专题3.4 导数的综合问题（解析版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第三章导数及其应用专题3.4导数的综合问题1.函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题．2.恒(能)成立问题是高考的常考考点，其中不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查学生分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，试题难度略大．3.函数零点问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数零点的个数或范围．高考常考查三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压轴题出现．考点一函数中的构造问题考点二恒(能)成立问题考点三函数零点问题知识梳理函数中的构造问题(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝eq\f(fx,xn).(3)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；(4)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝eq\f(fx,enx).（5）函数f(x)与sinx，cosx相结合构造可导函数的几种常见形式F(x)＝f(x)sinx，F′(x)＝f′(x)sinx＋f(x)cosx；F(x)＝eq\f(fx,sinx)，F′(x)＝eq\f(f′xsinx－fxcosx,sin2x)；F(x)＝f(x)cosx，F′(x)＝f′(x)cosx－f(x)sinx；F(x)＝eq\f(fx,cosx)，F′(x)＝eq\f(f′xcosx＋fxsinx,cos2x).（6）指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成lnex然后构造函数；另一种是将x变成elnx然后构造函数．2.恒(能)成立问题(1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.3.函数零点问题（1）利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．（2）含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数．第一部分核心典例题型一函数中的构造问题1．已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】设，所以，令，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，得.所以，即；又，所以，即，所以.故选：B.2．设，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】令，，所以时，，单调递增，时，，单调递减，，，，因为，所以.故选：D.3．已知为自然对数的底数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，，，令，则，，.，易知在上单调递增．又，而，所以．故选：A.4．设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：构造函数（），，，所以在上，单调递增，在上，单调递减，所以，令，则，，，考虑到，可得，等号当且仅当时取到，故时，排除选项A，B.下面比较大小，由得，故，所以.故选：D.5．若，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】令，则当时，，当时，即函数在上单调递减，在上单调递增，由图象易知，令，则由于函数在上单调递减，，则在上有唯一解，故在上有唯一解即当时，，则函数在上单调递减即，即故选：C题型二恒(能)成立问题6．设函数，若对任意，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】函数的导函数，考虑到，因此讨论分界点为．情形一当时，可得对任意实数，有，符合题意．情形二当时，，而单调递增，所以必然存在唯一正实数使得，此时在区间上有单调递减，而，不符合题意．综上所述，实数a的取值范围是．故选：A.7．若实数，满足，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，所以所以所以令，则即所以令，令解得，令解得，所以在单调递增，单调递减，，要使成立，即，则当且仅当，所以解得，所以，故A正确；，故B错误；，故C错误；，故D错误.故选:A.8．若函数，满足恒成立，则的最大值为（

）A．3 B．4 C． D．【答案】C【详解】解：因为，满足恒成立，所以，令，则，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以的最大值为，故选：C.9．已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】在恒成立.当，记，所以在单调递增，，故故，所以，故选：C10．若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】依题意，，则（*）．令，则（*）式即为．又在上恒成立，故只需在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，解得．故选：D.题型三函数零点问题11．函数的零点所在的大致区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，所以函数单调递增，又因为，，，所以函数在内存在唯一零点.故选:B12．函数有三个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意可得：，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，据此可得函数在处取得极大值，在处取得极小值，结合题意可得：，解得：，所以实数的取值范围是.故选：B．13．已知函数，若恰有两个零点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】恰有两个零点,即恰有两个实数根，由于，所以恰有两个实数根等价于恰有两个实数根，令，则，当时，，故当此时单调递增，当，此时单调递减，故当时，取极小值也是最小值，且当时，，当时，，且单调递增，在直角坐标系中画出的大致图象如图：要使有两个交点，则，故选：D14．已知函数，，，则函数的零点个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【详解】当时，，所以不是函数的零点，因为，所以，所以为偶函数，当时，，，，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在时取得最大值，所以当时，有唯一零点，又函数为偶函数，其图象关于轴对称，所以在时，还有一个零点，综上所述：函数的零点个数为.故选：A15．设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题知，，函数恰有两个零点，因为当时，，所以是函数的一个零点，又当时，，所以当时，与，图象必有一个交点，由于，当时，，所以函数在上单调递增，当时，，当时，，当时，，所以当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，有最小值为，所以，函数图象如图，由图可知，若与，图象必有一个交点，则，故选：B第二部分课堂达标一、单选题1．已知函数存在减区间，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题可知,因为函数存在减区间,则有解,即有解,令,,令,解得;令,解得,所以在单调递减,单调递增,所以,因为有解,所以,解得.故选:D.2．已知，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】先用导数证明这两个重要的不等式①，当且仅当时取“=”，函数递减，函数递增故时函数取得最小值为0故，当且仅当时取“=”②，当且仅当时取“=”，函数递增，函数递减，故时函数取得最大值为0，故，当且仅当时取“=”故故选：C3．函数在区间(0,1)内的零点个数是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【详解】恒成立，所以单调递增，故函数在区间(0,1)内的零点个数1个.4．设函数的导函数为，若在其定义域内存在，使得，则称为“有源”函数.已知是“有源”函数，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】∵，∴，由是“有源”函数定义知，存在，使得，即有解，记，所以a的取值范围是就是函数的值域，则，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，所以，所以，即a的取值范围是.故选：A5．若函数有极值点，，且，则关于x的方程的不同实数根个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【详解】，对于有是方程的两根令，则，，，不妨设，利用有两根，所以，根据三次函数的性质，可以画出的图像，如图所示，又因为，所以由图可知，有1个解，有2个解故选：A．6．已知不等式对任意恒成立，则实数a的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，，不等式对任意恒成立可转化为对任意时，所以，解得.故选：C.7．已知函数，若关于的方程仅有一个实数解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由题意得：函数的定义域为对函数求导：令，可知令，可知或所以在和上单调递减，在上单调递增.故在时，有极小值为令则方程化成令，则，，即，根据图像可知此时只有一个解，排除A；令，则，或（舍去），根据图像可知此时只有一个解，排除C；令，则，或（舍去），根据图像可知此时有两个解，故排除D；故选：B8．已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，得，设，，则即时，为增函数，时，为减函数，所以，即，即，令，，则，则在上单调递增，则，即，即，综上所述.故选：A.二、多选题9．已知函数的图像为曲线C，下列说法正确的有（

