2025高考数学二轮复习 空间点、直线、平面之间的位置关系 专项训练【含答案】

第2讲空间点、直线、平面之间的位置关系

［考情分析］高考对此部分的考查，一是空间线面关系的命题的真假判断，以选择题、填空

题的形式考查，属于基础题；二是空间线线、线面、面面平行和垂直关系交汇综合命题，一

般以选择题、填空题或解答题的第（1）问的形式考查，属中档题.

考点一空间直线、平面位置关系的判定

【核心提炼】

判断空间直线、平面位置关系的常用方法

（1）根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题.

（2）必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型观察线、面的位置关系，并结

合有关定理进行判断.

例1（1）（2023・宝鸡模拟）已知a,£是空间两个不同的平面，加，〃是空间两条不同的直线，

则下列结论错误的是（）

A.若贝！Ja_L£

B.若〃z_La,n.L/3,a//P，则

C.若/，m//n,则a〃尸

D.若a〃B，mUa,则

答案D

解析对于A,若优J_a，mJ_〃，则“Ua或〃〃a,

若〃Ua,w_L£,则a_L//,

若〃〃a,则平面a内存在直线c使得力〃c,又n邛,

所以又cua,所以a，.，故A正确；

对于B,若m_La,a〃/,则m_1_£,又〃

则m//〃，故B正确；

对于C,若〃z_La,相〃“，所以w_l_a,又w_l_/且a,0是空间两个不同的平面，贝！la〃夕，故

C正确；

对于D,若a〃/,7"Ua,nU0,则机〃w或他与"异面，故D错误.

（2）（2023•南充模拟）如图,在长方体ABCD—AiBiCiDi中,若E,F,G,H分别是棱4出,BB”

CCi，GA上的动点，旦.EH〃FG,贝ij（）

A.BDi±EH

B.AD//FG

C.平面平面

D.平面AiBCP〃平面EPGH

答案B

解析若点E与4重合，点X与点Di重合，

则BDi与EH的夹角即BDi与AiDi的夹角,

TT

显然BDi与AiDi的夹角不是

所以不成立，A错误；

当FG与81cl重合时，

由AD/ZBiCr可得AD//FG,

当FG与81cl不重合时，

因为EH〃FG,EHU平面AiSGDi,

尸GC平面A1BC1Q1,

所以尸G〃平面A1BC1O1,

因为FGU平面BCCiBi,

平面BCCiBm平面AiBCQi=BCi,

所以FG〃员G,又AD〃6G,

所以AD〃/G,B正确；

当平面ER笫与平面BCG3重合时，平面281。。与平面3CGB1不垂直，C错误；

当FG与8C重合时，平面AiBCDi与平面EFG//相交，D错误.

规律方法对于线面关系的存在性问题，一般先假设存在，然后再在该假设条件下，利用线

面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足，则假设成立；

若得出矛盾，则假设不成立.

