2025届高考数学一轮复习专项训练：数列（含解析）

2025届高考数学一轮复习专题训练数列

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

2.擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知数列为等比数列，且生=1，a,=21,则为=()

A.63B.±63C.81D.±81

2.已知等比数列｛4,｝中，%«0=1，4=2，则公比4为()

A.lB.2C.lD.4

24

3.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一

个局部经过放大,都可以得到一个和整体全等的图形.如图的雪花曲线,将一个边长为1的正三角形的每

条边三等分,以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图2,如此继续下去，得图(3)…不断

重复这样的过程，便产生了雪花曲线.记S“为第n个图形的面积，如果这个作图过程可以一直继续下去,

4.观察数列1,in2,sin341n5,sin6,7,In8,sin9,…，则该数列的第12项等于()

A1212B.12C.M12D-sin12

5.已知等比数列｛%｝的公比q=—，且q++〃5H--1-〃99=60，则Q]+。2+“3+〃4----^a100等于

()

A.100B.80C.60D.40

6.已知等比数列｛4｝满足q+%=4,%+4=32,则其公比9=（）

A.1B.2C.3D.4

,且曳=2，则答=（）

7.已知两个等差数列｛4｝,｛〃｝的前〃项和分别是S“，Tn

Tb

n3«+15

7

BC.—D

A7-n11t

+a“）,，的（）

8.记数列｛an｝的前〃项和为Sn，则“｛叫为等差数列”是“sn

2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

9.已知｛4｝是等比数列,S“是其前见项和，满足4=2。］+2，则下列说法中正确的有（）

A.若｛an｝是正项数列,则｛«„｝是单调递增数列

B.5„,S2„-S„,S3„—5功一定是等比数列

C.若存在河>0,使同对“CN*都成立，则｛⑷｝是等差数列

D.若存在M>0,使|M对〃eN*都成立，则｛3｝是等差数列

10.已知S“为等差数列｛4｝的前〃项和，且6=-7,邑=-12,则下列结论正确的是（）

A.an-2n-9B.｛a“｝为递减数列C.a3+a6-0D.S7-a,

11.已知数列｛4｝满足q=2,且（〃+l）a“+j-=2"，则以下正确的有（）

A.%=4B.数列｛〃4｝是等差数列

2"

C.数列｛%｝是等比数列Dq

n

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

3〃+39

12.已知两个等差数列｛4｝和也｝的前w项和分别为S”和T“，且口=则使得％为整数

〃+3b„

的正整数n的值为.

13.设等比数列｛4｝满足q+a3=10,4+g=5,则...an的最大值为.

2

14.已知为=-----，数列｛4｝的前〃项和为S”，则§21=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.记S“为数列｛%｝的前〃项和，已知4s“=3%+4.

(1)求｛。“｝的通项公式；

(2)设以=(-1尸”，求数列也｝的前n项和T,.

16.已知数列｛an｝的前n顶和为S”.且囚=1,S,=(〃eN*).

⑴求数列｛4｝的通项公式；

(2)在数列也,｝中，bn=an+log4S„,求数列出｝的前w项和7；.

17.若数列｛%｝的各项均为正数,对任意“eN*，有a,">4+24，，则称数列｛4｝为“对数凹性”数列.

(1)已知数列1,3,2,4和数歹1J1,2,4,3,2,判断它们是否为“对数凹性”数列，并说明理由；

(2)若函数/(%)=伪+么x+b3x-+印必有三个零点，其中4〉0(i=1,2,3,4).

证明：数列伪，为，打，”为“对数凹性”数列；

(3)若数列｛%｝的各项均为正数,c2>q,记｛cn｝的前«项和为，对任意三个不相等正整

n

数存在常数r,使得(p-q)叱+(q-r)叫+(—〃)吗=t.

证明：数列6｝为“对数凹性”数列.

18.对于数列A:,出,之3)，定义变换T,T将数列A变换成数列

1

T(A):%,%，…，4，%，记T(A)=T(A),T"'(A)=T(T"i(A)),m22.对于数列

A:4,%,…,a”与3：4也，…也，定义=01bl+a2b24—+a也.若数列

A:,出，…,%(〃>3)满足%e｛-l,l｝(z=1,2,•••,«)，则称数列A为R数列，

(1)若数列1—1,写出T(A),并求A7(A).

(2)对于任意给定的正整数〃是否存在RR数列4使得4T(A)=〃-5?若存在，写

出一个数列A；若不存在，说明理由.

(3)若R,数列A满足Tk(A)T+i(A)=〃—4(左=1,2,…，〃—2),求数歹UA的个数.

19.已知数列｛q｝的前〃项和为S“，满足SR=|%,—1.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵记bn=4,求数列也｝的前〃项和Tn.

参考答案

I.答案：c

解析：因为数列

设公比为q,且。3=1，%=21

%21

所以q4=2===9,所以〃=3,

。31

T3

所以也="2=21x3=9,

977

所以。9=9x9=81,

故选：C.

2.答案：C

解析：9=二,.4=2•%1_1

q%a6ae

故选：C.

