2025届扬州市某中学高三数学（上）期末模拟试卷（附答案解析）

2025届扬州市安宜中学高三数学（上）期末模拟试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.(5分)已知集合/={1,2,3,4,5},且()

A.{1,2,3,4}B.{x|x2>l}

C.{x\2x>\}D.{x|log2(x-2)<2}

2.（5分）已知复数2=（1+z）•（q+i）（oER），则“Q>0”是“复数z的实部大于0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.（5分）在（2x2」）6的展开式常数项是（）

x

A.-15B.15C.-60D.60

4.（5分）设之，石均为非零向量，且G+E）,|E|=2|Z|，贝W与E的夹角为（）

A.—B.—C.—D.”

6433

5.（5分）过点尸（-1,1）的直线/与圆C：/+俨+公-1=0交于5两点，贝1]|/目的最小值为（）

7.（5分）已知直线/经过抛物线C：/=4x的焦点，且与抛物线交于/,8两点加=示+而成立的点

尸的横坐标为3,则四边形0/P8的面积为（）

A.2A/5B.375C.475D.55/5

8.（5分）已知函数/（x）=cos3x-cos2x,xE（0,n）（x）有两个零点xi,xi（xi〈X2）,贝U（）

JT

A.C{x，x2）B・%2=3XI

r1n1

Jcosxj+cosx2=~2~cosxlCOSX2=^4~

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要

求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，错选得0分.

（多选）9.（6分）已知等差数列｛斯｝的前〃项和为S“，且&=50,57=35,则（)

A.数列｛22“｝为等比数列B.S9=20

C.当且仅当〃=4时，S,取得最大值D.s—S1—S+…S2暨IL

123n4

C.样本数据/的第60百分位数为8D.各组数据的残差和为0

（多选）11.（6分）如图，在棱长为1的正四面体A8CO中，点。是顶点/在底面BCD内的射影,

贝IJ（）

A.BMLCMB.BMLAD

C.点。到平面的距离为亚D.三棱锥BCD的外接球的表面积为国三

22

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

22

12.（5分）已知直线y=2x是双曲线C：2__q=i（b>0）的一条渐近线，则双曲线C的离心率

4b2

为.

13.（5分）某流水线上生产的一批零件，其规格指标X可以看作一个随机变量，且X〜N（98,。2）,

对于X2100的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为0.05,用y用表示400个零件的规格指标

X位于区间（96,100）的个数.

14.（5分）已知函数f（x）=x3-3x2+ax-1的两个极值点为xi,xi,且/（»）+f（X2）三-4,则实数

a的取值范围为.

2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在△4BC中，角/,B,。所对的边分别为a,b,c滔殳且a=2a,c>a>b.

bca

(1)求6c的值；(2)若△48C的面积S=VV，求6，c的值.

16.已知数列｛斯｝的前n项和S〃满足2Sn+an-1=0.

(1)求｛斯｝的通项公式；(2)设6"=log27。”求数列｛---｝的前"项和T”.

^n^rri-l

17.如图，在三棱锥P-NBC中，底面△A8C是边长为2的正三角形

(1)求证：PB±AC；

(2)若平面为C,平面48。，在线段尸2(包含端点)上是否存在一点E,若存在，求出PE的长,

18.小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为/类题和2类题，小张需要通过“抽小球”的

方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地、大小一样的5个球，另外2个标有字母瓦小

张从中任取3个小球，则答/类题，否则答3类题.

(I)设小张抽到/球的个数为X,求X的分布列及£(X).

(II)已知/类题里有4道论述题和1道计算题，2类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题

目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答.

(力求小张回答论述题的概率；

(H)若已知小张回答的是论述题，求小张回答的是N类题的概率.

19.已知椭圆£：/+4=1(。>6>0)的离心率为晅(2,1),点2与点/关于原点对称，过点尸

2,22

ab乙

(1,-2),N两点(异于4点)，设直线4M与BN的斜率分别为左1，fo.

(1)若直线/的斜率为-工，求的面积；

2

(2)求人色-2依的值.

3

参考答案与试题解析

题号12345678

答案CBDDACAD

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.(5分)已知集合/={1,2,3,4,5},且()

A.{1,2,3,4}B.{x|x2>l}

x

C.{x|2>l}D.{x|log2(x-2)<2}

【分析】由并集的结果得出/三3,因此确定各选项中的集合后，根据集合包含关系选择.

【解答】解：因为所以

/={1,2,4,4,5},

对于4集合{3,2,3；

对于2,集合为-1或x>6},也不合题意，

对于C,集合为任|2，>1=5。}="卜>0},满足题意，

对于。，集合为{x|7<x-2<4}={x|7<x<6}.

