2025届高考数学重点突破：球的切接问题（解析版）

微重点球的切接问题

空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般是通过对几何体的

割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体积法求内切球半径等，一般出现在压轴小题位

置.

知识导图

考点一：空间几何体的外接球

考点二：空间几何体的内切球

ill考点分类讲解

考点一：空间几何体的外接球

规律方法求解空间几何体的外接球问题的策略

(1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径.

(2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素

的关系)，达到空间问题平面化的目的.

(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

【例1】(2024•辽宁抚顺・一模)在三棱锥P—ABC中，AB=AC=4,ZBAC=120°,PA=6,

PB=PC=2岳,则三棱锥尸-ABC的外接球的表面积为()

A.IOOTIB.75兀C.80无D.120兀

【答案】A

【分析】在54c中由余弦定理求得BC=2不，由题意证得平面ABC,进而确定外接球球心。，由

球心与相关点的位置关系求球的半径，最后求表面积即可.

【详解】在中，BC2=AB2+AC2-2-AB-ACcosZBAC=48,

即BC=4A5，又PB=PC=2屈,

PA2+AC2=PC2,所以B4_LAC,同理R4JLAB,

又由A5AC=A,AB,ACABC,PA_L平面ABC.

BC=4右

设,ABC的外接圆半径为,，所以而I而一词一，

~2~

pA2

所以r=4,所以外接球的半径R满足长=产+"=16+9=25,

2

回三棱锥P-ABC外接球的表面积为4成2=100兀.

故选：A.

【变式1】（23-24高三下•内蒙古赤峰•开学考试）已知正四面体ABCD的棱长为4,则该四面体的外接球与

以A点为球心，2为半径的球面的交线的周长为（）

“8廊D4^/3002而c屈

3333

【答案】C

【分析】求出正四面体外接球半径R=«,利用三角函数定义求出cosNE4O,则得到sin/EA0=^,

6

再利用三角函数定义和圆周长公式即可得到答案.

【详解】设该正四面体的外接球的半径为R,为底面3C。的中心，。为该正四面体外接球的球心,

则D0=1742-22=苧

.则该正四面体的高A。=

根据OO；+002=002,即妪_R+拽=R2,解得R=卡,

、3)I3,

贝|AO=",AE=2,EO=R=5

AE

如图，在中，8s㈤。=互=.

AO6

V30

所以sin/EAO=

~6~

在,EAO?中,EO=EAsinZEAO=2•—=—

2263

因为交线为圆，所以周长为加孚二¥加.

【变式2】（2023•昆明模拟）故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐尻殿顶的屋顶样式，尻殿

顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿.由于屋顶有四面斜坡，故又

称四阿顶.如图，某几何体A88EE有五个面，其形状与四阿顶相类似.已知底面ABC。为矩形，AB=4,

AD=EF=2,EF//J^ABCD,且EA=ED=FB=PC=BC,则几何体ABC。所外接球的表面积为（）

【答案】A

【解析】连接AC,BD,设取EF的中点N,连接MN,

ENF

A-B

由题意知，球心。在直线上，取3c的中点G,连接FG,则FGLBC,

且FG=2X^-=V3.

连接MG,过点尸作FP1MG于点P,则四边形MPFN是矩形,MN=FP,

则MN=FP=y]FG2-PG2=y/2,

又因AM=^AC,

AC=yjAB2+BC2=24,

则AM=\[5,

因为△AMO和■均为直角三角形，

设外接球半径为R,OM=x,

当球心O在线段MN上时，

则R』f+（小>，7?2=（V2-X）2+12,

解得x=—乎（舍），

当球心。在线段外时，

则R2=f+（小）2,R2=（也+x>+i2,

解得X=孚，故7?2=3+5=?，

所以外接球的表面积S=4冰2=22兀

【变式3]（2023•全国乙卷）已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形,

SA_L平面ABC,则SA=.