3.答案：A

解析：由题意知，初始三角形的面积So=字，

第一次操作后，增加了3个边长为工的等边三角形，

3

此时面积：H=立+3义3*［』］，

144

第二次操作后，增加了3x4个边长为—的等边三角形，

32

此时面积52=乎+3义¥*］£|2+3*4义¥义(:1，

第n次操作后,增加了3X4"T个边长为"的等边三角形，此时面积

3+3x当4+3x4x®+3x7』

n44UJ4l32J4(3口

、

7

当〃f+oo时0，3.与.

故选：A.

4.答案：D

解析：通过观察数列得出规律,数列中的项是按正整数顺序排列,

且3个为一循环节，由此判断第12项是sinl2,故D项正确.

故选：D.

5.答案：B

斛析：因为卬+〃2+%+〃/•,+q()o=(q+/+。5+…+%9)(i+q)，

所以囚++〃3+々4---1~"100—601+—=80,

故选：B.

6.答案：B

解析：设等比数列｛4｝的公比为4,则由题得“3=/(4+%)=包土&=卫=8,

%+%q+〃34

所以q=2.

故选：B

7.答案：B

解析：因为?=筌;，｛%｝，｛2｝都是等差数列，

所以可设S"=X〃(2〃+4),北=4巩(3>+1),其中;IH0,

所以％,=S0一S,i=2«(2n+4)—2(〃一1)(2〃+2)=22(2〃+1)

bn=Tn-Tn_x=An(3n+1)-A(n-l)(3n-2)=24(3〃-1),

所以%=182，々=282,所以包=2.故选B.

々14

8.答案：C

解析：若｛4｝为等差数列，则S"=.

若S="(。1+4)厕s=("-1)(4+4-1),n>2-

"2"T2—

两式相减，得2%=q+y即%+｛n-2^an-[n-\^an_x=0,

所以q+(〃-3)-2)an_2=0，〃23，

两式相减，得册+%一2=2an-l，即4—an-l=an-l~*，

所以数列｛4｝为等差数列.

所以“｛4｝为等差数列”是“sn="("；/)”的充要条件.

故选:C.

9.答案：AC

解析：/=2q+4，即d=2+9，

解得:夕=—1或2

A.an>0,则4=2,an+1-an=4〉0,

即an+i>a“，故｛a”｝递增,正确；

B.nq=-1,为偶数时,S”=0,故错误；

C.存在〃>0,使同对aeN*都成立，则q=—l,故⑷=同，｛⑷｝是等差数列,

D.当“为偶数时，5"=0,当〃为奇数时，S“=%WO,显然｛S“｝不是等差数列

10.答案：ACD

解析：设等差数列｛4｝的公差为a因为。I=-7,邑=T2,

所以%=§2-％=T2—(—7)=—5,解得d=2,

所以%+(〃—V)d——7+2(〃-1)=2n—9,故A正确;

因为d=2〉0,所以｛4｝为递增数列，故B错误;

由〃3=—3,6=3,有/+〃6=。,故C正确；

Sq=7x（―7）H—义2=—7，故D正确.

故选：ACD.

11.答案：ACD

n

解析：数列｛〃〃｝满足a1=2，且（〃+l）a〃+i—nan=2，

可得2时，nan=4+（2«2_«1）+-,+（7也“一（〃-1）%_1）

=2+2+4+…+2'i=1+_L^=2"，当〃=1成"・

1-2

目口右c"2"▽（"+1）。”+1c

即侣na=2，a=——，乂----------二2，

nn

nnan

可得%=4，｛也“｝是公比为2的等比数列，不是等差数列，故ACD正确，B错误.

故选：ACD.

12.答案：2,4,14

（2〃-1）（%+%；_］）

解析：由题意可得邑曰=_2_=卜T&=%,

QT（2〃-1）（仇+41）（2〃-1鬼b“

2

则”=邑03（2“-1）+393”+181315

、然T2n-x（2〃-1）+3n+1n+1）

由于组为整数，

b,,

则〃+1为15的正约数,

则”+1的可能取值有3,5,15,

因此，正整数w的可能取值有2,4,14.

故答案为：2,4,14

13.答案：64

解析：设等比数列的公比为％由［6+%=1°得,卜a+/）=i°,

%+%=5闯（1+才）=5

Q]=8

解得1i.所以为%...an=401+2+...+(I)=8〃x

q=一

I2

于是当〃=3或4时,q%…。〃取得最大值26=64,

21

14.答案：—

11

解析：因为4=---=2|----

〃(〃+1)\nn+lj

所以S八=%+%+。3+…+0及一1+%

Jl111111111>

<122334n-1nnn+\)

所以s—V?

21

故答案为：—.

11

1

15.答案：(1)an=4-(-3)"-

(2)7；=(2n-l)-3"+l

解析：(1)当〃=1时，4S]=+4,解得q=4.

当2时，4s“T=3q_]+4,所以4S0一4s“T=4%=3an-3an_x,即an=-3an_x,

又。i=4w0,所以a“wO,故j-=—3,

%

所以数列｛%｝是以4为首项，-3为公比的等比数列，

所以4=4-(-3)"-1.

