2025年北京数学中考二轮专项复习：二次函数综合题分类训练（3种类型40道）含详解

专题12二次函数综合题分类训练(3种类型40道)

目录

【题型1求参数取值范围1.....................................................................................................1

【题型2比较函数值的大小】....................................................................3

【题型3求对称轴】.............................................................................4

【题型1求参数取值范围】

1.在平面直角坐标系％0y中，已知抛物线y=ax2-2a2x+l(aW0).

⑴求抛物线的对称轴.

⑵已知和N(%2，y2)是抛物线上的两点.若对于/=。+2,-3<x2<一1,都有力<丫2,求。的取值范围.

2.在平面直角坐标系％Oy中，已知抛物线y=mx2—2m2x(jn。0).

⑴若点P(2,0)在此抛物线上，求出此时抛物线的对称轴.

⑵若抛物线经过点A(2/n-l,yi),B(7n,y2)，C(血+2,%)，且满足一、3)(、3-丫2)>0,求租的取值范围.

3.在平面直角坐标系第0y中,M(%i，yDN(%2，y2)是抛物线y=-2a2x+1(。>0)上任意两点.

⑴已知点(2,1)在抛物线上，求。的值.

⑵若对于%1=-l,a+1V&<。+2,都有yi>y?，求。的取值范围.

4.在平面直角坐标系久0y中，点(l,7n),(3,几)在抛物线y=ax2+6%+4(a>0)上，设抛物线的对称轴为％=t.

⑴当m=几时，直接写出抛物线与y轴交点的坐标及力的值.

⑵若TH<n<4,求t的取值范围.

5.已知抛物线y=ax2+hx+c(aW0),当y<TH时户的取值范围是n—3<x<l—n.

⑴该抛物线的开口方向.

(2)若该抛物线经过点M(3,yi),N(t,y2)两点，且丫1>求/的取值范围.

6.在平面直角坐标系xOy中，点(一1,根),(3,71)在抛物线y=ax2+bx+c(a<0)上，设抛物线的对称轴为第=t.

(1)当c=5,m=九时，求抛物线与y轴交点的坐标及£的值.

⑵点(%0，九)(%0W3)在抛物线上，若m<n<c,求七的取值范围及%°的取值范围.

7.在平面直角坐标系％0y中，已知抛物线y=ax2—2a2x+a3—2(aW0).

⑴求该抛物线的顶点坐标(用含。的式子表示).

⑵已知M(%i，yDN(3a,y2)是抛物线上的两个点，若对于。+1<<a+2,都有y1<y2,求实数。的取值范围.

8.已知抛物线y=mx2—2m2x(m>0).

⑴抛物线过点(1,一1),则租=.

⑵抛物线经过/(%1，丫1)乃(%2，丫2)两点,若对于1<<3,且%2=m+2都有力>丫2,求血的取值范围.

9.在平面直角坐标系久0y中，已知抛物线y=a(%-a)2+c(aH0),点2(2,乃)乃(3%、2)，。(七，%)是抛物线上不同的三点・

⑴若％=丫2,直接写出。的值：

⑵若对于任意的一2<t<一1,都有丫3>y2>yi,求a的取值范围.

10.已知抛物线y=ax2-2%+c(aW0)经过点(-2,4).

⑴用含〃的式子表示。及抛物线的顶点坐标.

⑵当一1<%<1时，所有x对应的函数值y都满足：y<4,求〃的取值范围.

11.已知抛物线y=ax2-2%+c(aW0)经过点(-2,4).

⑴用含〃的式子表示。及抛物线的顶点坐标.

⑵当一1<%<1时，所有x对应的函数值y都满足：y<4,求〃的取值范围.

12.在平面直角坐标系久0y中，点&荏)是抛物线y=a(%-t)2(a>0)上的两点(M,N不重合).

⑴若ZH=几,求t的值.

⑵若点P(%o，p)在抛物线上,且对于t+1V%o<t+2,都有71<p<TH,求t的取值范围.

13.在平面直角坐标系％0y中,M(%i，yi),N(%2，y2)是抛物线y=+b%+c(a>0)上任意两点，设抛物线的对称轴为直

线％=t.

(1)若对于%1=1,%2=2,有％=丫2,求t的值・

⑵若对于0</<L1<%2<2,都有yiH丫2,求t的取值范围.

14.在平面直角坐标系第0y中，点4(3,zn),点8(5,n)在抛物线y=ax2+b%+c(a>0)±.设抛物线的对称轴为直线久=t.

⑴若TH=九，求/的值.

⑵点C(%o，p)在该抛物线上，若对于0<%oV1都有Tn<n<p,求/的取值范围.

15.在平面直角坐标系式0y中,M(%i，yDN(%2，y2)是抛物线y=ax2+b%+c(a>0)上任意两点,设抛物线的对称轴为

x=t.

⑴若对于%1=3,第2=4,有yi=丫2,求才的值.

⑵若对于2V<3,3V%2V4,都有yi<、2,求方的取值范围.

