2025届广东省大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）数学试题

2025届广东省大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4言同黑=2左，/eZ},8={尤|隆2尤＜3},则A3=（）

A.{2,4}B.{4,6}

C.{0,2,4}D.{2,4,6}

2.复数z满足z（l+i）=2i,其中i为虚数单位，则忖=（）

A.2B.2应C.1D.y/2

3.己知平面向量a涉的夹角为60。，且同=2,卜+.=2若，则忖=（）

A.1B.2C.2血D.4

4.若/,“2为两条不同的直线，d尸为两个不同的平面，则（）

A.若/〃a,mua,贝。/〃加

B.若/〃a,m//a,则/〃加

C.若/_La,m，/3,l±m,则C尸

D.若/〃a,a//p,则〃/£

5.下列四组数据中，方差最小的为（）

A.29,25,37B,30,46,25

C.38,40,35D.40,18,30

6.早在两千年前，古人就通过观测发现地面是球面，并会运用巧妙的方法对地球半径进行

估算.如图所示，把太阳光视为平行光线，。为地球球心，A,B为北半球上同一经度的两点，

且A,B之间的经线长度为%于同一时刻在A,B两点分别竖立一根长杆A4和8月，通过

测量得到两根长杆与太阳光的夹角a和夕和夕的单位为弧度），由此可计算地球的半径

为（）

LL

Ca+/3D,sin(a+Q)

7.设函数〃x）=ln（e2，+l）+禺-x,则不等式〃2XT—/（X+1）40的解集为（）

A.(-oo,2]B.[0,2]

C.[2,+oo)D.(^»,0]U[2,-H»)

8.已知抛物线V=4x的弦AB的中点横坐标为5,则恒用的最大值为（）

A.12B.11C.10D.9

二、多选题

9.已知直线/：Ax-y+2"=。和圆O：/+）?=9,则（）

A.直线/恒过定点（2,0）

B.存在％使得直线/与直线/。力-2、+2=。垂直

C.直线/与圆。相交

D.若人=-1,直线/被圆。截得的弦长为24

10.已知函数"x)=sinx•+cos2x,贝[j()

A./（x）是奇函数

B.的最小正周期为兀

C.〃x)在上单调递增

〃尤）的最小值为-日

D.

11.设曲线C［：y=e*,抛物线C2：y2=2px（p>0）,记抛物线的焦点为尸，M,Q为分别

为曲线G，Q上的动点，/为曲线的切线，则（）

试卷第2页，共4页

A.若G与G无公共点,贝I]pe(o,e)

2

B.若/过点/，贝u/被a截得的弦长为P+F

ez

c.当°=1时，5必2@

112

D.当p=l时，|加@＞正

三、填空题

12.双曲线--M=i的左，右焦点分别为4,旦，点尸在双曲线右支上，割母;|=4,则

13.在VABC中，已知C=-^~,tanA-tanB=2-y/i1则cos（A—B）=.

14.有三个袋子，每个袋子都装有“个球，球上分别标有数字123,…,〃.现从每个袋子里任

摸一个球，用x,y,z分别表示从第一，第二，第三个袋子中摸出的球上所标记的数，则事

件“x+y=z”的概率为.

四、解答题

2

15.已知等差数列｛%｝满足%,。用是关于x的方程x-4nx+bn=0的两个根.

⑴求q;

（2）求数列的前〃项和S”.

16.在VABC中，角A8,C的对边分别为a,b,c,AO为边3C上的中线.

⑴证明：AD=^2（b2+c2）-a2；

TT

（2）若A=§,a=2,求AZ）的最大值.

17.如图，在四棱锥P—ABC。中，尸。，平面ABC。，ABDC,BC=CD=AD=2,AB=4.

⑴证明：PALBD-.

⑵若四棱锥P-ABCZ)的外接球的表面积为25兀，求二面角C-AB-尸的余弦值.

