2025高考数学二轮复习：导数综合（五大考向） 专项训练【含答案】

2025高考数学考二轮专题复习-第十九讲-导数综合(五大考向)-专项训练

一：考情分析

命题解读考向考查统计

2022•新高考□卷，

22(1)

2024•新高考□卷，

18(1)

导数与函数最值

2024•新高考□卷，

18(3)

2022•新高考□卷，

22(2)

1.高考中，导数是必考内容。

2022•新高考□卷，

难度、广度和深度较大。常规导数与函数零点

22(2)

基础考查求导公式与几何意

2023•新高考□卷，

义；中等难度考查求单调区

19(1)

间、极值、最值等；压轴题考导数与函数单调性

2022•新高考□卷，

查零点、不等式证明、恒成立

22(1)

或者存在问题、分类讨论求参

2023•新高考□卷，

数等，和数列、不等式、函数

19(2)

等知识结合。

2022•新高考□卷，

导数与不等式证明

22(3)

2023•新高考口卷,

22(1)

2023•新高考□卷，

22(2)

导数与函数极值

2024•新高考□卷，

16(2)

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考□卷考查了导数中函数最值、函数的对称性、恒成立问题的综

合运用，难度较难。口卷考查了曲线的切线和函数的极值求参数，常规考查，难度适

中。导数的高频考点有：含参函数的参数对函数性质的影响；用导数研究函数的单调

性、极值或最值；求曲线切线的方程；函数的零点讨论；函数的图像与函数的奇偶性

结合考查等。导数中频考点有：用函数的单调性比较大小；利用函数证明不等式或求

不等式的解；求参数的取值范围等。预计2025年高考还是主要考查导数与切线及恒成

立、求参问题。

三：试题精讲

一、解答题

1.(2024新高考□卷T8)已知函数/(x)=ln—^+or+b(x-l)3

2-x

⑴若6=0,且尾(x)NO,求。的最小值；

(2)证明：曲线y=7。)是中心对称图形；

⑶若/(x)>-2当且仅当1<X<2,求6的取值范围.

2.(2024新高考口卷T6)已知函数/0)=/-办-(？.

⑴当时，求曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程；

(2)若/")有极小值，且极小值小于0,求。的取值范围.

高考真题练

一、解答题

1.(2022新高考□卷22)已知函数/(X)=e'-依和g(x)=ox-lnx有相同的最小值.

(1)求a；

(2)证明：存在直线y=6,其与两条曲线、=/(%)和〉=8(尤)共有三个不同的交点，并且

从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

2.(2023新高考口卷19)已知函数/(x)=a(e』)-x.

⑴讨论的单调性；

3

(2)证明：当。>0时，/(x)>21nfl+-.

3.(2022新高考□卷-22)已知函数/(x)=xe"-e’.

⑴当。=1时，讨论/(x)的单调性；

(2)当尤>0时，/W<-1,求a的取值范围；

111,,,、

⑶设"CN*，证明：际+…+E("+).

4.(2023新高考口卷-22)(1)证明：当0<“<1时，^-x2<sinx<x；

(2)已知函数/(x)=cosat-ln(l-x2),若彳=。是的极大值点，求。的取值范

围.

知识点总结

一、恒成立和有解问题思路一览

设函数/(%)的值域为(a,。)或［。,勿，或(a,。］或［a,b)中之一种,则

□若22/(x)恒成立(即4<户>)无解),则若2"(幻］1m::

□若恒成立(即4>f(x)无解),则4W"(x)1mhi；

□若227(x)有解(即存在x使得22/(x)成立)，则力之"。)］.；

□若4«〃幻有解(即存在X使得几成立)，则/l<"(X)］max；

□若4=/(x)有解(即无解),则Ne{y|y=/(x)}；

口若X=/(x)无解(即XH/(X)有解)，则;LeQ{y|y=F(x)}.

【说明】(1)一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法.

(2)取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意□口□□中前后等号的取

舍！(即端点值的取舍)

二、分离参数的方法

□常规法分离参数：如；L/(x)=g(x)nX=©；

/(x)

□倒数法分离参数：如/l/(x)=g(x)nL=3；

♦g(x)

【当/(x)的值有可能取到，而g(x)的值一定不为0时，可用倒数法分离参数.】

/(-V)

2>,g(x)>0

g(x)

□讨论法分离参数:如：2g(x)>/(%)<=><

2<,g(x)<0

g(x)

2<为正偶数

(—l)"X</OX“eN*)o<

-2</("),〃为正奇数

仃整体法分离参数：如％+4=/(%)；

h

口不完全分离参数法：如一=lnx+x-X2；

x

□作商法凸显参数，换元法凸显参数.