16.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为1=3点4(T,zn)#C(&,yo)在抛

物线上.

⑴当t=2时，直接写出相与〃的大小关系.

⑵若对于5<%°<6都有>几求/的取值范围.

-2

17.在平面直角坐标系式0y中,M(%i，yi),N(%2，y2)为抛物线y=0+2(aH0)上任意两点,其中％i<x2-

⑴若t=1且yi=为，求+%2的值.

⑵已知a=1且t>0,若对于t<xr<x2<2；都有丫2<2yi，求t的取值范围.

18.在平面直角坐标系式0y中,ZQ-LyJ乃(。丁2)((1+2,3/3)三点都在抛物线y="-2ax+4(a>0)上.

⑴这个抛物线的对称轴为直线.

(2)若无论/取何值，点A,B,C中至少有两点在工轴上方，结合函数图象，求a的取值范围.

19.在平面直角坐标系式0y中,M(%i，yDN(%2，y2)是抛物线V="+b%+c上任意两点.设抛物线的对称轴是汽=t.

⑴若对于%1=2,X2=-1,有力=丫2,求力的值.

⑵若对于%1>2,都有yi<c成立，并且对于%2>1,存在丫2>C,求力的取值范围.

20.在平面直角坐标系式0y中，点M（2,ni）,N（4,九）在抛物线y=x2-2bx+c上.

⑴若TH=71,求b的值.

⑵若点T（%0，p）在抛物线上，对于0<%oV1,都有m<pV凡求匕的取值范围.

【题型2比较函数值的大小】

21.在平面直角坐标系久0y中,抛物线y=ax2+（1—a）x—l（aW0）的对称轴为直线％=t.

（l）@t=（用含〃的式子表示）.

②当t=1时,求该抛物线与x轴的公共点的坐标.

⑵已知点（3,九）,（，％），（一5一2,乃）在该抛物线上，若a>比较为,火，乃的大小，并说明理由.

22.在平面直角坐标系％Oy中，点4（-1,血）和点8（4,九）在抛物线y=ax2+bx-2（a>0）上，设抛物线的对称轴为％=t.

（1）若7n=l,n=6,求t的值.

⑵已知点C（l,yD。（|力义）在该抛物线上，若加>-2,n<一2,比较yi）2的大小，并说明理由.

23.在平面直角坐标系久0y中，点（2,m）和点（4,九）在抛物线y=ax2+bx（a>0）上，设抛物线的对称轴为久=t.

⑴若TH=九时，求t的值.

⑵已知点（一1,、1）,（1,、2），（3,、3）在抛物线上.若加九<0,比较丫2，%的大小，并说明理由.

24.在平面直角坐标系久Oy中,抛物线y=x2—（2+m）x+2zn的对称轴为直线％=t.

⑴求t的值（用含血的代数式表示）.

（2）点Z（T,yi）乃«疗2）（（力+1，乃）在该抛物线上.若抛物线与1轴的一个交点为（&,0）,其中0<&V2,比较、1/2必的

大小,并说明理由.

25.在平面直角坐标系式0y中，点（2,血）在抛物线y=ax2+bx+c（a>0）上，设抛物线的对称轴为％=t.

（1）当TH=C时，求t的值.

⑵点（一1，'1）,（3/2）在抛物线上，若。<犯请比较为少2的大小，并说明理由.

26.在平面直角坐标系久Oy中,抛物线y=ax2+bx+c（aH0）的对称轴为第=t.

（1）若3a+2b=0,求，的值.

（2）已知点（一1,yi）,（2,、2）,（3,丫3）在该抛物线上.若a>c>0,且3a+2b+c=0,比较%少2,为的大小，并说明理由•

27.在平面直角坐标系久0y中，点（2,-1）在二次函数y=ax2+bx-1的图象上.

⑴求该抛物线的对称轴.

⑵已知点（九-2,%）,（九+1,丫2），（3-弭、3）在二次函数y=+/?%-1的图象上，且该二次函数满足y<5,若0V几VL

比较丫1少2，%的大小，并说明理由.

28.在平面直角坐标系式0y中，点（-1,/n）和点（-2,九）在抛物线y=ax2+力％上.

⑴若TH=-3,71=-8,求该抛物线的解析式以及它的对称轴.

⑵若a<0,点(-3/1),(1,丫2),(4,%)在该抛物线上.若根<几，比较、1)2少3,0的大小，用小于号将他们连接,并说明理由.

29.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-(a+4)x+3经过点(2,zn).

⑴若m=-3.

①求此抛物线的对称轴.

②当1<%<5时，直接写出y的取值范围.

⑵已知点(%i，yD(%2，y2)在此抛物线上淇中％I<%2・若血>。，且5汽1+5%2>14,比较yi)2的大小，并说明理由.

30.在平面直角坐标系久0y中，点(2,-2)在抛物线y=ax2+bx-2(a<0)上.

⑴求该抛物线的对称轴.

nax2

(2)已知点(九-2,y1),(n-l,y2)/(+1,、3)在抛物线V=+bx—2(a<0)上.若0<n<1,比较丫1必，为的大小，并说

明理由.

