中考数学-实数及其运算(含6种解题技巧)(含答案)

Page试卷第=page11页，共=sectionpages33页第一章数与式第01讲实数及其运算（思维导图+6考点+2命题点11种题型（含6种解题技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一实数的分类考点二数轴、相反数、绝对值、倒数考点三科学记数法考点四平方根、立方根考点五比较实数的大小考点六实数的运算04题型精研·考向洞悉命题点一实数的基础►题型01正负数的意义►题型02无理数的识别►题型03科学记数法►题型04无理数的估算►题型05实数的大小比较►题型06实数与数轴►题型07平方根、立方根命题点二实数的运算►题型01非负性的应用►题型02实数的简单运算►题型03实数的混合运算►题型04与实数有关的新定义问题Page试卷第=page11页，共=sectionpages33页

01考情透视·目标中考考点考查频率新课标要求实数的分类★★理解有理数、无理数的概念，知道实数是由有理数和无理数组成的数轴、相反数、绝对值、倒数★★★了解实数与数轴上的点一一对应；能用数轴上的点表示实数；能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值.科学记数法★★会用科学记数法表示数平方根、立方根★★了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根；了解乘方与开方互为逆运算.实数比较大小★★能用有理数估计一个无理数的大致范围；能比较实数的大小.实数的相关计算★★★理解乘方的意义；掌握有理数的加减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算.【考情分析】实数是初中数学的基础内容，也是必考内容，试题形式多样，考查较多的是实数与数轴结合、实数的混合运算及科学记数法，试题难度都不大，在实数的混合运算中，注意符号和运算顺序是解题的关键，实数的混合运算涉及的知识点较多，包含去绝对值、非零数的0次幂、负整数指数幂及特殊角的三角函数值等，每个知识点都要求准确掌握.02知识导图·思03考点突破·考考点一实数的分类1.正数与负数正数：大于0的数叫做正数，如：0.5，QUOTE，+2等.负数：小于0的数叫做负数.如：-0.5，QUOTE，-2，-（+1）等.2.有理数及分类有理数：整数和分数统称为有理数.（【实质】可以写成形式的数，其中m，n为整数且m≠0）【补充】有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.例：0.53（分数形式：QUOTE），1.333333…（分数形式：QUOTE），QUOTE，整数3（分数形式：QUOTE）等.有理数分类：3.无理数无理数：无限不循环小数叫做无理数.【补充】无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.常见的无理数：1） 一般的无限不循环小数，如0.43241…，7.6385661…等2）开方开不尽的数，如：QUOTE、等.[易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.3）与圆周率π有关的数，如5π，3+π，QUOTE等.4）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）…5）某些三角函数，如sin60°、cos20°.【注意】无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数.4.实数及其分类实数的定义：有理数和无理数统称为实数.实数的分类：1．（2024·山东淄博·中考真题）下列运算结果是正数的是（

）A．3−1 B．−32 C．−2．（2024·四川凉山·中考真题）下列各数中：5，−5A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2024·山东日照·中考真题）实数−13,0,A．−13 B．0 C．54．（2024·四川雅安·中考真题）将−2，87，π，0，2，3.14这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是考点二数轴、相反数、绝对值、倒数1.数轴数轴的定义：在数学中，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴.数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可.【补充】1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线；2）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是一旦选定后就不能随意改变；3）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小.4）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应.2.相反数相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数，相反数是成队出现的.性质：1）【热考】若a，b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则若a，b互为相反数.2）一个有理数有且只有一个相反数；3）正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.几何意义：1）互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离相等且位于原点的两侧.2）位于原点的两侧且到原点距离相等的点，所表示的两个数互为相反数.3.绝对值绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|．绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数，即.【易混易错】1）若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），则a≤0.2）任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意实数，都有|a|≥0.3）当绝对值符号里的数的正负不能确定时，要分类讨论，即将其分成大于0，小于0，等于0这三类讨论.4.倒数倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数．【易混易错】1）0没有倒数，倒数是本身的只有1和-1.2）若a、b互为倒数，则ab=1.3）互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）1．（2024·江苏苏州·中考真题）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（