故选：C.

【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题.

2.(5分)已知复数2=(1+z)•(tz+z)(a£R),则“a>0”是“复数z的实部大于0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】先求出z的实部大于0的充要条件，再结合集合关系进行判断即可.

【解答】解：因为z=(1+z)(a+i)—(a-1)+(2+a)i,

若其实部大于0,则易知(1,+8),

则a>0是a>6的必要不充分条件，则“a>0”是“复数z的实部大于0”的必要不充分条件.

故选：B.

【点评】本题主要考查充分必要条件的判断，属于基础题.

3.(5分)在(2乂2」)6的展开式常数项是()

X

A.-15B.15C.-60D.60

【分析】利用二项展开式的通项公式求得第什1项，令x的指数为0得常数项.

4

Qbq_1r

【解答】解：（2x2-亘）的展开式的通项为T4=点（2乂2）r（」）冲"/婢⑶

令12-2r=0得，=4

故展开式的常数项为72=4066=60

故选：D.

【点评】二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具.

4.（5分）设之，石均为非零向量，且C+E）,mI=2GI，则之与E的夹角为（）

A.—B.—C.—D.”

6433

【分析】利用平面向量垂直的条件结合数量积的定义求解夹角即可.

【解答】解：设；与E的夹角为仇

因为a_L（a+b），所以a，（a+b）=O，

所以丁+。羡2,即；兀=二2,

T—-♦4

因为Ib|=2Ia|>所以cos6=-?=~~,6=~'o~,

la||b|2|a|22

因为OWeWm所以之与展善■.

故选：D.

【点评】本题考查平面向量垂直的应用，平面向量夹角的求法，属于基础题.

5.（5分）过点尸（-1,1）的直线/与圆C：/+产+叙-1=0交于4,3两点，则磔目的最小值为（）

A.2aB.V75C.弧D.2

【分析】由题意得圆的圆心C（-2,0）,半径r/，设圆心C到直线/的距离为小则

IAB|=2Vr2-d2=zjs-d2,当尸时即可求解•

【解答】解：圆C的标准方程为（x+2）2+*=5,圆心C（-2,半径r=V§，

226）

设圆心C到直线I的距离为d,则1ABi=27r-d=2V5-d

当d最大时，|/引最小|PC|八历，

故48|的最小值为4门.

故选：A.

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.

5

【分析】利用奇偶性可排除3D,再结合/(2)<0可排除/.

【解答】解：函数/(x)=£zLcosx,

X,

e+11

因为/(-X)=—~~—cos(-X)=ecosx=-f(x),

e~x+l3+ex

所以/(x)为奇函数，图象关于原点对称，

2Q

取x=2,得/(2)=旦二排除/.

e2+1

故选：C.

【点评】本题主要考查了函数图象的判断，考查了函数的奇偶性，属于基础题.

7.(5分)已知直线/经过抛物线C：/=4x的焦点，且与抛物线交于/,8两点加=示+而成立的点

P的横坐标为3,则四边形O4PB的面积为()

A.2V5B.375C.475D.5A/5

【分析】由抛物线的性质，结合直线与抛物线的位置关系及三角形的面积公式求解.

【解答】解：已知直线/经过抛物线C：产=心的焦点，且与抛物线交于

则尸(4,0),

又使得OP=OA+OB成立的点P的横坐标为3,

则直线的斜率显然存在，

不妨设直线48的方程为歹=左(x-8),k力0,

宣辛-jfy=k(x-i)

联立‘Q，

ly8=4x

消》可得：k2x2-(2左2+6)x+k2=0,

6

则x/x/4k2+4,

XAXB.2

k

又而=0A+而成立的点尸的横坐标为3,

则2,

即左2=4,

即x6-3x+l=4,

则IXA-XB।=V(XA+XB)2-4XAXB=F，

则IVATBI=2IxA-xB|=2\曰

则四边形。APB的面积为2X^X|OF|X|y&-yB尸

故选：A.

【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系及三角形的面积公式，属中

档题.

8.(5分)已知函数/(%)=cos3x-cos2x,xE(0,n)(x)有两个零点xi,X2(%i〈X2),贝！J()

兀11

B,=D=_

A.-y{X［，X2)X2=3XIC.COSX|+COSX2^-,COSX^COSX2^

【分析】根据给定条件，利用函数零点的定义，结合余弦函数的性质求出修，X2,再逐项计算判断即

得.