【注意】

(1)分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法(大多数题可以使用此方法).但

如果难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含

参转化法.

(2)恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉

这一部分或端点，再分离参数求解.【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题

三、其他恒成立类型一

□_/(%)在［a,切上是增函数，则/(%)20恒成立.(等号不能漏掉).

□在［a,0上是减函数,则尸(x)WO恒成立.(等号不能漏掉).

□/(幻在［a,切上是单调函数，则分上述两种情形讨论；(常用方法)

四、其他恒成立类型二

□V%!GA,3x2eB,使得方程g(x2)=/(xj成立

{JIy=f(x),XGA}o{JIJ=g(x),xGB］.

□3%!GA,3%2eB,使得方程g(%)=/(xj成

o{yIy=/(x),xeA}U{yIy=g(x),xeB}^0.

五、其他恒成立类型三

□V%!eA,Vx2eB)/(石)2g(%)=/(西)1nhiAg®)max；

口V%!eA,3x2eB,/&)>g(x2)o/(石端口之g(/)min；

口叫eA,Vx2eB,/(%,)>g(x2)O/a)1mx>g(%2)max;

□3xteA,3x2eB,f(xj>g(x2)o/(占)111ax>g(x2)mn.

六、构造函数解不等式解题思路

利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式

来求解，方法是：

(1)把不等式转化为了/(切>/上(切；

(2)判断函数〃尤)的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“"’脱掉，得

到具体的不等式(组)，但要注意函数奇偶性的区别.

七、构造函数解不等式解题技巧

求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下

面是常见函数的变形

模型1.对于/'(%)>g'(x),构造h(x)=/(%)-g(x)

模型2对于不等式/⑴〉左依二0),构造函数g(x)=/(x)—左x+4

模型3.对于不等式f'(x)+f(x)>0,构造函数g(x)=e"(x)

拓展：对于不等式f(x)+灯。)>0,构造函数g(x)=/"(x)

模型4.对于不等式/'(X)-/(%)>0，构造函数g(x)=智

e

模型5.对于不等式方■'(》)+/(x)>0,构造函数g(x)=#(x)

拓展：对于不等式力■'(x)+4(x)〉0,构造函数g(x)=x"/(x)

模型6.对于不等式xf\x)-f[x)>0,构造函数g(x)=幽("0)

X

拓展：对于不等式W'(x)-W(x)〉0,构造函数g(x)=d^

模型7.对于与M〉0,分类讨论：(1)若〃x)>0,则构造/z(x)=ln，(x)；

/(x)

(2)若"%)<0,则构造纵幻=山[一/(%)]

模型8.对于/'(x)+ln歹(x)>0(<0),构造力(尤)=a"(x).

模型9.对于/'(x)Inx+>0(<0),构造h(x)=/(x)lnx.

X

模型10.(1)对于模0)>模型tan%(或/*'(%)<f(x)tanx),即

/'(%)cosx-f(x)sinx>0(<0),

构造h(x)=/(x)cosx.

(2)对于/'(%)cos%+/(%)sinx>0(<0),构造/z(于=，(').

cosx

模型11.(1)fr(x)sinx+/(x)cosx=[/(%)sinx]f(2)

fr(x)sinx-/(x)cos%=心马

sin*123xsinx

名校模拟练

一、解答题

1.(2024•浙江•三模)已知函数/(尤)=:.

⑴求函数〃x)的单调区间；

⑵若曲线y=/(x)在点(0,0)处的切线与二次曲线广混+(24+5卜-2只有一个公共

点，求实数。的值.

2.(2024•河北张家口•三模)已知函数/(x)=lnx+5x-4.

⑴求曲线>=/(无)在点(1，〃D)处的切线方程；

3

(2)证明：/(%)>---2.

5x

2

3.(2024•广东汕头•三模)已知函数/(x)=lnx-ox,g(x)=£MW0.

⑴求函数/(%)的单调区间；

⑵若/(x)Kg⑺恒成立，求，的最小值.

4.(2024•山西吕梁•三模)已知函数〃x)=V-2x+alnx,(aeR).