111

(2)方法一：bn=(-1)"--«-4•(-3)"-=4n-3"-,

所以(=伪+为+么+.••+〃,=4x3°+8x3i+12x32+…+4〃・3"T.

1^37；=4x31+8x32+12x33+---+4n-3\

所以—21=4+4x3、4x32+…+4-3"T_4".3"=4+4・—4H-31

=4+2・3<3'i—1)—4〃­3"=(2—4">3”—2,

.-.7；=(2n-l)-3"+l.

方法二：bn=(—I)"」•〃4(―3)“一】=4n.3"T,

将b,改写为A=4“.X"T,其中X=3,

则

4(nx-n-l)x"+4

x°+2xl+3x2H-----1-nxn~l)=4(x1+x2+x3+---+X7')

(1-x)2

将x=3代入上式得(=(2“—1)3+1.

1n=1

16.答案：⑴()

'3-4n~2(在2)

2_

1

(2)Tn=4'-+^-^-,〃eN*

解析：(1)当〃=1时，

可得：g=3sl=3%=3；

当〃之2时，S='〃JSj=—a,两式相减,

n3n+in—i3n

得：«„即4+1=4。“,

1(n=1)

所以：an

34"2(n>2)

(2)当〃=1时，4=1；

所以，=3-4"-2+〃一1,

1

221-4"-

所以：7；7=1+3(4°+4'+4+---+4"-)+[1+2+3+---+(71-1)]=1+3.

.„.in2-n

=4+-----,

2

〃=1时，4「1+二1=1,上式也成立

2

2_

所以：<=4"7+与4,neN*

17.答案：(1)只有1,2,4,3,2是“对数凹性”数列，理由见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

解析：(1)根据“对数凹性”数列的定义可知数列1,3,2,4中2?23x4不成立，

所以数列1,3,2,4不是“对数凹性”数列；

22>1x4

而数列124,3,2中<4?22x3均成立，所以数列1,2,4,3,2是“对数凹性”数列；

32>4x2

2

(2)根据题意及三次函数的性质易知尸(%)=2+2Z?3X+3Z?4X有两个不等实数根,

所以A】=4用一4'3d句>00d>3打包，

又%>0(i=1,2,3,4)，所以环〉3b2b4>b2b4,

显然x=0=>/⑼=4〉0,即尤=0不是/(九)的零点，

又

令/=J■，则/«)=4+"/+&/+bf也有三个零点，

X

即于[_3+3+如+。4有三个零点，

2

则g(%)=[d+b2X+4%+”有三个零点，

所以g'(x)=3瓦/+2&X+&有两个零点，

所以同上有A2=4代—4x3b也>On,>3〃也也，

故数列耳也也，九为“对数凹性''数列

(3)将p,q互换得:1=(夕_同叱+(,_“)叱=_彳，所以/=0,

令p=l,q=2,得一叱+(2_r)W(+&_l)叱=0,

所以叱=（2--）叫+（r—1）叱=叱+（——1）（叱—叱>故数列｛叱｝是等差数列,

=c%.q+(〃一

记d=W-W~^~\=22>0,所以叱=q+(〃=C]1”,

2x。。2

所以=〃叱-dn+(c「d)n.

G,〃=1

又因为g，所以c〃=q+2d(〃一1),

Sn—S〃_],nN2

所以GM—%=2d>0,所以｛5｝为单调递增的等差数歹U,

所以—>%>0,%+.=2%总="尸2.

所以4(S3-SA*)=(〃+(G+-丫-M/+2)(9+cn)(G+cn+2)

2

>(〃+1)2亿+%)2-“(〃+2)卜+*)丁+"

=(〃+1)2亿+%)—〃(〃+2产+尸21

\J

=(“+1)2(q+%+】y一〃(〃+2)亿+%+]了

2

=[("+1)2-〃(〃+2)](c,+c,1+1)

=(Cl+C“+l)2>0

所以S；+1>snsn+2，数列｛s,,｝是“对数凹性”数列.

18.答案：（1）一2

（2）见解析

（3）见解析

解析：（1）因为A：l,—1,1,1,由变换T的定义

所以AT2(A)=1—1—1—1—1+1=—2.

(2)对于数列A:4,的，…，4,T[A):a2,a3,...,an,al,

所以A-T（A）=o1a2+020^H---ba”％■

因为数列A为R"数列，所以qe｛-l,l｝（z=l,2,...,n）.

对于数列A:,4，…，a”，令an+i=%，

则对于数列ai,a2,...,an,a“+]中相邻的两项对,ai+1（z=1,2,•••,«）,

若%=aM厕ataM=1；若q丰4+i厕4aHi=-1-

记4%1（力=1,2,…，小中有且"N）个-1，则有（〃T）个1，

1H

贝JA•T（A）=01a2+生生--H。,臼=01a2+a2a3H---Fanan+l=n-2t-

因为〃-2,与n的奇偶性相同,“—5与”的奇偶性不同，

所以不存在符合题意的数列A