2024高考数学一轮复习第2章函数第7节对数与对数函数教学案理北师大版

PAGEPAGE1第七节对数与对数函数[最新考纲]1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，驾驭对数函数图像通过的特别点，会画底数为2,10，eq\f(1,2)的对数函数的图像.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．1．对数的概念假如ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)．(2)换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．(3)对数的运算性质：假如a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．3．对数函数的定义、图像与性质定义函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数图像a＞10＜a＜1定义函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0在(0，＋∞)上为增函数在(0，＋∞)上为减函数4．反函数指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．eq\a\vs4\al([常用结论])1．换底公式的两个重要结论(1)logab＝eq\f(1,logba)；(2)logambn＝eq\f(n,m)logab.其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R，m≠0.2．对数函数的图像与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数渐渐增大．一、思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．()(2)log2x2＝2log2x.()(3)函数y＝lneq\f(1＋x,1－x)与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．()(4)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1))，函数图像不在其次、三象限．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材改编1．(log29)·(log34)＝()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．2 D．4D[(log29)·(log34)＝eq\f(lg9,lg2)×eq\f(lg4,lg3)＝eq\f(2lg3,lg2)×eq\f(2lg2,lg3)＝4.故选D.]2．已知a＝2，b＝log2eq\f(1,3)，c＝logeq\f(1,3)，则()A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．c＞b＞a D．c＞a＞bD[因为0＜a＜1，b＜0，c＝logeq\f(1,3)＝log23＞1.所以c＞a＞b.故选D.]3．函数y＝eq\r(log2x－1)的定义域是________．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))[由log(2x－1)≥0，得0＜2x－1≤1.∴eq\f(1,2)＜x≤1.∴函数y＝eq\r(log2x－1)的定义域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).]4．函数y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的图像恒过点________．(3,1)[当4－x＝1即x＝3时，y＝loga1＋1＝1.所以函数的图像恒过点(3,1)．]考点1对数式的化简与求值对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．1.设2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，则m等于()A．eq\r(10) B．10C．20 D．100A[由已知，得a＝log2m，b＝log5则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,log2m)＋eq\f(1,log5m)＝logm2＋logm5＝logm10＝2.解得m＝eq\r(10).]2．计算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,4)－lg25))÷100＝________.－20[原式＝(lg2－2－lg52)×100＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,22×52)))×10＝lg10－2×10＝－2×10＝－20.]3．计算：eq\f(1－log632＋log62·log618,log64)＝________.1[原式＝eq\f(1－2log63＋log632＋log6\f(6,3)·log66×3,log64)＝eq\f(1－2log63＋log632＋1－log632,log64)＝eq\f(21－log63,2log62)＝eq\f(log66－log63,log62)＝eq\f(log62,log62)＝1.]4．已知log23＝a,3b＝7，则log2eq\r(21)的值为________．eq\f(2＋a＋ab,2a＋ab)[由题意3b＝7，所以log37＝b.所以log2eq\r(21)＝logeq\r(84)＝eq\f(log284,log263)＝eq\f(log222×3×7,log232×7)＝eq\f(2＋log23＋log23·log37,2log23＋log23·log37)＝eq\f(2＋a＋ab,2a＋ab).]对数运算法则是在化为同底的状况下进行的，因此常常会用到换底公式及其推论．在对含有字母的对数式进行化简时，必需保证恒等变形．考点2对数函数的图像及应用对数函数图像的识别及应用方法(1)在识别函数图像时，要擅长利用已知函数的性质、函数图像上的特别点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)解除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．(1)(2024·浙江高考)在同始终角坐标系中，函数y＝eq\f(1,ax)，y＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))(a＞0，且a≠1)的图像可能是()ABCD(2)当0＜x≤eq\f(1,2)时，4x＜logax，则a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))C.(1，eq\r(2)) D.(eq\r(2)，2)(1)D(2)B[(1)对于函数y＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，当y＝0时，有x＋eq\f(1,2)＝1，得x＝eq\f(1,2)，即y＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))的图像恒过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，解除选项A、C；函数y＝eq\f(1,ax)与y＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))在各自定义域上单调性相反，解除选项B，故选D.(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a＞1时不满意条件，当0＜a＜1时，画出两个函数在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上的图像，可知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＜geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，即2＜logaeq\f(1,2)，则a＞eq\f(\r(2),2)，所以a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).][母题探究]1．