2025年北京高考数学复习热点题型专练：解三角形（10类题型全归纳）（解析版）

热点题型•选填题攻略

专题05解三角形

o------------题型归纳•定方向-----------*>

目录

题型01利用正（余）弦定理解三角形.............................................................I

题型02三角形解的个数..........................................................................4

题型03判断三角形形状..........................................................................7

题型04三角形面积（定值）....................................................................10

题型05三角形面积（最值或范围）..............................................................12

题型06三角形边长............................................................................16

题型07三角形边的代数和问题..................................................................19

题型08三角形周长（最值或范围）.............................................................23

题型09三角形中线............................................................................26

题型10三角形角平分线........................................................................30

♦>-----------题型探析,明规律-----------O

题型01利用正（余）弦定理解三角形

【解题规律•提分快招】

sinAsinBsinC

②符号语言：在A45C中，内角所对的边分别是见仇。，则:

/=/+/-2bccosA；

b2=/+/-2accosB

c2=a2+b2-labcosC

b1+02一/

cosA=

2bc

a2+c2-b1

cos5=

lac

a1+/-c2

cosC=

lab

3

【典例1-1】（2。24・北京海淀•二模）在△血中，加4,"=5"守则5c的长为（）

A.6或；

B.6C.3+30D.3

2

【答案】A

【知识点】余弦定理解三角形

【分析】根据余弦定理即可求解.

\AC^+\CB--\AB^_52+|CS|2-423

【详解】由余弦定理可得cosC=

2\AC\-BC\一10|5C|4

3

故21c@9T5忸C|+18=0n忸C|=6或5，

故选：A

【典例1-2】（2024,北京延庆,一模）ZUBC的内角N,B,C的对边分别为a,b,c,已知乙8=60。,

sin/=3sinC,b=Jj,则。=,△48C的面积为.

【答案】1巫匚杷

44

【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用

【分析】根据题意，利用正弦、余弦定理求得。，再运用三角形的面积公式即可求得结果.

【详解】因为sinZ=3sinC,由正弦定理可得Q=3C,

因为/5=60°,在△43。中，由余弦定理可得：b2=a2+c2-2accosB,

所以7=%2+c2-6c2xg,解得：c=l；

所以a=3c=3,由三角形面积公式可得：S=-acsinZABC=—x3xlx—=,

皿ABC2224

故答案为：1；

4

【变式1-1］（2023•北京丰台•三模）在ZUBC中，/C=3,8C=g,48=2,则边上的高等于（）

A.2A/3B.毡C.叵D.-

222

【答案】B

【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用

【分析】根据余弦定理求cosC,再得sinC,利用A/BC的面积公式即可求边上的高.

【详解】在△/BC中，因为AC=3,BC=g,AB=2,

AC?+BC?-AB?9+7-4_277

由余弦定理得cosC=

2ACBC2x3x77-7

因为Ce（0,7r）,所以sinC=Jl-cos2c=与

设边上的高为力，则S/Bc=g/C-3C.sinC=gA8，，

所以，AC-BC-sinC3xV7x浮36,即边上的高等于还.

h=--------=-----------=---?

AB22

故选：B.

【变式1・2】（2024•北京西城•三模）在△43。中，若。=2,a=5444，贝1JsinC=______,b=_______.

6

【答案】用2V3±V2

【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形

【分析】在△/BC中，运用正弦定理求得sinC,运用余弦定理求得6即可.

V32fr

【详解】由正弦定理一^7=）^，有.兀一sinC，所以sinC=——，

smZsinCsm—3

6

由余弦定理力=/+才一2bccos/,有（百）=b2+22-2x2bcos,

解得6=百±行.

故答案为：，区，A/3±42.

3

3

【变式1-3]（2024•北京昌平•二模）已知△45C中，a=^b=2c,cosA=--,则5“蛇=.

【答案】近

2

【知识点】三角形面积公式及其应用、已知正（余）弦求余（正）弦、余弦定理解三角形

【分析】由余弦定理求出仇，，由同角三角函数的平方关系求出siM,最后由三角形的面积公式即可求出答

案.