跟踪演练1⑴（多选）（2023•广州模拟）已知直线m与平面a有公共点，则下列结论一定正确

的是（）

A.平面a内存在直线/与直线机平行

B.平面a内存在直线/与直线机垂直

C.存在平面p与直线m和平面a都平行

D.存在过直线根的平面/与平面a垂直

答案BD

解析对于A选项，若直线相与a相交，且平面a内存在直线/与直线相平行，由于相物，

则ni〃a,这与直线相与a相交矛盾，假设不成立，A错误；

对于B选项，若mUa,则在平面a内必存在/与直线机垂直；若直线机与a相交，设优Pla

=A,如图所示，

P

若相_La,且/Ua,则比_!_/；若根与a斜交，过直线加上一点尸（异于点A）作PB_La,垂足

为点B,过点A作直线/,使得江A3,因为PBLa,l^a,则壮尸2,又因为LAB,PBHAB

=B,PB,ABU平面抬8,所以/J_平面出8,

因为小u平面243,所以/_1_%，

综上所述，平面a内存在直线/与直线机垂直，B正确；

对于C选项，设直线机与平面a的一个公共点为点A,假设存在平面£,使得a〃/且机〃小

过直线机作平面y,使得因为/"〃£,/"Uy,yC£=/,贝!]/〃机，

因为a〃£,记aCy=w,又因为“力=/,贝！|

因为在平面》内过点A有且只有一条直线与直线/平行，且AG”，故根，〃重合，

所以mUa,但根不一定在平面a内，C错误；

对于D选项，若根J_a,则过直线机的任意一个平面都与平面a垂直，

若根与a不垂直，设直线机与平面a的一个公共点为点A,

则过点A有且只有一条直线/与平面a垂直，记直线/,机所确定的平面为夕，则a，。，D正

确.

（2）（多选）（2023・湖南师大附中模拟）在长方体ABCD-AiBiCxDi中，直线AiC与平面ABJDi的

交点为M,O为线段Bid的中点，则下列结论正确的是（）

A.A,M,。三点共线

B.M,O,Ai，A四点共面

C.B,Bi，O,〃四点共面

D.A,O,C,M四点共面

答案ABD

解析如图，因为A4i〃CG,则A,Ai,Ci,C四点共面.

B

因为A/GAiC,所以MG平面ACG4,又MG平面ABid,则点M在平面ACG4与平面

ABiDi的交线上，

同理，。，A也在平面ACG4与平面ASA的交线上，所以A,M,。三点共线，从而M,

O,Ai,A四点共面，A,0,C,M四点共面，故A,B,D正确；

由长方体性质知，OM,881是异面直线，即8,Bi,O,M四点不共面，故C错误.

考点二空间平行、垂直关系

【核心提炼】

平行关系及垂直关系的转化

面面平行的判定

面面平行的性质

面面垂直的判定

面面垂直的性质

考向1平行、垂直关系的证明

例2(2023•全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-AiSG中，4C_L平面ABC,ZACB=90°.

(1)证明：平面ACG4_L平面B6C1C；

(2)设A4i=2,求四棱锥Ai—BBGC的高.

⑴证明因为AC，平面ABC,8CU平面ABC,

所以ACBC,

又因为NACB=90。，SPAC±BC,

因为AC,ACu平面ACG4,AiCCAC=C,

所以8CL平面ACGAi,

又因为8CU平面BBiCiC,

所以平面ACG4_L平面BBiCiC.

⑵解如图，

二C.Bi

过点4作AiOJ_CG于点O.

因为平面ACGAi_L平面3B1GC,平面ACGAm平面BBiGC=CG,40u平面ACG4,

所以4。，平面BBiCiC,

所以四棱锥4—8B1CC的高为AiO.

因为AC_L平面ABC,AC,8CU平面ABC,

所以AC_LBC,AiC±AC,

在RtAABC与RtAAiBC中，

因为4B=AB,BC=BC,

所以RtAABC^RtAAiBC,

所以AC=AC.

设AiC—AC—x,则AiCi—x,

所以。为CCi中点，OCI=3A4I=1,

又因为AICLAC,

所以4C2+AC2=44彳，

即苫2+炉=22,解得x=也，

所以Ai0=yAiC?_0cHy(陋)2_y=],

所以四棱锥Al—8B1CC的高为1.

规律方法(1)证明线线平行的常用方法

①三角形的中位线定理；②平行公理；③线面平行的性质定理；④面面平行的性质定理.

(2)证明线线垂直的常用方法

①等腰三角形三线合一；②勾股定理的逆定理；③利用线面垂直的性质证线线垂直.

跟踪演练2如图，正方形ABCD与平面BDEF交于BD,平面ABCD,E尸〃平面ABCD,

且DE—EF—^rAB.

⑴求证：〃平面AEC；

(2)求证：。尸_L平面AEC.

