2025年北京高考数学复习热点题型专练：导数及其应用（切线+单调性+构造函数比大小）（8类题型全归纳）（原卷版）

热点题型•选填题攻略

专题03导数及其应用(切线+单调性+构造函数比大小)

o------------题型归纳•定方向-----------*>

目录

题型01“在”型切线问题........................................................................1

题型02“过”型切线...........................................................................2

题型03求曲线上点到直线距离最小值............................................................2

题型04公切线问题.............................................................................3

题型05求切线条数求参数.......................................................................4

题型06已知函数在区间上单调...................................................................5

题型07已知函数在区间上存在单调区间..........................................................5

题型08已知函数在区间上不单调.................................................................6

题型09构造可导积函数.........................................................................6

题型10构造可商函数...........................................................................7

♦>-----------题型探析・明规律-----------♦>

题型01“在”型切线问题

【解题规律•提分快招】

己加函薪白编标五菽函戴73号x=/iS(x0,7(x0jj处而访装方程.

步骤：第一步：计算切点的纵坐标/(X。)(方法：把X=X。代入原函数/(X)中)，切点(4,/(%)).

第二步：计算切线斜率左=/'(x).

第三步：计算切线方程.切线过切点(4,/(4)),切线斜率左=/'(4)。

根据直线的点斜式方程得到切线方程：J-/(x0)=/'(x0)(x-x0).

y

【典例1-1](24-25高三上•北京房山•阶段练习)曲线y=7「在点(U)处的切线方程为()

2x-l

A.x-y-2=0B.x+y-2-0C.x+4y-5=0D.x->-5=0

【典例1-2](24-25高三上・北京•阶段练习)设函数/(x)=e：:了,则曲线y=/(x)在(0,1)处的切线与

两坐标轴围成的三角形的面积为.

【变式1-1](23-24高二下•北京•期中)曲线〃x)=e[x2_x-l)在点(0,/(0))处的切线方程是.

【变式1-2］（23-24高三上・北京•阶段练习）曲线y=J=在点［处的切线方程是.

题型02“过”型切线

【解题规律•提分快招】

己知：函数/（x）的解析式.计算：过点片（西,见）（无论该点是否在y=/（x）上）的切线方程.

步骤：第一步：设切点

第二步：计算切线斜率左=/'（/）；计算切线斜率左="”；

%一为

第三步：令：4=/'（%）=弘_%，解出/,代入左=/口0）求斜率

x\~xo

第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：y-y.=fW（x-xQy

I五丽工2024嵩三公亩前就原匀5区而蜃Uhu询二奈百丽百。万：血应踵ig垣标面面晟一

的三角形面积为（）

2

eeee2

K2（l+e）B-17；C-2（e2+l）D-7TT

【典例1-2】（2024高三・全国・专题练习）过点（0,-2）作曲线〃x）=lnx-2的切线，则切线方程为.

【变式1-1］（2024高三•全国•专题练习）过点（3,0）作曲线/（xHxS的两条切线，切点分别为（%,/（再））,

（x2,/（x2））,贝!|西+工2=（）

A.-3B.-V3C.V3D.3

【变式1-2］（23-24高二下•江苏淮安・期末）已知〃x）=xd+l,过点（2,加）作/（x）的切线,若切线斜率

为1,贝卜"=.

题型03求曲线上点到直线距离最小值

【解题规律•提分快招】

利用导数的几何意义求最值问题，利用数形结合的思想方法解决，常用方法平移切线法.

【典例1-1]（2024高三•全国•专题练习）己知直线/：y=2x+2与函数/（x）=ln（x+l）,若直线=+6

与直线/、曲线y=f（久）分别交于点42,则当|/同取最小值时，b=.

【典例1-2]（24-25高三上,湖北黄冈•阶段练习）已知3,A分另IJ为直线y=3x-3和曲线y=2e，+x上的点，

则|/司的最小值为

【变式1-1]（2022,山东聊城,二模）实数再,打必,％满足：x；-lnx「必=0,x2-y2-4=0,贝|

（西-々）2+（M-%丫的最小值为（）

A.0B.2-72C.472D.8

【变式1-2]（24-25高二上•全国•课后作业）已知点P（x,y）是曲线了-2上的一动点，则点P（x,y）到直线

-4=0的距离的最小值为（）

AV5R2753行3

5555

【变式1-3]（24-25高三上,云南昆明•阶段练习）已知48分别是曲线＞=和直线y=2x上的点，则|/同

的最小值为.