(1)讨论函数的单调性；

⑵若对任意的圣9«0,y),玉工为，使xJ、)一%"%)>0恒成立,则实数。的取值范

石-x2

围.

5.(2024•广西钦州•三模)已知函数〃x)=asinx+xcosx.

⑴若a=0,求曲线y=〃x)在点(0,〃。))处的切线方程；

(2)若a>-1,证明:“X)在(-兀㈤上有3个零点.

6.(2024•天津河西•三模)已知函数f(x)=-2aln尤-三,g(x)=ax-(2a+l)lnx—,其

中aeR.

(1)若/(2)=0,求实数a的值

⑵当a>0时，求函数g(无)的单调区间；

⑶若存在口使得不等式”x)Wg(x)成立，求实数a的取值范围.

7.(2024•河北•三模)已知函数/'(x)=cosx+2x.

⑴当xe(Yo,0)时，证明：/(x)<e%.

⑵若函数g(x)=ln(x+l)+e，-〃x),试问：函数g(x)是否存在极小值？若存在，求出

极小值；若不存在，请说明理由.

8.（2024・四川南充•模拟预测）已知函数/（x）=l」-alnx,aeR.

X

⑴讨论了（X）的单调性；

⑵当。＞0时，函数“X）与函数g（无）=a（l-ei）-x+1有相同的最大值，求〃的值.

9.（2024•广东汕头•三模）已知函数/（x）=x（e，-aY）.

（1）若曲线y=/（%）在X=-1处的切线与y轴垂直，求y=/（X）的极值.

⑵若/（X）在（0,+8）只有一个零点，求a.

10.（2024•北京•三模）已知函数f（x）=ln（x+l）+Mx+l）.

⑴求的单调区间；

⑵若/（H4-1恒成立，求实数上的取值范围；

⑶求证：£粤〈学心.（〃N且心2）

在7+14

11.（2024・四川自贡•三模）已知函数/（尤）=l+』+alnx（a＞0）

%

（1）求函数/（X）的单调区间；

（2）函数/（X）有唯一零点X],函数g（x）=x-sinx-0在R上的零点为々.证明：

e

七＜马.

12.（2024•四川南充•三模）已知函数/（x）=g%2-sinx+ax.

⑴当a=l时，求〃x)的最小值;

(2)□求证：“X)有且仅有一个极值点；

□当。目-1-兀,1］时，设〃x)的极值点为%,若g(x)=-1■龙2+2sinx-2龙.求证：

/(x0)＞g(x0)

2

13.(2024•黑龙江双鸭山•模拟预测)已知函数/(x)=lnx+—-a(x+l)(a£R).

(1)当Q=-l时，讨论八九)的单调性；

(2)若玉,马(不＜当)是/⑴的两个极值点，证明：

14.(2024•北京•模拟预测)已知函数/0)=111(1+工)+＜：0$工+。(尤3+尤2)一尤,尤€(_1,万).

⑴当。=0时；

(□)求曲线y=/(x)在点(。在点))处的切线方程;

(□)求/(X)零点的个数；

(2)当。＞0时，直接写出。的一个值，使得x=0不是"X)的极值点，并证明.

15.(2024•陕西西安•模拟预测)已知函数/'(x)=oxTnx-a,若/⑺的最小值为0,

⑴求。的值；

(2)若g(x)=对"(元)，证明:g(x)存在唯一的极大值点与,且g(xo)＜：.

16.(2024・四川成都・模拟预测)已知函数〃x)=lnx-3

⑴当4=-1时，求“X）的极值；

⑵若八方）20恒成立，求实数。的取值范围；

.3〃+1

（3）证明：匕，…〃+N*）.

17.（2024・四川成都・模拟预测）已知函数/（幻=岑-北尤e（0,n）.

e

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若尤i<%，满足〃为）=〃％）=。.

（口）求小的取值范围；

（口）证明：玉+尤2<n-

18.（2024•湖北荆州三模）已知函数〃x）=xe=a（lnx+x）,其中e是自然对数的底数.

⑴当“=1时，求曲线y=在点（1,〃项处的切线的斜截式方程；

⑵当a=e时，求出函数外力的所有零点；

（3）证明：fe*>（x+2）lnx+2sinx.

19.（2024•北京顺义三模）已知函数〃x）=xln（2x+l）-加.

⑴求曲线y=在点（0,〃0））处的切线方程；

（2）当a<0时,求证：函数〃尤）存在极小值；

⑶求函数的零点个数.