证明如图，设AC与3。交于点。，则。为正方形ABC。的中心，连接。E,OF.

(1)不妨令A8=啦.

则DE=EF=\.

•.,四边形ABC。为正方形，

：.BD=yj2AB=2=2BO.

:EF〃平面ABCD,且平面ABC。C平面BDEF=BD,EFU平面BDEF,

J.EF//BD,

：.EF//OB,EF=OB,即四边形8OEF为平行四边形，

J.OE//BF.

又OEU平面AEC,AEC,

.•.3尸〃平面AEC.

(2Y：EF//D0,且EF=DO,DE=EF,

：.四边形ODEF为菱形.

平面ABC。，

四边形ODEF为正方形，；.DFLOE.

又四边形42co为正方形，

：.BD±AC.

平面ABC。，ACU平面ABCD,

：.DE±AC.

而BDCDE=D,且BD,DEU平面BDEF,

；.AC_L平面BDEF.

TDPU平面BDEF,

C.ACLDF.

XOEPiAC=O,OE,ACU平面AEC,

：.DF1^AEC.

考向2翻折问题

【核心提炼】

翻折问题，关键是分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变，一般地，位于“折痕”

同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位

置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图

形中解决.

例3（1）已知正方形ABC。中，E为AB的中点，〃为A。的中点，F,G分别为BC,CD±

的点，CF=2FB,CG=2GD,将△AB。沿着BD翻折得到空间四边形AiBCD,则在翻折过

程中，以下说法正确的是（）

A.EF//GH

B.EF与G”相交

C.所与G8异面

D.EH与FG异面

答案B

解析如图，由CP=2EB,CG=2GD,

2

得FG//BD且FG巧BD,

由E为AB的中点，X为的中点，

得EH//BD且EH=；BD,

所以EH〃FG,且EHWFG,

所以四边形EFG”为梯形.

梯形EFG8的两腰EF,8G延长必交于一点，

所以与GH相交，EH与FG平行,

故选项A,C,D不正确，选项B正确.

（2）（多选）（2023•哈尔滨模拟）如图，在矩形中，E,尸分别为BC,4D的中点，且BC=

242=2,现将△ABE沿AE向上翻折，使B点移到尸点，则在翻折过程中，下列结论正确的

A.存在点P,使得PE〃CF

B.存在点P,使得PELED

C.存在点P,使得

◎

D.三棱锥P—AED体积的最大值为手

答案BD

解析对于A,PECAE=E,AE//CF,

因此P£,CF不平行，

即不存在点P,使得PE〃CF,故A错误;

对于B,如图，

取AE的中点。，连接PFPO,OF,ED,当PF=1时,

/2

因为？。=。尸=A匕-,spPO2+OF2=PF2,则POJ_OF,

而0P_L4E,POdAE^O,PO,AEU平面B4E,

所以OF_L平面PAE,

又O,尸分别为AE,A。的中点，

则O/〃ED,于是E£）_L平面PAE,

而PEU平面PAE,则EDLPE,故B正确；

对于C,假设AEJ_P。，又AELED,PDHDE=D,PD,OEU平面PDE,所以AE_L平面

PED,

所以AELPE,这与APLPE矛盾，故不存在点P,使得AELP。，故C错误；

对于D,在翻折过程中，设尸。与平面AED所成的角为仇

则点P到平面AED的距离h=POsin6='sin6,

又△AE£）的面积为因此三棱锥P-AED的体积为与S"Eo%=*sin

当且仅当。=90。，即尸O_L平面AED时，等号成立，

所以三棱锥P—AE。体积的最大值为*,

故D正确.

易错提醒注意图形翻折前后变与不变的量以及位置关系.对照前后图形，弄清楚变与不变

的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置

与数量关系.

