北师大版九年级上册数学复习知识点及例题1

数学九年级上册知识点总结

第一章特殊的平行四边形复习

中考考点综述：

特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是历年中考的必考内容之一,

主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运

用数学思想方法解决问题的能力。内容主要包括：矩形、菱形、正方形的

性质及判定，以及相关计算，了解平行四边形及矩形、菱形、正方形之间

的联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。

知识目标

掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性质和判

定，通过定理的证明和应用的教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出

发，寻找论证思路分析法和综合法。

重难点：

1.矩形、菱形性质及判定的应用

2.相关知识的综合应用

知识点归纳

矩形菱形正方形

对边平行，四边

对边平行且相对边平行，四边相等

边相等

等

性四个角都是直

角对角相等四个角都是直角

质角

对互相垂直平分，

角互相平分且相且每条对角线平互相垂直平分且相等，每条

线等分一组对角对角线平分一组对角

•有三个角是

•四边相等的四边

直角；•是矩形，且有一组邻边相

形；

•是平行四边等；

•是平行四边形且嚏菱形，且有一个角是直

形且有一个角

判定有一组邻边相等；

是直角；角。

•是平行四边形且

•是平行四边­是菱形，且有一个角是直

两条对角线互相

形且两条对角角。

垂直。

线相等.

对称既是轴对称图形，又是中心对称图形

性

一.矩形

矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形.

【强调】矩形（1）是平行四边形；（2）—一个角是直角.

矩形的性质

性质1矩形的四个角都是直角；

性质2矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。；

矩形的判定

矩形判定方法1：对角线相等的平行四边形是矩形.

注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等

矩形判定方法2:四个角都是直角的四边形是矩形.

矩形判断方法3:有一个角是直角的平行四边形是矩形。

例1：若矩形的对角线长为8cm,两条对角线的一个交角为600,则该矩形

的面积为

例2:菱形具有而矩形不具有的性质是（）

A.对角线互相平分；B.四条边都相等；C.对角相等；D.邻角互补

例3:已知：如图，DABCD各角的平分线分别相交于点E,F,G,-H,

•求证：•四边形EFGH是矩形.

二.菱形

菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等.

菱形的性质

性质1菱形的四条边都相等；

性质2菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；

菱形的判定

菱形判定方法1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线

互相垂直.

菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形.

例1已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于

E.

求证：ZAFD=ZCBE.

例2己知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线及边AD.BC分别交于E、F.

求证：四边形AFCE是菱形.

例3、如图，在ABCD中,0是对角线AC的中点，过点0作AC的垂线及边AD.BC分别交于E、F,求证：四

边形AFCE是菱形.

例4,已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE、BD交于M,

若AB=AE,/EAD=2NBAE。求证:AM=BE。

例5.（10湖南益阳）如图，在菱形ABCD中，ZA=60°,=4,0为对角

线BD的中点，过。点作0ELAB,垂足为E.

（1）求线段的长.

例6、（2019四川自贡）如图，四边形ABCD是菱形，DE±AB交BA的延长

线于E,DF±BC,交BC的延长线于F。请你猜想DE及DF的大小有什么关

系？并证明你的猜想

例7、(2019山东烟台)

如图，菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD,CD上的两个动

点，且满足AE+CF=2.

(1)求证：△BDEgABCF；

(2)判断aBEF的形状，并说明理由；

(3)设aBEF的面积为S,求S的取值范围.

三」正方形

正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：

①有一组邻边相等的平行四边形度形正方形

---►

②有一个角是直角的平行四边形(矩形)

正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱

形.

正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做

正方形.

正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正

方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有

四条对称轴；

因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质

的综合，正方形的性质总结如下：

边：对边平行，四边相等；

角：四个角都是直角；

对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.

注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,

对角线及边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等

腰直角三角形，这是正方形的特殊性质.

正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质.

•正方形的判定方法：

•(1)有一个角是直角的菱形是正方形；

•(2)有一组邻边相等的矩形是正方形.

•注意：1、正方形概念的三个要点：

­(1)是平行四边形；

•(2)有一个角是直角；

(3)有一组邻边相等.

2.要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后

再加上相应的条件，确定是正方形.

例1已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为0,E是0B上的一点,

DGLAE于G,DG交0A于F.

求证：0E=0F.

例2己知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A.C两点作11〃12,作BM_L11于M,DN_L11

于N,直线MB.DN分别交12于Q、P点.