【详解】由余弦定理可得：COM=〃ca=°:16=_三,

2bc4c24

解得：c=C，所以b=2c=2^2,

又因为cos/=一■-,所以sirb4=A/1—cos2A=，

44

所以S,RC=—besin^4=—X2A/2xV2x^-=.

“Be2242

故答案为Y

题型02三角形解的个数

【解题规律•提分快招】

1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角；

2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。

例如：已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况：（多解情况）

e若A为锐角时：

a<bsmA无解

a=bsinA一解（直角）

bsinA<a<b二解（一锐,一钝）

a>b一解（锐角）

已知边a,b和/A

a<b无解

。若A为直角或钝角时:

一解（锐角）

7T

【典例1-1］（23-24高一下•北京・期末）在ZUBC中，角4及。所对的边分别为已知/=（b=2,

给出下列五个a的值：①血；②VL③理；④2；⑤3.其中能使得A42C存在且唯一确定的是

（）

A.①④B.②③C.④⑤D.②④⑤

【答案】D

【知识点】正弦定理判定三角形解的个数

【分析】利用三角形的图形性质来判断唯一解的充要条件解题即可.

【详解】

根据已知/=£,b=2,可知三角形N8边上的高力=6sin/=2x——

32

所以要使得MBC存在且唯一确定的解，则a=6,或aN2,

故有②④⑤满足，

故选：D.

【典例1-2］（23-24高一下•北京•阶段练习）在△4BC中，//=30°,/C=26，满足此条件ZUBC有两解,

则2c边长度的取值范围为.

【答案】（73,273）

【知识点】正弦定理判定三角形解的个数

【分析】根据三角形有两解，应满足NCsin3（F<8C</C,化简即可求解.

【详解】•.•△ABC有两解，:.ACsin30°<BC<AC,BC<26

故答案为：（6,2道）.

【变式1-1］（23-24高一下•北京•期中）已知在△ABC中，NB=60°,b=^,若满足条件的三角形有且只有

一个，则a的取值范围是（）

A.{a\Q<a<y/3}B.{a10<a<6或。=2}

C.{a\0<a<43}D.{a10<aW6或。=2}

【答案】D

【知识点】正弦定理判定三角形解的个数

【分析】由正弦定理和三角形解的个数可得答案.

b..

■、4Q…TE—r/口a=-------sinA=smA=2sinA

【详解】由正弦定理可得sin56，

~2

若满足条件的三角形有且只有一个，则0。</<60。或/=90。,

所以0<sinNW且或sin/=1,

2

可得0<avG或。=2.

故选：D.

【变式1-2]（2023•北京朝阳,一模）在△/2C中，0=4也，b=m,sin/-cos/=0.

（1）若〃?=8,贝!jc=；

（2）当小=（写出一个可能的值）时，满足条件的A/BC有两个.

【答案】4726（答案不唯一）

【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、余弦定理解三角形

【分析】（1）求出A,再由余弦定理求解即可；

（2）根据已知两边及一边的对角求三角形解得情况，建立不等式求出〃z的范围即可得解.

【详解】（1）sinA-cosA=0,，tanN=l,

■.-0<A<it,A=-,

4

5

由余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA,BP32=64+c2-16x—c,

2

解得c=4也.

（2）因为/=《,q=40,

TT

所以当6sin：<a<6时，方程有两解，

4

即4也<7M<8>

取加=6即可满足条件（答案不唯一）

故答案为：4VL6.

【变式1-3]（23-24高一下•北京延庆•期末）在△4BC中，c=8,NB=g请从①-=学,

66

②a=47§，③6=9中选择一个，使aNBC存在且唯一，写出满足要求的一个条件的序号—

【答案】②（或③，答案不唯一）

【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数

【分析】根据正弦和余弦定理，以及三角形边与角的性质，直接计算即可判断求解.

