2025届高考数学第一轮专项复习：椭圆及其性质

2025届高考数学第一轮专项复习—椭圆及其性质

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：椭圆的定义............................................................4

知识点2：椭圆的方程、图形与性质................................................4

解题方法总结....................................................................7

题型一：椭圆的定义与标准方程....................................................7

题型二：椭圆方程的充要条件......................................................8

题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题..................................9

题型四：椭圆上两点距离的最值问题...............................................11

题型五：椭圆上两线段的和差最值问题.............................................12

题型六：离心率的值及取值范围...................................................13

方向1：利用椭圆定义去转换.....................................................13

方向2：利用a与c建立一次二次方程不等式.......................................14

方向3：利用最大顶角。满足............................................14

方向4：坐标法.................................................................15

方向5：找几何关系，利用余弦定理...............................................16

方向6：找几何关系，利用正弦定理...............................................16

方向7：利用基本不等式.........................................................17

方向8：利用焦半径的取值范围为［a—。，。+日.......................................18

方向9：利用椭圆第三定义.......................................................18

题型七：椭圆的简单几何性质问题.................................................19

题型八：利用第一定义求解轨迹..................................................22

题型九：椭圆的实际应用........................................................23

04真题试卷练习•命题洞见.......................................................26

05课本典例•高考素材...........................................................27

06易错分析•答题模板...........................................................29

易错点：椭圆焦点位置考虑不周全................................................29

答题模板：求椭圆的标准方程....................................................29

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考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

2024年II卷第5题，5分

椭圆是圆雉曲线的重要内容，高考主要

2023年甲卷（理）第20题，12分

（1）椭圆的定义及其标考查椭圆定义的运用、椭圆方程的求法以及

2023年I卷II卷第5题，5分

准方程椭圆的简单几何性质，尤其是对离心率的求

2023年北京卷第19题，15分

（2）椭圆的几何性质解，更是高考的热点问题，因方法多，试题

2023年甲卷（理）第12题，5分

灵活，在各种题型中均有体现.

2022年甲卷（理）第10题，5分

复习目标：

（1）理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.

（2）掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.

（3）掌握椭圆的简单应用.

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匐2

知识导图•思维引航

桶圆及其性质

第3页共29页

老占李硒・躺利再拿

知识固本

知识点1：椭圆的定义

平面内与两个定点耳，耳的距离之和等于常数2a（2。>|耳耳|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫

做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c,定义用集合语言表示为：

{P\\PF{\+\PF2|=2a（2a>|FtF2|=2c>0）}

注意：当2a=2c时，点的轨迹是线段；

当2a<2c时，点的轨迹不存在.

【诊断自测】已知点动点，（x，y）满足网+网=1,则动点尸的轨迹是（）

A.椭圆B.直线C.线段D.不存在

知识点2：椭圆的方程、图形与性质

椭圆的方程、图形与性质所示.

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22

标准方程

卜+*（。>6>。）

统一方程mx2+ny2=l(m>0,n〉0,加w〃)

x=acos0.、t“/5「X=QCOS0、r.、[〃/〜

参数方程17.八招为参数(汾£[0,2加7.八，。为参数(物£[0,2加

y=bsm，[y=bsm3

第一定义lj两定点耳、巴的距离之和等于常数2a,^\MFX\+\MF2|=2a（2a>|耳巴|）

范围-a<x<aS.-b<y<b-b<x<b5.-a<y<a

A1(—a,0)、A?(Q,0)A】（0,-a）、A28,。）

顶点

B](O,-b)、B2(O,6)B（仇0）、B2（6,0）

轴长长轴长=2q,短轴长=26长轴长=2q,短轴长=26

对称性关于X轴、y轴对称，关于原点中心对称

焦点7„、E（c,0）片(0,-c)、耳(o,c)

焦距耳闻=2c(c2=a2-b2)

离心率

a2

准线方程x=±——

c

>1-外>1外

点和椭圆22

%,不

=lo点色椭帼上----------------4二lo点色椭博上<

的关系a2b2/b2

<1内<1内

辫+等=1（（/,%）为切点）驾^+*~=1((/Jo)为切点)

abab

切线方程对于过椭圆上一点（x0,%）的切线方程，只需将椭圆方程中f换为X/,/换为

yoy可得

切点弦所

在的直线誓+等=1（点痣椭博外）岑+普=1（点微豳外）

abab

方程

空-14=4因，

CJcos6-ax（3为短轴的端点）

=(八々sin9=/tan|=j

C9S.齐二

焦点三角

形面积四乂(羽，%)