【解答】解：因为函数/(x)=cos3x-cos2x,

由/(%)=8,得cos3x=cos2x,n),3n),3n),n),

因止匕3x+6x=2kn,左EN,

BP5x=5kuf左EN,

解得X鼻L，k€N«

5

由xE(8,71),

于是勺胃_4兀

*2-丁

对于4£(xi，x}J4错误;

D4

对于5,X2=2X4，5错误;

7

8兀

对于C，cos~^~~+cos=cus--cos匚<S。错误；

Dc75

2九4冗—52兀2兀6兀

对于D‘cosxcosx2-cos

76c0『°.2兀d53535

2smg

c.3兀4兀.8兀.52Lx.3K

2sin1,cosSUIsin(兀+匚)-sin

br8bco

,.37T：.2兀一N'Q正确.

2兀一r.2几

4sinbsm54sinu4sliic

256

故选：D.

【点评】本题余弦函数的性质，以及零点的意义，属于中档题.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要

求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，错选得0分.

（多选）9.（6分）已知等差数列｛斯｝的前〃项和为S”且*=50,$7=35,贝IJ（）

A.数列｛2、｝为等比数列B.S9=20

SSS2

C.当且仅当〃=4时，S,取得最大值D.S,——…3~二9匚'迈

123n4

【分析】根据给定条件，求出数列｛。“｝的通项公式及前〃项和，再逐项分析、计算即得.

【解答】解：等差数列｛。“｝的前〃项和为S”且&=50,&=35,

等差数列｛以｝中，s7=----~~—=5a4=50）解得。3=10，

5(a<+a•?)

S7=——\~—=7a4=35>解得。8=5,

，等差数列｛斯｝的公差d=a4-44=-5,斯=6+（〃-6）d=-5几+25,

前"项和S”皿组产1=《n（n-2），

对于/,显然2，1>4,^-=2^~^=5d^

a

乙士7n32

，数列｛2a”｝是等比数列；

对于8,$6=0，故3错误；

对于C,等差数列｛。“｝单调递减，前4项均为正数，从第4项起都为负数,

...当〃=4或〃=5时，S,取得最大值，

8

...当且仅当〃=2时，S,取得最大值，不正确;

对于D,&=_殳n弯，数列{—}>

n22n

云2三十…三=3遭L电*,故〃正确.

bl73n72

故选：AD.

【点评】本题考查等差数列前〃项和、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

若P与%满足一元线性回归模型，且经验回归方程为产I.25X+4.25,则()

A.y与x正相关B.m=7

C.样本数据》的第60百分位数为8D.各组数据的残差和为0

【分析】结合线性回归方程的性质，百分数的定义，残差的定义，即可求解.

【解答】解：经验回归方程为y二］25x+425，7.25>0,

则》与工正相关，故4正确；

——97

x=3，yj(5+m+4+9+10.5))(m+32.5)，

bb

(x,y)在y=5.25x+4.25上，J(m+32.5)=3X7.25+4.25，解得加=7.8；

5X60%=3,第60百分位数为工坦；

2

3-(1.25+4.25)+8.5-(1.25X5+4.25)+0+7-(1.25X4+6.25)+10.5-(1.25X3+4.25)=0,故。

正确.

故选：AD.

【点评】本题主要考查线性回归方程的应用，属于基础题.

(多选)11.(6分)如图，在棱长为1的正四面体N3CD中，点。是顶点N在底面BCD内的射影，

贝IJ()

9

A.BMLCMB.BMLAD

C.点。到平面2cM的距离为1D.三棱锥M-BCD的外接球的表面积为3三

22

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法判断位置关系判断选项45先求出平面的法向量,

然后利用点到平面的向量距离公式求解判断C；利用勾股定理建立方程，求出凡即可求出三棱锥M

-BCD外接球的表面积判断D.

【解答】解：如下图所示:

易知/0_L平面3CD,且。为△BCD的中心,

11A/7

所以B0=——%•=■^-=4^,又BOLCD,

2sin4V33

o

又N0L80,所以AO=VAB2-BC|6=

以点。为坐标原点，庆、而、示的方向分别为x、y,建系，

则O、、昼，、

（0,0,8）B（0,0）c4）D（4,0)、A(2,0,

No0Z0

M（0,0,平~）,

对于"诬=（0,零,隼）,«=（4'平,等

2

所以铺后=0坐噜+噜）

=7，所以B"_LCN；

对于BM=（0,鲁警茄=（春得,粤），

所以BM•AD■声0，所以5ATL/。不成立；

6

对于C,市=（5,与，乎），曰=（一，率，隼），

设平面BCM的法向量为

*

n=(x,y,z>

io

辰三|

所以点D到平面BCM的距离为V7V2，所以。选项正确;

n3+1+22

对于。，因为A0冬,设三棱锥BCD外接球的半径为R,

哼产+半产，解得野,

则根据球的截面性质得R2=(RR

所以三棱锥/-BCD外接球的表面积为4兀R2弓二，所以。选项正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查立体几何的综合应用，正四面体的性质，属中档题.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.(5分)已知直线y=2x是双曲线C：g-4=i(b>0)的一条渐近线，则双曲线C的离心率为

4b”

V5_.

