江苏省徐州市2017-2018学年高二上学期期末抽测数学（理）试题

2017一2018学年度第一学期期末抽测高二年级数学试题（理）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置1.命题“”的否定是____________.【答案】【解析】原命题是全称命题，其否定为.2.抛物线的焦点坐标为____________.【答案】【解析】试题分析：一次项系数除以4得焦点横坐标或纵坐标，所以焦点考点：抛物线焦点点评：的焦点3.函数的单调减区间____________.【答案】【解析】，令，则，故所求减区间为，填.4.直线与直线垂直的充要条件是____________.【答案】【解析】两直线垂直，故填.5.椭圆的右焦点为，右准线为，过椭圆上顶点作，垂足为，则直线的斜率为____________.【答案】【解析】右焦点为，又，而，故，故，填.6.已知知一个正四棱柱的底面边长为，其侧面的对角线长为，则这个正四棱柱的侧面积为_________.【答案】【解析】设正四棱柱的高（侧棱长）为，因侧面为矩形，故，，侧面积为，填.7.在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线.的焦距为____________.【答案】【解析】渐进线方程为，故即，从而，焦距为.填.8.己知函数，若存在实数，使得，成立，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】，当时，，故在为减函数；当，，故在为增函数，所以在上，，因为在有解，故，所以实数的取值范围，填.9.己知圆与圆相内切，则实数的值为_______.【答案】1或11【解析】圆心距为，因两圆内切，故，解得或，填.10.设是上的单调增函数，则的值为____________.【答案】【解析】试题分析：，因为是上的单调增函数，所以在上恒成立，则即，所以；考点：1.导数在研究函数中的应用；11.点在圆上运动，若为常数，且的值是与点的位置无关的常数，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】由题设有对圆上的任意的点，总有，而圆始终在直线的下方，所以，也就是，故圆应该在直线的上方（可以相切），故，解得，填.点睛：直线与圆的位置关系往往隐含在已知条件中，解题时注意挖掘这些性质.12.己知是椭圆的焦点，是椭圆的准线上一点，若，则椭圆的离心率的取值范围是__________.【答案】【解析】因为，，所以，又，故，所以，即离心率的取值范围是，故填.13.已知点为圆外一点，若圆一上存在点，使得，则正数的取值范围是____________.【答案】【解析】因为点在圆外，故又，解得，设到直线的，则距离为，而，故也即是，所以，整理得到，所以（舎）或，综上，.点睛：与圆有关的最值问题，通常转化几何对象到圆心的距离的问题去考虑.14.已知关于的方程在区间上有解，则整数的值为__________.【答案】或【解析】令，，当时，恒成立且也恒成立，故的图像始终在轴上方且函数为上的增函数，其图像如下：点睛：对方程的根的估计，可以转化为两个函数图像的交点去判断，必要时需借助导数去刻画函数的图像.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤.15.在四棱锥中，底面为矩形，平面分别为的中点．求证：(1)平面；(2)平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由平面可以得到，结合可以得到平面．（2）设中点为，连结，，则可证四边形为平行四边形，从而，也就是平面．解析：（1）因为平面，平面，所以．因为底面为矩形，所以．又因为，平面，所以平面．（2）取中点，连结，．因为为的中点，所以，且．因为为矩形，所以，且，故．所以为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．16.已知圆经过点，圆心在第一象限，线段的垂直平分线交圆于点,且．（1）求直线的方程；（2）求圆的方程；（3）过点作圆的切线，求切线的斜率.【答案】（1）；（2）；（3）或.【解析】试题分析：（1）求出的中点和的斜率就可以得到中垂线的方程为．（2）圆心必在直线上，故可设，利用垂径定理可以得到，从而解出或，圆心为或（舎），故圆的方程为：．（3）设切线的方程为，利用圆心到直线的距离为半径得到或．解析：（1）因为，所以．又的中点在直线上，故直线的方程为，即．（2）由题意知为圆的直径，设圆心，则，解得或．故圆心为或（舍）．所以圆的方程为．（3）切线的斜率必存在，设切线的斜率为，则切线为，故，解得或．17.在直三棱柱中，己知.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）；（2）.............试题解析：如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系．则，，，，所以，，，．（1）因为，所以异面直线与夹角的余弦值为．4分（2）设平面的法向量为，则即取平面的一个法向量为；所以二面角平面角的余弦值为．10分考点：利用空间向量求线线角及二面角18.在一个半径为1的半球材料中截取两个高度均为的圆柱，其轴截面如图所示．设两个圆柱体积之和为．(1)求的表达式，并写出的取值范围；(2）求两个圆柱体积之和的最大值．【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）圆柱的高、底面的半径和球的半径是一个直角三角形的三边，故可以得到两个圆柱的底面半径分别为，，由此可以计算出两个圆柱的体积之和以及的取值范围．（2）因为，利用导数讨论该函数的单调性，从而求得的最大值为．解析：（1）自下而上两个圆柱的底面半径分别为：，．它们的高均为，所以体积之和．因为，所以的取值范围是．(2)由，得，令，因为，得．所以当时，；当时，．所以在上为增函数，在上为减函数，所以当时，取得极大值也是最大值，的最大值为．答：两个圆柱体积之和的最大值为．19.已知椭圆经过点，且与椭圆有相同的焦点．(1)求椭圆的标准方程；(2）若动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线交于点，问：以线段为直径的圆是否经过一定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在点.【解析】试题分析：（1）先求出椭圆的焦点为，则由题设有，从中解出可得椭圆的标准方程为．(2)因为动直线与椭圆相切，故联立直线方程和椭圆方程后利用判别式为零得到和，又，设，则对任意的恒成立，但，因此，从而也就是点符合题意．解析：（1）椭圆的焦点为，设椭圆的标准方程为，则解得所以椭圆的标准方程为．（2）联立消去，得，所以，即．设，则，，即．假设存在定点满足题意，因为，则，，所以，恒成立，故解得所以存在点符合题意．点睛：动圆过定点，一般是找出动圆的一般式方程，它含有一个参数．而对于含多个参数的圆的一般方程，考虑其过定点时，可先设出定点的坐标，代入圆的一般方程得到一个恒等式，从而得到定点坐标满足的方程组，解这个方程组即可．20.设函数，其中是实数．(l）若，求函数的单调区间；(2）当时，若为函数图像上一点，且直线与相切于点，其中为坐标原点，求的值；(3)设定义在上的函数在点处的切线方程为，若在定义域内恒成立，则称函数具有某种性质，简称“函数”．当时，试问函数是否为“函数”？若是，请求出此时切点的横坐标；若不是，清说明理由．【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）；（3）是“函数”，.【解析】试题分析：（1）求出，分别令和可以得到函数的增区间和减区间．（2）由题设，曲线在处的切线过原点，故，整理得到，根据函数为增函数以及得到．（3）函数在处的切线方程为：，构造函数其导数为分别讨论和时的符号以及进一步讨论的单调性可知在和上不是“函数”，故，经检验符合．解析：（1）由，得，（），，由得：；由得：．所以的单调增区间为，单调减区间为．（2）由，得，．，所以切线的斜率．又切线的斜率为，所以，，即，设，，所以，函数在(0,＋∞)上为递增函数，且是方程的一个解，即是唯一解，所以，．（3）当时，由函数在其图象上一点处的切线方程为，令设，则．且当时，，则在上有，故在上单调递增，故当有，所以在有；当时，，则在上有，故在上单调递增，故当有，所以在有