【详解】对于①，若/=y，则/+2=学+9=兀，这与三角形内角和定理矛盾，不合题意;

666

对于②，若a=4^，则〃=a2+c2-2tzccos5=48+64-2x473x8x^-=16,

所以6=4,此时，△45。存在且唯一，符合题意;

对于③，若6=9,则csinB8xi4,因为c<6,所以C<3,

b99

所以C为锐角，此时，△NBC存在且唯一，符合题意.

故答案为：②（或③，答案不唯一）.

题型03判断三角形形状

【解题规律•提分快招】

判断三角形形状时，可利用正余弦实现边角转化，统一成边或角的形式，还要注意三角形自身的特点

①siit4=sirL8=/=3=Z\ABC为等腰三角形

n■IT

②sinA=cosB今N+B=,或今AABC直角三角形或钝角三角形

③sin2/=sin28今N=8^^+5=y^AABC为等腰三角形或钝角三角形

④cos2/=cos23n/=3n^ABC为等腰三角形

@a2+b2=c2^cosC=0^AABC为直角三角形

@tz2+Z>2-c2<0=>cosC<0

或<0=>cos8<0=>ZiABC为钝角三角形

或/+/-/<o-cos4<0

@a2+b2-c2>0=>cosC>0

且Y+cL/>00cos8>0今4ABC为锐角三角形

_S.Z>2+c2-a2>0=>cos>0

【典例1-1］（24-25高三上■上海闵行•期中）在△/5C中，已知6?+<?-6c=/,且〃tanC=ctan2,则△/8C

的形状为（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形

C.有一个角为60。的直角三角形D.等边三角形

【答案】D

【知识点】正、余弦定理判定三角形形状

【分析】由余弦定理，正弦定理，同角的三角函数关系化简即可；

【详解】由精+°2一A=力可得COS〃="+：：-=?，

2bc♦2

又/«0,小，所以4=60。，

由btanC=ctan5和正弦定理可得sin5-。=sin。包竺_,即cosB=cosC,

cosCcosB

所以B=C,所以/=60。=3=。，所以△/BC的形状为等边三角形，

故选：D.

【典例1-2]（24-25高三上•北京朝阳•开学考试）已知a/BC的三个内角42,C所对的边分别为a，Ac,则

下列条件能推导出△N3C一定为锐角三角形的是.

222

①/+62>°2；②咚1=学£=空£；（3）cosA+cosB-cosC=1;（4）tan+tan5+tanC>0.

567

【答案】②④

【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、正、余弦

定理判定三角形形状

【分析】利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理、余弦定理逐项判断即可求解.

2

【详解】对于①，若/+/>°2,由余弦定理可知cosC="一+"-'>0,

2ab

即角C为锐角，不能推出其他角均为锐角，故①错误；

对于②，因为嘤=嘤=*，则Sin/:sin8:sinc=5:6:7,

由正弦定理得。：6:。=5:6:7,设〃=5左，b=6k,c=lk,k>0,

可得。为最大边，。为三角形最大角,

25左2+36左2—49左21八

根据余弦定理得COSC=中「---------------=->0,

2ab2x5kx6k5

则C为锐角，可得△NBC一定是锐角三角形，故②正确;

对于③,因为（：052/+1：（«28-<：052。=1,

IjllJ1-sin2A+l-sin2B-(1-sin2C)=1,整理可得sin?A+sin2B=sin2C,

由正弦定理可得1+62=02,可得C为直角，故③错误；

对于④，因为由于tan(/+8)=£=_tanC,

1-tantanB

贝!JtanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC,

故tan4+tan5+tanC=tan4tan5tanC,

由于tanZ+tan5+tanC>0,故tan/tanBtanC〉0,

故A,B,C均为锐角，△48C为锐角三角形，故④正确.

故答案为：②④.

【变式1-1]（24-25高三上•四川绵阳•阶段练习）在△ABC中，角4B、C的对边分别是a、b、c,且

acosB+bcosA=b,则△NBC一定是（）

A.等腰三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.直角三角形

【答案】A

【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状、逆用和、差角的正弦公式化简、求

值

【分析】由题意根据正弦定理及和差公式可得sin(N+8)=sin3,由/+B+C—及诱导公式可得

sinC=sinS,结合及C为三角形的内角可得3=C,即可得结果.

