2025高考数学专项复习讲义：随机事件、频率与概率（学生版+解析）

第04讲随机事件、频率与概率

（3类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

抽样比、样本总量、各层总数、分步乘法计数原理及简单应用

2023年新II卷，第3题,5分

总体容量的计算实际问题中的组合计数问题

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分

【备考策略】1.理解随机事件的定义

2.能正确区分必然事件、不可能事件、互斥事件与对立事件

3.理解频率与概率的意义

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般结合后面学的互斥事件、独立事件及概率的相关计算

一起考查，需强化概念理解

知识讲解

1.事件的分类

必然事件在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件

确定事件

不可能事件在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件

随机事件在条件S下，n「能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件

2.事件的关系与运算

定义符号表示

如果事件A发生，则事件8一定发生，这时称事件3包含事件A（或称事834（或AW

包含关系

件A包含于事件8）B）

相等关系若83A且

并事件（和事件）若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与村8（或4+

事件B的并事件(或和事件)B)

若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A

交事件(积事件)An8(或AB)

与事件B的交事件(或积事件)

互斥事件若AAB为不可能事件，则称事件A与事件8互斥

AAB=0；

若A为不可能事件，A为必然事件，那么称事件A与事件8互为P(AUB)=

对立事件

对立事件P(A)+P(B)

二1

互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有

一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件.

3.频率与概率

(1)在相同的条件S下重复〃次试验，观察某一事件A是否出现，称"次试验中事件A出现的次数网为事件

A出现的频数，称事件A出现的比例为(A)=詈为事件A出现的频率.

(2)对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率以A)稳定在某个常数上，把这个

常数记作尸(A),称为事件A的概率，简称为A的概率.

考点一、事件的判断

典例引领

1.从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是()

A.3个都是男生B.至少有1个男生C.3个都是女生D.至少有1个女生

2.有下列事件：①连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上；②异性电荷相互吸引；③在标准大气压

下，水在1。(2结冰；④买了一注彩票就得了特等奖.

其中是随机事件的有()

A.①②B,①④C,①③④D.②④

1.判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？

(1)抛掷一块石子，下落；.

(2)在标准大气压下且温度低于0回时，冰融化；

(3)某人射击一次，中靶；

(4)如果那么Q—〃>0；

（5）掷两枚硬币，均出现反面；

（6）抛掷两枚骰子，点数之和为15；

（7）从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到4号签；

（8）某电话机在1分钟内收到2次呼叫；

（9）绿叶植物，不会光合作用；

（10）在常温下，焊锡熔化；

（11）若。为实数，则同“；

（12）某人开车通过十个路口，都遇到绿灯；

其中必然事件有;不可能事件有;随机事件有

考点二、事件的关系和运算

典例引领

1.（2024・重庆•模拟预测）对于两个事件A3,则事件AB表示的含义是（）

A.A与8同时发生B.A与8有且仅有一个发生

C.A与B至少一个发生D.A与B不能同时发生

2.（2023・四川宜宾•三模）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数"，事件2表

示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3",事件4表示“骰子向上的点数小于3"则

（）

A.事件1与事件3互斥B.事件1与事件2互为对立事件

C.事件2与事件3互斥D.事件3与事件4互为对立事件

3.（21-22高一下•河南安阳•期末）从一批产品中逐个不放回地随机抽取三件产品，设事件A为"三件产品全

不是次品"，事件8为“三件产品全是次品”，事件C为"三件产品不全是次品"，事件。为"第一件是次品"则

下列结论正确的是（）

A.8与。相互独立B.8与C相互对立

C.A^DD.AnC=0

4.（21-22高一下•全国•开学考试）（多选）在12件同类产品中，有9件正品和3件次品，从中任意抽出3

件产品，设事件A"3件产品都是次品"，事件至少有1件是次品"，事件C"至少有1件是正品"，则下列

结论正确的是（）

A.A与C为对立事件B.8与C不是互斥事件

C.AB=AD,P（B）+P（C）=1

5.（2024•河北沧州•一模）（多选）某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科

技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画.记事件A：只参加科技游艺活动；事件B：至少参加两种科普活