18.数列是特殊的函数，可以利用函数工具研究数列性质.比如，为了研究数列

为=[1+：[(〃eN*)的性质，对通项公式取对数得，ln%=ln]l+：J,则可通过研究函数

y=ln(l+x,的性质，得到数歹！J｛姑4｝的性质，进而得到｛%｝的性质.请根据以上材料，解决

如下问题：

⑴若不等式52111(1+可对任意彳2()恒成立，求实数c的取值范围，并证明：e>[l+「;

-1714

⑵是否存在常数。，使得：V〃eN*有，1-。若存在，求。的值；若不存在，

n

请说明理由.

(注：e为自然对数的底数)

19.线段的长为3,端点分别在y轴和x轴上运动，点E满足M£=2EN，记点E

的轨迹为曲线C.

⑴求曲线c的方程；

⑵曲线C与X轴的左右两个交点分别为A,B,P为c上异于AB的动点.过点£>(1,0)分别作

直线4〃”，直线4〃时，其中4与曲线C交于G,“两点，/?交直线x=-l于点R,点/满

足|DG|田=QM/G.

①求点/的轨迹方程；

②△〃次的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.

试卷第4页，共4页

《2025届广东省大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）数学试题》参考答案

题号12345678910

答案DDBCCABABCDAD

题号11

答案AD

1.D

【分析】解对数不等式求出集合8,再根据交集的定义计算可得.

【详解】由log2”<3,gpiog2x<log28,解得0cx<8,

所以8={x'ogzX<3}={x[0<x<8},

^A=^x\x=2k,A:eZ1={4,—2,0,2,4,6,8,1,

所以AB={2,4,6}.

故选：D

2.D

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简z,再计算其模即可.

【详解】因为z（l+i）=2i,所以z=Ry=（[+：）（[Jj）=l+i,

所以忖=Vl2+12=A/2.

故选：D

3.B

【分析】根据向量模长的关系，利用平方法转化为向量数量积公式，解一元二次方程即可得

出答案.

【详解】由卜+0=2百，

所以,+目=12,即/+2a./?+『=12'

.iri工|2if.

即22+2x2^x85600+].=12,整理得忖+2忖—8=0,

解得W=2或-4（舍去），

所以*2.

故选：B.

答案第1页，共15页

4.C

【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.

【详解】根据线面平行的性质定理，

若/〃a,mua,贝l]/〃加或/与机异面，A错误；

平行与同一平面的两条直线位置关系不确定，可能平行、相交或异面，B错误;

如图，Bui,过点B作价的平行线鼠，设/,力所在平面为7,

且/IB=b,则"J_匕，

根据已知/_1_根，所以

则〃/人由/_La,可得6_Le,且人＜=尸，所以a_L/7,C正确；

若/〃a,a//(3,则〃/或/u月，D错误.

故选：D

5.C

【分析】先分别求平均数，再分别求出方差，最后比较方差的大小即可.

_29+25+3791

【详解】对于A,X=-------------------=一

222

672

s2129T+25一事+37一？

3~Z7~

,30+46+25101

对于B,x=------------=----

2166

27

,38+40+35113

对于C,x=------------

3~T

_40+18+3088

对于D,x=------------

33

答案第2页，共15页

_2184

27

m生11467221662184

因为——<——<----<-----

27272727

所以四组数据中，方差最小的为二,

故选：C.

6.A

【分析】过点5作太阳光的平行线，与。4的延长线交于点C,可求出NAO5=/?-。，利

用弧长公式即可求得地球的半径.

【详解】如图所示，过点3作太阳光的平行线，与Q4的延长线交于点C,

则/男尸,ZBCO=a,所以ZAO3=£—许

设地球半径为R,则根据弧长公式得尺(力-a)=L,所以尺=占，

故选：A.

7.B

【分析】根据题意判断了(%)是偶函数，判断函数的单调区间，再利用单调性和奇偶性解不

等式即可.