【详解1acosB+bcosA=b,

由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA-smB,

则sin(4+B)=sinS,又N+B+C=TT,

可得sinC=sinB,

・•・g,c为三角形的内角，

:.B=C,

所以△/BC一定是等腰三角形.

故选：A.

【变式1-2](24-25高一上•上海•课后作业)在ZUBC中，c-acosB=(2a-b)cosA(0、b、c分别为角/、

B、C的对边)，则的形状为.

【答案】等腰或直角三角形

【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正、余弦定理判定三角形形状、正弦定理边角互化的应用

【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简推理即得.

【详解】在△48C中，c-acos8=(2a-b)cos/及正弦定理得sinC-siiL4cos8=2sirL4cos/-sin8cos/,

而sinC=sin(/+B)=sin/cos2+cosAsinB,则cos/siaS=2sirt4cos/-sinficoM,

jr

于是cos/(siriB-siiL4)=0,则cos/=0或sin8=siM,而4Be(0,7t),因此/=或8=/,

所以△/8C为等腰或直角三角形.

故答案为：等腰或直角三角形

【变式1-3](23-24高一下•河南三门峡■期中)己知△N2C中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,

hC

a=--——则ZU3C的形状是_______.

cosS+cosC

【答案】直角三角形

【知识点】正、余弦定理判定三角形形状

【分析】由正弦定理以及两角和的正弦公式整理可得cos/(sinC+sin5)=0,进一步有cos/=0,即可求

解.

b+c一/口.,sin8+sinC

【详解】由正弦定理以及。=——------,可得sin/=——----------,

cosB+cosCcosB+cosC

所以sin4cos8+sin4cosC=sin+sinC=sin(/+C)+sin(/+B)

=sinAcosC+cos/sinC+sinAcosB+cos/sin8,

化简可得：cos4(sinC+sin5)=0,

因为0<8<兀，0<。<兀，所以sinB>0,sinC>0,则cos/=0,

IT

因为0</<兀，所以/=万，则△N2C的形状是直角三角形；

故答案为：直角三角形

题型04三角形面积（定值）

【解题规律•提分快招】

Q)S=^absinC=^acsinB=gbcsinZ；

②S=g（a+b+c»（其中，。，4c是三角形4BC的各边长，r是三角形4BC的内切圆半径）；

【典例1-1]（24-25高三上•北京•阶段练习）在△4BC中，^B=60°,b=/7,a-c=2,则△4BC的面积为

（）

3A/33_3733

ArD.-

2244

【答案】C

【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形

【分析】利用余弦定理和三角形的面积公式来求得正确答案.

【详解】由余弦定理得6?=/+<?-2accos60。,/+c2-ac=l,

2

由a-c=2两边平方得/+c-2ac=4,

所以ac=3,所以=-ocsin5=—x3x—=.

△*BC2224

故选：C

TT2冗

【典例1-2]（24-25高二上・北京•期中）在△4BC中，AB=26,=，点。在边上，ZADC=—,

。=1,贝I]（1）AD=；（2）A/CD的面积为.

【答案】2V2好

2

【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用

【分析】（1）在中，应用正弦定理即可；（2）由％4c°=9/。*。、5也//。（7即可求得.

—7T2冗

【详解】解：（1）因为在△/5C中，AB=2A/3,/B=I,/ADC=,

TT

所以=

ABAD

于是在中，由正弦定理可知,

sinZADBsin/B

ABxsinZB

所以

sinZADB

2

^-xADxCDxsinZADC=-x242xlx—=—.

（2）SACD

2222

故答案为：2痣;乎

【变式1-1]（23-24高一下•北京•期中）在△ABC中，角/,B,。的对边分别是。,64,/3=4,/8=60°,点

。为边5c上的一点，AD=2^,CD=6,则A/CD的面积为（）

A.6A/3B.9eC.1473D.20百

【答案】A

【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形

【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出2。，再利用三角形面积公式计算即得.