动；事件c：只参加一种科普活动；事件O：一种科普活动都不参加；事件E：至多参加一种科普活动,

则下列说法正确的是（）

A.A与。是互斥事件B.8与E是对立事件

C.E=CuDD.A=CcE

1.（24-25高三上•江苏南通•阶段练习）不透明盒子中装有除颜色外完全相同的2个红球、2个白球，现从盒

子里随机取2个球•记事件至少一个红球，事件N：一个红球一个白球，则下列说法正确的是（）

A.M+N=NB.MN=N

C.M与N互斥D.M与N独立

2.（2023•四川内江•三模）一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（）

A.事件"两次均击中"与事件"至少一次击中"互为对立事件

B.事件"第一次击中"与事件"第二次击中"为互斥事件

C.事件"两次均未击中"与事件"至多一次击中"互为对立事件

D.事件"恰有一次击中"与事件"两次均击中"为互斥事件

3.（2023•广西柳州•模拟预测）从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不

对立的两个事件是（）

A.至少有一本政治与都是数学B.至少有一本政治与都是政治

C.至少有一本政治与至少有一本数学D.恰有1本政治与恰有2本政治

4.（2024•全国•模拟预测）同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记"点数之和为5”是事件A,"点数之和为

4的倍数”是事件8,贝U（）

A.A+3为不可能事件B.A与8为互斥事件

C.为必然事件D.A与B为对立事件

5.（23-24高二上,四川攀枝花•期末）（多选）某人打靶时连续射击两次，记事件A为"第一次中靶"，事件B为

"至少一次中靶"，事件C为"至多一次中靶"，事件。为“两次都没中靶”.下列说法正确的是（）

A.AB=AB.8与C是互斥事件

C.CD=QD.8与。是互斥事件，且是对立事件

考点三、频率与概率

典例引领

1.（2022•山东威海•三模）甲、乙两人相约在某健身房锻炼身体，他们分别在两个网站查看这家健身房的评

价.甲在网站A查到共有840人参与评价，其中好评率为95%,乙在网站3查到共有1260人参与评价，其

中好评率为85%.综合考虑这两个网站的信息，则这家健身房的总好评率为（）

A.88%B.89%C.91%D.92%

2.（22-23高二上•湖北武汉•期中）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，

发现正面朝上出现了440次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）

A.0.55,0.55B.0.55,0.5C.0.5,0.5D.0.5,0.55

3.（2021•全国•模拟预测）某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温

（单位：0）有关.如果最高气温不低于25回，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间［20℃,25℃）,需求

量为300瓶；如果最高气温低于20回，需求量为100瓶.为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份

各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：

最高气温[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天数45253818

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x

瓶的概率估计值为0.L则尤=（）

A.100B.300C.400D.600

1.（23-24高二上•四川达州•阶段练习）某人抛掷一枚硬币80次，结果正面朝上有43次.设正面朝上为事件

A,则事件A出现的概率为—.

2.（23-24高三上•重庆沙坪坝•期中）在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（比赛采用3

局2胜制），假设每局比赛甲获胜的概率为0.6,现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机

产生厂5之间的随机数，指定1,2,3表示一局比赛中甲胜，4,5表示一局比赛中乙胜、经随机模拟产生了

如下20组随机数：

334221433551454452315142331423

212541121451231414312552324115

据此估计甲获得冠军的概率为.