【答案】2

【解析】如图，将三棱锥S—ABC转化为直三棱柱SAW—ABC,

设△ABC的外接圆圆心为Oi,半径为r,

则2-SJ：C8=]=2/,可得r=y[3,

2

设三棱锥s—42c的外接球球心为。，连接。4,001,则。4=2,OO^SA,

因为OA2=OO^+O1A2,

即4=3+1sA2,解得SA=2.

考点二：空间几何体的内切球

规律方法空间几何题的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截

面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径.

【例2】（2024・湖南•二模）一个正四棱锥底面边长为2,高为6，则该四棱锥的内切球表面积为.

47r4

【答案】

【分析】根据三角形相似求出内切球半径，再利用球的表面积公式求其表面积.

【详解】由题意可知该几何体为正四棱锥，如图，

。为内切球的球心，尸”是棱锥的高，区尸分别是4瓦。£»的中点,

连接尸EG是球与侧面PCD的切点，可知6在「歹上，OG±PF,

设内切球半径为人

贝UOH=OG=r,HF=1,PH=6,PF=2,

由EIPGOEEPaF可知=,即£=1,解得r=,

HFPF123

所以内切球表面积S=4兀产=4兀（塔］=浮

4冗

故答案为：—.

【变式1】（2023•沈阳模拟）如图，圆台内有一个球，该球与圆台的侧面和底面均相切.已知圆台的下底面圆

心为01，半径为门，圆台的上底面圆心为。2，半径为厂2（门＞r2），球的球心为O,半径为R,记圆台的表面积

为S1，球的表面积为S2,则"的可能的取值为（）

【答案】A

【解析】如图，作出圆台的轴截面，作。垂足为忆

由题意知圆0与梯形A8CZ)相切，

贝I]DC^DE+CE^O2D+OiC^r2+n,

又DC=NDF+也=弋4R2+(n一冷)2,

故弋4序十(八一氏¥—r1+r2,

化简可得R2="2,

n|S17t(n+ri)+7t(n+r2)(n+ri)

则无=w

n+/j+nr2

2”

_n+zl।12rir2,1

2八-2亍2222

=|(n>r2,故取不到等号)，由于I，3,g都不大于I，故自的可能的取值为‘

【变式2]（2024•河北沧州・模拟预测）某包装设计部门为一球形塑料玩具设计一种正四面体形状的外包装

盒（盒子厚度忽略不计），已知该球形玩具的直径为2,每盒需放入10个塑料球，则该种外包装盒的棱长

的最小值为（）

A.2+2#B.2+4nC..4+2#D.4+4#

【答案】C

【分析】先确定正四面体的棱长与高还有内切球半径的关系，然后根据当。取得最小值时，从上到下每层

中放在边缘的小球都与正四面体的面都相切，从而计算出棱长的最小值.

【详解】设正四面体的棱长为。，高为心内切球半径为「

贝,可得/2=逅〃，

[23)3

X4x—X—tz2xxr=—x—a2xxh,可得

32232212

即正四面体的高等于其棱长的,，正四面体的内切球的半径等于其棱长噂.

如图，10个直径为2的小球放进棱长为a的正四面体45c。中，构成三棱锥的形状，有3层，从上到下每

层的小球个数依次为1,3,6.

当。取得最小值时，从上到下每层中放在边缘的小球都与正四面体的侧面相切，底层的每个球都与正四面体

的底面相切，任意相邻的两个小球都外切，位于底层正三角状顶点的所有相邻小球的球心连线为一个正四面

体EFGH,底面BCD的中心为0,A。与面RS"的交点为P,

则该正四面体EFG"的棱长为1+2+1=4,

可求得其高为EP=4x1=勺佗，AE=i*平*逅-1=3,

33yJ63

所以正四面体ABC。的高为AO=AE+EP+PO=3+&®+l=4+W^,

33

进而可求得其棱长a的最小值为=4+2亚

故选：C.

【点睛】方法点睛：对于四面体的内切球问题，我们最好能熟记正四面体的棱长与高还有内切球半径的关

系，即正四面体的高等于其棱长的逅，正四面体的内切球的半径等于其棱长的遗，这样解题的时候我们

312

可以利用这个关系快速得到我们要的量.