跟踪演练3（2023•成都模拟）如图，在矩形ABC。中，E,尸分别为边A£>,2C上的点，且

AD=3AE,BC=3BF,设P,。分别为线段ARCE的中点，将四边形A8FE沿着直线EF

进行翻折，使得点A不在平面。£尸上，在这一过程中，下列关系不能成立的是（）

A.AB//CDB.ABLPQ

C.PQ//EDD.尸。〃平面AOE

答案C

解析翻折之后如图所示，连接P。，DF.

因为AZ)=3AE,BC=3BF,所以且E尸〃CD,

因此AB〃C£）,故选项A成立；

因为P,。分别为ARCE的中点，所以。为。尸的中点，所以PQ〃A。，

易得AB_LA。，所以AB_LP。，故选项B成立；

因为PQ〃A。，EDnAD=D,所以尸。与即不平行，故选项C不成立；

因为尸。〃A。，且尸QQ平面ADE,AOU平面AOE,所以尸。〃平面AOE,故选项D成立.

专题强化练

一、单项选择题

1.（2023・安阳统考）若a,b,c是空间三条直线,a〃b,a与c相交,则b与c的位置关系是（）

A.平行B,相交

C.异面D.异面或相交

答案D

解析在正方体ABCD-AiBiCiDi中，

AB//AiBi,AB与BC相交，4所与8C是异面直线；AB//AiBi,AB与A4i相交，A/i与AAi

是相交直线，

...若a,b,c是空间三条直线，a//b,。与c相交，则b与c的位置关系是异面或相交.

2.（2023•河南校联考模拟）已知a,£是两个不同的平面，如w是两条不同的直线，则下列命

题中正确的是（）

A.若a_L£,mVa,ml.n,贝!Jw_L£

B.若m〃n,m//a,n//P，贝!Ja〃/?

C.若a_L/,mUa,nU0,则优_L〃

D.若m//n,n//P，贝！Ia_l_/

答案D

解析对于A,可能会出现〃〃6n",或〃与/相交但不垂直的情况，所以A错误；

对于B,由机〃w,m//a,n//P，可得a〃/或平面a,4相交，故B错误；

对于C,由a_L£,wjUa,nUfS,可得机〃〃或加，〃相交或机，w异面，

相交或异面时两直线可能不垂直，故C错误；

对于D,m//n,则"J_a,再由"〃夕，可得aJ_夕，可知D正确.

3.（2023・泉州联考）如图，点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图

中，不满足直线〃平面ABC的是（）

答案D

解析对于A,由正方体的性质可得MN〃AC,

因为平面ABC,ACU平面ABC,

所以直线MN〃平面ABC,故A正确；

对于B,如图，作出完整的截面AD2CEF,由正方体的性质可得MN〃4D,因为MNC平面

ABC,AOU平面ABC,所以直线MN〃平面ABC,故B正确；

DN

B

F

\7C

E

对于C,由正方体的性质可得平面A8C与正方体的右侧面平行，故〃平面A8C,故C正

确;

对于D,如图，作出完整的截面ABNMHC,可得在平面ABC内，不能得出平行，故D

错误.

4.（2023・长沙模拟）如图，在三棱柱ABC-AiBCi中，侧棱AAi_L底面A1SG，底面△4B1G

是正三角形，E是8c的中点，则下列叙述正确的是（）

A.CG与BiE是异面直线

B.AC_L平面A8814

C.AE与BiCi为异面垂直

D.DCi〃平面A血E

答案C

解析对于A,：CGU平面3CG21,

BiEU平面BCCiBi,

；.CG与BiE共面,A错误；

对于B,若AC_L平面AB81A1,ABU平面ABBiAi,则AC_LAB,即△ABC为直角三角形，

...△A181C1为直角三角形，与已知△A/1C1是正三角形相矛盾，B错误；

对于C,：AEA平面BCGBi=E,E在8Ci,

：.AE,31cl为异面直线,

:△ABC为正三角形，E为2C的中点，

：.AE±BC,；BC〃BICI,.,.AElBiCi,C正确；

对于D,直线AC交平面A5E于点A,又AC〃4G,.,.直线4cl与平面ABE相交，故D

错误.