3.（2023・陕西西安・模拟预测）在一个口袋中放有机个白球和〃个红球，这些球除颜色外都相同，某班50

名学生分别从口袋中每次摸一个球，记录颜色后放回，每人连续摸10次，其中摸到白球的次数共152次,

以频率估计概率，若从口袋中随机摸1个球，则摸到红球概率的估计值为.（小数点后保留一位小

数）

IN.好题冲关

1.（22-23高二下•湖北荆州•阶段练习）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000次

试验，发现正面朝上出现了560次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）

A.0.56,0.56B.0.56,0.5

C.0.5,0.5D.0.5,0.56

2.（24-25高三上•重庆・开学考试）某池塘中饲养了48两种不同品种的观赏鱼，假设鱼群在池塘里是均匀

分布的.在池塘的东、南、西三个采样点捕捞得到如下数据（单位：尾），若在采样点北捕捞到20尾鱼，则品

种A约有（）

采样点品种A品种5

东209

南73

西178

A.6尾B.10尾C.13尾D.17尾

3.（23-24高二上•广东清远,阶段练习）下列说法：①必然事件的概率为1.②如果某种彩票的中奖概率为士,

那么买10张这种彩票一定能中奖.③某事件的概率为LL④互斥事件一定是对立事件.其中正确的说法

是（）

A.①②③④B.①C.③④D.①④

4.（23-24高二上•河南信阳•阶段练习）同时掷两枚硬币，"向上的面都是正面"为事件A,"向上的面至少有

一枚是正面"为事件8,则有（）

A.A=BB.A卫BC.AcBD.A与8之间没有关系

5.（2023•山东•模拟预测）已知事件A,B满足P（A）=0.5,尸（3）=0.2,则（）

A.若8=4,则尸（AB）=0.5

B.若A与B互斥，则尸（A+B）=0.7

C.若A与B相互独立,则尸（而）=0.9

D.若尸（3|4）=02,则A与B不相互独立

6.（23-24高二下•上海•期中）出卷老师今天买了一张刮刮乐彩票，刮出500元的概率是0.01%,则这件事一

发生（填"必然"、"可能"或"不可能"）.

7.（22-23高三上•河南关B州,阶段练习）有下列事件：

①在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾；

②实数的绝对值不小于零；

③某彩票中奖的概率为元篇，则买100000张这种彩票一定能中奖；

④连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上.

其中必然事件是.

8.（2020高三・全国・专题练习）"键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在

网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对"键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的

50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对"键盘侠"持反对

态度的有人.

9.（2023•全国,模拟预测）在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给正确答复，因此需要特别

的调查方法.调查人员设计了一个随机化装置，在其中装有形状、大小、质地完全相同的50个黑球和50个

白球，每个被调查者随机从该装置中抽取一个球，若摸到黑球则需要如实回答问题一：你公历生日是奇数

吗？若摸到白球则如实回答问题二：你是否在考试中做过弊.若100人中有52人回答了"是"，48人回答了

"否则问题二"考试是否做过弊"回答"是"的百分比为（以100人的频率估计概率）.

10.（22-23高一下,全国•课后作业）抛掷一枚质地均匀的骰子，记"向上的点数是4或5或6"为事件A,“向

上的点数是1或2”为事件"向上的点数是1或2或3或4"为事件C,"向上的点数大于3”为事件，则

下列结论正确的是.（填序号）①A与2是互斥事件，但不是对立事件；②3=③A与C是互斥

事件；④A=D

1.某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：°C）有关.如

果最高气温不低于25。。需求量为600瓶；如果最高气温位于区间［20（,25。。内，需求量为300瓶；如果

最高气温低于2（FC,需求量为100瓶.为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温

数据，得到下面的频数分布表：

最高气温[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天数36253818

将最高气温位于各区间的频率视为最高气温位于该区间的概率，若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x

瓶的概率估计值为0.1，贝也=（）

A.100B.300C.400D.600

2.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设人=｛2名全是男生｝,B=｛2名全是女生｝,

C=｛恰有一名男生｝,｛至少有一名男生｝，则下列关系不正确的是（）

A.AcDB.BD=0C.A<JC=DD.AUB=BUD

3.（23-24高二上•四川遂宁•阶段练习）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：C,="点数为厂，其中

7=123,4,5,6；A="点数不大于2"，刀="点数大于2",刀="点数大于4”下列结论是判断错误的是（）

A.C1与G互斥B.=Q,DXD2=0

C.D3GD2D.G，G为对立事件

4.（多选）某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表:

投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数

1005518

记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A,投中三分球为事件8,没投中为事件C,用频率估计

概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（）

A.P（A）=0.55B.P（B）=0.18

C.P（C）=0.27D.P（B+C）=0.55

5.（2024•云南昆明•三模）（多选）在一个有限样本空间中，事件4瓦C发生的概率满足

P（A）=P（B）=P（C）=1,P（A2）=B，A与C互斥，则下列说法正确的是（）

A.P（AC）=-B.A与8相互独立

1Q

C.P（ABC）=—D.P（AJBUC）＜^

1.（重庆•高考真题）从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）

12512012210513011411695120134,则样本数据落在［114.5,124.5）内的频率为

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

2.（浙江•高考真题）从存放号码分别为1,2,L,10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张