求证：四边形PQMN是正方形.

例3.(2019海南)如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动

点(P及A、C不重合)，点E在射线BC上，且PE=PB.

(1)求证：①PE=PD；②PE±PD；

(2)设4―乂△」呦'的面积为卜

①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.

实战演练：

1.对角线互相垂直平分的四边形是（）

A.平行四边形、菱形B.矩形、菱形C.矩形、正方形D.

菱形、正方形

2.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（）

A.等腰梯形B.正方形C.平行四边形D.矩形

3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）

A.当AB=BC时，它是菱形B.当ACLBD时，它是菱形

C.当NABC二900时，它是矩形D.当AC=BD时，它是正方形

4.如图，在中，点分别在边，，上，且，.下列四个判断

中，不正确的是（）

A.四边形是平行四边形B.如果，那么四边形是矩形

C.如果平分，那么四边形是菱形

D.如果且,那么四边形是菱形

5.如图，四边形为矩形纸片.把纸片折叠，使点恰好落在边的中

点处，折痕为.若，则等于（）

A.B.C.【）.

6.如图，矩影的周长％,两条对角线相交于点，过点作的垂线

,分别交于点，连结，则的周长为（）

A.5cmB.8cmC.9cmD.10cm

7.在右图的方格纸中有一个菱形ABCD（A.B.C.D四点均为格点）,

若方格纸中每个最小正方形的边长为1,则该菱形的面积为

A

BC

8.如图，在盛形中，对角线交于点，已知，则的长

为

9.边长为5cm的菱形，一条对角线长是6cm,则另一条对角线的长

是

10.如图所示，菱形中，对角线相交于点，若再补充一个条件能使

菱形成为正方形，则这个条件是（只填一个条件即可）.

11.如图，上如嚏佥形ABCD对角线BD

BP=BC,则NACP

度数感

12.如图，矩形中，是及的交点，过点的直线及的延长线分

别交于.

（1）求证：；

（2）当及满足什么关系时，以为顶点的四边形是菱形？证明你的结论.

13.将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为

1.

30。

3。

口图2

⑴四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由：

⑵如图2,将RtZ\BCD沿射线BD方向平移到Rt/\B1C1到的位置,四边形

ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：

⑶在RtZ^BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为

时,四边形ABC1D1为矩形，其理由是

_____________________________________:当点B的移动距离为时,

四边形ABC1D1为菱形，其理由是.（图

3.图4用于探究）

应用探究:

1.如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落在处，交于

,若，则在不添加任何辅助线的情况下，图中的角（虚线也视为

角的边）有（）

A.6个B.5个C.4个D.3个

3.已知为矩形的对角线，则图中及一定不相等的是（）

C

-2

B

4.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.将宽为口的红丝带交叉成60°角重叠在一起（如图）,

则重叠四边形的面积为______□

5.如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的

四边形EFGH,若EH=3厘米，EF=4厘米，则边AD的长是厘

米.

6.如图，已知，点在边上，四边形是矩形.请你只用无刻

度的直尺在图中画出的平分线（请保留画图痕迹）.

7.如图:矩形纸片ABCD,AB=2,点E在BC上，且AE=EC.若将纸片沿AE

折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是

第二章一元二次方程

一、一元二次方程

（一）一元二次方程定义

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二

次方程。

（二）一元二次方程的一般形式

,它的特征是：等式左边是一个关于未知数X的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a

叫做二次项系数；bx叫做一次项,b叫做一次项系数；c叫做常数项。

例方程是一元二次方程，则.

二、一元二次方程的解法

1.直接开平方法

直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。当时，，；当b<0

时，方程没有实数根。

例第二象限内一点A（x—1,x2—2）,关于x轴的对称点为B,且AB=6,

贝!Jx=.

（1）2、配方法一般步骤：

（2）方程/+6+c=os工0）两边同时除以a,将二次项系数化为1.

（3）将所得方程的常数项移到方程的右边。

（4）所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方

配方，化成

（5）开方，当时，；当b<0时，方程没有实数根。

例若方程有解，则的取值范围是（）.

A.B.C.D.无法确定

3.公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的

一般方法。

一元二次方程的求根公式：

例已知x2+4x—2=0,那么3x2+12x+2019的值为

4.因式分解法

一元二次方程的一边为0,另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使

用此方法。

例已知一个三角形的两边长是方程x2-8x+15-0的两根，则第三边y的

取值范围是（）.

