高中数学第一章推理与证明1.3第一章推理与证明反证法_第1页
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1.3反证法1.3反证法1/13复习引入综正当分析法因果由因导果法果因执果索因法直接证实间接证实反证法2/13A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、

B都撒谎。则C必定是在撒谎，为何？假设C没有撒谎,则C真;由A假,知B真.那么假设“C没有撒谎”不成立;则C必定是在撒谎.那么A假且B假;这与B假矛盾.推出矛盾.推翻假设.原命题成立.分析:由假设33/13反证法步骤：①假设命题结论不成立，即假设结论反面成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，而必定命题结论正确。要证结论p假设非p为真造成矛盾断定反设非P为假P必为真原命题得证4/13定义：

普通地，假设原命题不成立，经过正确推理，最终得出矛盾，由此说明假设错误，从而证实了原命题成立，这么证实方法叫做反证法。思索：此法原理和实质是什么？原理：否定之否定就是必定。实质：证实命题逆否命题和原命题同时成立。5/13例1.已知a是整数，2能整除a2，求证：2能整除a.证实：假设命题结论不成立，即“2不能整除a”.因为a是整数，故a是奇数，a可表示为2m+1（m为整数），则即a2是奇数.所以,2不能整除a2.这与已知“2能整除”相矛盾.于是,“2不能整除a”这个假设错误，故2能整除a.6/13例2、在同一平面内，两条直线a，b都和直线c垂直.求证：a与b平行.证实：假设命题结论不成立，即“直线a与b相交”。设直线a，b交点为M，a，c交点为P，b，c交点为Q，如图所表示，则∠PMQ＞0°这么内角和这与定理“三角形内角和等于180°”相矛盾，这说明假设是错误。所以直线a与b不相交，即a与b平行。7/13反证法步骤：总结（1）反设：假设结论反面成立；（2）归谬：由反设出发，经过正确推理，导出矛盾；（3）结论：结论反面不成立，即原结论正确。8/13(1)直接证实比较困难;(2)直接证实需分成很多类,而对立命题分类较少;（3)结论有“最少”,“至多”,“有没有穷多个”之类字样（4）结论为“唯一”之类命题；应用反证法情形：9/13思索：归谬是“反证法”关键步骤，归谬得到逻辑矛盾，常见类型有哪些？

归谬包含推出结果与已知定义、公理、定理、公式矛盾，或与已知条件、暂时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形.10/13分析：最少有一个，若从正面考虑，需分各种情况，一一去证实，比较繁琐，而反方面只有“没有一个数大于25”这一个情况，即“全部数都小于等于25”，相对而言，从反方面入手愈加简便。1.已知，求证：中最少有一个数大于25。试分析以下题目，并写出反证法证实过程。注意有两个方面，不要想当然地认为“小于”就是“小于”。11/132.求证：

不可能是一个等差数列中三项。分析：设为等差数列，则可由等差数列相关概念，如公差或等差中项等推出矛盾。3.空间中有平面、，直线、，且有求证：分析：设、不平行，由立体几何知识轻易推得直线与面相交，与条件矛盾。12/13＊

反证法定义：＊

反证

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