【详解】Q〃x)=ln(e2*+1)+国-x,xeR,

又/(-x)=In(右2x+1)+国+x

ie、l।।

=ln-^「+|x|+x

=ln(e*t+l)+|x|-x=/(x),所以函数是偶函数，

当尤NO时，/(x)=ln(e2x+l),易得/(x)单调递增，

不等式”2x—l)—〃x+l)W0,gp/(2x-l)</(x+l),

等价于

答案第3页，共15页

+,可得（2x-1）~W（x+lj,解得0VxV2,

所以不等式〃2x—1）—〃x+l）4。的解集为[0,2].

故选：B.

8.A

【分析】根据抛物线定义,可得|/用+忸耳=12,数形结合可得|AF|+|BF以初|,得解.

【详解】设抛物线＞2=4x的焦点为尸，A,3的横坐标分别为毛，/，贝|%+%=10,

抛物线税=4x的准线为x=-l,贝1AF|=玉+1,忸尸|=w+l，

|/l/^l+1=x1+Xj+2=12,

|AF|+忸尸以（当且仅当尸，A,3共线时取等号）如图所示，

即|AB|的最大值为12.

故选：A.

9.BCD

【分析】A选项，化为点斜式可以看出直线恒过的点，B选项两直线斜率存在且垂直，斜率

乘积为-1,从而存在上=-2满足题意,C选项直线过的定点在圆的内部，故可以判断C选项；

当左=-1时，先求圆心到直线的距离，再根据垂径定理求弦长

【详解】直线/：履一V+2左=0,即y=A（x+2）,则直线恒过定点（一2,0）,故A错误；

当左=-2时，直线/:日一〉+24=0与直线：尤一2、+2=0垂直，故B正确：

:定点（-2,0）在圆。N+y2=9内部，；.直线/与圆。相交，故C正确：

IQI

当左=-1时，直线/化为-x-y-2=0,即x+y+2=0,圆心。到直线的距离〃=《=拒，直

答案第4页，共15页

线/被圆O截得的弦长为2回工=2近，故D正确,

故选：BCD.

10.AD

【分析】根据奇函数的定义可得选项A正确；根据+可得选项B错误；根据

7(0)=个］=0可得选项C错误；根据二倍角公式结合=~可得选项D正确.

【详解】由题意得，/(%)=siar-A/1+2COS2X-1=V2sinx•|cos%|.

A.V函数的定义域为R，/(-%)=&sin(—x)•|cos(-x)|=_0sinx-|cosx|=-f(x),

.••/(x)是奇函数，选项A正确.

B.尤+兀)=0sin(x+7r)Jcos(x+7t)|=_0sinrJcosX=—/(x),

•••兀不是函数“X)的周期，选项B错误.

7171

C.V/(0)=V2sin0.|cos0|=0,/后吟cos—=0,

2

JT

・•・/(%)在a.上不是单调递增函数，选项c错误.

6

D.V/(x)=Icosx|>-|V2sirLxcosx|=一--|sin2x|,0<|sin2x|<1,

.••/(x)的最小值为一4,选项D正确.

故选：AD.

11.AD

【分析】选项A将G与。2无公共点转化为/(x)=e2%_2px无零点，由导数求最小值大于0

即得；选项B先求切线方程为y-e°”=e吗卜-p-gj,联立y?=2px,利用韦达定理和

弦长公式即可求得；选项C利用导数求得g(x)=e2，+g］的最小值小于进而可得;

答案第5页，共15页

选项D根据G:y=e£的切线方程y=x+l和抛物线的切线方程y=x+；为。，进而可得.

