2025年北京高考数学复习热点题型专练：直线与圆、圆与圆的位置关系（10类题型全归纳）（原卷版）

热点题型•选填题攻略

专题09直线与圆、圆与圆的位置关系

o------------题型归纳•定方向-----------*>

目录

题型01两条直线的平行与垂直关系..............................................................1

题型02点到直线距离公式应用...................................................................2

题型03圆的方程................................................................................3

题型04圆上点到定点（定直线）距离最值问题....................................................4

题型05直线与圆的位置关系.....................................................................5

题型06圆的切线................................................................................6

题型07圆的弦长...............................................................................7

题型08相交圆的公共弦长.......................................................................7

题型09两圆的公共弦方程.......................................................................8

题型10圆的公切线问题.........................................................................8

♦>-----------题型探析,明规律-----------O

题型01两条直线的平行与垂直关系

【解题规律•提分快招】

直线方程

4:A{x+B1y+G=0与4：A2X+B2y+C2=0

A_BG

------------声------

A2B2C2

k1/2AXA2+B]B?=0

【典例1-1】（2024•河南郑州•模拟预测）已知直线4：X+即+1=0与直线4：X+（1—-3=0,贝V机e{1,-2］"

是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【典例1-2］（23-24高二上•江苏南京•开学考试）已知直线4：如+>+3=0和直线"：

3mx+（m-2）y+m-0,则“加=5"是"《〃4"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【变式1-1］（2024•陕西榆林•模拟预测）已知直线《：2x+ay+\=0,l2：bx+y-2=0（a,beR,ab^0）,

若"“=仍"是的充要条件，贝（）

A.-1B.-2C.1D.2

【变式1-2］（23-24高二上咛夏银川•期中）".=2"是"直线入2ax+4j，+3=0与直线4：x-（a-l）j.-5=0

垂直”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

题型02点到直线距离公式应用

【解题规律•提分快招】

一看到直线的局部式-一一一

、7IAx.+By.+CI

平面上任意一点片（为,Jo）到直线/：Ax+By+C=o的距离d=J~

7A-+B

【典例1-1］（2024•北京门头沟•一模）在平面直角坐标系中，记d为点尸（cos&sin。）到直线

kx-y-3k+4=Q的距离，则当0,左变化时，d的最大值与最小值之差为（）

A.2B.3C.4D.6

【典例1-2］（23-24高三下•北京・开学考试）已知点。（0,0）,点尸满足1尸。1=1,则点尸到直线少-2=0的

距离的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

【变式1-1］（23-24高二上•福建三明•期末）已知，（TO）,5（1,0）,若直线y=-3）上存在点尸使得

乙4PB=90°,则实数左的取值范围为（）

[6]

D.—00.-----------U——,+00

414J

77

【变式1-2](24-25高二上・北京•阶段练习)设直线/：3x-4y+加=0,圆C:(x-2)?+/=8,若在直线/上

存在一点使得过M的圆C的切线〃尸,(尸,。为切点)满足/尸〃。=90。，则加的取值范围是

()

A.[-18,6]B.[-16,4]C.[-26,14]D.[-6,14]

【变式1-3](23-24高二上・北京平谷・期末)圆心为(-1,3),且与直线x-y+2=0相切的圆的半径为()

A.42B.2C.8D.25/2

题型03圆的方程

【解题规律•提分快招】

i「囱的底箭相|

我们把方程(x-。)2+3-6)2=r2称为圆心为Z(a,b)半径为r的圆的标准方程.

2、圆的一般式方程1

对于方程/+/+以+砂+b=0(D,E,F为常数),当。2+£2-4尸〉o时，方程/+/+瓜+为+

叫做圆的一般方程.：

①当02+£2—4尸〉0时，方程表示以1^厂!)为圆心，以;&>?+炉-41为半径的圆;[

2

②当£)2+£2—4/7=0时，方程表示一个点]一5,-111

③当。2+£2-4/<0时，方程不表示任何图形

说明：圆的一般式方程特点：①/和产前系数相等(注意相等，不一定要是1)且不为0；②没有9项；|

③。2+£2_4尸〉(J.

