高考备考资料之数学人教A版全国用课件第九章高考专题突破五

高考中的圆锥曲线问题高考专题突破五考点自测课时作业题型分类深度剖析内容索引考点自测12345解析答案√12345可得a2＋b2＝9.②由①②可得a2＝4，b2＝5.1245解析3答案√12453解析由题意知，以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，12453解析3.(2017·全国Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为A.16B.14C.12D.10答案√12453解析因为F为y2＝4x的焦点，所以F(1,0).1245312453解析答案124532解析12453答案5.(2017·山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线

＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________.12453解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，显然，方程必有两个不等实根.12453题型分类深度剖析题型一求圆锥曲线的标准方程√解析答案求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程.思维升华√解析答案则a2＋b2＝4，

①题型二圆锥曲线的几何性质√解析答案解析答案圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系.掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力.思维升华√解析答案圆的圆心为(2,0)，半径为2，题型三最值、范围问题解答(1)求直线AP斜率的取值范围；解

由P(x，y)，即P(x，x2).所以直线AP斜率的取值范围为(－1,1).解答(2)求|PA|·|PQ|的最大值.所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3，令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线的几何意义求最值与范围.思维升华解答(1)求椭圆C的方程；证明(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.①求证：点M在定直线上；解答题型四定点、定值问题例4

(2017·益阳、湘潭调研)已知动圆P经过点N(1,0)，并且与圆M：(x＋1)2＋y2＝16相切.(1)求点P的轨迹C的方程；解答解

由题设得|PM|＋|PN|＝4>|MN|＝2，∴点P的轨迹C是以M，N为焦点的椭圆，(2)设G(m,0)为轨迹C内的一个动点，过点G且斜率为k的直线l交轨迹C于A，B两点，当k为何值时，ω＝|GA|2＋|GB|2是与m无关的定值，并求出该定值.解答解

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(m,0)(－2<m<2)，直线l：y＝k(x－m)，得(3＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－12＝0，∴y1＋y2＝k(x1－m)＋k(x2－m)y1·y2＝k2(x1－m)(x2－m)＝k2x1x2－k2m(x1＋x2)＋k2m2求定点及定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.思维升华跟踪训练4已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m＞0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；证明证明

设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2，得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，

①解答解

四边形OAPB能为平行四边形.得k2>k2－6k，所以k>0.所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3.四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM.题型五探索性问题(1)求椭圆E的方程；解答所以椭圆E的方程为

＝1.解答即|QC|＝|QD|，所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为(0，y0).解得y0＝1或y0＝2，所以若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为(0,2).当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0，易知点B关于y轴对称的点B′的坐标为(－x2，y2)，(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.思维升华(1)求C1，C2的标准方程；解答解

设抛物线C2：y2＝2px(p≠0)，易得，抛物线C2的标准方程为C2：y2＝4x；解答解

由椭圆的对称性可设C2的焦点为F(1,0)，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，并设M(x1，y1)，N(x2，y2)，解得k＝±2.经检验，k＝±2都符合题意.所以存在直线l满足条件，且l的方程为2x－y－2＝0或2x＋y－2＝0.课时作业基础保分练123456解答(1)求椭圆C的方程；又a2＝b2＋c2，

③联立①②③可得a2＝2，b2＝1，123456解答123456∴直线l的斜率不能为0.设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线的方程代入椭圆方程得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，显然方程有两个不同实数解.由根与系数的关系可得123456123456|AB|2＝(1＋m2)|y1－y2|2＝(1＋m2)[(y1＋y2)2－4y1y2]123456解答2.(2018·新余联考)如图所示，已知点E(m,0)为抛物线y2＝4x内的一个定点，过E作斜率分别为k1，k2的两条直线，分别交抛物线于点A，B，C，D，且M，N分别是AB，CD的中点.(1)若m＝1，k1k2＝－1，求△EMN面积的最小值；123456解

当m＝1时，E为抛物线y2＝4x的焦点，∵k1k2＝－1，∴AB⊥CD，直线AB的方程为y＝k1(x－1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，得k1y2－4y－4k1＝0，123456123456证明(2)若k1＋k2＝1，求证：直线MN过定点.123456证明

直线AB的方程为y＝k1(x－m)，得k1y2－4y－4k1m＝0，显然方程有两不等实根.123456即y＝k1k2(x－m)＋2，∴直线MN恒过定点(m,2).123456证明3.(2017·衡水联考)在平面直角坐标系xOy中，过点C(2,0)的直线与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)求证：y1y2为定值；123456证明

方法一

当直线AB垂直于x轴时，因此y1y2＝－8(定值).当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y＝k(x－2)，∴y1y2＝－8.因此有y1y2＝－8，为定值.123456方法二

显然直线AB的斜率不为0.设直线AB的方程为my＝x－2，∴y1y2＝－8，为定值.123456解答(2)是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长；如果不存在，请说明理由.123456解

设存在直线l：x＝a满足条件，123456故所截弦长为当1－a＝0，即a＝1时，弦长为定值2，这时直线方程为x＝1.123456解答4.已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；123456所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.123456解答(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论.123456解

直线AB与圆x2＋y2＝2相切.证明如下：设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t,2)，其中x0≠0.123456即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0.圆心O到直线AB的距离123456此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．