）A．−3 B．1 C．2 D．32．（2024·黑龙江大庆·中考真题）下列各组数中，互为相反数的是（

）A．−2024和−2024 B．2024和1C．−2024和2024 D．−2024和13．（2024·内蒙古包头·中考真题）若m,n互为倒数，且满足m+mn=3，则n的值为（

）A．14 B．12 C．24．（2024·西藏·中考真题）若x与y互为相反数，z的倒数是−3，则2x+2y−3z的值为（

）A．−9 B．−1 C．9 D．15．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（

）A．a>b C．a+2>b+2 D．a−16．（2023益阳市三模）已知a、b互为相反数，c、d为倒数，且m=3，则a+b2024+QUOTEQUOTE考点三科学记数法1.科学记数法定义：把一个数A表示成的形式（其中1≤|a|＜10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法．类别a的确定n的确定示例|A|＞101≤|a|＜10n为正整数，n=小数点左移的位数a=5.5，n=60＜|A|＜1n为负整数，n=小数点右移的位数a=-5.5，n=6-【补充】1）用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已，可以方便地表示日常生活中遇到的一些很大或很小的数.2）一个负数也可以用科学记数法表示.3）科学记数法的常见类型:①直接将像26000000、320万这样的较大数字用科学记数法表示；②将450km或35nm换算单位后用科学记数法表示；③根据题意，先计算，再将计算结果用科学记数法表示.2.近似数准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数.精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.【补充】对于带单位的数或用科学记数法表示的近似数，a的末位数字在还原后的数中是哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.有效数字的概念：从左边第一位非0的数字到精确数位的所有的数字.例：0.012有两个个有效数字：1,2；3.6万有两个有效数字：3,6；有四个有效数字：4,3,6,0.1．（2024·内蒙古·中考真题）2023年呼和浩特市政府工作报告中指出，我市主要经济指标增速达到十年来最好水平．地区生产总值完成3802亿元．数据“3802亿”用科学记数法表示为．2．（2024·上海·中考真题）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为2×105GB，一张普通唱片的容量约为25GB，则蓝光唱片的容量是普通唱片的3．（2024·四川广元·中考真题）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是10−18秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为考点四平方根、立方根1.算术平方根定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，读作“根号a”，a叫做被开方数.算术平方根QUOTEQUOTE(a≥0)具有双重非负性：1）被开方数具有非负性，即a≥0；2）算术平方根本身具有非负性，即QUOTEQUOTE≥0；【小结】即在式子QUOTE中，a≥0且QUOTEQUOTE≥0.两个重要等式：1）QUOTE，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；2），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.2.平方根定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根或二次方根.正数a的两个平方根记作±，读作“正、负根号a”.性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根.3.立方根定义：如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根.数a的立方根记作“QUOTE”，读作“三次根号a”.【补充】1）立方根等于本身的有0和±1.2）互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数.性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根．平方根与立方根的区别与联系关系 名称平方根立方根区别性质正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数表示方法非负数a的平方根表示为±QUOTE，根指数是2，常省略不写数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写被开方数的取值范围在±QUOTE中，a是非负数，即在中，a是任意数联系转化条件都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究，即QUOTE.4.常见实数的平方与立方：常见数的平方122232425262728292102149162536496481100112122132142152162172182192202121144169196225256289324361400常见数的立方1323334353637383931031827641252163435127291000

1．（2023·湖南娄底·中考真题）从367，3.1415926，3.3，4，5，−38，39A．27 B．37 C．472．（2023·山东·中考真题）面积为9的正方形，其边长等于（）A．9的平方根 B．9的算术平方根 C．9的立方根 D．5的算术平方根3．（2023·四川广安·中考真题）16的平方根是4．（2023·四川内江·中考真题）若a、b互为相反数，c为8的立方根，则2a+2b−c=．考点五比较实数的大小1）实数性质法：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小；3）作差比较法：a，b是任意两个实数，若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b.4）作商比较法：a、b为正数，若QUOTE>1，则a>b；若QUOTE=1，则a=b；若QUOTE<1，则a<b5）倒数比较法：6）平方比较法：a、b为正数，若a2>b2，则a>b.a、b为负数，若a2>b2，则a<b.【补充】主要应用于二次根式的估值及比较含有根式的实数大小.7）特殊值法：通过估算，将无理数取近似值，即可比较出这两个实数的大小.这里需要我们记住三个常用的近似值:QUOTE≈1.414，QUOTE≈1.732，QUOTE≈2.2361．（2024·山东威海·中考真题）下列各数中，最小的数是（