彳质悯工1172412一5一高三工五直施艾丽市了氤61铲；6二记匾买手看瓯:iW款而面的药建良一

A.(x+l)2+y2=1B.(x-3)2+(y-l)2=1

C.Y+(y-l)2=1D.(x+l)2+(y-3)2=1

2

【典例1-2](2024•北京海淀•二模)已知双曲线C:3-/=1,则。的离心率为；以C的一个焦

点为圆心，且与双曲线C的渐近线相切的圆的方程为.(写出一个即可)

【变式1-1](2024•北京西城•二模)已知圆C经过点(-1,0)和(3,0),且与直线丁=2相切，则圆C的方程

为.

【变式1-2](23-24高二上•北京•期末)己知点8(2,0)和点C(2,4),直角ZUBC以2c为斜边，求直角顶点

A的轨迹方程.

【变式闻⑵3高二上・北京东城・期中）设P为椭圆C：1+/l上一动点，片，耳分别为左、右焦

点，延长耳尸至点。，使得叫|,则动点。的轨迹方程为.

题型04圆上点到定点（定直线）距离最值问题

【解题规律•提分快招】

工一面王的点函应点的最天「最不函高…-一

设。Z的方程（x—。）2+3-5）2=/,圆心Z（a,A）,点M是。N上的动点，点P为平面内一点；记

d=\PA\；

①若点尸在ON外，则|PM|max=d+r-\PM|min=d-r

②若点尸在ON上，贝小夫初鼠=2r-,\PMk=0

③若点尸在。Z内，则IPM|max=d+r-\PM|min=r-t7

2、圆上点到直线的最大（小）距离

设圆心到直线的距离为d,圆的半径为外；

①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：d+r,最小距离为：d-r；：

②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：2厂，最小距离为：0；:

③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：d+r,最小距离为：0；：

mi1-11（2023.北京第山.一罐）五△4BC市，ZC=9Q°,AC=BC=42,尸名△N8C所无平面曲的动后,

且尸C=l,则国+网的最大值为（）

A.16B.10C.8D.4

【典例1-2]（23-24高二上•北京西城•期末）已知直线/：X=叼-2,P为圆C:/+y2-4x=0上一动点，

则点P到直线/的距离的最大值为（）

A.3B.4C.5D.6

【变式1-1]（2024•北京平谷•模拟预测）设点”（1,0）,动直线/：x+ay+2a-l=0,作/M_L/于点则

点M到坐标原点。距离的最小值为（）

A.1B.72+1c.V2-1D.V3

【变式1-2］（2023•北京昌平•二模）已知点尸在直线底-k10=0上，点。（2cos6,2sine）®eR）,则|尸0|

的最小值为（）

A.1B.3C.5D.7

【变式1-3］（24-25高三上•北京•阶段练习）已知5（1,0）,若点尸满足尸必，则点尸到直线

/:〃z（x-A/5）+“（y-1）=0的距禺的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

题型05直线与圆的位置关系

【解题规律•提分快招】

图

象

位相交相切/相离

置

关

系

判C:(x-(z)2+(j-Z))2=r2；C:(x-a)2+(j-Z))2=r2；C:(x-aY+(y-bY=r2；

定/:+为+C=0。I:AxBy-\-C=QoI:Ax+By-\-C=0o

方圆心。伍力）到直线/的距圆心C伍力）到直线/的距圆心CQA）到直线/的距

法、.a\Aa+Bb+C\、.a\Aa+Bb+C\、.A\Aa+Bb+C\

i0i[T+B-

d<Y=圆与直线相交。d=rn圆与直线相切。d〉rn圆与直线相离。

【典例1-1】（2024•北京海淀•三模）已知直线/：h-了+1-左=0和圆。。:/+/=产&>0）,则”=行”是

"存在唯一人使得直线/与。。相切”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【典例1-2】（2024•北京朝阳•二模）若直线>=左（》+2）-1与曲线了=忘?有两个不同的交点，则实数上

的一个取值为.