20.(2024•广东茂名•一■模)设函数f(x)=e*+asinx,xe[0,-H»).

⑴当a=T时，〃力2泳+1在[0,+e)上恒成立，求实数6的取值范围；

⑵若。＞0J(x)在[0,+动上存在零点，求实数。的取值范围.

21.(2024・青海•模拟预测)已知函数〃x)=ea'+；x2-依(aeR).

⑴当a=l时，求f(x)的最值;

(2湾时,证明：对任意的巧,Qe[—2,2],都有/(%)-/5)|We?-1.

22.(2024•新疆•三模)已知函数"x)=(x-l)ex-芸2+”.

⑴讨论的单调性；

(2)若有三个不同的零点，求实数。的取值范围.

23.(2024•北京•三模)已矢口/(尤)=(2x—l)eQ—x在x=0处的切线方程为x+y+b=0.

(1)求实数46的值；

(2)证明：丁(“仅有一个极值点%,且

⑶若g("=(区T)*r,是否存在％使得g(x)Z-l恒成立，存在请求出上的取值范

围，不存在请说明理由

参考答案与详细解析

一：考情分析

命题解读考向考查统计

2022•新高考□卷，

22(1)

2024•新高考□卷，

18(1)

导数与函数最值

2024•新高考□卷，

18(3)

2022•新高考□卷，

22(2)

1.高考中，导数是必考内容。

2022•新高考□卷，

难度、广度和深度较大。常规导数与函数零点

22(2)

基础考查求导公式与几何意

2023•新高考□卷，

义；中等难度考查求单调区

19(1)

间、极值、最值等；压轴题考导数与函数单调性

2022•新高考□卷，

查零点、不等式证明、恒成立

22(1)

或者存在问题、分类讨论求参

2023•新高考口卷,

数等，和数列、不等式、函数

19(2)

等知识结合。

2022•新高考□卷，

导数与不等式证明

22(3)

2023•新高考□卷，

22(1)

2023•新高考□卷，

22(2)

导数与函数极值

2024•新高考□卷，

16(2)

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考□卷考查了导数中函数最值、函数的对称性、恒成立问题的综

合运用，难度较难。口卷考查了曲线的切线和函数的极值求参数，常规考查，难度适

中。导数的高频考点有：含参函数的参数对函数性质的影响；用导数研究函数的单调

性、极值或最值；求曲线切线的方程；函数的零点讨论；函数的图像与函数的奇偶性

结合考查等。导数中频考点有：用函数的单调性比较大小；利用函数证明不等式或求

不等式的解；求参数的取值范围等。预计2025年高考还是主要考查导数与切线及恒成

立、求参问题。

三：试题精讲

一、解答题

1.(2024新高考□卷T8)已知函数/(尤)=ln，J+ax+b(x-l)3

2-x

(1)若6=0,且/'(x)2O,求。的最小值；

(2)证明：曲线y=7。)是中心对称图形；

⑶若当且仅当1<X<2,求6的取值范围.

【答案】(1)-2

(2)证明见解析

【分析】(1)求出/'(力.=2+。后根据/'(x)2O可求。的最小值；

(2)设为y=F(x)图象上任意一点，可证尸关于(1,。)的对称点为

Q(2-m,2a-〃)也在函数的图像上，从而可证对称性；

(3)根据题设可判断〃1)=-2即。=-2,再根据在(1,2)上恒成立可求得

【详解】（1）6=0时,/（x）=ln—+=,其中xe（O,2）,

2-x

।12

则尸3=二二=而短"”（°’2），

因为无（2-尤）4（生产J=l,当且仅当x=l时等号成立，

故/'""/Z+a,而/'（x）NO成立，故a+220即。*2,

所以。的最小值为-2.,

（2）/（x）=ln+公+6（尤-1）3的定义域为（0,2）,

2,—x

设尸（根,〃）为y=图象上任意一点，

P（m,n）关于（l,a）的对称点为。（2-加,2"〃）,

因为在y=〃x）图象上，故，7=ln+的+6（机-1丫，

2-m

ffjf（2-m}=In——-+a（2-m）+b（2-m-l）3=-In———Fam+b（m-]]3+2a,

m[_2—m'

=—n+2a,

所以Q（2-a,2a-"）也在y=/（x）图象上，

由P的任意性可得y=/（x）图象为中心对称图形，且对称中心为（1M）.