四

°fi/x

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［当点在长轴端点时，（min=62

［当点在短轴端点时，（）4&max=a2

焦点三角形中一般要用到的关系是

f\MFl\+\MF2\=2a（2a>2c

WHPGIsinN片因）

2

［lKB|=|期F+1PF］P_21pFl\\PF21cos4M

上焦半径：\MF1\=a-eyG

左焦半径：\MF1\=a+ex0

下焦半径：\MF\=a+ey

焦半径又焦半径：［MF^a-ex0x0

焦半径最大值a+c,最小值a-c

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=2上（最短的过焦点的弦）

通径

a

设直线与椭圆的两个交点为/（国,必），B（x2,y2）,kAB=k,

贝lj弦长=J1+左之,一司=J1+YJ（工］一々）2-4x^2

弦长公式

1+2

=\TT'J（yi-y2）~4yIy2=2甘兴

Vk\a\

（其中。是消y后关于x的一元二次方程的%2的系数，A是判别式）

【诊断自测】一个椭圆的两个焦点分别是“（一3，°）,丹*，°）,椭圆上的点尸到两焦点的距离之和等于8,

则该椭圆的标准方程为（）

2222

A.IThB..A二+匕=1

C.169D.43

解题方法总结

2b2

（1）过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为竺.

a

①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点.

②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点.

距离的最大值为a+c,距离的最小值为a-c.

（2）椭圆的切线

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22

①椭圆二+==1（。>6>0）上一点尸（%,%）处的切线方程是考+理=1;

abab

22

②过椭圆二+勺=1（a>6>0）外一点尸（x0,%）,所引两条切线的切点弦方程是岑+驾：=1；

abab

22

③椭圆丁+右=1。>方>0）与直线4c+3y+C=0相切的条件是=02.

a"b"

题型洞察

题型一：椭圆的定义与标准方程

【典例1-1】（2024•全国•模拟预测）过四点（°」），S'上〔'2）,I2）中的三点的一个椭圆标

准方程可以是—，这样的椭圆方程有一个.

【典例1-2】已知忆与是椭圆C的两个焦点，尸是C上的一点，若尸尸一丑，且阀|：%=2:5,

则C的长轴长与焦距的比值为（）

72V297屈

A.2B.7C.7D.29

【方法技巧】

（1）定义法：根据椭圆定义，确定/I?的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.

（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在X轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出

a,b,c的方程组，解出从而求得标准方程.

注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为4c?+助2=1（N>0,8>0,NW8）.

2222

②与椭圆、+匕=1共焦点的椭圆可设为----+-----=1（左>-m,k>-n,mwn）.

mnm+kn+k

2222

③与椭圆会+a=l（a>6>0）有相同离心率的椭圆，可设为（匕>0,焦点在x轴上）或

22

0+4~=左2（左2>0，焦点在歹轴上）,

ab

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【变式1-1】方程J（X-3）2+/+J（X+3）2+Y=10表示的曲线是,其标准方程是.

【变式1-2］已知椭圆°的焦点在坐标轴上，且经过省一收-2）和8（-2收1）两点，则椭圆C的标准方

程为—.

22（3、

【变式1-3】已知椭圆,不+5的左、右焦点为片（T°"Q⑼,且过点叩21则椭

圆标准方程为.

22

龙+了-1

【变式1-4］（2024・高三•广东揭阳・期末）已知椭圆及«2甘下是后的左焦点，过

V3

E的上顶点A作AF的垂线交£于点8.若直线AB的斜率为一石,^BF的面积为13,则£的标准方程为

/y2

【变式1-5］过点且与椭圆石十亍」有相同的焦点的椭圆标准方程是—.