【变式1-1］（2024•北京大兴三模）已知直线/h=辰+1与圆C:（x+1）2+必=/6>0）,则"VAwR,直线

/与圆。有公共点"是"厂>行”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式1-2］（24-25高二上・北京•阶段练习）若圆（x-『+y2=ig>0）与直线y=只有一个公共点，

则。的值为（）

A.1B.6C.2D.2A/3

【变式1-3］（24-25高二上•北京,期中）直线瓜-y+4=0与圆/+（y_了=1的位置关系是.

题型06圆的切线

【解题规律•提分快招】

11汪向壬二石柞扬磋厂莉雨向不后切旅的连场朝茯1直薪除「司柞二豕而函

2、过圆外一点作切线：利用圆心到直线的距离等于半径，可作两条切线

3、切线长问题：飞PC2T2

【典例1-1】（2023,北京通州三模）过直线产x上的一点尸作圆（x-5y+（尸仔=2的两条切线4，切

点分别为48,当直线乙，4关于了=》对称时，线段力的长为（）

A.4B.2亚C.V6D.2

【典例1-2］（2023・北京•模拟预测）经过点（1,0）且与圆苫2+/-4》-2了+3=0相切的直线方程为.

【变式1-1］（2023•北京东城•二模）已知点M（1,G）在圆C:x2+/=加上，过加■作圆C的切线/,贝旷的倾

斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【变式1-2］（2023•北京门头沟•一模）若点〃是圆。:尤2+/-4%=0上的任一点，直线/:x+y+2=0与x

轴、丁轴分别相交于A、8两点，则/M42的最小值为（）

兀加7171

A.—B.-C.—D.一

12436

【变式1-3］（2022•北京朝阳•二模）过点（1,2）作圆/+V=5的切线，则切线方程为（）

A.x=1B.3x—4y+5=0C.x+2）—5=0D.x=l或x+2>—5=0

题型07圆的弦长

【解题规律•提分快招】

⑴AB=2^S-d2

（2）代数法

直线/：Ax+By+C=0；圆Mf+72+9+4+尸=0

Ax+Bv+C=0

联立22八消去”得到关于“X”的一元二次函数"2+Zzx+C=0

x2+y2+Dx+Ey+F=Q

弦长公式：AB=J1+左2•J（X］+》2）2—4》册2

【典例1-1］（2024•北京朝阳•一模）已知直线x—岳+6=0和圆一+/=/小>0）相交于4,8两点.若

|/却=6,则r=（）

A.2B.273C.4D.372

【典例1-2】（2024•北京海淀•一模）已知。C:（X-1）2+J?=3,线段N8是过点（2,1）的弦，则|/回的最小值

为.

【变式1-1］（2023•北京房山•一模）已知直线V+l="（x-2）与圆（x-iy+（y_l）2=9相交于必N两点.则|〃7V|

的最小值为（）

A.V5B.2#>C.4D.6

【变式1-2］（2024•北京•三模）已知双曲线C:-=i.则C的离心率是；若C的一条渐近线与

4

圆。:（x-l）2+/=l交于A,8两点，则|四=.

【变式1-3］（2024•北京西城三模）若直线区7+左=0与OU（x-l）2+y=4交于A,8两点，贝以48。面

积的最大值为，写出满足"△/8C面积最大"的左的一个值______.

题型08相交圆的公共弦长

【解题规律•提分快招】

工一面写面的公荚教

圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.

iii1-1］（2023.重庆.三澳）近1理工+尸1=6王彳壬一百尸柞蔽尸/,依营||/+/一2》=0相访，

A,B为切点、,则H目的最小值为.

【典例1-2］（2024•天津河北•二模）圆G:-2x—6〉一1=0和圆。2：/+/-1Ox-12〉+45=0的公共

弦的长为.

【变式1-1]（2023•湖南邵阳•一模）已知圆/+/+2苫一4>-5=0与圆/+/+2苫-1=0相交于48两点,

则公共弦所在的直线方程为,|/4=.