【变式3】（2024・四川宜宾・二模）所有棱长均为6的三棱锥，其外接球和内切球球面上各有一个动点

M、N,则线段MN长度的最大值为.

【答案】2娓

【分析】根据题意，正四面体的外接球和内切球的球心重合且在正四面体的内部，求出外接球半径R,内

切球半径小线段MN长度的最大值为R+r得解.

【详解】由正四面体的棱长为6,则其外接球和内切球的球心重合且在正四面体的内部，

设球心为0,如图，连接AO并延长交底面BCD于H,

则AHJ_平面BCD,且H为底面△"雪）的中心，

所以2/7=3x6=26，

3

在RtaA/ffi中，可求得AH=，AB?-=,_（2囱=2网,

设外接球半径为R,内切球半径为小

贝I」R2=BH-+0H2=12+（2«-，

解得R=垣，r=OH=2y[6-R=—,

22

所以线段MN长度的最大值为R+r=2后.

故答案为：26.

强化训练

一、单选题

1.（2023・浙江绍兴•模拟预测）已知某正六棱柱的所有棱长均为2,则该正六棱柱的外接球的表面积为（）

A.67rB.8兀C.16TID.20兀

【答案】D

【分析】根据正六棱柱的性质可求解半径，由表面积公式即可求解.

【详解】由正六棱柱的性质可得。为其外接球的球心（如图），。0'=1

由于底面为正六边形，所以"B。'为等边三角形，故AO'=2,

所以AO=ylAO'2+OO'2=A/22+12=A/5，

所以49为外接球的半径，故外接球表面积为4兀（有『=20兀，

故选：D

2.（2024•广东梅州•一模）某圆锥的底面直径和高均是2,则其内切球（与圆锥的底面和侧面均相切）的半

径为（）

百+1A/5—1

A.-----D.-----

22

C拒+'D书T

'2-2

【答案】B

【分析】作出圆锥的轴截面，设内切球的半径为R,利用三角形面积关系建立关于R的方程，解之即可求

解.

【详解】圆锥的轴截面如图所示，设内切球的球心为。，半径为R,

贝AB=2,CG=2,所以AC=BC=J（竽=布,

又SABC=SADB+SADC+SBDC,

BP-X2X2=-X2/?+-X^+-XA/57?,

2222

解得R=：=与1,即内切球的半径为叵11.

1+V522

故选：B

3.（2024・陕西西安•一模）六氟化硫，化学式为SR,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，

有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正

八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为利,则该正八面

体结构的内切球表面积为（）

7m2271m°

"T"3

【答案】D

【分析】根据正四棱锥的性质结合线面垂直的判定定理、性质定理找出内切球的半径，利用等面积法求出

半径的大小，即可求解.

【详解】如图，连接AC即交于点0,连接0P,

取3C的中点E,连接OE,尸E,

因为AB=〃"所以OA=OB=OC=O£»=^〃z,

2

_________B

OP=VAP2-0A2=^—m,

2

由BE=CE,可得BC±OE,BC±PE,OE,尸Eu平面POE,

且OEcPE=E,所以BC1平面POE,

过。作OH_LPE,

因为3C4平面尸OE,OHu平面POE,所以BC_LO〃，

且BCIPE=E,BC,PEu平面PBC,所以OH_L平面尸BC,

所以OH为该正八面体结构的内切球的半径，

在直角三角形POE中，OP=^m,OE，m,PE=旦乳,

222

由等面积法可得，^-xOPxOE=|xPExOHOH=—m,

226

所以内切球的表面积为4兀xj骼m]=ym2,

p

Q

故选:D.

4.（2024•广东•模拟预测）将边长为2的正三角形沿某条线折叠，使得折叠后的立体图形有外接球，则当

此立体图形体积最大时，其外接球表面积为（）

“/Q68-16百r11八52-16出

A.47rB.-----------7iC.一7iD.-----------K

929

【答案】B

【分析】首先分类讨论得出，满足题意的直线为所：，=若xT+，一,且此时

4=忸年=力!一"）=i,进一步求出底面四边形外接圆圆心。坐标、半径，从而得a到直线E厂的距离

方，设出外接球球心到底面的距离％,结合Q4=O8=R可得尺2=r+环=（4-4）2+4，由此可得外接球

半径R,进而即可求解.