【变式1-6］（2024•山西太原•三模）已知点仁片分别是椭圆°的左、右焦点，玖4,3）是C上一点，

"尸耳片的内切圆的圆心为/（加，1）,则椭圆C的标准方程是（）

22222222

工+匕=1二+匕=1土+匕=1工+匕=1

A.2427B.2821C.5213D.6412

题型二：椭圆方程的充要条件

【典例2-1】（2024•山西吕梁•二模）若函数V=l°g"（x—2）+1（。且°#1）的图象所过定点恰好在椭

V2V2

----F-=l（m>0,H>0）

圆加〃上，则加+〃的最小值为（）

A.6B.12C.16D.18

—+上=1

【典例2-2】方程4+加2-m表示椭圆的充要条件是（）

A.-4<w<-1B.加>一1

C.—4<m<2D.-4〈根<一1或一1（冽<2

【方法技巧】

22

土+匕=1表示椭圆的充要条件为：m>0,n>0,m^n；

mn

22

二+二=1表示双曲线方程的充要条件为：机“<0；

mn

22

土+匕=1表示圆方程的充要条件为.m=n>0

mn

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【变式2-1］（2024•全国•模拟预测）命题“实数,"1，3），，是命题“曲线

（3.p）/+（p_l）y2=（3引（p_l）表示椭圆,,的一个（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【变式2-2】（2024・高三・辽宁大连•期末）己知曲线，“：（1。8.2024*+（10&2024万2=1表示焦点在

y轴上的椭圆”的一个充分非必要条件是（）

A.0<a<bB.\<a<b

37

—<a<b

C.2D.^<b<a

22'S「兀兀

x+ysma=1cre——

【变式2-3】对于方程'IL22”表示的曲线0,下列说法正确的是（）

A.曲线C只能表示圆、椭圆或双曲线B.若a为负角,则曲线C为双曲线

C.若。为正角，则曲线C为椭圆D.若C为椭圆，则其焦点在x轴上

题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题

22

「x2-yy=1（6>0）—r+y2=l（a>^p

【典例3-1】已知双曲线a：b2"与椭圆G：矿'',有公共的焦点片，％,

且G与G在第一象限的交点为屈，若△町鸟的面积为1,则°的值为一.

22

Ui

【典例3-2】（2024・广东惠州・模拟预测）已知椭圆的方程为94，过椭圆中心的直线交椭圆于

/、2两点，月是椭圆的右焦点，则玛的周长的最小值为（）

A.8B.6+26c.10D.8+2百

【方法技巧】

焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常

用定义，^\PFl\+\PF2\=2a.

工+匕1

【变式3-1］（2024・高三•广东深圳•期中）已知耳玛分别为椭圆1810的左、右焦点，尸为椭圆上

-点且M=2战|,则&PFE的面积为.

C•二+亡=1

【变式3-2】该椭圆369的左右焦点为耳匕，点尸是C上一点，满足/耳隼=90。，则

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AF'PF。的面积为.

22

C:—+^v=l（0</><3）

【变式3-3］（2024•云南昆明・昆明市第三中学校考模拟预测）已知椭圆9b2的左、

右焦点分别为昂巴，尸为椭圆上一点，且/用岑=60。，若耳关于/耳根平分线的对称点在椭圆C上，则

△片质的面积为（）

A.6cB.3后C.2mD,也

（7•《+2―］

【变式3-4］（2024•河北唐山・统考三模）已知椭圆：了+,=的两个焦点分别为月，月，点加为°上

异于长轴端点的任意一点，/月"弱的角平分线交线段片工于点N,则优M（）

£叵V2

A.5B.5C.2D.^2

—+^—=1

【变式3-5］（2024•高三・河北秦皇岛•开学考试）已知椭圆，43的上顶点为A左焦点为',

线段AF'的中垂线与C交于"两点，则AAMN的周长为.

也C:5+==l(a>6>0)

【变式3-6】设6月分别是离心率为彳的椭圆ab的左、右焦点，过点片的直线

交椭圆。于43两点，且所=3闺却，贝ijCOS乙坞'=（）

£V|23

A.5B.5C.5D.5

题型四：椭圆上两点距离的最值问题

22

C:「+4=l（a>b>0）

【典例4“】（2024•陕西安康•模拟预测）已知尸为椭圆/R，上一点，若。的右焦点

厂的坐标为（二°）,点M满足MM=i,两•两=o,若的最小值为2拒，则椭圆°的方程为

（）

A.4940B.3627

—+—=1——+—=1

C.167D.2516

H+2=1

【典例4-2】已知3是椭圆了+‘一的上顶点，点M是椭圆上的任意一点，则W码的最大值为

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()

372

B.2亚c.FD.2

【方法技巧】

利用几何意义进行转化.