（3）因为〃x）＞—2当且仅当1＜》＜2,故x=l为f（x）=-2的一个解，

所以〃1）=-2即°=-2,

先考虑l＜x＜2时，/（x）＞-2恒成立.

此时f（x）＞-2即为ln4+2（l-x）+6（xT）3＞。在（1，2）上恒成立，

设t=x—1e（0,1）,贝（jIn卢-2/+疗＞0在（0,1）上恒成立，

设g⑺=111^^一2/+6/,

则/⑺-2+八上

当620,-3bt2+2+3b>-3b+2+3b=2>0,

故g'(f)>0恒成立，故g(f)在(0』)上为增函数,

故g(。＞g(0)=0即/(力＞一2在(1,2)上恒成立.

2

当-时，-3bt2+2+3b＞2+3b＞0,

故g'⑺20恒成立，故g«)在(0」)上为增函数,

故g(。＞g(。)=。即/(力＞一2在(1,2)上恒成立.

当人＜4,则当0＜/＜、口输＜1时，g'(f)＜0

3V3b

故在上g⑺为减函数，故g(r)＜g(0)=0,不合题意，舍

7

综上，/(力＞-2在(1,2)上恒成立时

2

而当时，

而2-(时，由上述过程可得g(。在(0,1)递增，故g(f)＞0的解为(0,1),

即/(句＞-2的解为(1,2).

2

综上，t＞＞.

【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，

而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定

参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等

式的解的情况.

2.(2024新高考□卷T6)已知函数/(x)=e'-ax-a3.

⑴当。=1时，求曲线y=/(x)在点(1,/⑴)处的切线方程；

(2)若/(x)有极小值，且极小值小于0,求a的取值范围.

【答案】⑴(e-l)x-y-l=O

(2)(1,+8)

【分析】(1)求导，结合导数的几何意义求切线方程；

(2)解法一：求导，分析aWO和。>0两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析

可得/+lna-l>0,构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知/(x)=e，-。有零

点，可得。>0,进而利用导数求“X)的单调性和极值，分析可得Y+ina-l〉。，构建

函数解不等式即可.

【详解】(1)当。=1时，贝!|/(x)=e'-x-l,f((x)=e'-l,

可得八l)=e-2,r(l)=e-l,

即切点坐标为(1簿-2),切线斜率左=e-l,

所以切线方程为y-(e—2)=(e—l)(x-l),即(e-l)x—y—l=0.

(2)解法一：因为/(x)的定义域为R,且尸(x)=e，-a,

若aW0,贝!|于'(x)>0对任意xeR恒成立，

可知Ax)在R上单调递增，无极值，不合题意；

若a>0,令/'(x)>0,解得x>lna；令尸(x)<0,解得x<lna；

可知/(X)在(-8,In°)内单调递减，在(Ina,+8)内单调递增，

则人>)有极小值/(lna)=a-Mna-a3,无极大值，

由题意可得：/(lna)=a-alna-o3<0,即a2+lnq-l>0,

构建g(a)=〃+lna-l,a>0,贝(Jg,(6/)=2a+—>0,

可知g(4)在(0,+巧内单调递增，且g(l)=。，

不等式6+111<2-1>0等价于8(。)>且(1),解得a>l,

所以a的取值范围为。,+力)；

解法二：因为二幻的定义域为R,且广二=e，-a,

若Ax)有极小值，则尸(x)=e=a有零点，

令((尤)=e*-a=0,可得e'=a,

可知y=e，与丫=。有交点，则a>0,

若。>0,令/'(x)>0,解得x>ln。；令/(无)<0,解得x<ln。；

可知/*)在(-e,Ina)内单调递减，在(Ina,+8)内单调递增，

则Ax)有极小值/(lna)=a-alna-a3,无极大值，符合题意，

由题意可得：/(lna)=a-alna-fl3<0,即qZ+inq-i〉。，

构建g(a)=/+lna-l,a>0,

因为则>=/,，=lna-1在(0,+e)内单调递增，

可知g⑷在(0,+8)内单调递增，且g(l)=0,

不等式/+lna-1>0等价于g(a)>g(l),解得

所以a的取值范围为(1,+8).

高考真题练

一、解答题

1.(2022新高考口卷-22)已知函数/(尤)=/-办和g(尤)=G-lnx有相同的最小值.

(1)求a；

(2)证明：存在直线y=6,其与两条曲线y=/(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且

从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

【答案】⑴。=1

(2)见解析

【分析】(D根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等

可求a.注意分类讨论.