【详解】若将边长为2的正三角形沿某条线折叠，且这条线过三角形的某个顶点且不垂直于三角形的边，

由题意以。为原点，以边长为2的等边三角形的边为x轴，边上的高8为了轴建立如图所示的平

面直角坐标系：

由题意A（-l,。）,8（1,0）,C（0,W）,

不失一般性，设CD：y="+也,9＞君）（也就是设点。在不包含端点的线段。4上）,

所以△3CD的面积为sBCDCO=:(1+卓］6=坐.叶8,

22(左J2k

k-y/3

而点A（-l,0）到直线CD:y=kx+^W）的距离为&

7^+1

1、/3左_3

此时二棱锥A-_BCD体积的最大值为K=；S,d=—-----]（此时面ACD_1_面3CZ））,

3BCDl6kjE+1

,伊-3）-11

所以。工厂五

所以0<匕<且；

16

若将边长为2的正三角形沿某条线折叠，且这条线过三角形的某个顶点且垂直于三角形的边,

此时上述情况中的点。于原点。重合，

此时三棱锥A-5CD体积的最大值为

K=~SBCO-d2=--（~BO-Oc]-AO=-x-xlxyj3xl=^~（此时面4。0_1面BCO）,

3312）326

其中也为点A到OC的距离，即4。的长度；

将边长为2的正三角形沿某条线折叠，且这条线不过三角形的任何顶点，如图所示：

不失一般性，设该直线分别与ABIC交于点及尸，

折叠后的立体图形有外接球，则A,E,£G四点共圆，从而NCFE+NCAE=n,

IT7T

又因为ZCFE=/FEB+/FBE=/FEB+—/CAE=-,

33

1T

所以NEE3=-=NC4B,所以;.FEB~CAB,

3

由题意A（-l,0）,B（L0）,C（0,石），^EF:y=y/3（x-a）,（-l<a<l）,

2

所以S四边形AMC=1-^tABC=—X2X2X

过点3向所引垂线，垂足为G,则型=忸6|=>（；"）,

所以四棱锥3-AEFC体积的最大值为

匕=、边sd=也辿竺3=&T-3）q（/_3/_a+3）,（T<a<l）（此时四边形

AEFC与三角形麻尸垂直）,

从而匕(°)=g(3〃一6a-l),匕(a)=；(3a?-6a-l)=0=>a=1-2f或a=1+^^-,

当一1<°<1一亚时,匕⑷>0,匕(a)单调递增,

当1-半<.<1时，匕(a)<0,%1)单调递减,

所以当且仅当叵时,

a=l-2有他）

3

综上所述，满足题意的直线为所：，=石1-1+挛],且此时&=|8G|=:（1一"）=1，

I3J3112

此时我们首先来求四边形AEFC外接圆圆心。1,

一「1

因为A5中点坐标为一不，f，A3斜率为山,

V227

所以42的垂直平分线方程为y-母=-[[x+g

所以四边形A£FC外接圆半径为r=盘川=（”+1甘区|=2"；6,

（24小61+6

而。1到直线跖：丫=有x-1+4-的距离为VI33J32有-1，

（3Jd=-------------------------=---

423

又满足题意的四棱锥B-AEFC的高为《=\BG\=同「=1,

设满足题意的四棱锥B-AEFC的外接球球心为0,

设球心到平面A£FC的距离为九，

则由Q4=O8=R可得，A?=r+吊=（&一%）2+M，即16；6=]_24+13；—,

解得4」,小生拽+L3速，

"3999

从而满足题意的外接球表面积为奥二包目兀.

9

故选：B.

（2O

【点睛】关键点点睛：关键是得出满足题意的直线为E/:y=Wx-l+，一,且此时

4=\BG\=:（「=1,由此即可顺利得解.