【变式1-2]（23-24高二上・河南•期中）圆G：x2+V+2x-12=0与圆C2：x2+必+4x-4y=0的交点为，，

B,则弦的长为.

【变式1-3]（2024,山东威海•三模）圆工2+/+4无=0与圆龙2+/+4、=0的公共弦长为.

题型09两圆的公共弦方程

【解题规律•提分快招】

公共我所在直磅的疗程i

设OG：（X—%）2+（yW）2=q21

OC,2:（X-g）2+（JV_b?）2=y；i

联立作差得到：4%+与+。=0即为两圆共线方程

【典例1-1】（2024•河北•模拟预测）已知M是圆O:/+/=/缶>o）上的动点,点N满足

而？=3X0（4>0）,记点N的轨迹为C,若圆。与轨迹。的公共弦方程为2x+y-5=0,贝IJ（）

A.Q=4"=lB.a==1

C.=4,zl=—D.a==—

22

【典例1-2】（2023•全国•模拟预测）若圆£:/+必一以+2》=0与圆。2：工2+必-8x+10y+16=0交于尸，Q

两点，则直线P。的方程为.

【变式1-1]（2023,全国•模拟预测）已知圆C：（x+iy+（j+2）2=2,点N（l,0）,若直线//,/N分别切圆C

于两点，则直线龙W的方程为（）

A.x+y-4=0B.x+y+2=0C.x-y-4=0D.x-y+2=0

【变式1-2]（23-24高二上•北京西城・期中）已知两圆G：/+/+2》+3>+1=0和C2：x2+/+4x+3y+2=0

相交，则圆£与圆G的公共弦所在直线的方程为.

题型10圆的公切线问题

【解题规律•提分快招】

一两面，卜高丁“烈而缭：

（2）两圆外切：3条公切线：

（3）两圆相交：2条公切线

（4）两圆内切：1条公切线

（5）两圆内含：0条公切线：

【典例1-1】（2024•内蒙古赤峰•三模）已知圆G:（x+l）2+（y+l）2=2,圆。2：无2+/-以-4尸0,则两圆的

公切线条数为（）

A.4B.3C.2D.1

【典例1-2]（23-24高二上•浙江杭州•期末）已知直线/同时与圆+/=0和圆/+/+2工=0相切,

请写出两条直线1的方程—和—.

【变式1-1]（23-24高二上•北京怀柔•期中）若圆G:一+/-6x+5=0与圆。2：/+/+匕+%=0恰有3条

公切线，则加的值为.

【变式1-2]（23-24高二上•北京昌平・期末）已知圆。:无2+/+6x-8y+9=0,则圆。的半径为；

与圆。和圆X?+「=1都相切的直线的方程为.（只需写出一条直线的方程）

【变式1-3]（2024.江西景德镇•一模）已知0G:/+/一2办-1+/=o与

222

OC2:（x-l）+（y+l）=r（r>0）,若存在实数。的值使得两圆仅有一条公切线，贝心的最小值为.

O---------------------题型通关•冲高考----------*>

一、单选题

1.（2024•北京•三模）已知直线/：办+（。+1万+2=0,圆。：/+产=16,下列说法错误的是（）

A.对任意实数直线/与圆。有两个不同的公共点；

B.当且仅当。=-；时，直线/被圆。所截弦长为40；

C.对任意实数。，圆。不关于直线/对称；

D.存在实数。，使得直线/与圆O相切.

2.（2024•北京•三模）已知/（-1,0）,5（1,0）,若点尸满足则点尸到直线/-6）+内一1）=0

的距离的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

1T

3.（2024•北京房山•一模）直线/：x+y+2=0截圆M：X2+J?=产&>0）所得劣弧所对的圆心角为则厂

的值为（）

A.46B.巫C.近D.旦

323

4.（2024•北京东城•二模）直线八了=-1与圆氏/+V-4x=0交于A,B两点，若圆上存在点C,使得△NBC

为等腰三角形，则点C的坐标可以为（）

A.（0,0）B.（4,0）C.（1,V3）D.（2,2）

5.（2024•北京