10行中第5个数最大

B.C；+C；+C：+…+C；=84

C.第8行中第4个数与第5个数之比为4:5

D.在杨辉三角中，第"行的所有数字之和为2'T

IA.好题冲关

基础过关

一、单选题

1.（2024•山东荷泽・模拟预测）在（20V+IJ的展开式中，f的系数为（）

A.80B.240C.1600D.2400

11

2.（2024・山西太原•三模）（%+y-1）5的展开式中孙?的系数为（）

A.-20B.20C.-30D.30

3.（2024•辽宁鞍山•模拟预测）己知（x+J；的展开式中第3项的二项式系数等于36,则该展开式中的常

数项为（）

2163219

A.—B.—C.—D.—

2161632

2

4.（2024•陕西,模拟预测）若（2x+l）=ci^x+a2xH----------1~为4"的展开式中的各项系数和为243,贝!J

幺+鼻+...+组=（）

2

22T

A.32B.31C.16D.15

二、多选题

5.（2024・吉林•模拟预测）在［J一的展开式中，下列说法正确的是（）

A.各二项式系数的和为64B.各项系数的绝对值的和为729

C.有理项有3项D.常数项是第4项

8

6.（23-24高二下•广东深圳,期中）若犬=4+4（x-l）+%（x-1厂+L+a8（x—I）,其中9,。”出，…,4为实数,

贝I（）

A.=1B.4=56

C.〃］+%+%+%=128D.%+4+〃6+/=127

三、填空题

7.（2024・湖北襄阳・模拟预测）［也+：］的展开式中了7的系数为.

8.（2024,浙江嘉兴,模拟预测）若（冗一1）5=%+牛+〃2%2+。3%3+。4/+。5%5,则%=1

9.（2024・广东佛山•模拟预测）［6-3］的展开式中常数项是.（用数字作答）

10.（2024•福建南平•模拟预测）在（2+x）［：-2j的展开式中，Y的系数为

能力提升,

一、单选题

1.（2024•山东•二模）11+xJ展开式中fy-2的系数为（）

A.-840B.-420C.420D.840

12

2.（2024・湖北•模拟预测）若，6-的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展

开式中1的系数为（）

A.8B.28C.70D.252

3.（2024•河北邢台•二模）已知在［加一的二项展开式中，第6项为常数项，若在展开式中任取3项，

其中有理项的个数为。，则E（J）=（）

812-98

A.—B.—C.—D.—

11111155

4.（2024・江西鹰潭•二模）第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，

会标中TCME-14"的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4,这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十

进制是3x83+7x82+4x81+4x8°=2020，正是会议计划召开的年份,那么八进制数卫二Z换算成十进制数，

8个7

则换算后这个数的末位数字是（）

A.1B.3C.5D.7

二、多选题

5.（2024,江苏,模拟预测）若—2）=%+qx+%/+//+...+a?。％?。，则（）

A.“0=1024B.4=1

C.%9=1。D.+/+“5+,,,+。19=-512

6.（2024•河北•二模）已知=4+,

41345

（x-l）（m+x）=bQ+b{x+b2x+b3x+Z?4x+Z?5x,其中mwR,m^O.若。2=3%，则（）

A.m=2B.a0+ax+a2+a3+a4=81

C.4+打+&+仇+灯=—16D.4+2Z?2+34+4d+5么=80

12

7.（2024•山西・三模）己知函数=（4x-l[=4+°]%+。2%2H------1-a12x,贝!]（）

3

A.«3=4XC^2B.〃尤）展开式中，二项式系数的最大值为C：?

1-

C.a{+a2+a3-\-----Fan=3D./⑸的个位数字是1

三、填空题

13

8.（2024•山西朔州•一模）16+的展开式中'的系数为.

9.（2024•河北•模拟预测）已知（尤3一天+1）：》+：］的展开式中各项系数和为8,则展开式中常数项

为.

10.（2024•江西景德镇•三模）若关于x,V的三项式（l+