2024中考数学重难点专练：新定义型问题（含解析）

重难点01新定义型问题

【命题趋势】

新定义型问题是中考数学的热点问题，一般为小题（选择题或填空题）。这种类型的问题通常不会单独

考查，往往会结合初中数学中某个学问点进行命题，进而既能考查初中数学中某个学问点的驾驭状况，又

能考查学生的自学实力和分析问题、解决问题的实力.这种类型的问题往往与代数学问结合的比较多，所

以同学们肯定要重视，一般这种类型的问题难度不大，平常多留意对这种问题的训练拿下这个问题不是难

事.

新定义型问题是在问题中定义了初中数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂

题意并结合已有学问进行理解，而后依据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.一般有三种类型问题:

（1）定义新运算；（2）定义初、中学学问连接“新学问”；（3）定义新概念.这类试题考查考生对”新定

义”的理解和相识，以及敏捷运用学问的实力，解题时须要将"新定义"的学问与己学学问联系起来，利

用已有的学问阅历来解决问题.

【满分技巧】

一.读懂题目，搜集信息，理解本质：

要想做好这类新定义型问题，关键在于读懂题目中所给新定义的信息，真正理解新概念的本质.题目

中可能会给出许多信息，有些是无关紧要的，有些是重要的，我们肯定要抓住关键词，关键信息，彻底弄

懂其问题的本质，这是我们解决问题的关键所在.

二.新定义型问题一般与代数学问结合较多，多关注初中数学中以下几个部分的代数学问：

1.实数的运算一中学的虚数的运算、数列的求和等学问.

2.反比例函数，一次函数，二次函数一幕函数或指数函数

3.一元一次、一元二次方程、分式方程一指数方程、三角方程等特别方程

4.物理力学一向量的运算（平行四边形法则）

5.其他类型

三.娴熟驾驭和运用数学的常用思想方法

我们在解决新定义型问题时，往往都是利用现有的学问结合一些重要的数学思想方法去解决新定义的

问题，比如，我们用初中所学的实数的学问结合类比和转化的数学思想方法来解决复数或者虚数的一些问

题等等.所以肯定要把未学的问题转化成已学的数学问题，利用现有的学问和方法，结合转化、类比等数

学思想解决问题.

【限时检测】（建议用时：30分钟）

一、选择题

1.（2024湖南省株洲市）从-1,1,2,4四个数中任取两个不同的数（记作a,4）构成一个数组｛a"，

（其中次=1,2…S,且将面，瓦｝与｛瓦，aj视为同一个数组），若满意：对于随意的Mi=｛at,和Mj

=｛at,岳｝（i#j,1WZWS,IWjWS）都有则S的最大值（）

A.10B.6C.5D.4

【答案】C

【解析】V-1+1=0,-1+2=1,-1+4=3,1+2=3,1+4=5,2+4=6,

...a,+4共有5个不同的值.

又•.,对于随意的朋=回，4｝和必=回，"｝QHJ,IWiWS,1WJWS）都有&+4Wa,+历，

•••S的最大值为5.

故选：C.

2.（2024四川省达州市）a是不为1的有理数，我们把工称为a的差倒数，如2的差倒数为，=-1,

1-a1-2

-1的差倒数一1—=1,已知a=5,统是国的差倒数，as是为的差倒数，a是as的差倒数…，依此类

1-（-1）2

推，石2024的值是（）

A.5B.-1C.AD.A

435

【答案】D

【解析】分析依据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发觉，每3个数为一个循环组依次循环，用2024

除以3,依据余数的状况确定出与血）24相同的数即可得解.

•.•苗=5,

0,21-------1---------—_------1-------=---1---,

1-a11-54

as=—--=---—=―,

1-a2l-(-y)5

a=1一=---=5

S145

数列以5,-1,&三个数依次不断循环,

45

V20244-3=673,

.'.32024=S3=―,

5

故选：D.

—(?>0)

q

3.(2024广西玉林市)定义新运算：0㊉q=，例如：3㊉5=3,3㊉(一5)=3,则y=2㊉x(xfO)

p,55

——(q<0)

Iq

的图象是()

A.xB.x

D.0\%

【答案】D

【解析】分析依据题目中的新定义,可以写出y=2㊉X函数解析式，从而可以得到相应的函数图象，本题

得以解决.

—(^>0)

p㊉q=<，,

--(<7<0)

1q

-(x>0)

.•.y=2®X=\X,

2

——(x<0)

故选：D.

二、填空题

4.(2024河北省)如图，约定:上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数.

守

示例：即4+3=7

则(1)用含X的式子表示)=

(2)当尸-2时，〃的值为—

啰

【答案】3x;l

【解析】（1）依据约定的方法可得：

〃=x+2x=3x；

故答案为：3x；

（2）依据约定的方法即可求出n

矛+2^+2矛+3=/“=k

当y--2时，5A+3=-2.

解得x=-1.

〃=2户3=-2+3=1.

故答案为：1.

5.（2024湖北省荆州市）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x）,即当〃为非负整数时，若〃-0.5Wx

</?+0.5,贝！|（x）—n.如（1.34）=1,（4.86）=5.若（0.5x-l）=6,则实数x的取值范围是.

