第六章 圆 第2节 与圆有关的位置关系 学案（含答案）2025年中考数学人教版一轮复习

第2节与圆有关的位置关系

回归教材·过基础

【知识体系】

【考点清单】

知识点1点与圆的位置关系

点与圆的位置关系图形d与r的大小

点A在圆O内d=OA<r

点B在圆O上d=OB=r

点C在圆O外d=OC>r

知识点2直线与圆的位置关系常．考．

1.直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关

相交相切相离

系

图形

d与r的大小d<rd=rd>r

公共点名称交点切点无

直线名称割线切线无

2.切线的性质与判定

性质定理圆的切线垂直于过切点的半径

1.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点

推论

2.经过切点且垂直于切线的直线必过圆心

1.和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线

切线的判定2.如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径,那么这条直线是圆的切线

3.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

3.切线长定理

(1)切线长:如图,过圆外一点P,有两条直线PM,PN分别与☉O相切,点P和切点之间线段的长叫作

这点到圆的切线长.

(2)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分两

条切线的夹角.

知识点3三角形的内心和外心

1.三角形的外心:三角形外接圆的圆心叫作三角形的外心.三角形的外心是三角形三边垂直平分线

的交点,它到三角形三个顶点的距离相等.

2.三角形的内心:三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心.三角形的内心是三角形三条角平分线的

交点,它到三角形三边的距离相等,且在三角形内部.

【基础演练】

1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8.以点A为圆心,r为半径作圆,当点C在☉A内且点B

在☉A外时,r的值可能是()

A.6B.8C.10D.12

2.如图,这是“光盘行动”的宣传海报,图中筷子与餐盘可看成直线和圆,它们的位置关系是()

A.相切B.相交C.相离D.平行

3.平面内,☉O的半径为5,若直线l与☉O相离,则圆心O到直线l的距离可能是()

A.6B.5C.4D.3

4.(2024·三明二模)如图,在△ABC中,AB=AC,边BC与☉A相切于点D,边AB,AC与☉A分别交于

点M,N.求证:=.

DMDN

真题精粹·重变式

1.(2024·福建)如图,已知点A,B在☉O上,∠AOB=72°,直线MN与☉O相切,切点为C,且C为

的中点,则∠ACM等于(AB)

A.18°

B.30°

C.36°

D.72°

2.(2021·福建)如图,AB为☉O的直径,点P在AB的延长线上,PC,PD与☉O相切,切点分别为C,D.

若AB=6,PC=4,则sin∠CAD等于()

A.B.C.D.

3234

2345

3.(2019·福建)如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,点C在☉O上,且∠ACB=55°,则∠APB等于

()

A.55°

B.70°

C.110°

D.125°

4.(2023·福建)如图,已知△ABC内接于☉O,CO的延长线交AB于点D,交☉O于点E,交☉O的切

线AF于点F,且AF∥BC.

(1)求证:AO∥BE.

(2)求证:AO平分∠BAC.

5.(2020·福建)如图,AB与☉O相切于点B,AO交☉O于点C,AO的延长线交☉O于点D,E是

BCD

上不与点B,D重合的点,sinA=.

1

2

(1)求∠BED的度数.

(2)若☉O的半径为3,点F在AB的延长线上,且BF=3,求证:DF与☉O相切.

3

核心突破·拓思维

考点切线的判定

如图,在△ABC中,CA=CB,O为AB上一点.以O为圆心,OB长为半径的☉O过点C,交AB于

另一点D,若D是OA的中点,求证:AC是☉O的切线.

由CA=CB⇨可得∠A=∠B

⇨可证△AOC≌△BDC⇨∠ACO=∠BCD=90°

⇨即可得AC是☉O的切线

核心方法

证明直线与圆相切常见情形

(1)已知半径,证垂直;(2)已知垂直,证半径;(3)半径、垂直都不知,作垂线试一试.

如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,∠A=60°.点E在AB延长线上,BE=OB.过点

E作ED⊥AC,交AC的延长线于点D.求证:DE是☉O的切线.

如图,△ABC为☉O内接三角形,∠B=2∠A,点M为直径AB上一点,过点M作AB的垂

线交AC于点N,交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,EF=FC.

(1)求证:CF是☉O的切线.

(2)设☉O的半径为2,且AC=CE,求AM的长.

参考答案

回归教材·过基础

基础演练

1.B2.B3.A

4.证明:连接AD,如图所示.

∵BC与☉A相切于点D,

∴AD⊥BC.

∵AB=AC,

∴∠BAD=∠CAD,

∴=.

DMDN真题精粹·重变式

1.A2.D3.B

4.证明:(1)∵AF是☉O的切线,

∴AF⊥OA,即∠OAF=90°.

∵CE是☉O的直径,

∴∠CBE=90°,∴∠OAF=∠CBE.

∵AF∥BC,∴∠BAF=∠ABC,

∴∠OAF-∠BAF=∠CBE-∠ABC,

即∠OAB=∠ABE,

∴AO∥BE.

(2)∵∠ABE与∠ACE都是所对的圆周角,

∴∠ABE=∠ACE.EA

∵OA=OC,∴∠ACE=∠OAC,

∴∠ABE=∠OAC,

由(1)知∠OAB=∠ABE,

∴∠OAB=∠OAC,

∴AO平分∠BAC.

5.解析:(1)如图1,连接OB.

图1

∵AB与☉O相切于点B,

∴∠ABO=90°.

∵sinA=,

1

2

∴∠A=30°,∴∠BOD=∠ABO+∠A=120°,

∴∠BED=∠BOD=60°.

1

2

(2)证明:如图2,连接OF,OB.

图2

∵AB是切线,∴∠OBF=90°.

∵BF=3,OB=3,

∴tan∠BO3F==,∴∠BOF=60°.

BF

OB

∵∠BOD=120°,3

∴∠BOF=∠DOF=60°.

在△BOF和△DOF中,

OB=OD,

∠BOF=∠DOF,

∴△BOF≌△DOF(SASO),F=OF,

∴∠OBF=∠ODF=90°,∴DF与☉O相切.

核心突破·拓思维

例证明:如图,连接OC,CD.

∵CA=CB,

∴∠A=∠B.

∵BD是直径,

∴∠BCD=90°.

∵D是OA的中点,

∴AD=OD.

又OB=OD,∴AO=BD,

∴△AOC≌△BDC(SAS),

∴∠ACO=∠BCD=90°,∴OC⊥AC.

∵C为半径OC的外端点,

∴AC是☉O的切线.

变式1证明:如图,过点O作OF⊥DE于点F.

∵ED⊥AC,

∴∠D=90°.

又∵∠A=60°,

∴∠E=30°,

∴OF=OE.

1

2

∵BE=OB,

∴OB=OE,

1

2

∴OF=OB,则点F在☉O上,

∴DE是☉O的切线.

变式2解析:(1)证明:如图,连接OC.

∵AB是☉O的直径,

∴∠ACB=90°.

又∵∠B=2∠A,

∴∠B=60°,∠A=30°,

∵EM⊥AB,∴∠EMB=90°.

在Rt△EMB中,∠B=60°,∴∠E=30°.

又∵EF=FC,∴∠ECF=∠E=30°.

又∵∠ECA=90°,∴∠FCA=60°.

∵OA=OC,∴∠OCA=∠A=30°,

∴∠FCO=∠FC