卡片并记下号码，统计结果如下：

卡片号码12345678910

取到的次数138576131810119

则取到号码为奇数的频率是（）

A.0.53B.0.5C.0.47D.0.37

3.（湖北•高考真题）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，

验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）

A.134石B.169石C.338石D.1365石

4.（湖北•高考真题）甲：4、4是互斥事件；乙：A、4是对立事件，那么

A.甲是乙的充要条件B.甲是乙的充分但不必要条件

C.甲是乙的必要但不充分条件D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

5.（全国•高考真题）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：

492496494495498497501502504496

497503506508507492496500501499

根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g〜501.5g之间的概率约为一

第04讲随机事件、频率与概率

（3类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

抽样比、样本总量、各层总数、分步乘法计数原理及简单应用

2023年新II卷，第3题,5分

总体容量的计算实际问题中的组合计数问题

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分

【备考策略】1.理解随机事件的定义

2.能正确区分必然事件、不可能事件、互斥事件与对立事件

3.理解频率与概率的意义

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般结合后面学的互斥事件、独立事件及概率的相关计算

一起考查，需强化概念理解

知识讲解

1.事件的分类

必然事件在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件

确定事件

不可能事件在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件

随机事件在条件S下，n1■能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件

2.事件的关系与运算

定义符号表示

如果事件A发生，则事件8一定发生，这时称事件8包含事件A（或称事里4（或Aa

包含关系

件A包含于事件B）B）

相等关系若83A且A=B

若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与村8(或4+

并事件（和事件）

事件B的并事件（或和事件）B)

若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A

交事件（积事件）an8(或AB)

与事件B的交事件（或积事件）

互斥事件若AA8为不可能事件，则称事件A与事件8互斥AAB=0

若AP8为不可能事件，AU8为必然事件，那么称事件A与事件8互为P(AUB)=

对立事件

对立事件P(A)+P(B)

=1

互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有

一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件.

4.频率与概率

（1）在相同的条件S下重复〃次试验，观察某一事件A是否出现，称“次试验中事件A出现的次数〃A为事件

A出现的频数，称事件A出现的比例%（A）=詈为事件A出现的频率.

（2）对于给定的随机事件4如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率%（A）稳定在某个常数上，把这个

常数记作尸（A）,称为事件A的概率，简称为A的概率.

考点一、事件的判断

典例引领

1.从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是（）

A.3个都是男生B.至少有1个男生C.3个都是女生D.至少有1个女生

【答案】B

【分析】根据题意及必然事件的概念即可得解.

【详解】从5个男生、2个女生中任选派3人，由于女生只有2名，故至少有1个男生是必然事件，

故选：B.

2.有下列事件：①连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上；②异性电荷相互吸引；③在标准大气压

下，水在1。（2结冰；④买了一注彩票就得了特等奖.

其中是随机事件的有（）

A.①②B.①④C.①③④D.②④

【答案】B

【分析】根据事件的知识求得正确答案.

【详解】①④是随机事件，②为必然事件，③为不可能事件.

故选：B

1.判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？

(1)抛掷一块石子，下落；.

(2)在标准大气压下且温度低于0回时，冰融化；

(3)某人射击一次，中靶；

(4)如果那么。一人＞0；

(5)掷两枚硬币，均出现反面；

(6)抛掷两枚骰子，点数之和为15；

(7)从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到4号签；

(8)某电话机在1分钟内收到2次呼叫；

(9)绿叶植物，不会光合作用；

(10)在常温下，焊锡熔化；

(11)若。为实数，则同？0;

(12)某人开车通过十个路口，都遇到绿灯；

其中必然事件有;不可能事件有;随机事件有

【答案】(1)、(4)、(11)(2)、(6)、(9)、(10)(3)、(5)、(7)、(8)、(12)

【分析】由必然事件，不可能事件以及随机事件的概念逐一判断即可.