5汝口图，在梯形48c。中，BC//AD,ZABC=90°,AD：BC：AB=2：3：4,E,尸分别是

AB,CO的中点，将四边形AZJFE沿直线EF进行翻折.在翻折的过程中，以下四个结论，

可能成立的是（）

A.DFLBC

B.BDE

C.平面8£>F_L平面

D.平面QCF_L平面8CF

答案C

解析对于A,因为3C〃A。,AO与。尸相交不垂直，所以8c与。尸不垂直，故A错误;

对于B,假设CF〃平面8OE,又CFU平面BCFE,

平面BCFECI平面BDE=BE,

贝ijCF//BE,

由题图知CF不与BE平行，故B错误；

对于C,当D在平面BCFE上的投影P落在2尸上时，。尸U平面瓦小，从而平面瓦加,平

面BCF,

故C正确；

对于D,因为AO：BC=2：3,所以AD：EF=4：5,

所以点。的投影不可能在CF上，所以平面。CFL平面2CF不成立，故D错误.

6.如图,在长方体ABCD-AiBiCQi中,AAi=AB=4,BC=2,M,N分别为棱CQi，CCi

的中点，贝U()

A.A,M,N,8四点共面

B.平面AZ)M_L平面CDDiCi

C.直线8N与囱/所成的角为30。

D.8N〃平面ADM

答案B

解析如图所示，连接MN,BCi,对于A选项，AB〃GM,MW平面

所以直线AB,MN是异面直线，故A,M,N,8四点不共面，A错误；

对于B选项，在长方体ABCD-AiBiCQi中，可得AD_L平面CDAG,又AOU平面

所以平面ADM_L平面CDDiCi,B正确；

对于C选项，取CZ）的中点。，连接80,ON,则可知B0=0N=BN=2市,所

以△BON为等边三角形，故NOBN=60。,即直线8N与所成的角为60。，C错误；

对于D选项，因为BN〃平面A4。。，显然8N与平面不平行，D错误.

二、多项选择题

7.（2023・延安模拟）如图，已知六棱锥P-ABCDEP的底面是正六边形，E4_L平面ABC,B4=

2AB,则下列结论正确的是（）

A.PB±AD

B.BC与PD所成的角为45°

C.8c〃平面B4Q

D.尸。与平面ABC所成的角为45。

答案BCD

解析对于A,假设

因为出，平面ABC,AOU平面48C,

故E4_LA。，而必口尸2=尸，

PA,PBu平面PAB,

故4£>_L平面E4B,ABU平面B4B,ADLAB,

这与正六边形ABCDEF中A。，AB不垂直相矛盾，故A错误；

对于B,在正六边形ABC。所中，AD//BC,

故直线A。与直线所成角/PD4即为直线BC与直线PD所成的角或其补角,

在RtAE4£）中，AD=2BC=2AB=PA,

则/PD4=45°,

即直线3c与直线所成的角为45。，故B正确；

对于C,因为A£>〃2C,AOU平面B4O,

BCC平面PAD,

故直线3c〃平面山，故C正确；

对于D,因为抬，平面ABC,

故/PD4即为直线尸。与平面ABC所成的角，

由C可知/PD4=45。，故D正确.