(2)根据(1)可得当6>1时，=6的解的个数、x-lnx=b的解的个数均为2,

构建新函数〃⑶=e*+Inx-2x,利用导数可得该函数只有一个零点且可得,g⑺的

大小关系，根据存在直线>=匕与曲线尸“力、y=g(x)有三个不同的交点可得b的取

值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.

【详解】(1)/。)=6'-依的定义域为尺，而尸(x)=e-a,

若a<0,则/(x)>0,此时f(x)无最小值，故。>0.

g(无)=奴-111%的定义域为(0,+(»),而g'(x)=a-；=?J.

当x<lna时，((尤)<0,故f(x)在(-e,lna)上为减函数，

当x>lna时，f\x)>0,故/(尤)在(Ina,+8)上为增函数，

故/(尤)*=/(lna)=a-alna.

当0<xJ时，g，(x)<0,故g(无)在上为减函数，

a\a)

当■时，g，(尤)>0,故g(x)在(—,+00〕上为增函数，

a)

故gOUn=g［］=l-lnL

\aja

因为/(x)=e*-ax和g(x)=6-lnx有相同的最小值，

1n—1

故1一In—=Q—〃lna,整理得至！］---=lna,其中〃>0,

a1+a

i21—a1—1

T&g(a)=------lna,a>0,贝！~^~~=~7,---74°，

1+Q(1+a)aa(l+a)

故g(4)为(。，+8)上的减函数，而g(l)=0,

故g(a)=0的唯一解为。=1,故*=ln.的解为a=l.

综上，a=l.

(2)［方法一］:

由(1)可得f(x)=e-和g(x)=x-lnx的最小值为1一lnl=l-ln；=l.

当6>1时，考虑e*-x=8的解的个数、x-lnx=6的解的个数.

^S{x}=e-x-b,S'(x)=e'-1,

当％v0时，Sr(x)<0,当x>0时，5r(x)>0,

故S（x）在（-。,0）上为减函数，在（0,+8）上为增函数，

所以

而S（—〃）=e3>0,S（b）=eb-2b,

设"（b）=e〃—2b,其中6>1,贝！）M（6）=e"—2>0,

故"（6）在（1,+8）上为增函数，故"6）>"l）=e-2>0,

故S（》）>0,故S（x）=e「x”有两个不同的零点，即e，-尤=8的解的个数为2.

设T（x）=x-lnx-6,rr（x）=---,

当0<x<l时，T,（x）<0,当x>l时，T,（x）>0,

故T（x）在（0,1）上为减函数，在（1,+”）上为增函数，

所以T（xL=T（l）=—<°，

而7卜）/>0,T（e"）=e"_26>0,

T（x）=x-lnx-〃有两个不同的零点即x—lnx=6的解的个数为2.

当6=1,由（1）讨论可得x-lnx=b、e“-尤=4>仅有一个解，

当b<l时，由（1）讨论可得x-lnx=〃、e*-x=Z>均无根，

故若存在直线y=b与曲线,=〃力、y=g（x）有三个不同的交点，

则6>1.

设〃（x）=e*+lnx-2x,其中了>0,故"（x）=e"+4-2,

x

设s(x)=e*-x-l,%>0,贝!js'(x)=e*-l>0,

故S(x)在(0,+8)上为增函数，故s(x)>s(o)=o即1>尤+1,

所以〃'(无)>》+-—启2-1>0,所以〃⑴在(0,+8)上为增函数，

7

而/7(l)=e-2>0,/j(l-)=e-3-4<e-3-4<0>

故/?(%)在(0,+8)上有且只有一个零点%,<1且：

x

当0cx<七时，//(%)<Ogpe-x<x-ln.xBP/(x)<g(x),

当x>/时，/7(x)>0即e，-无>x-lnx即〃x)>g(x),

因此若存在直线y=6与曲线y=〃x)、y=g(x)有三个不同的交点，

故b=〃％)=g(xo)>l，

此时e。尤=6有两个不同的根石,无0(再<。</),

此时x-lnx=6有两个不同的根毛,%(。<尤0<1<Z),

故e"】_玉=/7,-xQ=b9x4-\nx4-b=0,x0-In-Z?=0

所以％_b=In%即e…=匕即ei——6=0,

故匕-匕为方程/-x=6的解，同理毛-匕也为方程/-x=6的解

又e*1-&=6可化为e*1=%+Z?即玉-ln(X1+5)=0即(玉+5)-ln(x,+b^-b=0,

故％+6为方程x—Inx=匕的解，同理七+》也为方程x—Inx=。的解，

所以{再，%}={%-白川一。}，而。>1，

.fx=x-b

故n。A4即再+无4=2无。.