（详解】在A4BD中，AB=4,NB=60°,AD=277,由余弦定理得AD2=BD2+AB2-2BD-ABcosB,

BP28=5£>2+16-25^x4x1,-4SD-12=0.而3。>0,解得3。=6,

2

1n

又8=6,显然。是8C中点，所以A/CZ）的面积SQ=S®=LX4X6XY1=6G.

AHCZJAABD22'

故选：A

【变式1-2]（23-24高一下•江苏常州•期中）在△4BC中，若BC=2,AC=yf2,A=45°,则△4BC的面

积为（）

A.叵B.也匚C.V3+1D.叵或叵tl

2222

【答案】A

【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形

【分析】先利用余弦定理求出再根据三角形的面积公式即可得解.

【详解】在沙台。中，若BC=2,AC=6,4=45。，

由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AC-ABCOSA,

即4=//+2一2/3，解得/2=e+1（/8=—6+1舍去），

所以SJBC=；/2./Csin/=；x（V^+l）x&x¥=^^.

故选：A.

【变式1-3］（24-25高三上•北京丰台•期中）在△4BC中，a=5,C=3,6=2C,则AABC的面积为.

【答案】5A/2

【知识点】三角形面积公式及其应用、二倍角的余弦公式、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形

【分析】应用正弦定理、倍角正弦公式得6=6cosC,再由余弦定理及倍角余弦公式求得cosC=逅，进而

3

得b=2a,且sinC=4^,最后应用三角形面积公式求面积.

3

b_c,结合题设有〈二

【详解】由—；-----------=----nb=6cosC,

sinBsinCsm2C2sinCcosCsinC

XZ>2=a2+c2-2accosfi=34-30cos2C,即36cos2c=34-30cos2C,

2

所以36cos20=64—60cos2Cncos2c=§,在三角形中3=2C,必有。为锐角,

所以cosC=,故6=2*>，且sinC=

33

故的面积为labsinC=-x5x2V6x—=572.

223

故答案为：5亚.

题型05三角形面积（最值或范围）

【解题规律•提分快招】

①S=；absinC=gacsin8=；3csinZ；

②S=g（a+b+c»（其中，。，仇c是三角形4BC的各边长，r是三角形48C的内切圆半径）；

③基本不等式

④正弦定理化角

27r

【典例1-1】（2024•江苏徐州•模拟预测）在△23C中，A=y,。为边2C上一点，若AD,AB,且

AD=1,则△/BC面积的最小值为（）

A.&B.正C.巫D.6

234

【答案】B

【知识点】三角形面积公式及其应用、条件等式求最值

【分析】利用等面积法建立仇。边的等量关系，再利用基本不等式求6c的最小值即可求解.

【详解】

A

如图，由己知月=不，AD.LAB,且4D=1,

"BC的面积S^ABC=；6csin/=gbcsin，^=~^-bc,

LCcc11,.71if1八

又S&ABC=S.ABD+S.ADC=~C+-^SIN-=-|C+N

_____8

贝！J有6be-2c+b>2y2bc=2y[2y[bc,角窣得beN],

当且仅当6=2c,即6=g石,c=gG时等号成立,

所以又处的最小值为

故选：B.

【典例1-2］（23-24高三下•浙江•阶段练习）在等边三角形N8C的三边上各取一点。，E,F,满足

DE=3,DF=26,NDEF=90°,则三角形/8C的面积的最大值是（）

713

A.7-\/3B.13A/3C.yV3D.—V3

【答案】A

【知识点】辅助角公式、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用

「2万、

【分析】首先求出所，设NBED=0,0&0,—,在4BDE、/XCEF分别利用正弦定理表示出BE、CE,

由BCuBE+CE,利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出8c的最大值，即可求出三角形面积最大值.