A.y<8B.3<y<5c.2<y<8D.无法确定

补充：一元二次方程根的判别式

根的判别式

L定义：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式。

2.性质：当>0时1方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两

个相等的实数根；当<0时:方程没有实数根。

例若关于x的方程x2-2(a-1)x=(b+2)2有两个相等的实根，则

a2019+b5的值

为.

例若关于x的方程x2-2x(k-x)+6=0无实根，则k可取的最小整数

为()

(A)-5(B)-4(C)-3(D)-2

补充：一元二次方程根及系数的关系(韦达定理)

如果方程的两个实数根是，那么，。

第三章概率的进一步认识

一、知识概括1.频率

(1)在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频数；

(2)每一小组的频数及数据总数的比值叫做这一小组的频率；即：

(3)在频率分布直方图中，由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率,

而各组频率的和等于1。因此，各个小长方形的面积的和等于1。

2.概率的求法：

(1)一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可

能性都相等，事件A包含其中的m个结果，那么事件A发生的概率为P(A)

(2)表格法

用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

(3)树状图法

通过画树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫

做树状图法。

(当一次试验要涉及三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不

重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。)

例在布袋中装有两个大小一样，质地相同的球，其中一个为红色，一

个为白色。模拟“摸出一个球是白球”的机会，可以用下列哪种替代物进

行实验()

(A)“抛掷一枚普通骰子出现1点朝上”的机会

(B)“抛掷一枚啤酒瓶盖出现盖面朝上”的机会

(C)“抛掷一枚质地均匀的硬币出现正面朝上”的机会

(D)“抛掷一枚普通图钉出现针尖触地”的机会同斗

例如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个龌

个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指

针都落在奇数上的概率是()

231

DX

-1-

575

20

例如图，一个小球从A点沿制定的轨道下落，在每个交叉口都有向左

或向右两种机会均等的结果，小球最终到达H点的概率是()

(A)-(B)-(C)-(D)-

2468

例如图是从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是黑桃1.2.3.4和方块

1、2、3、4,将它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张，

那么摸出的两张牌的牌面数字之和等于5的概率是()

3

7\

5-

例在图中的甲、乙两个转盘中，指针指向每一个数字

的机会是均等的,当同时转动两个转盘，停止后指针所指

的两个数字表示两条线段的长，如果第三条线段的长为5,

那么这三条线段不♦能♦构成三角形的概率是()

(A)—(B)—(C)—(D)—

25252525

三、典型例题

例1.袋中有红、黄、白色球各一个，它们除颜色外其余都相同，每次

任取一个，又放回抽取两次。求下列事件的概率。

(1)全红(2)颜色全同(3)无白

解：

说明：颜色全同包括都是红色或都是黄色或都是白色；无白指没有白

色球。

例2.一个密码保险柜的密码由6个数字组成，每个数字都是由0〜9这

十个数字中的一个，王叔叔忘记了其中最后面的两个数字，那么他一次就

能打开保险柜的概率是多少？

解：他前面的4个数字都已知道只有最后两个数字忘记了，而最后两

个数字每个数字出现的可能结果都有10种情况，那么组成两个数字的可能

结果就有100种，因此正好是密码上的最后两个数字的概率是。

例3.袋中有红色、黄色、蓝色、白色球若干个，小刚又放入5个黑球

后，小颖通过多次摸球实验后，发现摸到红球、黄球、蓝球、白球及黑球

的频率依次为25%,30%,30%,10%,5%,试估计袋中红色球、黄色球、

蓝色球及白色球各有多少个？

解：小刚放入5个黑球后摸到的黑色球的频率为5%,则可以由此估计

出袋中共有球100X25%=25个，黄色球100X30%=30个，蓝色球100

义30%=30个，白色球100义10%=10个,

例4.甲、乙两人用如图所示的两个转盘做游戏，转动两个转盘各1次

（1）若两次数字之差的绝对值为0,1或2,则甲胜，否则乙胜。这个

游戏对双方公平吗？为什么？

（2）若两次数字和是2的倍数，则甲胜，而若和是3的倍数或5的倍

数，则乙胜。这个游戏对双方公平吗？为什么？

解：（1）用列表的方法可看出所有可能的结果：

从上表中可以看出两个数字之差的绝对值，为0的有4种可能结果，1

的有7种可能甲胜的可能性比乙大，所以不公平。

（2）通过列表可知：

出现的两个数字之和是2的倍数有15种，出现的两个数字之和是3的

倍数有10种,5

比乙小.所联不公平.