〔占=x「b

［方法二］:

由⑴知，f{x)=ex-x,g(x)=x-lnx,

且/(刈在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增；

g(X)在(0.1)上单调递减，在(1,+(»)上单调递增,且/Wmn=g(X)1nto=1.

力<1时，此时/Mob=g(x)111ta=i>M显然y=b与两条曲线y=/(x)和y=g(x)

共有。个交点，不符合题意；

口6=1时，此时/(幻而„=g(X)而„=1="

故y=。与两条曲线y=fM和y=g(x)共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；

□6>1时，首先，证明y=6与曲线y=/(x)有2个交点，

即证明歹(x)=/(x)-)有2个零点，F\x)=f\x)=ex-1,

所以尸(X)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

又因为尸(-。)=->0,尸(0)=1-。<0,F(b)=e"-2b>0,

(令t(b)=『-2b,贝(JfQ)=/_2>0,r(Z>)>f(l)=e-2>0)

所以Rx)=/(x)-6在(-。0)上存在且只存在1个零点，设为毛，在(0,+8)上存在且只

存在1个零点，设为马•

其次，证明y=6与曲线和y=g(x)有2个交点，

即证明G(x)=g(x)-6有2个零点，G(x)=g，(x)=1-L

X

所以G(九)。1)上单调递减，在(L+00)上单调递增，

又因为G("")=e一">0,G(l)=l-Z?<0,G(2b)=b-］n2b>09

(令〃(加=Z?-In2Z?,贝［］“(》)=1-->0,jn(b)>M(l)=1-In2>0)

所以G(x)=g(%)-6在(0,1)上存在且只存在1个零点，设为七,在(1，+8)上存在且只存在

1个零点，设为打

再次，证明存在b,使得工2=%3：

因为尸(%2)=G(尤3)=0,所以b=-x2=x3-lnx3,

若％2=%3，则济—x2=x2—Inx2,即产—2X2+Inx2=0,

所以只需证明/-2x+lnx=0在(O,1)上有解即可，

即0(x)=e*-2x+lnx在(0,1)上有零点，

因为^(-y)=e^--y—3<0>夕。)=e-2>0,

所以0(x)=e，-2x+lnx在(0,1)上存在零点，取一零点为X。，令％=三=/0即可，

此时取6=淖-尤。

则此时存在直线y=匕，其与两条曲线y=/(%)和y=g。)共有三个不同的交点,

最后证明玉+Z=2%,即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，

因为尸(占)=F(X2)=F(xo)=O=G(xJ=G(x。)=G(%)

所以尸(为)=伏%)=尸(lux。)，

又因为尸(无)在(-8,。)上单调递减，x<0,。<尤0<1即In/<。，所以占=山飞,

同理，因为"%)=G(*)=G(xJ,

又因为G(无)在(1,+«))上单调递增，/>0即1>1,玉>1,所以工4=淖，

又因为涉-2x0+Inx0=0,所以玉+%=e"+历%=2x0,

即直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注

意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间

的关系.

2.(2023新高考□卷T9)已知函数〃x)=a(e，+a)-x.

⑴讨论的单调性；

3

(2)证明：当°>0时，/(x)>21no+-.

【答案】⑴答案见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)先求导，再分类讨论aWO与。>0两种情况，结合导数与函数单调性的关

系即可得解；

(2)方法一：结合(1)中结论，将问题转化为-Ina>0的恒成立问题，构造函

数g(a)=/-g一ina(a>0),利用导数证得g(a)>0即可.

方法二：构造函数/z(x)=e'—x—1,证得e—x+l,从而得至!|/(x)2x+lna+1+/一苫，

进而将问题转化为">0的恒成立问题，由此得证.

【详解】(1)因为/'(x)=a(e*+«)-x,定义域为R,所以1(x)=ae*-1,

当。V0时，由于e，>0,则ae,WO,故/'(%)=W-l<0恒成立，

所以在R上单调递减;

当。>0时，令/>'(%)=ae"-1=0,解得尤=-lna,

当x<Tna时，/'(x)<0,则外力在(f,—山《)上单调递减；

当x>-Ina时，f^x)>0,则〃x)在(-Ina,+co)上单调递增；

综上：当aWO时，“X)在R上单调递减；

当a>0时，"》)在(9,-111。)上单调递减，“X)在(-Ina,内)上单调递增.