【题型3求对称轴】

31.在平面直角坐标系式0y中,M(%i，yDN(%2，y2)是抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点,设抛物线的对称轴为

x=t.

(1)当％1=2%=c时,求抛物线的对称轴.

⑵若对于1一tV%1<2—力/<外<七+2,都有力>丫2,求才的取值范围.

32.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+5%+3经过点(一2兄3).

⑴求该抛物线的对称轴(用含有a的代数式表示).

(2)点M(t-2,m),N(t+2,九),「(-t,p)为该抛物线上的三个点，若存在实数力,使得血>n>p,求a的取值范围.

33.已知抛物线y=a/+人工+。(0<0)过/(一3,y2),C(2,y3),D(4,%)四点.

(1)若为%=y4.

①求该抛物线的对称轴.

②比较、2,乃的大小,并说明理由.

⑵若为丫3=ay2y3<o,判断、1丫4>。是否成立,并说明理由.

2

34.在平面直角坐标系式0y中,抛物线y=%+(2m-6)%+1经过点(一皿丫。(mty2),(m+2,y3)-

⑴若yi=丫3,求抛物线的对称轴.

⑵若为vy3Vy。求m的取值范围.

35.在平面直角坐标系xOy中，点M(%i，yDN(%2，y2)是抛物线了=a--2a%+c(a>0)上任意两点.

⑴直接写出抛物线的对称轴.

(2)若%1=a+1,%2=a+2,比较yi与力的大小，并说明理由.

mm

⑶若对于mV/<zn+l,m+1<x2<+2,总有y】<y2,求的取值范围.

36.在平面直角坐标系式0y中,M(%i，yi),N(%2，、2)是抛物线V=/一2m%+TH?一i上任意两点.

⑴求抛物线的对称轴(用含血的式子表示).

⑵若X2=+n(n>0),点M、N中至少有一个点位于无轴的上方,直接写出九的范围.

⑶若对于-1V%I<2,%2=血+2时,都有丫1Vy2,求机的取值范围.

37.在平面直角坐标系X0y中，点(0,3),(6,yj在抛物线y=ax2+bx+c(aH0)上.

⑴当月=3时,求抛物线的对称轴.

⑵若抛物线y=ax2+b%+c(aW0)经过点(一1,一1),当自变量x的值满足一1<%<2时j随x的增大而增大，求a的取

值范围.

⑶当a>0时，点(TH-4/2),(矶、2)在抛物线y=a，+b%+c上.若丫2<yi<c,请直接写出m的取值范围.

38.在平面直角坐标系久0y中,抛物线y=ax2+bx+l(aH0)的对称轴是直线久=3.

⑴求出该抛物线的顶点坐标(用含a的式子表示).

(2)当a>0时，对于任意的正数，若点(3—(3+20y2)在该抛物线上，则丫1________%(填“>〃"<〃或〃=〃).

⑶已知点4(0,3),8(7,3).若该抛物线与线段恰有一个公共点，求a的取值范围.

39.在平面直角坐标系久Oy中,点(-2m+l,p),(b,q)是抛物线y=mx2+2m2x+n(mH0)上的点.

⑴当租=2时，求抛物线的对称轴，并直按写出p与〃的大小关系.

⑵若对于任意的2<b<3,都有q>n>p,求m的取值范围.

40.在平面直角坐标系％0y中,抛物线y=ax2-4a2%(aH0).

⑴求抛物线与x轴的交点坐标及抛物线的对称轴(用含。的式子表示).

(2)已知点尸(a-l,yDQ(a+5,%)在该抛物线上，若丫1，丫2<。，求。的取值范围.

专题12二次函数综合题分类训练(3种类型40道)

目录

【题型1求参数取值范围1...........................................................................................................1

【题型2比较函数值的大小】....................................................................3

【题型3求对称轴】.............................................................................4

【题型1求参数取值范围】

1.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2-2a2x+l(a*0).

(1)求抛物线的对称轴.

⑵已知和NO2,%)是抛物线上的两点.若对于=a+2,-3<x2<-1,都有为<无，求a的取值范围.

【答案】(1)直线x=a

(2)a>1或—3<a<-1

【分析】(1)将抛物线化为顶点式即可求得其对称轴.

(2)根据对称性，抛物线的增减性，建立不等式解答即可.

【详解】(1)解：:y=ax2—2a2x+1=a(x-a)2+1-a3.

••・抛物线的对称轴为直线x=a.

(2)解：根据题意，得抛物线的对称轴为直线x=a.

—a+2>a.

SMOCQI)一定在对称轴的右侧，且到对称轴的距离为2.

当a>0时，抛物线开口向上,N(>2,%)必在对称轴的左侧.

设NO2,%)的对称点为N'Oo,M)).

则不=2a-x0,y0=y2.

团一3<%?<一L

团一3<2a—%o<—1.

02a+1<&<2a+3.

取1<y2-

团11<XQ.

团a+242a+1.

团a>1.