【详解】选项A：联立丁得e2*-2kO,设/⑺=e/_2px,

[y=2px

由题意可知无零点，f\x)=2^-2p,

故当xe(0,14npj时，尸(%)<0,当xe(gin/?,+/]时，/(久)>0,

故/(x)N/，lnp1=p(l-lnp),由题意p(l-lnp)>0,得。<p<e,故A正确；

选项B：由题意由'二^得了二d,

设/与曲线Ci的切点为(天,广)，则切线方程/为y-e*=e&(x-%),

因/过点尸]，oj,故一e*=ew\-xj,解得/=1+1,

所以I的方程为y-=e'+[x-;p-1J,即y=e；>[x-；p],

与产=2Px联立得/-[p+p^]x+?=0,

设/与C2的交点坐标为/(%i，yj8(%2,丫2)，

可设为(x,e，),贝,

设g(x)=e2x+(AgJ,g'(x)=2e2*+2x—l,

设/z(x)=2e2x+2x-l,贝(x)=生2工+2>o,

故h(x)在R上单调递增，又//(0)=1>0,/?(-1)=2e-2-3<0,

答案第6页，共15页

故济使得/(%)=0,

则g(x)在(-8,%)上单调递减，在(%,+力)上单调递增,

故的最小值为g(x°),又g(x0)<g(o)=；,故忻M.v?，故C错误；

选项D：当。=1时，C2：y2=2尤在(xo，%)处的切线方程为/':%y=x+Xo，

11

将无o=5必代入得/'：x-%y+5y；=。,

而曲线C：y=ex在x=f处的切线方程为/:e'x-y+(lT)e'=O,

要使得两曲线上得点M,。之间距离最小，当t=0时，/：x-y+l=O,

11--

tHl,则%=1,/'犹一丁+彳=0,两直线的距离为2_7r2,

2^T=T

显然两切点为(O，l)(2,g)得连线与切线不垂直，故M@>d=亨，故D正确.

故选：AD

【点睛】关键点点睛：本题选项A,C关键是把几何问题解析化，然后利用导数求最值.

12.120°

【分析】根据双曲线的定义求得|至|,再利用余弦定理求解.

【详解】因为点P在双曲线右支上，且|昼|=4,

则仍囚=|P£|—2a=4—2=2,又闺&|=2近，

在「百月中，由余弦定理可得cosN尸PF=不+一一。夕).1,/耳尸与40,71),

'122x4x22

所以/月「耳=120°.

故答案为：120。.

答案第7页，共15页

【分析】由两角和的正切公式结合条件切化弦可得cosAcos8=叵2，将条件

4

tanAtan8=2-石切化弦运算得解.

2九

【详解】QtanA.tan5=2-6，C=—

tanA+tanB，即艮tanA+tanB

「.tanC——tan(A+5)=—

1-tanA-tanB1一（2一⑹，

左力,口I-口口smAsin3cr-

解得tanA+tanB=3-v3,即----H------=3一13,

cosAcosB

所以sin(A+5)=(3—GkosAcos5,又A+5=TT—C,

得cosAcosB=@里

4

〜,r~—sinA-sinBr-

又由tanA-tanB=2-V3，可得---------=2->j3,

cosA-cosB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

V3+l_V3

=(3-道卜0$AcosB=(3-道)x

42

故答案为：4

一九一1

14-百

【分析】归纳求出满足z=x+y的情况种数，根据古典概型的概率公式求解.

【详解】由题意，从三个袋子中摸出的球上所标记的数的总的情况为/种,

满足z=x+y,则2wzw〃,

当z=2时，x,y对应的情况有（1,1）,i种；

当Z=3时，X,y对应的情况有（1,2）,（2,1）,2种;

当z=4时,X,y对应的情况有（1,3）,（2,2）,（3,1）,3种;

L

当2=〃时,x,y对应的情况有（1,〃—1）,（2,〃一2）,L,（77—1,1）,"-1种;

所以满足2=乂+丫的情况有1+2+3++d-1）=当力种，

答案第8页，共15页

n\n

故所求事件的概率为n-1.

P=2

n3

故答案为:

15.⑴《=1

1

⑵S“=T+(-l)

2n+l

【分析】(1)根据韦达定理可得。“+%包=4",利用等差数列通项公式列式计算；

An(11>

(2)由⑴求得通项。代入运算可得(-1)"7=(-1)"--+---,利用裂

bny2n-l2n+lJ

项求和得解.

【详解】(1)根据题意，由韦达定理可得见+4+1=4",

因为数列｛%｝是等差数列，设公差为d,

所以q+(几一l)d+q+几d=4〃，即2dn+2ax-d=4n,

2d二4一

则＜G/八，解得d=2,q=1,

\2a1-a=0

6=1.