5.（2024•河北邯郸•三模）已知在四面体ABCD中，AB=BC=CD=DA=BD,二面角A-BD-C的大小

TT

为且点A,B,C,。都在球。的球面上，M为棱AC上一点，N为棱的中点.若MOrCN，则

Z=（）

1452

A.—B.-C.-D.—

3993

【答案】C

【分析】根据题意和几何关系，并在zviav所在平面内建立平面直角坐标系，确定点。,加的位置和坐标,

即可求解.

【详解】由题意知与△BCD均为等边三角形，连接AN,CN,则ANJLBD,CNJ.BD,ZANC

是二面角A-BD-C的平面角，

7T

所以ZANC=§,又易知AN=CN,所以AACW是等边三角形.

设尸为△BCD的外心，Q为CN的中点，连接。尸,ON,AQ,则点O,P,。都在平面ACN内，建立平面直

角坐标系如图.

设AN=NC=AC=2,则NP=2,ZONP=-,所以。尸=友.

369

22

又AQ=g,所以OP=gAQ,因为MOHCN,易知CM=§C4,

,OM5

,从而MOZ=--

CN9

【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合几何关系，建立如图所示的平面直角坐标系，转化为平面几何问

题.

6.（2024•湖北•模拟预测）已知四棱锥尸-ABCD的底面为矩形，AB=2上,BC=4,侧面为正三角形

且垂直于底面ABCD,〃为四棱锥P-ABCD内切球表面上一点，则点M到直线距离的最小值为（）

A.710-2B.y/10-lC.2石-2D.2道-I

【答案】B

【分析】"N分别为48和的中点，平面PEW截四棱锥P-ABCD的内切球。所得的截面为大圆，求

出圆的半径，利用圆心到直线距离求点M到直线C。距离的最小值.

【详解】如图，设四棱锥的内切球的半径为厂，取A3的中点为“，8的中点为N,连接尸”，PN,

HN,

球。为四棱锥尸—ABCD的内切球，

底面ABCD为矩形，侧面弘8为正三角形且垂直于底面ABCD,

则平面尸/W截四棱锥P-ABCD的内切球。所得的截面为大圆，

此圆为一的内切圆，半径为厂，与HN,分别相切于点E,F,

平面R4B_L平面A3CD,交线为AB,平面丛B,

为正三角形，有平面A3CD,

HZVu平面ABC。，PH1.HN,

AB=2y/3,BC=4,贝I］有尸8=3,HN=4,PN=5,

贝UPHN中,5PHjV=1x3x4=1r（3+4+5）,解得r=l.

所以，四棱锥尸-ABC。内切球半径为1,连接ON.

（2尸//，平面45仪），CDu平面A5CD,:.CD1PH,

又CD1HN,PH,HNl平面尸/W,PHHN=H,

\CC>A平面PHN,ONu平面尸/W,可得ON_LCD,

所以内切球表面上一点M到直线CD的距离的最小值即为线段ON的长减去球的半径，

y.ON=ylOE2+EN-=V10.

所以四棱锥P-ABCD内切球表面上的一点M到直线CD的距离的最小值为V10-1.

故选：B.

【点睛】方法点睛：

四棱锥P-ABCD的内切球，与四棱锥的五个面都相切，由对称性平面尸五N截四棱锥尸-ABCD的内切球

。所得的截面为大圆，问题转化为三角形内切圆，利用面积法求出半径，即内切球的半径，由球心到直线

。的距离，求点M到直线8的距离的最小值.

7.（2024•河南开封•二模）已知经过圆锥SO的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO分成两

部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下两部分几何体的体积之比是（）

A.1:8B.1:9C.1:26D.1:27

【答案】C

【分析】作出圆锥SO的轴的截面，根据题意推出上、下两部分几何体的两部分的内切球的半径之比为

1:3,从而可得上部分圆锥的体积与圆锥SO的体积之比为1:27,从而可得解.