当a<0时，抛物线开口向下，点N（%2,、2）在对称轴的左侧.

设N（%2,%）的对称点为Q（相九）•

贝卜2=2a—7?1/n=y2.

团一3<%2V—1-

团2a+1<m<2a+3.

取i<y2-

团％i>zn.

[Ea+2>2a+3.

团a<-1.

当a<0时，抛物线开口向下,NO2,%）在对称轴的右侧.

团一3<%2V—1-

取1<y2-

回％1>%2.

回a+2之一1.

团a>-3.

团一3<a<0.

综上所述,a的取值范围是a>1或一3<a<-1.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，轴对称的性质,不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组

等知识点,熟练掌握二次函数的图象与性质并运用分类讨论思想是解题的关键.

2.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=mx2—2m2x(mH0).

(1)若点P(2,0)在此抛物线上，求出此时抛物线的对称轴.

(2)若抛物线经过点4(2zn-l,y1'),B(<m,y2),C(jn+2,丫3),且满足(月-%)(丫3-％)>。，求6的取值范围.

【答案】⑴对称轴为直线x=1.

(2)m>3或m<—1.

【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质并分类讨论是解题的关键.

(1)把点P(2,0)代入y=mx2-2m2%得瓶的值，代入函数根据函数顶点式即可求解.

(2)根据题意得出3(6,%)为抛物线的顶点，分爪>0和机<0两种情况,利用数形相结合求解即可.

【详解】(1)解：把点P(2,0)代入y=mx2—2m2%,得。=mx22—2m2x2.

解得根=1或m=0(舍去).

团抛物线y=x2—2x=(x—l)2—1.

团对称轴为直线I=1.

(2)解：y=mx2—2m2x=m(x—m)2—m3.

团对称轴为直线直线久=m.

团当m>0时，抛物线开口向上,函数有最小值、2.

团丫3-%>0-

回(%一，3)(为一丫2)>0.

团yi一>°,即yi>y3-

团127n—1-m|>|m+2—-1|>2.

当zn>1时,zn—1>2,即zn>3.

0m>3.

当0<血<1时,1—m>2,即租<—1,不合题意,舍去.

0m>3.

团当租<0时，抛物线开口向下,函数有最大值兆.

团丫3-<6

团31-，3)(为一丫2)>0.

团月一为<0,即=<为・

团127n—1-m|>|m+2—-1|>2.

团1—TH>2.

解得根<-1.

综上可知,771的取值范围是zn>3或m<-1.

3.在平面直角坐标系、Oy中,MOi，yDN(%2，y2)是抛物线y="-2a2x+l(a>0)上任意两点.

⑴已知点(2,1)在抛物线上，求。的值.

⑵若对于久1=-l,a+1<&V。+2,都有yi>y?，求。的取值范围.

【答案】⑴a=1

(2)a>1

【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质.熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性和增减性，解一

元一次不等式，是解题的关键.

(1)把(2,1)代入y=ax2—2a2x+l(a>0),解方程即得.

(2)求出对称轴直线第=见点(一1,丫1)的对称点(2a+l,y)根据》>。时,y随x的增大而增大，解一元一次不等式a+2V

2a+1,即得.

【详解】(1)解：把(2,1)代入y=ax2-2a2x+l(a>0).

得4cl—4a2+1=1.

解得Q-0(舍去)，或a=1.

故a=1.

(2)回y=ax2—2a2x+1=a(%—a)2—a3+1.

团对称轴为直线％=a.

回a>0.

团当工>。时,y随x的增大而增大.

团点(一1,丫1)的对称点为(2a+I,%).

团当a+2<2a+1时.

即a>1时.

yi>丫2・

故a的取值范围是a>1.

4.在平面直角坐标系第0y中，点(1,TH),(3,n)在抛物线y=ax2+hx+4(a>0)上，设抛物线的对称轴为久=t.

⑴当TH=九时，直接写出抛物线与y轴交点的坐标及t的值.

⑵若租<n<4,求t的取值范围.

【答案】⑴抛物线与y轴交点的坐标为(0,4).

t=2(2)t的取值范围为T<t<2

【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，二次函数图像与y轴交点等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质是解

题关键.

(1)根据当％=0时，可有y=4,可得抛物线与y轴交点的坐标，根据点(1,血),(3,71)在抛物线y=ax2+bx+4上，且m=n,

易知点(1,血),(3,71)关于对称轴对称，即可求得该抛物线的对称轴.

(2)将点(1,??1),(3,九)代入抛物线解析式,结合?71<n<4可得a+b+4<9a+3b+4<4,进一步解得3a<-b<4a,

进而可得坐<-T<笑，即可获得答案.

2a2a2a

【详解】(1)解：回当％=0时,y=4.

团抛物线与y轴交点的坐标为(0,4).

团点(l,rn),(3,?i)在抛物线y=ax2+bx+4_h,m=n.

国点(1,m),(3,71)关于对称轴对称.

回抛物线的对称轴为直线x=等=2.

配=2.

(2)0m<n<4.