）A．，都有两个极值点B．，都有零点C．，曲线C都有对称中心D．，使得曲线C有对称轴【答案】ABC【详解】A：，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，因此是函数的极大值点，是函数的极小值点，因此本选项正确；B：当时，，当时，，而函数是连续不断的曲线，所以一定存在，使得，因此本选项正确；C：假设曲线C的对称中心为，则有化简，得，因为，所以有，因此给定一个实数，一定存在唯一的一个实数与之对应，因此假设成立，所以本选项说法正确；D：由上可知当时，，当时，，所以该函数不可能是关于直线对称，因此本选项说法不正确，故选：ABC10．对于函数，下列说法正确的是（

）A．在处取得极大值B．有两个不同的零点C．D．若在上恒成立，则【答案】AC【详解】A选项，，定义域为，，令，解得，当时，，∴函数在上单调递增，当时，，∴函数在上单调递减，∴函数在时取得极大值也是最大值，故A对；B选项，∵时，，，，当时，，如图所示：

∴函数有且只有唯一一个零点，故B错；C选项，∵当时，为单调递减函数，∴，∵，所以，故C对；D选项，若在上恒成立，即在上恒成立，由，则，故D错．故选：AC．三、填空题11．已知函数，若，使成立，则实数的取值范围是.【答案】【详解】因为，所以当时，，则函数在上单调递增，所以，即因为，使成立，所以，即实数的取值范围是.故答案为：.12．已知函数，若函数有四个零点，则实数a的取值范围是.【答案】【详解】由题意知，函数，可得，所以函数为奇函数，由题意知时，有两个根，即在上有两个根，设，则，当时，；时，，所以在区间上是增函数，在上是减函数，且当时，函数取得最大值，最大值为，当时，，时，，所以函数的图象如图所示，由函数图象，可得，即.故答案为：.四、解答题13．已知函数，当时，函数取得极值.(1)若在上为增函数，求实数m的取值范围；(2)若时，方程有两个根，求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由，则，因为时，取到极值，所以，解得.又当时，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取得极值，符合题意.要使在上为增函数，则或，所以或.即实数的取值范围为.（2）令，由（1）得，且，故，，则，当时，令，解得，令，解得，所以的递增区间为，递减区间为，故，而，，故.要使有两个根，则.即实数的取值范围为.14．已知函数，若的最大值为(1)求的值；(2)若在上恒成立，求b的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）易知函数的定义域为，根据题意可得，令，得，当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减；所以，解得（2）由（1）知，因为，所以可化为，设，所以，则在上恒成立，即可得在上单调递减，，因此的取值范围是15．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若在上单调递增，求实数的取值范围；(3)当时，判断在零点的个数，并说明理由．【答案】(1)(2)(3)仅有一个零点，理由见解析；【详解】（1）由可得，此时切线斜率为，而；所以切线方程为，即；即曲线在点处的切线方程为；（2）根据题意，若在上单调递增，即可得在上恒成立，即恒成立；令，则；显然在上满足，而恒成立，所以在上恒成立；即在单调递增，所以；所以即可；因此实数的取值范围为.（3）令，即可得；构造函数，，易知在上恒成立，即在上单调递增，如下图中实曲线所示：又函数恒过，且，易知，所以函数在处的切线方程为；又，所以（图中虚线）在范围内恒在（图中实直线）的上方；所以由