题型04公切线问题

【解题规律•提分快招】

公切线问题主要有以下3类题型

（1）求2个函数的公切线

解题方法：设2个切点坐标，利用切线斜率相同得到3个相等的式子，联立求解

（2）2个函数存在公切线，求参数范围

解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程有解问题

（3）已知两个函数之间公切线条数，求参数范围

解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程解的个数问题

【典例1-11（2024高三・全国•专题练习）已知曲线丁=Inx与曲线＞有唯一交点，且在交点处有

相同的切线，则。=（）

3£

A.2B.-C.1D.

22

【典例1-2]（24-25高三上•辽宁•期中）已知直线卜=X+。是曲线＞=ln（x-l）和7=。/-3工的公切线,

则Q+/的值为.

【变式1・1】（2025高三•全国•专题练习）已知直线歹=去+6是曲线》=/的切线，也是曲线^=-。一'的切线,

贝！JE+b=（）

1

A.—B.1C.eD.1+e

e

【变式1-2]（2024高三・全国・专题练习）曲线弘=工2-1与%=a（x-£|-2hu（a>0）在交点处存在公切线，

贝（Ja=.

【变式1-3]（24-25高三上•山西长治•阶段练习）已知函数/（x）=lnx,g[x}=ax\存在直线过点，-£|

与曲线了=/（x）和y=g（x）都相切，则a=.

题型05求切线条数求参数

【解题规律•提分快招】

--------------------------------------------------------------------------------------------------!

设切点为尸。0,%）,则斜率左=/'（%）,过切点的切线方程为：y—%=/'（Xo）（x—%）,

又因为切线方程过点4（a,6）,所以b-%=/'（%）伍-％）然后解出毛的值，有多少个解对应有多少条切线.1

【典例1-1】（2024高二•全国•专题练习）已知函数/（》）=蓑.若过点尸（-1,加）存在3条直线与曲线y=/（x）

相切，则实数加的取值范围是（）

A-一三%

【典例1-2]（24-25jWj二上•四川自贡•期中）若过点（21）作曲线>=e、的切线有且仅有两条，则b的取值范

围是.

【变式1-1]（22-23高三上•辽宁•阶段练习）已知过点（明方）可以作函数〃x）=x3-x的三条切线，如果

〃〉0,则。和b应该满足的关系是（）

A.0<b<a3B.一<b<a3—aC.—a<b<a3D.—a<b<a3—a

9

【变式1-2]（2024•陕西榆林•模拟预测）己知过点（0,。）可作三条直线与曲线相切，则实数

a的取值范围为

题型06已知函数在区间上单调

【解题规律•提分快招】

⑦已知/(X，在区间。上单调递增=VxeD,/'(xj20恒成立.

②已知/(x)在区间。上单调递减=VxeD,/'(x)40恒成立.

注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.

【典例1-1](24-25高二上•全国•课后作业)已知函数〃%)=咚?-血在[L+⑹上单调递减，则实数。

的取值范围为()

A.(-℃,1)B.(-oo,2]C.(-oo,2)D.(一8,3]

【典例1-2】(2024・广东肇庆•一模)已知函数/(x)=(x+6-(6>0)在R上单调递增,

则里的最大值为.

a

【变式1-1](23-24高二下•黑龙江齐齐哈尔•期中)若对任意的正实数不，x2e(m,+co),当玉<超时，

九曲土二玉3>2恒成立，则加的取值范围()

再-x2

A.[e:+co)B.[e2,+oojC.[e,+oo)D.|^e,e2]

【变式1-2](2024•湖北•一模)已知函数/仁)="2_1仙+2》是减函数，则。的取值范围为()