(2)由(1)d=2,q=l,贝-1,

•.也=q•%=(2n-l)(2n+1),

11

-----------1------------

MT"•…・西常MT®2n-l2n+l

11

-11+-1++L+(-1)"------------1------------

"I3小14*2n—l2〃+1

=-1+(-1)-

I'2«+1

16.(1)证明见解析

⑵g

【分析】⑴方法一：对AD=：(AB+AC)两边平方，再由余弦定理可得答案；方法二：在

4)8和△ADC中，由余弦定理可得答案;

(2)在VABC中，由余弦定理得f=片+/一℃,结合(1)再利用基本不等式可得答案.

答案第9页，共15页

【详解】(1)方法一：AD为BC边上中线，AD=；(A2+AC),

AD=；(AB+AC)2=>AD=*?+铲+26ccosA),

在VABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2—2bccosA,

2Z?ccosA=b2+c2-a2,

:.Alf=^(2b2+2c2-a2),

AD=1^2(Z?2+C2)-4Z2.

方法二：A£>为BC边上中线，

在VABC中，AADB+ZADC=兀,「.cosZADB+cosZADC=0,

在，ADB和△AOC中，由余弦定理得：

AD2+BD2-AB2AD~+CD2-AC2八皿…

+=U,BD=CD,

2ADBD--------2ADBD

即2AD2+BD2+CD2-AB2-AC2=0,

AD2=^2+c2-^a2^,

即AO=；^b2+c2)-a2；

7r

(2)A=-,。=2,由余弦定理可得a=^+cZ—bc,

故户+C2-4=6CV；W+C2),即〃+C248,

[b=c

当且仅当722/,时，即人=。=2时等号成立，

[b+c-4=bc

所以AO=g,2伊+目一片=；^2(/72+C2)-4<1V16-4=6,

所以AD取得最小值为6.

17.(1)证明见解析

*

【分析】(1)由线面垂直的性质证明线线平行，先证m1平面上4。即可.

(2)先确定四棱锥尸-ABCD的外接球的球心，即可得PD的长，过。作DE工AB于E,

所以/尸即为二面角C-AB-P的平面角，求解即可.

【详解】(1)取A8的中点。-连接CO一则由题意知△BCQ为正三角形,

所以NABC=60,

答案第10页，共15页

由等腰梯形知NBC£>=120,设AD=CD=BC=2,则AB=4,BD=2#),

^ACT+BUT=AB\即得NAD3=90。，所以

因为PD_L平面ABC。，BDu平面ABC。，所以PD1.BD,

因为A£>IPZ)=。，AD,PDu平面尸AD,所以平面PAD,

因为E4u平面PAD,所以

(2)由于4O=A0]=2,

又〔ZDAB=60°,••.AO。为等边三角形，

OXD=O{A=O[B=O1C=2,

即。i为四边形ABCD外接圆的圆心，且半径厂=qA=2,

过。i作平面ABCD的垂线/,则尸。〃/,

在平面尸£>。1内作PD的垂直平分线交/与点0,

则O尸=OD==03=OC,即。为四棱锥尸-ABCD的外接球的球心,

则5=4无尺2=25%.-./?=!,

且半径R=OD=

2

1号)+'=夫2=子，则尸0=3,

过。作OE2AB于E,ABLPD,DE,PDu平面PDE,DEPD=D,

所以A5_L平面电史，又尸Eu平面PDE,

则AB_LPE,所以NP£D为二面角C-AB-尸的平面角,

tanZPED=—=A/3,

DE石=A

所以二面角C-AB-尸的平面角的余弦值为

18.(l)c>l；证明见解析

⑵存在，a=e2

答案第11页，共15页

【分析】(1)当％=0时，夕之山。+力恒成立，ceR；当X>0时，cx>ln(l+x)可化为

c/n(l+x),令g(x)J(l+x),久>0,利用导数方法判断其单调性，结合洛必达法则即

XX

可求出C的范围；得出以x21n(l+x),将尤=L代入整理，即可证明不等式成立；

n

(2)先由题意得到a>0；由?</-1推出21n&>ln(l+2],结合(1)的结果，可求出

nn\nJ

-1?、二2_

a>e2;对于1一。〃<—,当〃=1或〃=2时，于1一〃"<—显然恒成立；当〃之3时，推出以

nn

Inf1—|<—lna=—ln«,同(1)构造函数，求出aVe?;从而可求出结果.