【分析】根据给定条件，求出6值，进而求出离心率即可.

【解答】解：•••直线y=2x是双曲线C：安当5(b>0)的一条渐近线，•。二3,

2b’2

因此双曲线方程为/-/_1，.♦.双曲线x"_y"_[e=

4161716iea2

故答案为：Vs-

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题.

13.(5分)某流水线上生产的一批零件，其规格指标X可以看作一个随机变量，且X〜N(98,。2),

对于X2100的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为0.05,用y用表示400个零件的规格指标

X位于区间(96,100)的个数36.

【分析】由题可得质量指标在区间(96,100)的概率，后由二项分布的方差可得答案.

【解答】解：X〜N(98,。2),对于XN100的零件即为不合格，

则由正态分布的性质得质量指标在区间(96,100)的概率为1-8X0.05=0.7,

即1件产品的质量指标位于区间(96,100)的概率为0.4,0,9),

故。(K)=400X3.9X0.8=36.

11

故答案为：36.

【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题.

14.(5分)已知函数/'(x)=x3-3/+ax-1的两个极值点为xi,xi,且/(为)4/(刈)N-4,则实数

a的取值范围为「1,3).

【分析】由题意可知，XI,X2为方程，(X)=0的两根，列出韦达定理，将不等式/(XI)+/(X2)

2-4变形为关于实数a的不等式，即可解得实数a的最小值.

【解答】解：函数/(x)的定义域为R,f(x)=3x2-5x+a,

:函数/(x)有两个极值点xi,刈，△=36-12a>2,可得a<3,

由题意可知，xi,X6为方程3x2-2x+a=0的两根，

由韦达定理可得x]+x8=2,xjx

7O

A

f(xj)+f(x7)=(X1+X4)-3(xg+x^)+a(xj+x2)-6

225

=(x1+x2)(Xg-x1x5+x2)-6[(x1+x2)-2x1x5]+a(x1+x2)-8

+2_7

=(x1+x2)[(X5X2)8x1x2]-3[(Xj+x2)-2x1x4]+a(x1+x2)-7

=2(4-a)-4(4-^-)+2a-2=7a-6>-^

o

解得。23,，lWa<3,

即实数。的取值范围为[4,3).

故答案为：[1,4).

【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

cosC

15.在△N8C中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c£°gL+J-,且a=2&,c>a>b.

bca

(1)求A的值；

(2)若△NBC的面积S=J7，求6，c的值.

【分析】(1)利用已知条件结合余弦定理化简可得命=层，由此得解；

(2)根据面积可得siir4,进而求得coM的值，再由余弦定理可得6+c=6,结合6c=8,即可得出答

案.

【解答】解：(1)由题意，结合余弦定理得，自上二+a-c工

2abc2abca

12

则bc=a2=S；

Q厂

(2)S=^_bcsinA=4sinA=v7»

解得sinA=^~，

又,：c>a>b,

「•力为锐角，即cosA二*■，

4

・人b2+c8-a2(b+c)4-3bc(b+c)4-243

,,cosA=2U=-2b^—=~~16--7

6+。=4,

又bc=8,c>a>b,

**•Z)=2,c=8.

【点评】本题考查正余弦定理在解三角形中的运用，考查三角形的面积，考查转化思想及运算求解能

力，属于中档题.

16.已知数列｛斯｝的前几项和a满足2&+斯-1=0.

(1)求｛0"｝的通项公式；

(2)设b“=log27。”，求数列｛_--｝的前n项和T„.

【分析】⑴2a“+i=2S“+i-2&=(1-a“+i)-(1-a“)今an+i^an，即可求解;

(2)利用裂项法求和即可.

【解答】解：(1)V2S+a-1=5,

・・，〃〃一(一斯=

a«——62q+i—8s+1—2S”8+1)-n+3—3an'

...数列｛前｝是以3为首项,寺,

(2).1bDn=1xou£s2m7aan3

..6_9A_7.

bnbn4,|n(n+3)nn+1

Tn=9(144444+-去)=4(1-*)=鬻.

【点评】本题考查了等比数列的定义和通项公式，裂项法求和，属于中档题.