(变条件)若本例(2)变为：若不等式x2－logax＜0对x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))恒成立，求实数a的取值范围．[解]由x2－logax＜0得x2＜logax，设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))时，不等式x2＜logax恒成立，只需f1(x)＝x2在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上的图像在f2(x)＝logax图像的下方即可．当a＞1时，明显不成立；当0＜a＜1时，如图所示．要使x2＜logax在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上恒成立，需f1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≤f2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，所以有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2≤logaeq\f(1,2)，解得a≥eq\f(1,16)，所以eq\f(1,16)≤a＜1.即实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，1)).2．(变条件)若本例(2)变为：当0＜x≤eq\f(1,4)时，eq\r(x)＜logax，求实数a的取值范围．[解]若eq\r(x)＜logax在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))成立，则0＜a＜1，且y＝eq\r(x)的图像在y＝logax图像的下方，如图所示，由图像知eq\r(\f(1,4))＜logaeq\f(1,4)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜a＜1，,a\f(1,2)＞\f(1,4)，))解得eq\f(1,16)＜a＜1.即实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，1)).1．(2024·合肥模拟)函数y＝ln(2－|x|)的大致图像为()ABCDA[令f(x)＝ln(2－|x|)，易知函数f(x)的定义域为{x|－2＜x＜2}，且f(－x)＝ln(2－|－x|)＝ln(2－|x|)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，解除选项C，D.当x＝eq\f(3,2)时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝lneq\f(1,2)＜0，解除选项B，故选A.]2．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图像如图，则下列结论成立的是()A．a＞1，c＞1B．a＞1,0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1,0＜c＜1D[由对数函数的图像和性质及函数图像的平移变换知0＜a＜1,0＜c＜1.]3．设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则()A．x1x2＜0 B．x1x2＝0C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1D[作出y＝10x与y＝|lg(－x)|的大致图像，如图．明显x1＜0，x2＜0.不妨令x1＜x2，则x1＜－1＜x2＜0，所以10x1＝lg(－x1)，10x2＝－lg(－x2)，此时10x1＜10x2，即lg(－x1)＜－lg(－x2)，由此得lg(x1x2)＜0，所以0＜x1x2＜1，故选D.]考点3对数函数的性质及应用解与对数函数有关的函数性质问题的3个关注点(1)定义域，全部问题都必需在定义域内探讨．(2)底数与1的大小关系．(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．比较大小(1)(2024·天津高考)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为()A．a＜c＜b B．a＜b＜cC．b＜c＜a D．c＜a＜b(2)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝logeq\f(1,3)，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．c＞b＞a D．c＞a＞b(1)A(2)D[(1)因为a＝log52＜log5eq\r(5)＝eq\f(1,2)，b＝log0.50.2＞log0.50.5＝1，c＝0.50.2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＞eq\f(1,2)，0.50.2＜1，所以a＜c＜b，故选A.(2)因为a＝log2e＞1，b＝ln2∈(0,1)，c＝logeq\f(1,3)＝log23＞log2e＞1，所以c＞a＞b，故选D.]对数值大小比较的主要方法(1)化同底数后利用函数的单调性．(2)化同真数后利用图像比较．(3)借用中间量(0或1等)进行估值比较．解简洁对数不等式(1)若logaeq\f(3,4)＜1(a＞0且a≠1)，则实数a的取值范围是________．(2)若loga(a2＋1)＜loga2a＜0，则a(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))∪(1，＋∞)(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))[(1)当0＜a＜1时，logaeq\f(3,4)＜logaa＝1，∴0＜a＜eq\f(3,4)；当a＞1时，logaeq\f(3,4)＜logaa＝1，∴a＞1.∴实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))∪(1，＋∞)．(2)由题意得a＞0且a≠1，故必有a2＋1＞2a又loga(a2＋1)＜loga2a＜0，所以0＜a同时2a＞1，所以a＞eq\f(1,2).综上，a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).]对于形如logaf(x)＞b的不等式，一般转化为logaf(x)＞logaab，再依据底数的范围转化为f(x)＞ab或0＜f(x)＜ab.而对于形如logaf(x)＞logbg(x)的不等式，一般要转化为同底的不等式来解．和对数函数有关的复合函数解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤已知函数f(x)＝loga(3－ax)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？假如存在，试求出a的值；假如不存在，请说明理由．[解](1)因为a＞0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3－ax＞0恒成立．所以3－2a＞0.所以a＜eq\f(3,2).又a＞0且a≠1，所以a∈(0,1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).(2)t(x)＝3－ax，因为a＞0，所以函数t(x)为减函数．因为f(x)在区间[1,2]上为减函数，所以y＝logat为增函数，所以a＞1，当x∈[1,2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2a＞0，,loga3－a＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜\f(3,2)，,a＝\f(3,2).)