8.（2023・安庆模拟）如图，已知四边形ABC。,ABC。是以BZ）为斜边的等腰直角三角形,△42。

为等边三角形，20=2,将沿对角线BD翻折到△P8D在翻折的过程中，下列结论

中正确的是（）

A.BDLPC

B.0P与8C可能垂直

c.四面体依。体积的最大值是印

D.直线。尸与平面BCD所成角的最大值是看

答案ABC

解析对于A,如图所示，取的中点连接RW,CM,

；ABCD是以BD为斜边的等腰直角三角形，：.BD±CM,

：△AB。为等边三角形，

：.BD±PM,

又PMnCM=M,PM,CMU平面PMC,

8。J_平面PMC,又PCU平面PMC,

：.BD±PC,故A正确；

对于B,nDP±BC,

又BC_LC。，CDCDP=D,CD,OPU平面PC。，

；.BC1,平面PCD,又PCU平面PCD,：.BC±PC,

又尸2=2,BC=®易知尸。6[小一1,^3+1],

当PC=、n时，BC2+PC2=PB-,

故。P与8C可能垂直，故B正确；

对于D,当平面平面BCD时，

平面PBOC平面BC£>=BD,BDLPM,

PMU平面PBD,

此时PM_L平面BCD,ZPDB即为直线DP与平面BCD所成的角，

此时/PD3=全故D错误；

对于C,易知当平面PBO_L平面BCD时，此时四面体PBCZ）的体积最大，

此时的体积V=WSABCD，PM

=gxQx小X®X,=坐,故C正确.

三、填空题

9.平面a内两条相交直线I,m都不在平面B内.

命题甲：/和相中至少有一条与平面夕相交；

命题乙：a与£相交.

则甲是乙的条件.

答案充要

解析由于两条相交直线/,也都在平面a内，且都不在平面夕内，则a与A不重合.

充分性：若/和相中至少有一条与夕相交，

不妨设m4=A,

则由于/ua,而Aep,由于a与6不重合，

；.a与夕相交，故充分性成立.

必要性：若aC£=a,如果/和机都不与/相交，由于它们都不在平面£内，

；./〃£且加〃£,〃。且7"〃a,进而得到/〃加，

与已知/,机是相交直线矛盾，因此/和机中至少有一条与£相交，故必要性成立.

综上所述，甲是乙的充要条件.

10.如图，尸为口ABC。所在平面外一点，E为A。的中点，尸为PC上一点，当孙〃平面仍产

2PF

时，FC=-------------

P

答案2

解析如图，连接AC交BE于点。，连接OF.

*：AD//BC,E为的中点,

.AO_AE_l

,•灰—就一］，

;唐〃平面匹方，平面田卯G平面以C=0/，B4U平面R1C,

PA//OF,祟

rCt/CZ

11.如图，在正四棱锥P—ABC。中，PA^^AB,M是BC的中点，G是△©!£）的重心，则在

平面PAD内经过G点且与直线垂直的直线有条.

AB

答案无数

解析取A。的中点N,连接PN,MN,则G在直线PN上，

设A8=2,则B4=<§,

'：PN±AD,AN=l,

:.PN="

：.PM=PN=^2,又MN=2,

:.PM2+PN2=MN2,故PMLPN,

•：ADLMN,ADLPN,MNCPN=N,MN,

PNU平面PMN,

；.AD_L平面PMN,

平面PMN,：.AD±PM,

■:ADCPN=N,AD,PNU平面出。，

平面PAD,

垂直于平面孙。内任意一条直线，

在平面PAD内经过G点且与直线垂直的直线有无数条.

12.（2023•北京模拟）如图，在正方体ABC。一AiBiCid中，E是的中点，平面ACE将正

方体分成体积分别为Vi,V2（V1WV2）的两部分，则甘=.

7

答案记

解析如图所示，取3cl的中点"，连接即，CH,A1C1,因为AC〃平面A18C101,故AC

平行于平面ACE与平面AiBrCiDi的交线，又"分别为4囱，BiCi的中点，易知

EH//A1C1//AC,即平面ACEA平面AiB[CiDi=EH,故平面ACE将正方体分为如图所示的

两部分，

设正方体的棱长为2,则正方体的体积为8,

VL七棱台印HfBC

=](§△明"+S”BC+JS△%〃•S/SABC>BBi

=9仕+2+出1卜2=§

7

故匕」，

叽%c717-

8-3

四、解答题

13.（202