13

17.如图，在三棱锥尸-/8C中，底面△N3C是边长为2的正三角形

(1)求证：PBLAC；

(2)若平面我平面/8C,在线段P8(包含端点)上是否存在一点£,若存在，求出尸£的长，

请说明理由.

P

B

【分析】(1)利用OB_L/C,OPLAC,得出NC_L平面OP8,进而得出P3L4C；

(2)以点。为原点，建立空间直角坐标系，得出平面为3的法向量以及平面NCE的法向量，由平

面R18_L平面NCE,得出m・nHO+5_1-\----=0，求得X=—>即可.

入-16

【解答】解：(1)取NC的中点。，连接OP,

因为△/BC是边长为2的正三角形，所以03L/C,所以OPL/C,

又OBCOP=O,OB,所以NC_L平面OP8,

又PBu平面OPB,所以PB1AC；

(2)由(1)MOPLAC,OBLAC,

所以OP_L平面/2C,

以点。为原点，建立空间直角坐标系，

则/(1,4,0),P(0,8,V15),0,0),B(6,百，0),

设PE=^PB(6(人<1)，则诬=(0,V2,-715),PE=(0,在人，V15入>

设平面以3的法向量为'=(x,y,z)，

一Lfn-PB=V8y-V15z=0Kt7_.-「

AB=(-3,V3,0>则有/一,取m=(任，辰,1>

Ln*AB=-x+V3y=6

设平面/CE的法向量为W=(x,y,z>AE=AP+PE=(-5,愿入，V15-^/15X)-

则有阵

Ln•AE=-X+A/3为y+(V15-V15入)z=0

所以n=(3,V5,一1\)，

N-1

14

若平面以3,平面/C£,则=6+5+}=4,求得入至，

所以

0

【点评】本题考查空间向量的应用，属于中档题.

18.小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为/类题和2类题，小张需要通过“抽小球”的

方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地、大小一样的5个球，另外2个标有字母瓦小

张从中任取3个小球，则答/类题，否则答3类题.

(I)设小张抽到/球的个数为X,求X的分布列及£(X).

(II)已知/类题里有4道论述题和1道计算题，2类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题

目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答.

(力求小张回答论述题的概率；

(,?)若已知小张回答的是论述题，求小张回答的是N类题的概率.

【分析】(I)分析X可取的值，进而求出对应的概率，可得分布列，进而计算可得X的期望，即可

得答案；

(II)(/)记事件/="小张回答/类题”,B="小张回答3类题"，C="小张回答论述题”，

由全概率公式计算可得答案；

(万)由贝叶斯公式计算可得答案.

【解答】解：(I)根据题意，X可取的值为1、2、8,

故X的分布列为：

X123

15

;P321

To5To

E(X)=1X-Z-+2XA_L=^

102106

(II)(力记事件/="小张回答/类题"，B="小张回答3类题”，

则尸(/)=P(X=2)+P(X=3)=上，P(B)=\-P(A)=◎,

1010

P(C|N)=菅，P(C|5)=.|-,

则尸(C)=P(A)P(CU)+P(8)P(CIS)=匹乂且+旦＞＜工

51051050

(拓)P(AC)=P⑺P(C|/)4x4=28

?1050,

故…。二霏嚼

【点评】本题考查随机变量的分布列，涉及条件概率、全概率公式的应用，属于中档题.

19.已知椭圆E：/+二=1（。>6>0）的离心率为1•（2,1）,点2与点N关于原点对称，过点尸

2,22

ab乙

（1,-2）,N两点（异于4点），设直线4M与5N的斜率分别为加fo.

（1）若直线/的斜率为-工，求△/W的面积；

2

（2）求后而-2依的值.

【分析】（1）由题意，根据题目所给信息和a,b,c之间的关系，列出等式求出椭圆E的方程，得

到直线MN的方程，设出M,N两点的坐标，将直线MN的方程与椭圆£的方程联立，利用韦达定理、

弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式进行求解即可；

（2）对直线/的斜率是否存在进行讨论，当直线/的斜率存在时，设出直线/的方程和M,N两点的

坐标，将直线1的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到x+XD=4K+8k,2k+8k+2；

2k2+12k2+1

再代入kxki-2心中进行求解即可.

【解答】解：（1）因为椭圆£的离心率为近，

2

所以十任当缗

整理得/=4左，①

因为点/（2,3）在椭圆E上，

16

a」

所以=5,②

2b4b2

联立①②，

解得层=6,讨=3,

22

则椭圆E的方程为J工_=2,

33

因为点B与点A关于原点对称,

所以2(-2,-1),

此时直线VN的方程为y=-±(x-1)-6=-——,

222

不妨设M(xi,yz)，N(X2,方)，