团a+b+4<9a+3b+4<4.

解得—4a<bV—3a.

团3a<—b<4a.

团a>0.

=3。b_4a

[E—2a<---2--a<—2a.

BP-<t<2.

2

5.已知抛物线y=ax2+b%+c(aH0),当y<zn时,％的取值范围是九—3<%<1—n.

⑴该抛物线的开口方向.

⑵若该抛物线经过点M(3,yDNQ,y2)两点，且丫1>求方的取值范围.

【答案】⑴向上

(2)-5<t<3

【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：

(1)根据y<TH时户的取值范围是n-3<%<1-小可知抛物线的开口向上.

(2)根据题意，可知，当y=zn时/=n-3或第=1-%求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性，进行求解即可.

【详解】(1)解：团当y<m时户的取值范围是九-3<x<l-n.

国抛物线的开口向上.

故答案为：向上.

(2)回y<时/的取值范围是九—3<%<1—n.

团当y=TH时，久=n—3或％=1—n.

回抛物线的对称轴为直线X=号N=-1.

团抛物线的开口向上.

回抛物线上的点离对称轴越远,函数值越大.

团抛物线经过点M(3,yi),N(t,y2)两点，且为>

团一5<tV3.

6.在平面直角坐标系xOy中，点(一19),(3,n)在抛物线丫=ax2+b%+c(a<0)上，设抛物线的对称轴为久=t.

(1)当c=5,m=几时，求抛物线与y轴交点的坐标及/的值.

(2)点(%o,7i)(%oW3)在抛物线上，若租<n<c,求t的取值范围及％o的取值范围.

【答案】⑴抛物线与y轴交点的坐标为(0,5).

t=1(2)-1<x0<0

【分析】本题考查了二次函数图像的性质，运用二次函数的增减性按要求列出相应的不等式是解题的关键.

(1)将c=5代入y=ax2+b%+c(a<0)中,可得抛物线与y轴交点的坐标，再根据m=九可得点(一1,m)与(3,几)关于抛

物线的对称轴对称，即t=等计算即可.

(2)根据m<n<c,可确定出2a>—b>3a,结合2a<0,可得对称轴的取值范围,再利用对称轴可表示为直线x=,

进而可确定质的取值范围.

【详解】(1)解：当c=5时，抛物线：y=ax2+6%+5

当％=0时,y=5.

团抛物线与y轴交点的坐标为：(0,5).

前71=n.

团点(-1,血)与(3,九)关于抛物线的对称轴对称.

n-1+3y

0%=t=---=1.

2

(2)解：0m<n<c.

团a—b+c<9。+3b+c<c.

解得—2a<b<—3a.

团2a>—b>3a,而2a<0.

ai<-2<=即1<t

团点(3,7i),(%o,7i)(%oH3)在抛物线上.

国抛物线的对称轴为直线x=誓.

团1<2<三,

22

解得：一

团%0的取值范围一1V%0<0.

7.在平面直角坐标系第0y中,已知抛物线y=ax2—2a2x+a3-2(aH0).

⑴求该抛物线的顶点坐标(用含a的式子表示).

⑵已知M(%i，yDN(3a,y2)是抛物线上的两个点，若对于。+1<<a+2,都有y1<y2,求实数。的取值范围.

【答案】⑴(见一2)

(2)-|<a<。或a>1

【分析】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质，解不等式等知识点是解题关键.

(1)将二次函数一般式化为顶点式即可求出抛物线的顶点坐标.

(2)，分为当a>0时及当a<0时，两种情况分类讨论，求出实数a的取值范围.

【详解】(1)解：•••y=ax2—2a2%+a3—2=a(%—a)2—2(aH0)

・,・该抛物线的顶点坐标为(a,-2).

(2)解：①如图1,当a>0时.

a>0.

•••3a>a.

•・•当%>。时,y随工的增大而增大.

且对于a+1V/Va+2,都有yi<y2-

a+2<3a.

・•・a>1.

②如图2,当aVO时.

记Oi，yj关于％=a的对称点为

a<0.

・•・3a<a.

•・,当％<。时,y随工的增大而增大.

且对于a-2<x3<a-1,都有yi<y2.

a-1<3a.

—WaV0.

2

综上所述，实数。的取值范围为一(<a<0或a>1

8.已知抛物线y=mx2—2m2x(m>0).

⑴抛物线过点(1,一1),则租=.

(2)抛物线经过/(%1，%)1(%2，丫2)两点，若对于1<<3,且%2=m+2都有yi>y?，求血的取值范围.

【答案】⑴1

⑵m的取值范围为2<m<3.

【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质.

(1)点(1,一1)代入计算即可求解.

(2)求得抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质即可得到关于血的不等式，解得即可.

【详解】(1)解：由题意，抛物线过点(1,一1).

0—1=mxI2—2m2.

团TH=1或TH=-

0m>0.

0m=1.

故答案为：1.

(2)解：由题意，抛物线的对称轴为直线尤=-萨=m.

0m>0.

回抛物线开口向上.