）A．−2 B．−−2 C．−122．（2023·江苏·中考真题）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（

）．

A．a<−2 B．b<2 C．a>b D．−a<b3．（2023·江苏扬州·中考真题）已知a=5，b=2，c=3，则a、A．b>a>c B．a>c>b C．a>b>c D．b>c>a4．（2024·安徽·中考真题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为10，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为227．比较大小：1022考点六实数的运算实数的四则运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用.1.实数的加法法则：1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.2.实数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数.3.实数的乘方法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；2）任何数同0相乘，都得0.【补充】1）正数的任何次幂都是正数；2）0的任何正整数次幂都是0；3）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.4.实数的除法法则：1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数；2）0除以任何不为0的数，都得0.5.运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算.6.运算律类别表示加法交换律加法结合律乘法交换律乘法结合律乘法分配律【易混易错】1.有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律、加法交换律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律．2.在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号．1．（2024·江苏徐州·中考真题）计算：(1)−3−202402．（2024·四川广元·中考真题）计算：2024−π3．（2023·青海西宁·中考真题）计算：−14．（2023·辽宁沈阳·中考真题）计算：π−202304题型精研·考命题点一实数的基础►题型01正负数的意义1．（2024·海南·中考真题）负数的概念最早记载于我国古代著作《九章算术》．若零上20°C记作+20°C，则零下30°CA．−30°C B．−10°C C．+10°C2．（2024·河北·中考真题）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（

）A． B．C． D．3．（2024·江苏连云港·中考真题）如果公元前121年记作−121年，那么公元后2024年应记作年．4．（2023·甘肃武威·中考真题）近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果，如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“+9050米”，那么海平面以下10907米记作“米”．QUOTEQUOTEQUOTE►题型02无理数的识别常见的无理数：1） 一般的无限不循环小数，如0.43241…，7.6385661…等2）开方开不尽的数，如：QUOTE、等.[易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.3）与圆周率π有关的数，如5π，3+π，QUOTE等.4）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）…5）某些三角函数，如sin60°、cos20°.【注意】无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数.1．（2022·四川巴中·中考真题）下列说法正确的是（

）A．4是无理数 B．明天巴中城区下雨是必然事件C．正五边形的每个内角是108° D．相似三角形的面积比等于相似比2．（2024·甘肃临夏·中考真题）下列各数中，是无理数的是（

）A．π2 B．13 C．33．（2023·湖南娄底·中考真题）从367，3.1415926，3.3，4，5，−38，A．27 B．37 C．474．（2024·山西大同·模拟预测）请写出一个无理数，使它与27的积是有理数，这个无理数可以是．（写出一个即可）►题型03科学记数法用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键，具体方法为：1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10；2）确定n的两种方法：①当原数绝对值大于10时，则n的值等于原数中整数部分的位数减1；②当原数绝对值小于1时，n为负整数，n的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.【小结】将数字用科学记数法表示时，小数点移动的位数，即为10的指数的绝对值.3）用科学记数法表示带单位的大数的技巧：1．（2024·山东日照·中考真题）交通运输部2024年4月发布的全国港口货物吞吐量数据显示，日照港2024年第一季度吞吐量为15493万吨，居全国主要港口第6位．将数据154930000用科学记数法表示为（

）A．15.493×107 B．1.5493×108 C．2．（2024·江苏常州·中考真题）2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系．50亿光年用科学记数法表示为（

）A．50×108光年 B．5×108光年 C．5×103．（2024·山东威海·中考真题）据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（