A.(-«5,0]B.(-co,-l]C.(-oo,l]D.J-co,--

题型07已知函数在区间上存在单调区间

【解题规律•提分快招】

⑦已知/(x)在区间。上存在单调增区间=令/'(x)〉0,解不等式，求单调增区间/,则/口。

②己知/(x)在区间。上存在单调减区间o令/'(x)<0,解不等式，求单调减区间则河口。

【典例1-1](2025高三•全国•专题练习)己知函数〃x)=(2x2+ax+l)e"(a>0)在上存在单调

递减区间，则。的取值范围为()

A.(0,l)u(4,+oo)B.(1,4)

【典例1-2](24-25高三上•北京顺义・阶段练习)已知函数/3=小-2尤2+1在区间(0,1)上存在增区间,

则。的取值范围是.

【变式1-1](24-25高二上•全国•课后作业)若函数/(x)=lnx+ax2_2在区间(1,4)内存在单调递增区间,

则实数。的取值范围是()

A•昌”JB.昌川

C.DD.卜),+a

【变式1-2](23-24高二下•山西•期中)已知函数/(x)=(x2_2G+l)e、，若函数在(-1,0)存在单调增

区间，则实数。的范围为.

题型08已知函数在区间上不单调

【解题规律•提分快招】

已知函数在区间。上不单调o使得/'(%]=0(其中/是变号零点)

2

【典例1-1](22-23高二下•北京海淀•期中)若函数〃尤)=5-血在(°㈤上不单调，则实数后的取值范围

是()

A.[1,+»)B.(1,+8)C.(0,1)D.(0,1]

【典例1-2](24-25高三上•河北张家口•阶段练习)已知函数/(x)=/+(x_2)e，-2x+5在区间

(2根-1,3加+2)上不单调，则加的取值范围是.

【变式1-1](23-24高二下•北京•期中)已知函数"+欣+3在区间(1,2)上不单调，则实数。的取值

范围是()

A.(-2,-1)B.1L-；]C.D.

【变式1-2](23-24高二下•山东荷泽•期中)若函数〃x)=e=alnx+l在区间(1,2)上不单调，则实数。的

取值范围为()

A.(e,e2)B.(e,2e2)C.(-(»,e)U(e2,+co)D.(l,e2)

题型09构造可导积函数

【解题规律•提分快招】

行(；)]二[07GW

高频考点1："(x)+/(x)]=[e"(x)]'

②x"TW(x)+nf(x)]=[x"(x)了

高频考点1：xf'(x)+f{x)=[xf，(x)]'

高频考点2x[V'，(x)+2/(x)]=[x2/(x)y

③f\x)sinx+f(x)cosx=[f(x)sinx\

(4)cosx-/(x)sinx=[f(x)cosx\

【近殖1-1】(2024.辽宁武建展拟就测)已%口函薮尸/(x)是空义相五工而啬函反，11x6(-00,0]^,

/(x)+xf,(x)<0,若"=6=(cos；)/(cos；j,c=(4sin；j/14sin；j,贝[Ja,b,c的大小关系是

()

A.c>a>bB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

【典例1-2】(2024•宁夏银川•三模)已知定义在R上的奇函数/(x)的图象是一条连续不断的曲线，/'(X)是

/(x)的导函数，当x>0时，3/(x)+/(x)>0,且/(2)=2,则不等式(%+1)"(%+1)>16的解集为()

A.(1,+8)B.(-OO,-2)U(2,+CO)

C.(-oo,l)D.

【变式1-1](2024•云南•模拟预测)已知尸⑺是定义域为/曰的函数的导函数，且

/'(x)sinx+/(x)cosx<0,则不等式/(x)sinx>；/(力的解集为.

【变式1-2](23-24高三上•河南焦作•开学考试)已知定义在R上的函数/(X)及其导函数/'(X)满足

/(x)>_〃x),若〃ln3)=]则满足不等式/(x)>4的x的取值范围是.