【答案】13Wx<15

【解析】依题意得：6-0.5W0.5x-1<6+0.5

解得13Wx<15.

故答案是：13Wx<15.

6.（2024湖北省十堰市）对于实数a,b,定义运算如下：a©b=（a+6）2-（a-W2.若（研2）◎

（^-3）=24,贝U勿=.

【答案】-3或4

【解析】依据题意得［（加2）+（卬-3）［（加2）-（73-3）了=24,

1)2-49=0,

⑵-1+7)(2m-1-7)=0,

2m-1+7=0或2〃-1-7=0,

所以nh=-3,㈤=4.

故答案为-3或4.

7.(2024湖北省襄阳市)定义：a*6=2,则方程2*(x+3)=1*(2x)的解为

b

【答案】X=1

【解析】2*(x+3)=1*(2x),

2=1

x+32x

4x=x+3,

x=l,

经检验：X=1是原方程的解，

故答案为：x=l.

8.(2024湖南省常德市)规定：假如一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义

菱形.依据规定推断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线

相互垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若以”的坐标分别为(0,1),(0,-1),尸是二

次函数了=上步的图象上在第一象限内的随意一点，尸0垂直直线了=-1于点0,则四边形/W是广义菱形.其

4

中正确的是.(填序号)

【答案】①②③

【解析】①依据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；

②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；

③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误;

④设点P(m,—zzz2),则QQm,-1),

4

••3,2+42一1)2=曰K+ll，小：m2+l，

•.•点户在第一象限，

/.ni>0,

:.MP=L^+1,

4

:.MP=PQ,

又'：MN//PQ,

...四边形/W是广义菱形.

④正确；

故答案为①②③；

9.（2024湖南省怀化市）探究与发觉：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数

墙”的总面积是.

【答案】n-1

【解析】由题意“分数墙"的总面积=2X-L+3XJL+4X2+…+〃X=〃-1,

234n

故答案为〃-1.

fct一%

10.（2024湖南省娄底市）已知点PQ。，%）到直线y=fcr+6的距离可表示为“=10+bI，例如：点

■1+k2

（0,1）到直线y=2x+6的距离1=也.据此进一步可得两条平行线y=大和＞=x-4之间的距

V1+22

离为.

【答案】2应

【解析】当x=O时，y=x=O,即点（0,0）在直线y=x上，

4

因为点（0,0）到直线y=x-4的距离为：J=l0--°l=

71+12V2

因为直线y=%和y=%—4平行，

所以这两条平行线之间的距离为2^2.

故答案为2挺.

11.（2024湖南省湘西市）阅读材料：设a=（矛,1%）,b=（如也），假如“b，则荀•角依据

该材料填空，已知a=（4,3）,b=（8,勿），且a〃b，则/=.

【答案】6

【解析】a=（4,3）,b=（8,ni）,且Q//b，

:・4%=3X8,

/.777=6;

故答案为6；

12.（2024江苏省连云港市）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标

注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8,将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建

立了“三角形”坐标系.在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原

三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向起先，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为（1,

2,5）,点方的坐标可表示为（4,1,3）,按此方法，则点。的坐标可表示为.

【答案】（2,4,2）

【解析】依据题意得，点C的坐标可表示为（2,4,2）,

故答案为：（2,4,2）.

13.（2024山东省德州市）已知：[幻表示不超过x的最大整数.例：[4.8]=4,[-0.8]=-1.现定义：{x]=x-[x],

例：{1.5}=1.5—口.5]=0.5,贝!!{3.9}+{-1.8}_{1}=.

【答案】0.7

【解析】依据题意可得：{3.9}+{_1.8}-{1}=3.9-3-1.8+2-1+1=0.7,

故答案为：0.7

14.（2024山东省临沂市）一般地，假如V=a（a20）,则称x为a的四次方根，一个正数a的四次方根有

两个.它们互为相反数，记为土垢，若正=1。，贝.

【答案】±10

【解析】V加=1。，

/.ZZ7=±10.

故答案为：±10

15.(2024上海市)已知/(尤)=/一1,那么/(-1)=.

【答案】0

【解析】当x=-l时，/(-1)=(-1)2-1=0.

故答案为：0.

16.(2024四川省遂宁市)阅读材料：定义：假如一个数的平方等于-1,记为这个数/叫做虚数

单位，把形如a+反(a,6为实数)的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，6叫这个复数的虚部.它的

加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.

例如计算：(4+/)+(6-27)=(4+6)+(1-2)7=10-/；

(2-7)(3+/)=6-3/+2i-7=6-i-(-1)=7"；

(4+7)(4-/)=16-1—16-(-1)=17；

(2+/)2=4+4i+i=4+4i-1=3+4/

依据以上信息，完成下面计算：

(1+2，)(2-7)+(2-7)2=.

【答案】7T

【解析】(1+27)(2-/)+(2-2=2-i+4：i-2/+4+Z-M

=6-1-1

=6-7+1

=7-7.

故答案为：7-i.

17.(2024重庆市)《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”