【详解】如图，作出圆锥SO的轴截面&48,

设上、下两部分几何体的两部分的内切球的球心分别为E,F,半径分别为,，R,

即=fU=R,EG=r,

根据题意可知△SA3为正三角形，易知SE=2r,圆锥SO的底面半径08=&R,

SO=2r+〃+R+R=3〃+2R,SO=y/3OB,

.\3r+2R=3R,：.R=3r,

，上部分圆锥的底面半径为Gr,高为3r,

又圆锥S。的底面半径为08=石尺=3右r,高为SO=3r+2R=9r,

上部分圆锥的体积与圆锥SO的体积之比为,

⑶27

二上、下两部分几何体的体积之比是1:26.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是找到上、下底面的半径的关系，从而得到两圆锥的体积之比.

8.（2024・吉林长春•模拟预测）已知AB,C,。四点均在半径为R（R为常数）的球。的球面上运动，且

4

AB=AC,AB±AC,AD.LBC9若四面体A3CD的体积的最大值为则球。的表面积为（）

C9兀c

A.2兀B.3兀C.—D.9兀

4

【答案】D

【分析】如图，取BC中点为M结合题意可得四面体A3CD的体积最大时，平面ABC,且球心在

19

DN上,后可得四面体A3CD的体积表达式为］（K+ON）（R-ON）,其中R为球体半径，结合均值不等式

可得R,即可得答案.

【详解】因AB=4C,AB_LAC,取2C中点为N,则AN_LBC,又ADLBC,AN,ADu平面4⑦，

ANAD=A,

则平面AAZ>,8Cu面ABC,则平面ABC，平面4VD,要使四面体A3CO的体积最大，则有DN

_L平面ABC,且球心。在OV上.

设球体半径为R,则OA=OD=R,则展…卜iN=%BC.AN）（R+ON）,

又注意到BC=24V,AN2=OJ^-ON2=R2-ON2,贝U

111

29

VD_ABC=-SABCDN=-AN-（R+ON）=-（R+ONy（R-ON）.

汪意至!j—（R+ON）（R-ON）=—（R+ON）（R+ON）（2R-2ON）W—\-----------------------------=--—

3'66（3）6\3

4

当且仅当2R-2ON=R+ON,即R=3ON时取等号.又四面体A3CD的体积的最大值为§,贝I

则球的表面积为4TI我=9无.

【点睛】关键点点睛：此类问题需结合题目条件，设置合理的变量，得到相关的代数表达式，后由不等式

取等条件得到等量关系，从而解决问题.

二、多选题

1.（23-24高三下•重庆,阶段练习）如图，在直三棱柱ABC-A瓦G中，若

/AC3=90,AC=3C=；A4,=l,2E分别是4VMG的中点，则下列结论正确的是（）

A.DC1平面3DC

B.AE〃平面BOG

C.点C到平面BOG的距离为祖

3

D.三棱锥C1-8OC外接球的半径为亚

2

【答案】ABD

【分析】利用线面垂直的判定即可判断A；利用线面平行的判定即可判断B,利用等体积法即可求出点到

平面距离，找到球心位于BG的中点，则得到外接球半径，即判断D.

【详解】对A,因为平面441GC,OGu平面AAGC,所以5C，£>G.

在△CQC中，因为O£=OC=0,CG=2,所以。C；+OC2=CC；,

则又3Cu平面BOCDCu平面BOCBCcOCnC,所以。平面3OC,故A正确.

对B,取。为8G的中点，连接OE,OD.易知OE//AOOE=A。，所以四边形4。。石为平行四边形，

则4片〃。。.又AE<Z平面8DG，Z)Ou平面所以人后〃平面B^G，故B正确.

对C,设点C到平面BOG的距离为x,则x是以C为顶点，BDG为底面的三棱锥的高.

因为平面441GC,所以BC是三棱锥B-CDC,的高.又sCDG为直角三角形，

所以SSG=gx夜Xe=1,所以％eg=31义1=；.

又△BCD是直角三角形，所以8。="二=若.又OG=后,8弓=后7=行，

所以m+2=*,所以叫是直角三角形，则％皿°,=gx忘x石=牛

由％cg=@B%，得\"x=L贝鼠=逅，即点C到平面瓦乂的距离为好，故C错误.