【详解】(1)抛掷一块石子，下落，是必然事件；

(2)在标准大气压下且温度低于0回时，冰不可能融化，是不可能事件；

(3)某人射击一次，可能中靶，也可能不中靶，是随机事件；

(4)如果。＞人，那么。-8＞0必然成立，是必然事件；

(5)掷两枚硬币，有四种情况，均出现反面可能发生也可能不发生，是随机事件；

(6)抛掷两枚骰子，点数之和最大为12,所以点数之和为15不可能发生，是不可能事件；

(7)从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，有5种情况，得到4号签是随机事件;

(8)某电话机在1分钟内收到呼叫次数不确定，所以收到2次呼叫是随机事件；

(9)绿叶植物，都会光合作用，所以是不可能事件；

(10)焊锡熔点一般为183度，所以常温不可能熔化，是不可能事件；

(11)若。为实数，则同20必然成立，是必然事件；

(12)某人开车通过十个路口，红绿灯都可能遇到，所以都遇到红灯是随机事件；

故答案为：⑴、(4)、(11)；⑵、(6)、(9)、(10)；(3)、⑸、(7)、(8)、(12)

考点二、事件的关系和运算

典例引领

■--________

1.（2024・重庆•模拟预测）对于两个事件A,2,则事件A3表示的含义是（）

A.A与8同时发生B.A与8有且仅有一个发生

C.A与B至少一个发生D.A与B不能同时发生

【答案】C

【分析】根据事件之间的和事件关系，可得答案.

【详解】由A3表示的是A与8中至少一个发生.

故选：C.

2.（2023・四川宜宾•三模）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数"，事件2表

示“骰子向上的点数为偶数"，事件3表示“骰子向上的点数大于3",事件4表示"骰子向上的点数小于3"则

（）

A.事件1与事件3互斥B.事件1与事件2互为对立事件

C.事件2与事件3互斥D.事件3与事件4互为对立事件

【答案】B

【分析】根据互斥事件、对立事件定义判断求解.

【详解】由题可知，事件1可表示为：A={1,3,5},事件2可表示为：B={2,4,6},

事件3可表示为：C={4,5,6},事件4可表示为：。={1,2},

因为AC={5},所以事件1与事件3不互斥，A错误；

因为AcB为不可能事件，A3为必然事件，

所以事件1与事件2互为对立事件，B正确；

因为3C={4,6},所以事件2与事件3不互斥，C错误；

因为Cc。为不可能事件，不为必然事件，

所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误；

故选：B.

3.（21-22高一下•河南安阳•期末）从一批产品中逐个不放回地随机抽取三件产品，设事件A为"三件产品全

不是次品"，事件8为"三件产品全是次品"，事件C为"三件产品不全是次品"，事件。为"第一件是次品"则

下列结论正确的是（）

A.B与。相互独立B.8与C相互对立

C.A^DD.AnC=0

【答案】B

【分析】根据互斥事件，对立事件，相互独立事件的定义逐个判断即可.

【详解】A为三件产品全部是次品，指的是三件产品都是正品，

8为三件全是次品，

C为三件产品不全是次品，包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件，

。为第一件是次品，指的是最少有一件次品，包括一件次品，两件次品，三件次品三个事件.

由此可知A与B是互斥事件，A与C是包含，不是互斥，B与C对立

故选：B.

4.（21-22高一下•全国•开学考试）（多选）在12件同类产品中，有9件正品和3件次品，从中任意抽出3

件产品，设事件A"3件产品都是次品"，事件8"至少有1件是次品"，事件C"至少有1件是正品"，则下列

结论正确的是（）

A.A与C为对立事件B.8与C不是互斥事件

C.AB=AD.P（B）+P（C）=1

【答案】ABC

【分析】通过分析事件，从而判断事件的关系.

【详解】从中任意抽出3件产品，共有4种情况：3件产品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正

品，3件产品都是正品.

事件8的可能情况有：3件产品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正品，

事件C的可能情况有：2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件产品都是正品.

A与C为对立事件，故A正确；

3cC={2件次品1件正品，1件次品2件正品},则3与C不是互斥事件，故B正确；

A^B,.-.Ar>B=A,故C正确；

由上知尸（3）+P（C）>l,故D错误.