例5.小明及同学一起想知道每6个人中有两个人生肖相同的概率，他

们想设计一个模拟实验来估计6个人中恰有两个人生肖相同的概率，你能

帮他们设计这个模拟方案吗？

分析：可以用摸球、扑克牌、转盘、计算器模拟随机整数等方法。注

意“一次实验”的设计。

解：用12个完全相同的小球分别编上号码1〜12,代表12个生肖，放

入一个不透明的袋中摇匀后，从中随机抽取一球，记下号码后放回，再摇

匀后取出一球记下号码……连续取出6个球为一次实验，重复上述实验过

程多次，统计每次实验中出现相同号码的次数除以总的实验次数，得到的

实验频率可估计每6个人中有两个人生肖相同的概率。

第四章图形相似及相似三角形知识点解读

知识点1..相似图形的含义

把形状相同的图形叫做相似图形。（即对应角相等、对应边的比也相等的

图形）

解读：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩

小得到.

（2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同.

（3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，及其

他因素无关.

例1.放大镜中的正方形及原正方形具有怎样的关系呢？

分析：要注意镜中的正方形及原正方形的形状没有改变.

解：是相似图形。因为它们的形状相同，大小不一定相同.

例2.下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一

个内角80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是100°

的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是（填序号）.

解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定

相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、

正多边形、顶角为100°的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似.答案:

②⑤⑥.

知识点2.比例线段

对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的长度的比及另两条线段的长

度的比相等，即（或a:b=c:d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比

例线段.

解读：（1）四条线段a,b,c,d成比例，记作（或a:b=c:d）,不能写成

其他形式，即比例线段有顺序性.

（2）在比例式（或a:b;c:d）中，比例的项为a,b,c,d,其中a,d为比

例外项，b,c为比例内项，d是第四比例项.

（3）如果比例内项是相同的线段，即或a:b=b:c,那么线段b叫做线

段和的比例中项。

（4）通常四条线段a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便，a和b

统一为一个单位，c和d统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相

等.

例3.已知线段a=2cm,b=6mm,求.

分析：求即求及长度的比，及的单位不同，先统一单位，再求比.

例4.已知a,b,c,d成比例，且a=6cm,b=3dm,d=dm,求c的长度.

分析：由a,b,c,d成比例,写出比例式a:bnc:d,再把所给各线段a,b,,d

统一单位后代入求c.

知识点3.相似多边形的性质

相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.

解读：（1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系.

（2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性.

例5.若四边形ABCD的四边长分别是4,6,8,10,及四边形ABCD相似的

四边形A1B1C1D1的最大边长为30,则四边形A1B1C1D1的最小边长是多

少？

分析：四边形ABCD及四边形A1B1C1D1相似,且它们的相似比为对应的最

大边长的比，即为，再根据相似多边形对应边成比例的性质，利用方程

思想求出最小边的长.

知识点4.相似三角形的概念

对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形.

解读：（1）相似三角形是相似多边形中的一种；

（2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；

（3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；

（4）相似用“s”表示，读作“相似于”；

（5）相似三角形的对应边之比叫做相似比.

注意：①相似比是有顺序的，比如△ABCsaAlBlCl,相似比为幺若^

A1B1C1-AABC,则相似比为。②若两个三角形的相似比为1,则这两个

三角形全等，全等三角形是相似三角形的特殊情况。若两个三角形全等,

则这两个三角形相似；若两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等.

例6.如图，已知△ADEsaABC,DE=2,BCM,则和的相似比是多少？点

D,E分别是AB,AC的中点吗？

注意：解决此类问题应注意两方面：（1）相似比的顺序性，（2）图形的识

别.

解：因为△ADEs^ABC,所以,因为，

所以，所以D,E分别是AB,AC的中点.

<1）知识点5.相似三角的判定方法

（2）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似；

（3）平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成

的三角形及原三角形相似.

（4）如果一个三角形的两个角分别及另一个三角形的两个角本应相等，

那么这两个三角形相似.

（5）如果一个三角的两条边及另一个三角形的两条边对应成比例，并且

夹角相等，那么这两个三角形相似.

（6）如果一个三角形的三条边分别及另一个三角形的三条边对应成比例，

那么这两个三角形相似.

直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形及原三角形都相似.