【变式1-3](24-25高三上•山东•阶段练习)已知函数“X)在R上满足/(x)=/(r),且当xe(-8,0]时，

〃幻+江(对<0成立，若a=206./(2e6),6=ln2-〃ln2),c=log2：dk)g2：,则。,仇。的大小关系是()

A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.c>a>b

题型10构造可商函数

【解题规律•提分快招】

①/'(X)-十(X)

enx

高频考点1:

xf'(x)-nf(x)

D1

XM+

高频考点1：矿(x)；/(x)=V，

X"X

一旃①上cXf\x)-2f{x}J(x)v

局频考点2：，'；，二［弋六］

③/'(x)sinx—/(x)cosx=1/(x)了

sin2xsinx

/'(x)cosx+/(x)sinx=13,

一cos2Xcosx

【典例1-1］(24-25高三上•福建南平・期中)定义在上的函数〃x),/'(X)是的导函数，且

r(x)<-tanx./(x)成立，。=2噌],b=41f[^\,o=手/图，则a,b,c的大小关系为()

A.b>a>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>b>c

【典例1-2】(2024•吉林长春•一模)已知定义在(0,+s)上的函数〃x)J'(x)是〃x)的导函数，满足

W)-2/(x)<0,且"2)=4,则不等式/(21-4'>0的解集是()

A.(0,1)B.(0,2)C.(1,+0>)D.(-℃,1)

【变式1-1](23-24高二下•山东烟台•阶段练习)已知/'(x)是可导函数，且/'(x)</(x)对于xeR恒成立,

则()

A./(l)<e<(0),/(2024)>e2024/(0)B./(l)>ef(O),/(2024)>e2024/(0)

C./(l)<eA0),/(2024)<e2024/(0)D./⑴〉ef(O),/(2024)<e2024/(0)

【变式1-2](2024高三・全国・专题练习)已知函数y=对于任意的xe,会"满足

r(x)cosx+/(x)sinx>0(其中/'(x)是函数〃x)的导函数)，则下列不等式成立的是()

A./(0)>&/百B,仞

CWE"5D—⑼"?

o-----------题型通关•冲高考-----------♦>

一、单选题

1.(2024•河南新乡•一模)函数〃x)=/-2上+5的图象在点(1,〃功处的切线方程是()

A.y=5x-lB.y=x+lC.y=-x+5D.歹=x+3

2.（2024・贵州黔南•一模）曲线/（x）=lnx在点（1J（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）

1e

A.—B.1C.—D.e

3.（2024•山东潍坊•三模）已知函数/（x）的导函数为r。），M/（l）=e,当x>0时，/（x）<：+e，，则不

等式*x）T^>i的解集为（）

e

A.（0,1）B.（0,+e）C.（1,+oo）D.（0,l）O（l,+（»）

4.（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）若函数//（村=1-3"2-2X在［1,4］上单调递增，则实数。的取值范围

为（）

5.（23-24高二下,江苏,期中）已知函数=—ax>xe（0,+oo）,当时，不等式"''v"

恒成立，则实数。的取值范围为（）

A.^0,|B.（2,e）C.D.

6.（2024•四川成者B•二模）直线了=丘+6与函数y=e'T和了=e'-2的图象都相切，则6=（）

A.2B.In2C.l+ln2D.-2In2

7.（2024•陕西榆林•模拟预测）已知曲线>=x+hu在点（1,1）处的切线与曲线了="2+工+2相切，则。=

（）

1111

A.一一B.-C.——D.—

221212

8.（2024・山东•模拟预测）若过点（1,心）可以作y=（x+l）e"的三条切线，则实数加的取值范围是（）

A.（Yet。）B.（-6e-3,0）C.（-6e-3,2e）D.（e,2e）

9.（2024・湖南邵阳•三模）若过点（a,6）可以作曲线y=lnx+l的两条切线，则（）

A.b<ln^B.b>Ina+1C.a<0D.b>ea

211

10.（2024•湖南长沙•二模）已知m>0,n>0,直线y=-x+m与曲线y=2\wc-n+A相切，则一+—

emn

的最小值是（）

A.4B.3C.2D.1

11.（2024•广东佛山•一模）设/'（x）是函数的导数，/（l-x）+/（l+x）=0,/（2）=0,当尤>1时,

（x-l）/（x）-/（x）>0,则使得