【详解】因为QE=3,DF=2拒,ZDEF=90°,所以EF=dDF?-DE?=5

~2万、

设/BED=0f6£0,1-,

A

D

则/2。£=二_8,ZCEF=--3,ZCFE=--（--e]=-+0,

32312J6

BE

BEDE=玉=2立

在中由正弦定理即sm

sinZBDEsin5

2

所以〃石=2gsinT-4

CE

CEEF

在△（?即中由正弦定理即sin

sinZCFEsinC

所以C£=2sin

所以8c=8石+（?£=2氐也降一（9）+25也仁+（9

6

—cos0-cos—sin0+2sin—cos0+cos—sin0

33I66

=2A/3sin+4cos0-2V7sin（8+0）（其中tan（p=,

所以8%=2"

则S./BC=：2C2sing=手8c2V手,仅5了=76’

即三角形/8C的面积的最大值是7VL

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题关键是用含。的式子表示出BE、CE,再利用三角恒等变换公式及辅助角公式

求出8c的最大值，进而求出三角形面积最大值.

【变式1-1］（24-25高三上・江苏扬州•阶段练习）在A/BC中，内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知

a=V3,（sin/-sinB）（6+a）=c（sin3+sinC）,则△4BC面积的最大值为（）

A.；B.；C.BD.叵

4242

【答案】C

【知识点】三角形面积公式及其应用、基本不等式求积的最大值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解

三角形

【分析】根据给定条件，利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求得cos/,根据基本不等式及三角形面

积公式求解面积的最大值.

【详解】在△451中,（sin4—sinB）（b+Q）=c（sin5+sinC）,

由正弦定理得（Q-b）（b+a）=c（b+。），BPa2=b2+c2+bc,

/,2,2_2-be_1

由余弦定理得cosA=

2bc2bc~~2

3=a2=b2+c2+bc>2bc+bc=3bc,当且仅当6=c=1时取等号，因此,

・•・△ABC面积S='besinZ=^-bc<，

244

二当b=c=l时，△45。的面积取得最大值3.

4

故选：C.

【变式1-2]（24-25高三上•广东东莞•阶段练习）在△Z5C中，sin2A+sin2B+smAsinB=sin2C,且45

边上的中线长为2,则△45。面积的最大值为.

【答案】4百

【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、基本不等式求积的

最大值

【分析】根据正弦定理以及余弦定理进行转化求出C=g,由题设函=；+区）两边同时平方计算，

再由基本不等式和三角形面积公式求解即可.

【详解】因sirz+sirB+siMsin5=sir^C,由正弦定理可得/+〃+仍=H,

^a2+b2-c2=-ab,所以cosC="-+4_c-又0<C（兀，

2ab2

所以C==,sinC=sin—=^,设48边上的中线为CO,

332

则函=；（M+而），则|①（=；（瓦+而y=；（/+〃一"）=4,

所以16=/+/一仍22a6-必="，当且仅当。=6=4时等号成立，

所以电诙心=j（也..sinC=4石.

故答案为：4月.

【变式1-3]（24-25高二上•湖南•期中）在△4BC中，AB=SAC,点、D在BC上,满足丽=2丽，

AD=6，/。=题》.则448。的面积为

【答案】于

【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形

【分析】设/C=5D=x,在△4BC中和△4DC中，分别用余弦定理表示出cosC,由等式解出x,面积公

式求△4BC的面积.

【详解】设NC=8D=x,则=CD=1X.

在△/5C中，c"C"c2/——

2xACxBC2xx3x2

/。。。一切

2+2x2+4x2-3_1

在△40。中,cosC=

2义ACxDC2xx2x2

解得炉=1,故x=l,

所以s=-xy4Cx5CxsinC=-x3xlx71-cos2C=—.

“4BC224

故答案为：—.

4

题型06三角形边长

【解题规律•提分快招】

定一（京厂定理

了真椀工行—&3万高二下:董庆涪陵面市5」在所市「函7二而。丁万厂二5厂万历加7函田:瓦~厕及座

n。长度的最大值为（）

A.3B.V3C.2D.72

【答案】B

【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、数量积的运算律、基本不等式求积的最大值

—►1—►—.

【分析】由余弦定理得至够2+02=4+左，再利用基本不等式得到税<4,然后由4O=w（Z5+ZC）求解.