X2）2

【变式4-1】如果点尸是椭圆而+.之上一个动点，片是椭圆的左焦点，那么忸闻的最大值是

最小值是—.

P（xv\---F—=1（X+3）+）2=一

【变式4・2］已知动点右（居川在椭圆2516上，过点尸作圆,4的切线，切点为

则1PM的最小值是.

【变式4-3］（2024•山东潍坊•二模）如图，菱形架/BCD是一种作图工具，由四根长度均为4的直杆

用钱链首尾连接而成.已知力,C可在带滑槽的直杆/上滑动；另一根带滑槽的直杆长度为4,且一端记

为另一端用钱链连接在。处，上述两根带滑槽直杆的交点尸处有一栓子（可在带滑槽的直杆上滑动）.若

将“，8固定在桌面上，且两点之间距离为2,转动杆”。，则点P到点8距离的最大值为.

【变式4-4】点尸在圆“+（T~2）一1上移动，点。在椭圆x2+4/=4上移动，则线段户0的最大值

为一

22

E•二+匕=1

【变式4-5】已知点"电4）,尸是椭圆259上的动点，贝〃尸川的最大值是—.

【变式4-6】已知圆G：6+5）一+/=l，G：（x-5）一+/=225,动圆C满足与G外切且G与内

切，若M为G上的动点，且c%GM=o,则的最大值为（）

A.2也B.3sc.4D.2742

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题型五：椭圆上两线段的和差最值问题

22

XV点（0,一I],巩1，0）

——+—=1则眼目的最大值为

【典例5-1】已知点M在椭圆43上,MH+

()

1121

A.4B.4C.4D.5

【典例5-2】已知椭圆。W卡守’的右焦点为尸，点石（&2）,点尸是C上的动点，则归可+P%勺

最小值为（）

B.10-27510+2石

A.5C.10D

【方法技巧】

在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义.求解最值问题的过程中，如

果发现动点尸在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解.

cZ+£-1

【变式5-1】设椭圆,43的右焦点为尸，动点P在椭圆C上，点A是直线4x-5y-12=°上的

动点，则ET闭的最小值为（）

16V411674116Vzi..16历

------------------------------------------44------------

A.41B.41C.41D.41

/y2

【变式5-2]已知椭圆方程W+T-l''是其左焦点，点"（1』）是椭圆内一点，点P是椭圆上任意一点,

若E+附的最大值为"max,最小值为4in,那么4ax+"min=（）

A.B.4C.8D.班

【变式5-3】设“是椭圆二正十+匚万一1上一点，P,。分别是两圆（x+3）2-+/=l和6-3）2一+产=1上的

点，则眼耳+阳。的最小值、最大值分别为（）

A.8,11B.8,12C.6,10D.6,11

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题型六：离心率的值及取值范围

方向1:利用椭圆定义去转换

C：—+yy=1（67>>0）FF

【典例6-1】（2024・高三・江苏南京•开学考试）已知尸是椭圆//上一点，片，心是

C的两个焦点，尸耳子&=°,点°在/环k的平分线上，。为原点，°0〃尸耳，且1001=26,则C的离

心率为（）

V305V|2

A.6B.6C.3D.3

22

G：~+=1（a〉b〉0）口口「

【典例6-2】椭圆/〃与双曲线6有公共的焦点片、％,a与。2在第一象限内交

-3_5__

于点〃，AMg是以线段”耳为底边的等腰三角形，若椭圆G的离心率的范围是则双曲线

G的离心率取值范围是（）

一3<]「3」「48]「31

A」4」B.[2」c」35」D.[2J

YJ?

【变式6-1】椭圆C：/+的左、右焦点分别为月、&，直线/：3伍+y+加=°过

片且与椭圆交于48两点（/在8左侧），若曲+月=°,则C的离心率为（）

2323

A.5B.5C.7D.7

22

=+彳=1（。>6>0）

【变式6-2】已知。为坐标原点，尸为椭圆C：Eb2的右焦点，若C上存在一点P,

使得△人?尸为等边三角形，则椭圆C的离心率为—.