故选：ABC

5.（2024•河北沧州•一模）（多选）某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科

技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画.记事件A：只参加科技游艺活动；事件8：至少参加两种科普活

动；事件C：只参加一种科普活动；事件一种科普活动都不参加；事件E：至多参加一种科普活动，

则下列说法正确的是（）

A.A与D是互斥事件B.8与E是对立事件

C.E=CuDD.A=CcE

【答案】ABC

【分析】根据互斥事件和对立事件的概念判断AB的真假，根据事件的交、并的概念判断CD的真假.

【详解】对A：互斥事件表示两事件的交集为空集.事件A：只参加科技游艺活动，

与事件一种科普活动都不参加，二者不可能同时发生，交集为空集，故A正确；

对B：对立事件表示两事件互斥且必定有一个发生.事件8和事件E满足两个特点，故B正确；

对C：Cu。表示：至多参加一种科普活动，即为事件E,故C正确；

对D：CE表示：只参加一种科普活动，但不一定是科技游艺活动，故D错误.

故选：ABC

1.（24-25高三上•江苏南通•阶段练习）不透明盒子中装有除颜色外完全相同的2个红球、2个白球，现从盒

子里随机取2个球.记事件至少一个红球，事件N：一个红球一个白球，则下列说法正确的是（）

A.M+N=NB.MN=N

C.M与N互斥D.“与N独立

【答案】B

【分析】根据事件至少一个红球，则存在两种情况，有一个红球和一个白球，有两个红球；事件N：

一个红球一个白球，根据事件的基本关系理解N发生，M一定发生，M发生，N不一定发生即可判断和

事件，积事件，互斥关系，独立关系.

【详解】解：现从盒子里随机取2个球.记事件至少一个红球，则存在两种情况，有一个红球和一个

白球，有两个红球；

A.M+N=M,故选项错误，不符合题意；

B.MN=N,故选项正确，符合题意；

C.QMN=N,故Af与N不互斥，故选项错误，不符合题意；

D.QMN=N,即N发生，M一定发生，M发生，N不一定发生，故M与N不独立，故选项错误，不符

合题意；

故选：B.

2.（2023•四川内江•三模）一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（）

A.事件"两次均击中"与事件"至少一次击中"互为对立事件

B.事件"第一次击中"与事件"第二次击中"为互斥事件

C.事件"两次均未击中"与事件"至多一次击中"互为对立事件

D.事件"恰有一次击中"与事件"两次均击中"为互斥事件

【答案】D

【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案.

【详解】一个人连续射击2次，其可能结果为击中0次，击中1次，击中2次，

其中"至少一次击中"包括击中一次和击中两次，

事件“两次均击中"包含于事件"至少一次击中"，故A错误；

事件“第一次击中"包含第一次击中且第二次没有击中，或第一、二次都击中，

事件“第二次击中"包含第二次击中且第一次没有击中，或第一、二次都击中，故B错误；

事件"两次均未击中"与事件"至多一次击中"可以同时发生，故C错误；

事件"恰有一次击中"与事件"两次均击中"为互斥事件，故D正确；

故选：D

3.(2023•广西柳州•模拟预测)从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不

对立的两个事件是()

A.至少有一本政治与都是数学B.至少有一本政治与都是政治

C.至少有一本政治与至少有一本数学D.恰有1本政治与恰有2本政治

【答案】D

【分析】总的可能的结果为"两本政治"，"两本数学"，"一本数学一本政治"，然后写出各个事件包含的事件，

结合互斥事件与对立事件的概念，即可得出答案.

【详解】从装有2本数学和2本政治的四本书内任取2本书，

可能的结果有："两本政治"，"两本数学"，"一本数学一本政治”，

“至少有一本政治"包含事件："两本政治"，"一本数学一本政治”.

对于A,事件“至少有一本政治"与事件"都是数学”是对立事件，故A错误；

对于B,事件“至少有一本政治"包含事件"都是政治"，两个事件是包含关系，不是互斥事件，故B错误；

对于C,事件“至少有一本数学"包含事件："两本数学"，"一本数学一本政治"，因此两个事件都包含事件"一

本数学一本政治”，不是互斥事件，故C错误；

对于D,"恰有1本政治"表示事件"一本数学一本政治"，与事件”恰有2本政治"是互斥事件，但是不对立，

故D正确.