(2)方法一：

-lna2

由(1)得，/(^)inin=/(-Ina)=<2(e+o)+lna=l+a+lna,

331

要证/(%)>21n<2+—,即证l+〃2+ina>2In<2+—,即证6—^—Ina>0,恒成立,

令g(a)=a1---lna(Q>0),贝［j=2a——=———-,

2aa

令/⑷<0,则o<a<¥；令g®)>0,贝！|a>¥；

所以g(a)在，，等］上单调递减，在(亨,+s［上单调递增，

所以g(%m=g伴］-1-ln^=lnV2>0,则g(a)>0恒成立，

\1)V1)22

3

所以当a>0时，/(x)>21na+多恒成立，证毕.

方法二：

令〃(x)=e，-x-l,贝J］=e&-1,

由于y=在R上单调递增，所以〃(x)=e*-1在R上单调递增，

X//(O)=e°-l=O,

所以当x<0时，〃(x)<0；当x>0时，//(x)>0；

所以Mx)在(-00)上单调递减，在(0,+动上单调递增,

故〃(x"〃(O)=O,则e=x+1,当且仅当x=0时，等号成立,

因为/'(x)=a(e*+a)—x—(IQX+a2-x—e*+""+Q2—兀之％+Ina+1+一%,

当且仅当x+lna=0,即x=-Ina时，等号成立，

331

所以要证/(%)>Zlna+g,即证％+1口。+1+。2_%>2I11Q+5,BPilE^2---Intz>0,

,

令g(Q)=〃2_J__]nQ(Q>0),贝!)g(a\=2a--=,

2aa

令/(a)<0,则0<a<J；令/(a)>。，则a>J；

所以g(a)在上单调递减,

所以g(«U=g_g_ln等=ln0>O,

则g(a)>0恒成立,

3

所以当。>0时，/(x)>21na+5恒成立，证毕.

3.(2022新高考口卷22)已知函数〃尤)=xe"-e"

⑴当。=1时，讨论/(x)的单调性;

(2)当尤>0时，fW<-1,求。的取值范围;

111一1、

⑶设〃eN*'证明：N+际+…+=("+).

【答案】⑴〃尤)的减区间为(9,0)，增区间为(0,+8).

(2"vg

(3)见解析

【分析】(1)求出((x),讨论其符号后可得f(x)的单调性.

(2)设/2(司=*“-6'+1,求出〃"⑺，先讨论a时题设中的不等式不成立，再就

0<a<|结合放缩法讨论"(x)符号，最后就«<0结合放缩法讨论力(力的范围后可得参

数的取值范围.

(3)由(2)可得21nt<”!对任意的r>l恒成立，从而可得+对任

t7n+n

意的“eN*恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.

【详解】(1)当a=l时，f(x)=(x-l)e\则r(x)=xe「

当尤<0时，r(x)<0,当x>0时，f\x)>0,

故/(x)的减区间为(一应0),增区间为(0,+8).

(2)设/z(x)=xem—e'+l,则/2(0)=0,

又//(%)=(1+依卜3_炉,设且(%)=(+<2¥)6"-炉,

则g'(x)=(24+°与)6"'-e*,

若贝!)g'⑼=2a-l>0,

因为g'(x)为连续不间断函数，

故存在与e(0,”)，使得Vxe(O,x(,),总有g<x)>0,

故g(无)在(0,%)为增函数，故g(x)>g(O)=O,

故/?(x)在(0,%)为增函数，故网”>旗0)=0,与题设矛盾.

若0<aV：,贝!)〃⑴=0+6)_e'=萨+皿及词一e',

下证：对任意x＞0,总有ln（l+x）＜x成立,

证明：设S（x）=ln（l+x）-x,故“尤）=±-1=六＜0,

故S（x）在（0,+功上为减函数，故S（x）＜S（O）=O即ln（l+x）＜x成立.

由上述不等式有eOT+hl（1+ox）-ex＜em+ax-e'=e2ax-ex＜0＞

故"（x）WO总成立，即/2（x）在（0,+巧上为减函数，

所以贻）＜响=。.

当时，有“