财(%1，丫1)乃(%2，丫2)两点都在抛物线上,且对于1<<3得=血+2时，都有yi>y2.

当0<m41时，此时需要％2=m+2<TH不成立，舍去.

团当1<?nV3,此时需要％2=m+2>TH且zn>与之

解得2<m<3.

当机>3时，此时需要久2=m+2<根不成立，舍去.

综上加的取值范围为2<m<3.

9.在平面直角坐标系久0y中，已知抛物线y=a(%-a)2+c(aW0),点A(2,yi)#(3a,y2)，C(t，y3)是抛物线上不同的三点・

(1)若yi=丫2,直接写出a的值：

⑵若对于任意的一2<t<一1渚B有为>72>丫1，求。的取值范围.

【答案】⑴。=一2

(2)-2Va4一|或|<a〈l

【分析】题目主要考查二次函数的性质及利用函数图象求解，理解题意，结合函数图象求解是解题关键.

(1)根据题意得出对称轴为x=a,结合题意得出2+3a=2a,即可求解.

(2)设点比次关于对称轴x=a对称,分两种情况：当a>0时，当a<0时，分别作出相应草图，结合图象求解即可.

【详解】(1)解：回抛物线y=a(x-a)2+c(a力0)

团对称轴为％=a.

0yi=y2-

回点4(2①)4(332)关于对称轴对称.

团2+3a=2a.

解得：a=-2.

(2)设点B,夕关于对称轴x=a对称.

当a>0时，如图所示，点A在B次对应抛物线的下方且在x=0的右侧.

点C一定在对称轴左侧且在8'点的上方.

回一CL之一1,2V3d.

屋<aW1.

3

当a<0时，如图所示，点A在乂=0的右侧且在夕的下方.

x=0

团一CLV2,3aV—2.

2

团一2<a<——.

3

综上可得：-2Va4—&或5<。<L

10.已知抛物线y=ax2-2%+c（aH0）经过点（-2,4）.

⑴用含。的式子表示。及抛物线的顶点坐标.

⑵当一1V%<1时，所有x对应的函数值y都满足：y<4,求〃的取值范围.

【答案】（1）C=-4a,抛物线的顶点坐标为匚卢）

（2）a>0或-|<a<0

【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系及二次函数的图象和性质,掌握利用二次函数的性质是解题的关键.

（1）把点（一2,4）代入y=ax2一2%+c（aH0）,可得a,c之间的关系，利用顶点公式可得顶点坐标.

（2）分两种情况讨论，当a>0时，当a<0时，得出关于。的不等式，解不等式即可.

【详解】（1）解:把点（一2,4）代入y=ax2-2%+c（aH0）.

可得4=4a+4+c.

•••c=-4a.

则抛物线的顶点横坐标为―二=—3=2

2a2aa

.•抛物线的顶点坐标为国『）.

（2）解：由题意可知，当一1<x<1时，所有x对应的函数值y都满足：y<4.

团当a>0时,％=1时,y<4,即a—2—4a<4,解得a>—2.

团a>0.

当a<0时,％=—1时,y<4,即a+2—4a<4,解得a>—|.

2

IS--<a<0

3

综上，当一1<x<1时，所有x对应的函数值y都满足：y<4,则a>0或一|<a<0.

11.已知抛物线y=ax2-2x+c(a丰0)经过点(-2,4).

(1)用含a的式子表示。及抛物线的顶点坐标.

(2)当—1WxW1时，所有x对应的函数值y都满足：y<4,求a的取值范围.

【答案】(l)c=—4a,顶点坐标为(，匚?贮)

2

(2)a>。或一§<a<0

【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系及二次函数的图象和性质,掌握利用二次函数的性质是解题的关键.

(1)把点(一2,4)代入y=ax2一2%+c(aH0),可得见c之间的关系，利用顶点公式可得顶点坐标.

(2)分两种情况讨论，当。>0时，当a<0时，得出关于a的不等式，解不等式即可.

【详解】(1)解：把点(一2,4)代入y=ax2-2%+c(aW0).

可得4=4a+4+c.

••・c=-4a.

=ax2—2x—4a.

则抛物线的顶点横坐标为一F=-F=士

2a2aa

(2)解：由题意可知，当一1W%41时,y=a/一2%-4a所有了对应的函数值y都满足：y<4.

团当a>0时,％=1时,y=-3a—2<4.

x=-1时,y=-3a+2<4.

而顶点纵坐标一工一4a<0<4,如图.

a

回a>0.

当a<0时汝口图.

当％=1时,y=-3a—2,x=-1时,y=—3a+2.

团―3a—2<—3a+2.

2

团一一<a<0.

3

综匕当一1<%V1时,所有%对应的函数值y都满足：y<4,则a>0或一|Va<0.

12.在平面直角坐标系式0y中，点(,九)是抛物线y=a(%-t)2(a>0)上的两点(M,N不重合).

⑴若771=%求t的值.

⑵若点P(%o，P)在抛物线上，且对于力+1<Xo<t+2,都有几<p<TH,求力的取值范围.