【详解】由余弦定理得02=62+02一26℃054=62+°2一6°,即4=〃+。2一6。，即〃+°2=4+A，又

b2+c2>2bc,

:.4=b2+c2-bc>bc1BPZ）c<4,当且仅当6=。=2时等号成立.

■：AD=^（AB+AC）,

------►21---2------(-2-------------•,

/.AD=~(AB+AC+24&4C)

=；(<?+〃+2c档)=：仙2+/+be).

=—(4+Z)c+be)<—(4+8)=3

44

.•.画

故选：B

【典例1-2](23-24高一下•四川成都•期中)在△ABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,

Z^=45。，NC边的中线AD=0,贝壮的最大值是.

【答案】V5+1

【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、求含sinx（型）函数的值域和最值、

正弦定理边角互化的应用

【分析】设设/408=。，用正弦定理将边长全部用。表示，4D=2sin（135、4,

OC=/D=2sin（135°-0）,再用余弦定理，借助三角恒等变换，化为三角函数

=6+2«sin（2d+°）［tan0=；］,求最值即可.

【详解】如图,

设NADB=0,ZBDC=180°-0,则ZABD=180°-45°-8=135°-8

BD_AD亚=AD

NO=2sin(135°-6).

sinABAD~smZABD'sin45。sin(135°-6>)

由于NC边的中线2。，，OC=/O=2sin(135°-。)，

用余弦定理，知道/=3。2+-28。•DC•cosN8OC,

=2+4sin2(135°-6»)-4V2sin(135°-6»)cos(180°-6>)

=2+4sin2(45。+6)+4夜sin(45°+0)cos。

=4+2sin26+2(sin26+cos26+1)

=6+4sin28+2cos2。

=6+2A/5sin(2^+^),|tan^=—

，max=6+2技则amax=V5+1.

故答案为：V5+1.

【变式1-1]（2024•江苏连云港•模拟预测）在△4BC中，角N,B,C的对边分别为a,b,c,若a=l,

bcos/=l+cos8,则边6的取值范围为（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（0,2）D.（2,3）

【答案】B

【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互

化的应用

【分析】利用正弦定理边化角，再利用和差角的正弦推理得8=2/,又由正弦定理得b=2cos/,根据角/

的范围利用余弦函数性质求解值域即可求解.

【详解】由"=1,bcosA=l+cosB得,bcosA=a+acosB,

由正弦定理可得sin5cosZ=sin/+sin/cos5,即sinBcos^4-sin^4cosB=sin4,

所以sin（B-/）=sinN,所以8-4=/或+/=兀（舍去），所以8=24,

,十口»asinBsin2/八.

由正弦定理得,6=「~~7=2COS/,

smAsinA

TV

而0<4<兀,0<8=2/<兀，0<C=7i-3A<7if所以0<Z<一,

3

所以;<cos/<l,所以6=2cosNe（l,2）,所以6的取值范围为（1,2）.

故选：B

【变式1-2]（23-24高一下•浙江,期中）在△N8C中，角所对的边分别为。也c,已知a=c-l,

b=c+\,若△ABC为钝角三角形，则c的取值范围为（）

A.（2,4）B.（1,3）

C.（0,3）D.（3,4）

【答案】A

【知识点】解不含参数的一元二次不等式、求三角形中的边长或周长的最值或范围

【分析】根据三角形两边之和大于第三边和余弦定理，求解。的范围，判断选项.

【详解】由a=c—l,6=c+l,则人>c>a,

所以c+c—1〉c+1,故c>2,

由△45。为钝角三角形，贝lJcosB<0,

222

Rnc+（c-l）-（c+1）Zf=I.,,

即——-一T一\——-<0,得。2_4。<0,故0<c<4,

2c（c-l）

故。的取值范围为（2,4）,

故选：A

【变式1-3]（23-24高一下•天津河西•期中）在锐角△/BC中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,

TT

且。=3,A=y,则6的取值范围是（）

6

A.（0,6）B.（0,273）C.（73,273）D.（373,6）

【答案】D

【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用

【分析】利用正弦定理得到6=6sinB,再由三角形是锐角三角形求出8的范围，即可求出sinB的范围，从

而得解.