32333

对D,因为2/和MG均为直角三角形，所以。为三棱锥G-皿外接球的球心，即半径为东故

D正确.

故选：ABD.

2.(2024・新疆•一模)如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体E-ABCD-F,且该八面体的各棱长均相

等，则()

A.异面直线AE与2P所成的角为60°

B.BD^CE.

C.此八面体内切球与外接球的表面积之比为!

D.直线AE与平面8OE所成的角为60。

【答案】ABC

【分析】根据异面直线的夹角、线面垂直的判定、外接和内切球，线面角等知识点逐项判断即可.

【详解】将正八面体E-A8CD/置于一个正方体中，该正八面体的顶点为正方体六个面的中心，如图所

不，

QN

设AC,交于点O,易知。为正方体的中心，

由正方体性质易知，AE为GM/V的中位线，则AE//MN,

同理PQ〃C尸，又PQ/IMN,则AE//CF,

则直线AE与BF所成角即CF与BF所成角，

因为△）方为正三角形，所以NCF3=60。，A正确，

由正方体性质易知瓦羽平面AFCE,CEu平面AFCE,故BZKICE,B正确；

设正方体的棱长为2,

因为OE=OF=OA=OB=OC=OD=1,

所以。为此八面体外接球的球心，即此八面体一定存在外接球，且外接球半径为R=l,

设内切球的半径为,，

_.i12x24

八面体的体积为丫=24_筋8=2X§SMCZ>xl=§,

又八面体的表面积为8sABE=8x^x2=4®,

所以呼=：,解得厂=3，

333

此八面体内切球与外接球的表面积之比为&*：=1，故C项正确.

4TIR23

由正方体性质易知AC0平面3£）及故NAEO为直线AE与平面BDE所成的角,

又。E=CM=1,故44召0=45,故D错误.

3.（2024•江西上饶•一模）空间中存在四个球，它们半径分别是2,2,4,4,每个球都与其他三个球外

切，下面结论正确的是（）

A.以四个球球心为顶点的四面体体积为6与4

B.以四个球球心为顶点的四面体体积为:

C.若另一小球与这四个球都外切，则该小球半径为厂=递一4

3

D.若另一小球与这四个球都内切，则该小球半径为r=岂叵+4

3

【答案】ACD

【分析】设半径为2的两球球心为A,B；半径为4的两球球心为C,D,根据内切关系可得三棱锥

的各棱长，根据线线关系确定线面关系从而可求以四个球球心为顶点的四面体体积及与这四个球都外切或

内切的球的半径，逐项判断即可得结论.

【详解】设半径为2的两球球心为A,B；半径为4的两球球心为C,D,易知AB=4,8=8,

AC=AD=BC=BD=6,

取AB中点E,连接

c

因为AC=3C=6,AD=B£>=6,点E为AB中点，

所以AE=BE=2,则

CE=^AC2-AE2=^62-22=4A/2,DE=y/AD2-AE2=^62-22=40，

故CE?+£>炉=C£>2,则CEJ_r)E,

因为48门。£=£',45,。£<=平面24££),所以CE_L平面ABD,

贝I匕一的=；SAB]CE=；xgx4x4忘x4&=:，故A正确，B不正确；

若另一小球与这四个球都外切，设小球中心为0,半径为广，则点。在四面体ABCD内，取A3中点E,

8中点尸，连接所,

CE1DE,所以所=工。=4,

贝UAO=3O=2+r,CO=OO=4+r,又CE=DE=4啦,

2

则球心。在E尸上，所以。歹=A/(?C2-CF2=J(4+r)2-42=〃(r+8),

同理0E=Jr(r+4),代入小+。尸=4解得r=孚一4或r=一半一4(舍)，故C正确；

若另一小球与这四个球都内切，设小球中心为Q,半径为R,则AO=BO=R—2,CO=DO=R-4,且

点。1在所上，

所以OP=y]0C2-CF2=J(R_4,_军=y/R(R-8),

同理=-4),代入。E+QP=4得氏=半+4或氏=一半+4(舍)，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

1.（2024・贵州•三模）已知一个圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，其顶点为底面圆心为0,点尸

是线段。。上的一点，ABC是底面内接正三角形，且PAL平面P3C,则AC=；三棱锥

P-ABC的外接球的表面积是.