【答案】(1)”|

(2)-2<t<-1

【分析】本题考查了二次函数的图像上的点的坐标特征，解题的关键是掌握a>0时，离对称轴越近的点，其纵坐标越小,

再分类讨论可得答案.

(1)由m=n可得对称轴是直线x=t=苧,解得：t=|.

(2)由a>0,可知离对称轴水平距离越近的点,其纵坐标越小，再分类讨论可得答案.

【详解】(1)解：由题意得.

・•,m=n,点、M(l,m),N&几)是抛物线y=a(%-t)2(a>0)上的两点.

・•・对称轴是直线%=1=苧.

t=-.

3

（2）,・,抛物线y=a（%—t）2（a>0）.

・•・抛物线开口向上，对称轴为直线％=t.

•・,点P（%o，p）在抛物线上，且对于力+1V%。Vt+2.

・•.点P（%o，p）在对称轴右侧.

・••点P（%o，p）关于对称轴的对称点为（2t-％0,p）.

当t<0时.

n<p<m.

p+2<1

••・上+2对・

**•-24t4-1

当t>0时.

t+2>1,则p>zn,不符合题意.

综上所述上的取值范围是一2<t<-l

13.在平面直角坐标系％Oy中,M（%i，%）,N（%2，y2）是抛物线y=a/+b%+c（a>0）上任意两点，设抛物线的对称轴为直

线％=t.

⑴若对于%1=l,x2=2,有力=求t的值•

⑵若对于0<<1,1<%2<2,都有yiW丫2,求力的取值范围.

【答案】（l）t=T

（2）t<^t>l

【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键.

（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解.

（2）分外<%和%>%两种情况,分别进行求解即可.

【详解】⑴解：回对于勺=l,x2=2有yi=y2.

回抛物线的对称轴为直线％=岩=|.

回抛物线的对称轴为x=t.

3

2

（2）解：团当0<<1,1<x2<2.

当yi<V2，a>0.

aw(勺,月)离对称轴更近,巧<肛,则MO[,乃)与NO2,%)连线的中点在对称轴的右侧.

必3>t.

2

即t<

当月>y2M>。.

回村但2)离对称轴更近"i<玲则M(%i，yi)与可但以)连线的中点在对称轴的左侧.

2

3

0t>-.

综上可知/<]或£>|.

14.在平面直角坐标系久0y中，点4(3,zn),点8(5,元)在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)±.设抛物线的对称轴为直线％=t.

(1)若m=n,求t的值.

⑵点C(%o，p)在该抛物线上，若对于0<V1都有租<n<p,求/的取值范围.

【答案】⑴1=4

(2)3<t<4

【分析】本题考查了二次函数y=a%2+hx+c(a。0)性质,熟悉相关结论是解题关键.

(1)由题意得5—t=t—3,据此即可求解.

(2)分类讨论①当根<九时,②当九<p时,两种情况即可求解.

【详解】(1)解：・.・点4(3,*,点8(5,n)在抛物线y=ax2+hx+c(a>0)上.

且根=小抛物线的对称轴为％=t.

5—t=t—3.

•••t=4.

(2)解：・・,点Z(3,zn),点B(5,n),点C(&,p)在抛物线y=ax2+hx+c(a>0)上.

2

•••m=9a+3b+c,n=25a+5b+c,p=ax0+bxQ+c,

m<n<p

••・m<九且九<p.

①当<?i时，有9a+3b+c<25a+5b+c.

9a+3bV25a+5b

8a+b>0

・•.b>—8a

a>0

•*«-CLV0.

b

2a

t<4

2

②当n<p时，有25a+56+c<ax0+bx0+c.

2

・•・5b—bx0<axQ—25a.

b(5—x0)<a(x0+5)(x0—5).

v0<x0<1

・•・b<—a(x0+5).

bx+5

---->--0----

2a2

t>3.

综上：3<t<4.

15.在平面直角坐标系久0y中,M(%i，yDN(%2，y2)是抛物线y=ax2+b%+c(a>0)上任意两点,设抛物线的对称轴为

x=t.

⑴若对于％i=3,x2=4,有yi=%,求才的值.

（2）若对于2<%!<3,3<x2<4,都有为<乃，求t的取值范围.

【答案】（琨

（2）t<|

【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键.

（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解.

（2）根据题意可得（刈,当）离对称轴更近,石<无2,则（久1，%）与（"2,%）的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得3（空<

|,进而根据生产>t,即可求解.

【详解】（1）解：团对于X1=3,%2=4有y1=y2.

回抛物线的对称轴为直线工=詈=（

国抛物线的对称轴为x=t.

(2)解：团当2<X]<3,3<x2<4.

X1+X2

0^<<Z,久i<x2.

团为<火儿>0.

国01，%）离对称轴更近,%1<叼，则（%1，%）与（久2，%）的中点在对称轴的右侧・

膜3>t.

2

即t<I.

16.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为％=t，点C(&,yo)在抛

物线上.

⑴当t=2时，直接写出m与几的大小关系.