①经过归纳和总结，相似三角形有以下几种基本类型：

②平行线型

③常见的有如下两种，DE〃BC,则△ADES^ABC

④相交线型

常见的有如下四种情形，如图，已知N1=/B,则由公共角NA得，4ADE

<^AABC

如下左图，已知N1二NB,则由公共角NA得，△ADCS/\ACB

⑤如下右图，已知NB=ND,则由对顶角N1=N2得，△ADEs/^BC

©旋转型

⑦已知NBAD=NCAE,NB=ND,则△ADEs^ABC,下图为常见的基本图

形.

⑧母子型

已知NACB-90°,AB±CD,贝iJz^CBDs△ABCs4ACD.

解决相似三角形问题，关键是要善于从复杂的图形中分解出（构造出）

上述基本图形.

例7.如图，点D在4ABC的边AB上，满足怎样的条件时，4ACD及4ABC

相似？试分别加以列举.

分析：此题属于探索性问题，由相似三角形的判别方法可知，4ACD及4

ABC已有公共角NA,要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的判别方

法寻找一个条件即可.

解：当满足以下三个条件之一时，△ACDs^ABC

(I)条件一：N1二NB；条件二：N2二NACB；条件三：,即AC2=AD・AB.

(2)知识点6.相似三角形的性质

(3)对应角相等，对应边的比相等；

(4)对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；

相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方.

(1)例8.如图，己知△ADEs^ABC,AD=8,BD=4,BC=15,EC=7

(2)求DE、AE的长;

你还能发现哪些线段成比例.

分析：此题重点考查由两个三角形相似，可得到对应边成例，即

解:(1)VAADE^AABC,

V,AD=8,BD=4,BO15,EO7设DE=x,则，・・.12x=8X15,x=10;

设AE二a,则‘一二色，Aa=14.

a+112⑵国嗜

例9.已知△ABCS^AIBICI,,AABC的周长为20cm：面积为

40cni2.

求(1)AA1B1C1的周长；(2)△A1B1C1的面积.

分析：根据相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方

求解.

易求出△ABG的周长为30cm;△ABG的面积90cm2

五、视图及投影

L视图

三视图包括：主视图、俯视图和左视图。

在画视图时,看得见的部分的轮廓线通常画成实线，看不见的部分轮廓线

通常画成虚线。

例如图，一几何体的三视图如右：

那么这个几何体是.

主视图左视图俯视图

例如果用口表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立

方体叠加，那么下面右图由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可

画出的平面图形是（）

2.投影

（1）投影：物体在光线的照射下，在地面上或墙壁上留下它的影子，这就

是投影现象。

（2）平行投影：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影

称为平行投影。

（3）中心投影：探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一

点发出的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影。

（4）区分平行投影和中心投影：①观察光源；②观察影子。

（5）从正面、上面、侧面看到的图形就是常见的正投影，是当光线及

投影垂直时的投影。①点在一个平面上的投影仍是一个点；

②线段在一个面上的投影可分为三种情况：

线段垂直于投影面时，投影为一点；

线段平行于投影面时，投影长度等于线段的实际长度；

线段倾斜丁投影面时，投影长度小丁线段的实际长度。

③平面图形在某一平面上的投影可分为三种情况：

平面图形和投影面平行的情况下，其投影为实际形状；

平面图形和投影面垂直的情况下，其投影为一线段；

平面图形和投影面倾斜的情况下，其投影小于实际的形状。

例小明在操场上练习双杠时，在练习的过程中他发现在地上双杠的两

横杠的影子（）

A.相交B.平行C.垂直D.无法确定

例小明希望测量出电线杆AB的高度，于是在

阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点D处立一标杆CD,

使标杆的影子DE及电线杆的影子BE部分重叠（即点E、C.A在一直线上），

量得

ED=2米，DB=4米，CD=1.5米，则电线杆八13长=

3.视点、视线、盲区

眼睛的位置称为视•点•；由视点发出的线称为视•线•；眼睛看不到的地方称

为盲•区•。

例当你乘车沿一条平坦的大道向前行驶时，你会发现，前方那些高一些

的建筑物好像“沉”到了位于它们前面那些矮一些的建筑物后面去了，这

是因为（）

A汽车开的很快B盲区减小C盲区增大D无法确定

第六章反比例函数

1.反比例函数的概念

一般地，如果两个变量x,y之间的关系可以表示为（k是常数，k0）

的形式，那么称y是x的反比例函数。（反比例函数的解析式也可以写成

的形式。自变量X的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是

切非零实数。）

2.反比例函数的图象