故选:D.

4.(2024•全国,模拟预测)同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记"点数之和为5”是事件A,"点数之和为

4的倍数"是事件8,贝|()

A.A+B为不可能事件B.A与3为互斥事件

C.A8为必然事件D.A与B为对立事件

【答案】B

【分析】利用事件的基本关系判断即可.

【详解】同时抛掷两颗骰子，有36个结果，

"点数之和为5"是事件A有0,4),(2,3),(3,2),(4,1),共有4种情况;

"点数之和为4的倍数"是事件B有。,3),(3,1),(2,2),(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4),(6,6),共有9种情况；

对于选项A:A+B表示"点数之和为5或是4的倍数"，不是不可能事件.故A错误；

对于选项B：A与2不可能同时发生.故B正确；

对于选项C：A3表示“点数之和为5且是4的倍数〃，是不可能事件，故C错误；

对于选项D：A与B不能包含全部基本事件，故D错误.

故选:B.

5.(23-24高二上•四川攀枝花•期末)(多选)某人打靶时连续射击两次，记事件A为"第一次中靶"，事件8为

"至少一次中靶”，事件C为"至多一次中靶"，事件。为"两次都没中靶".下列说法正确的是()

A.AB=AB.8与C是互斥事件

C.CD-C1D.8与D是互斥事件，且是对立事件

【答案】AD

【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项判断即可.

【详解】由题意可知，事件。为"第一次中靶且第二次没有中靶""第一次没有中靶且第二次中靶""两次都中

靶”"两次都没有中靶”；

事件8为“至少一次中靶〃，即“第一次中靶且第二次没有中靶"“第一次没有中靶且第二次中靶""两次都中靶”;

事件C为"至多一次中靶"，即"第一次中靶且第二次没有中靶""第一次没有中靶且第二次中靶""两次都没有

中靶”；

事件。为"两次都没中靶"；

故AB=A,B与C不是互斥事件，3与。是互斥事件，且是对立事件，C0*0.

故选:：AD.

考点三、频率与概率

典例引领

1.（2022•山东威海•三模）甲、乙两人相约在某健身房锻炼身体，他们分别在两个网站查看这家健身房的评

价.甲在网站A查到共有840人参与评价，其中好评率为95%,乙在网站8查到共有1260人参与评价，其

中好评率为85%.综合考虑这两个网站的信息，则这家健身房的总好评率为（）

A.88%B.89%C.91%D.92%

【答案】B

【分析】根据已知数据直接计算可得.

【详解】由已知可得这家健身房的总好评率为84°*95%+1260*85%=89%

840+1260

故选：B.

2.（22-23高二上•湖北武汉•期中）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，

发现正面朝上出现了440次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）

A.0.55,0.55B.0.55,0.5C.0.5,0.5D.0.5,0.55

【答案】B

【分析】根据频率的计算公式可求得频率，结合概率的含义可确定概率，即得答案.

【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，发现正面朝上出现了440次，

440

那么出现正面朝上的频率为—^=0.55,

由于每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是;,

故出现正面朝上的概率为1=0.5,

故选：B.

3.（2021•全国•模拟预测）某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温

（单位：0）有关.如果最高气温不低于25回，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间［20℃,25℃）,需求

量为300瓶；如果最高气温低于20回，需求量为100瓶.为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份

各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：

最高气温[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天数45253818

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.若6月份这种冷饮一天的需求量不超过尤

瓶的概率估计值为0.1，则无=（）

A.100B.300C.400D.600

【答案】B

【分析】根据频数分布表确定概率

【详解】这种冷饮一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于250,

由表格数据知，最高气温低于25回的频率为言=0.1,

所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1.

故选:B.

1.（23-24高二上•四川达州•阶段练习）某人抛掷一枚硬币80次，结果正面朝上有43次.设正面朝上为事件

A,则事件A出现的概率为—.

【答案】1/0.5

【分析】由题意知硬币正反面出现的机会是均等的，即可得答案.

【详解】由题意可知事件A出现的频率为4盛3，而概率是大量试验中，频率趋于的一个稳定值，