\njnn

【详解】(1)当％=0时，c%21n(l+x)显然恒成立，ceR；

当%>0时，cx>ln(l+x)可化为0之山(1+”,

x

令g(x)="3,无〉。，则一W-Ml+x)x_(l+x)ln(l+x),

2

xSU-x2(l+x)x

令人(x)=x_(l+x)ln(l+x),x>0,贝!j/?'(x)=l-ln(l+尤)一l=-ln(l+x)<0在xe(0,+oo)上

恒成立，

因此/z(x)=x-(l+x)ln(l+x)在(0,+a))上单调递减，所以/2(x)</z(0)=0,

x-(l+x)ln(l+x)

即g'(尤)=<0在xe(0,+<o)上恒成立,

(1+元)尤2

所以8(同=时>在(0,+s)上单调递减，

ln1+%

又由洛必达法则可得：lim()==limJ_=i,

Xf0XXf0xfXf01+x

所以g(x)<l恒成立，因此，为使c(ln(l+x)对任意%>0恒成立,只需让1；

X

综上，C>1;

所以xNln(l+x),因为，〉0,所以:>ln[l+J,

则+[=,所以e〉e1/=(1+!)得证;

_12-

(2)存在〃=e2,使得：V〃cN*有，1-a〃<*<〃〃-1,证明如下:

n

答案第12页，共15页

-1?-一

由题意，为使1一〃n<—<an-1V〃wN*恒成立，必有a>0；

n

⑴由2V加—1得加>i+2,所以14na>lnjl+2],则2m&>皿[1+2],因为2>o,

nnnynJn\n)n

由(1)知九Nln(l+x)对任意%>0恒成立,

2

为使一ln6>In|1+—jx/nGN*都成立，只需ln6>1,解得a2e;

n\nJ

-1?、二2_

(ii)对于1一〃〃<—,当〃=1或〃=2时，于1一。〃<—显然恒成立；

nn

99--99-12I—

当〃之3时，一一<一一<0,由1一〃及<士得1一.<〃〃，所以In1一—<一一lna=一一In，

3nnnyn)nn

22r~

令x=——,则——<x<0,ln(l+x)<xlnv^,

n3

所以lnG<ln(+“),同(1)令g(x)=9。±M,-f<x<0,

xx3

则g，⑶=+"=x-(l+x)ln(l+x),

x2(l+x)x2

2

令/z(x)=x-(l+x)ln(l+x),--<x<0,

贝I]/z'(x)=l-ln(l+x)-l=-ln(l+x)>O^Exe—g,。]上恒成立，

因此M%)=x-(l+x)ln(l+x)在-|>o]上单调递增，所以//(%)<,(0)=0,

因此g'x=-1—^<0在XE-丁,0上恒成立,

(l+x)fL3)

所以8自卜皿;到在一训上单调递减，

又=1曲」(1+用=limJ_.1；

x-0x尤-0Xfx-01+X

2

所以当-gV尤<0,g(x)>l；

因此，为使In夜〈I"""恒成立,只需解得“We?；

■--2-

由(i)(ii)可得，a=e2;即存在a=e"使得：VneN1-tz"<—<a"-1.

【点睛】思路点睛：

利用导数的方法求解不等式中的参数时，一般可利用分离参数的方法，先分离出所求参数,

再构造函数，利用导数的方法求函数的最值即可.

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19.⑴——+>2=1

4-

⑵①x=4（yH0）,②存在最小值，最小值为3.

【分析】⑴设点E（x,y）,M（O,a）,N（b,O）,根据|肱V|=3及"+"=9计算即可;

（2）①由题意，可设/ULGI=2田L1LU.I，则。UULG1=-/LILDILU8I，利用点差法得V