⑵若对于5V6都有7n>y°>几求才的取值范围.

【答案】⑴m>n

(2)t<-6^2<t<|

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质.熟练掌握二次函数的图象与性质并分情况求解是解题的关键.

(1)由y=ax2+bx+c(a>0),可知图象开口向上，且抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当t=2时，对称轴为x=

2,4(1,m),B(4,n),由4—2>2—1,可得m<n.

(2)分当t<0,0<t<5,5<t<6,t>6四种情况，作函数图象，根据抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，确定关于

t的不等式，然后求出满足要求的解即可.

【详解】(1)解：Ely=ax2+bx+c(a>0).

国图象开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远,函数值越大.

当t=2时，对称轴为％=2,A(-2,m),B(4,n).

02-(-2)>4-2.

0m>n.

加(一。根)在抛物'<2线段上,3(2。71)在〃村段上((>0，丫0)在「<2上・

团对于5<%0<6,都有m>y0>n.

0-t>6且t>2t22t—5.

且t<0.

解得：t<—6.

gO<t<5时，如图2.

团对于5<%0<6,都有m>y0>n.

0—t<2t—6且0<2t<5.

解得：2<t<|.

团对于5<x0<6,都有zn>y0>n.

又回yo在图象中已包含最小值.

团不存在y°>荏的情况，即此种情况舍去.

团对于5<x0<6,都有m>y0>n.

又回2t>2t—5.

前i>即此种情况与题意不符,舍去.

综上所述』的取值范围为t<一6或2<t<|.

17.在平面直角坐标系式0y中,M（%i，yi）,N（%2，y2）为抛物线y=-七7+2（a。0）上任意两点淇中％i<x2.

(1)若t=1且％=>2,求久1+久2的值.

(2)已知a=1且t>0,若对于t<xt<%2<2t,都有力<2yl，求t的取值范围.

【答案】(1)2

(2)0<t<V2

【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的对称性等知识点,解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质.

⑴根据t=1,得出抛物线的对称轴为直线x=L即可确定M(Xi，yJ,NO2，y2)两点关于直线x=1对称，根据抛物线对称

性即可求解.

(2)根据a=1得出抛物线为y-(x-t)2+2,M(Xi，yi),N(X2，y2)在直线x=t右侧，且在N(如外)的左侧，根据

若对于t<<x2<2t,都有力<2yl.

即可确定(>2)max<(2yJmin，即可求解.

【详解】(1)若［=1,则抛物线为y=a(x-1)2+2(a丰0).

故抛物线的对称轴为直线x=1.

回%=丫2，％1<

故MOi，yDNO2，y2)两点关于直线I=1对称.

团％1+亚=2x1=2.

(2)若。=1,则抛物线为y=(%-t)2+2.

抛物线的对称轴为直线X=。且t>0.

团抛物线开口向上,故当%>七时,y随x的增大而增大.

团M(%i，yi),N(%2，y2)在直线%=t右侧，且在N(%2，y2)的左侧•

若对于t<x1<x2<2；都有为<2yl.

则(V2)max<(2yi)mhr

2

02<yr<y2<t+2.

配2+2V2X2.

解得：—<t<V2.

团o<tvVL

18.在平面直角坐标系％0y中一LyJ乃(t,y2)，C(t+2,5/3)三点都在抛物线y="-2ax+4(a>0)上.

⑴这个抛物线的对称轴为直线.

⑵若无论/取何值，点AfBfC中至少有两点在x轴上方，结合函数图象，求a的取值范围.

【答案】⑴%=1

(2)0<a若

【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征：掌握二次函数的性质，掌握二次函数图像与系数的关系是解题的关

键.

(1)直接根据对称轴公式可得对称轴直线方程.

(2)有两种情况满足题意，①当抛物线与x轴有一个交点或者没有交点时，②函数图像与无轴有交点，且两个交点的距离

小于1时,分类讨论求解即可.

【详解】(1)解：对称轴为％=—了=1.

2a

故答案为：X=1.

(2)解：Ea>0.

团抛物线y=ax2-2ax+4的图象开口朝上.

无论t取任何实数，点中都至少有两个点在x轴的上方.

有两种情况满足题意.

①当抛物线与x轴有两个相同的交点或者没有交点时，满足题意.

即4<0.

0(-2a)2-4xax4<0.

化简得4a(a—4)<0.

Ela>0.

0a-4<0.

解得a<4.

团此时0<aW4.

②函数图象与x轴有交点，且两个交点的距离小于1时满足题意.

此时三点中，水平距离最近的A和B不能同时在x轴下方.

临界情况A,B两点分别是这两个交点.

团对称轴为％=1.

Lt-l+tY

团％=----=1.

2

得t=|,则有：力

此时力(|,0)代入y=ax2-2ax+4,解得a=y.

团在二次函数中，二次项的系数绝对值越大，则抛物线的开口越小.

国此时a<—.

综上所述,0<a<y.

19.在平面直角坐标系％0y中,M(%i，yi),N(%2，y2)是抛物线y=ax2+bx