方向2：利用。与c建立一次二次方程不等式

22

T--+=l（tz>Z7>0）

【典例7-1】（2024•高三・河北承德•开学考试）已知椭圆a〃的左、右焦点分别为

昂为T上一点A满足/若典上蜀,则T的离心率为（）

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11

-

3-2

A.B.

FP£：=+《■=1（Q>b>0）

【典例7・2】（2024•陕西铜川•模拟预测）已知外，％是椭圆a?b2/的左、右焦点，若

£上存在不同的两点48,使得£4=收工3,则E的离心率的取值范围为（）

A.（。，后-I”.（°，0川C.3一2"1）D.[3-2&）

22

C——+=l（tz>>0）

【变式7-1]已知直线/过椭圆/b2的一个焦点与°交于两点，若当/垂直于

\MN\=-

x轴时2.则。的离心率为（）

V2V3V5

A.2B.方C.2D.2

22

E'

已知耳，鸟分别是椭圆2的左、

【变式7-2]/b11右焦点，°是坐标原点，P是椭圆

E上一点，尸片与V轴交于点M.若依尸日M,环卜7,则椭圆E的离心率为（）

55立叵31

A.§或8B.3或4C.或彳D.2或2

方向3：利用最大顶角。满足sin：We<l

【典例8-1】（2024•四川成都・高三树德中学校考开学考试）已知£、工是椭圆的两个焦点，满足

町•〃&=°的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）

AI'2JB〔r叼1]C（。/）D「走八

Yy2

【典例8-2】设耳、鸟是椭圆靛十记」">">°）的左、右焦点，若椭圆外存在点P使得期.盟二0,

则椭圆的离心率的取值范围.

【变式8-1】已知耳，鸟分别是某椭圆的两个焦点，若该椭圆上存在点尸使得“月秋=2°（

0<6><-

2,。是已知数），则该椭圆离心率的取值范围是.

X2V2

F+2=l（a>6〉0）

【变式8-2]（2024・广东・广州市真光中学高三开学考试）已知椭圆/bT2的左、右焦点

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ZF.PF,=-n

，若椭圆上存在一点尸使得-3,则该椭圆离心率的取值范围是.

方向4：坐标法

%,为

【典例9-1】焦点在无轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是L22」，则椭圆离心率的范围是

（）

V29而［「同质］PV33而］「庖V69

79797979

【典例9-2］（2024•陕西安康•模拟预测）已知椭圆abz的左、右焦点分别为，

以巴为圆心的圆交V轴正半轴于点。，交x轴于4N两点，线段。片与c交于点屈.若的面积为

显为椭圆的半焦距），则C的离心率为（）

A,也TB.2-^2C.eTD.2-6

三+与=1（。>b>0）

【变式9-1］（2024・乌鲁木齐•三模）设M,N,P是椭圆。方上的三个点，。为坐标

原点，且四边形OMVP为正方形，则椭圆的离心率为

【变式9-2］（2024•山东泰安・模拟预测）已知椭圆C：«丫的左，右焦点分别为

2

£"）,BQ。），点跖N在C上，且满足五四/小且型/=2尸W，若+5小研则0

的离心率为.

方向5：找几何关系，利用余弦定理

C:5+4=l（a>b>0）

【典例10-1］（2024•湖南•三模）已知耳居是椭圆ab2的左、右焦点，。是坐标原

52

点，过用作直线与C交于4,2两点，若I"鸟且月的面积为工，则椭圆。的离心率为

（）

第15页共29页

V3V3.

A.EB.6C.§D.2

22

C：—r+A=1（。>方>0）pF

2

【典例10-2】（2024•河南洛阳•模拟预测）已知尸为椭圆a，b上一点，月、月分别为

|PO|=—aIPT^I=—a2

其左、右焦点，°为坐标原点，2,且।11J4，则C的离心率为（）

3_1V21

A.7B.4C.三D.2

RF=+==1（0>6>0）

【变式10-1］（2024•江苏泰州•模拟预测）己知片，心分别是椭圆C：矿b-的左、右

焦点，过此的直线与C