【答案】百

【分析】（1）根据正弦定理求出上4的长；

（2）确定三棱锥ABC的外接球，即为以尸C,PB,PA为棱的正方体的外接球，再求其半径，最后应用球

的表面积公式即可求出.

【详解】解：由题意，圆锥的底面半径为1,母线长为2,

ABC是底面内接正三角形，结合题设有三定=2,所以AC=g,

sinoO

由上4_1_平面PBC,P8$Cu平面P3C,则丛_1_尸台，PA1PC,

ABC为正三角形，则AC=BC=AB,显然。为_ASC中心，

结合对称性，易知PBA^PBC=PCA,即PCJ_P3,且PC=PB=PA=&,

2

三棱锥尸-ABC的外接球，即为以PC为相邻棱的正方体的外接球，

故外接球半径为R=-xJ-+|+-=2，

2\2222V2

9

所以三棱锥P-ABC的外接球的表面积是4K/?2=-7i.

9

故答案为：＞/3;

2.（2024,广东•一模）已知表面积为8兀的球。的内接正四棱台ABC。-ABC。，AB=2,A瓦=1，动点尸

在△AC2内部及其边界上运动，则直线与平面AC?所成角的正弦值的最大值为.

【答案】且/J/

22

【分析】先根据条件得到oq=手，进而得到叩=0,^DXOD=^,利用线面垂直的性质作出防，

BF

面ACR,故Z5PE为直线8尸与平面ACR所成角，再利用sinNBPEuE；,得知当尸与。重合时，PB最

BP

小，再利用对顶角相等，即可求出结果.

【详解】如图，。「。分别是上下底面的中心，设球心为M,半径为R,易知Me。。，

由题知4兀炉=8兀，得到R=后，又AB=2,4月=1,得到。。=0，2。［=2，

所以M与。重合，由R2=aD；+O02,得到oq=乎，

所以皿=拈DO)?+C0；=0,又OD、=OD=叵,所以"0£>=微，

因为0。_1面48。。，ACu面ABCD,所以。O|_LAC,

又AC工BD,BDr>OO1=O,BD,OQu面3£>。与，所以4(7_1面，

连接。。并延长，过B作BE，，。，交2。的延长线于E,

又BEu面BDRBI，所以防，AC,又ACcRO=O,4(7,。。匚面40)1，

BF

所以5£，面43，，连接尸E,则—3PE为直线8尸与平面AC，所成的角，sinZBPE=—,

在Rt^BEO中，易知ZBOE=工，0B=O，所以BE=0xsinq=逝，

332

所以当网最小时，直线8尸与平面AC，所成角的正弦值的最大值，

又动点P在△ACA内部及其边界上运动，所以当尸与。重合时，PB最小，

此时ZBOE为直线BP与平面ACD,所成的角，所以直线BP与平面ACD｝所成角的正弦值的最大值为

【点睛】关键点点晴：本题的关键在于点尸位置的确定，通过利用线面垂直的性质作出面AC，，从

RF

而得出Z3PE为直线BP与平面AC"所成角，再利用sin/BPE==,将问题转化成求旅的最小值，即

可确定点尸位置，从而解决问题.

3.（23-24高三下•陕西安康•阶段练习）如图为某三棱锥的三视图，其正视图的面积为g,则该三棱锥外接

俯视图

【答案】8兀

【分析】由三视图还原几何体，利用正弦定理可用AC表示出三棱锥的高〃和ASC的外接圆半径，结合基

本不等式可求得代入球的表面积公式即可.

【详解】由三视图可还原几何体如下图所示，其中SCL平面ABC,加工平面&4C,

设AC=a,SC=h,