）A．1×10−5 B．1×10−6 C．4．（2024·山东淄博·中考真题）我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口30.7万辆．将30.7万用科学记数法表示为3.07×10n．则n的值是（A．4 B．5 C．6 D．7QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE►题型04无理数的估算估算，需要找到靠近a，且比a小和比a大的两个相邻平方数.1．（2024·重庆·中考真题）估计122A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间2．（2024·河北·中考真题）已知a，b，n均为正整数．（1）若n<10<n+1，则n=（2）若n−1<a<n,n<b<n+1，则满足条件的a的个数总比3．（2024·广东深圳·中考真题）如图所示，四边形ABCD，DEFG，GHIJ均为正方形，且S正方形ABCD=10，S正方形GHIJQUOTE►题型05实数的大小比较实数比较大小的常用方法1）两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；2）将实数在数轴上表示出来，左边的数小于右边的数；3）作差或作商法：作差后与0进行比较，作商后与1进行比较；4）估算法：常见QUOTE≈1.414，QUOTE≈1.732，QUOTE≈2.236；5）乘方法：符号相同的两个根式，利用乘方法来比较大小.1．（2024·四川自贡·中考真题）在0，−2，−3，π四个数中，最大的数是（

A．−2 B．0 C．π D．−2．（2023·江苏扬州·中考真题）已知a=5，b=2，c=3，则a、A．b>a>c B．a>c>b C．a>b>c D．b>c>a3．（2023·江苏盐城·中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题：已知3a>b>0，M=ab，N=a+1b+3，试比较小华：整式的大小比较可采用“作差法”.老师：比较x2+1与小华：∵x2∴x2老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．(2)比较大小：2368__________2265．（填“>”“=”或“4．（2024·云南·中考真题）已知抛物线y=x2+bx−1的对称轴是直线x=32．设m是抛物线y=(1)求b的值；(2)比较M与132►题型06实数与数轴1．（2024·山东青岛·中考真题）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最小的是（

）A．a B．b C．c D．d2．（2024·四川南充·中考真题）如图，数轴上表示2的点是（

）A．点A B．点B C．点C D．点D3．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，若

A．a+b B．a−b C．ab D．a4．（2023·辽宁大连·中考真题）如图，在数轴上，OB=1，过O作直线l⊥OB于点O，在直线l上截取OA=2，且A在OC上方．连接AB，以点B为圆心，AB为半径作弧交直线OB于点C，则C点的横坐标为．►题型07平方根、立方根1．（2023·江苏无锡·中考真题）实数9的算术平方根是（

）A．3 B．±3 C．19 D．2．（2023·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：a,2a2,3A．n B．n−1an−1 C．na3．（2023·安徽·中考真题）计算：38+1=4．（2024武威市三模）一个正数a的两个平方根是m+7和2m−1，则a−m的立方根为.命题点二实数的运算►题型01非负性的应用二次根式是初中阶段常见的三种非负数之一，这三种非负数分别是:1）一个实数的绝对值，即|a|；2）一个实数的偶次方(主要是二次方)，即等；3）一个实数的算术平方根(即二次根式)，即.1．（2023·山东·中考真题）△ABC的三边长a，b，c满足(a−b)2+2a−b−3+|c−32A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形2．（2024·四川成都·中考真题）若m，n为实数，且m+42+n−5=0，则3．（2024·四川资阳·中考真题）若a−12+|b−2|=0，则ab=4．（2023·广东深圳·二模）若4x+y−42与2x−y+1互为相反数，则xy的值是►题型02实数的简单运算1．（2024·吉林长春·中考真题）根据有理数加法法则，计算2+−3A．+3+2 B．+3−2 C．−3+22．（2024·河南·中考真题）计算a⋅a⋅...⋅aaA．a5 B．a6 C．aa+33．（2024·吉林·中考真题）若−3×□的运算结果为正数，则□内的数字可以为（A．2 B．1 C．0 D．−14．（2023·辽宁营口·中考真题）有下列四个算式①−5++3=−8；②−−23=6；③A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．（2023·山东滨州·中考真题）计算2−−3的结果为6．（2023·广西·中考真题）计算：(−1)×(−4)+2QUOTE►题型03实数的混合运算运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算.【注意】1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律、加法交换律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律．2）在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号．实数计算的易错点：1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；3），在计算中常用的锐角三角函数值：三角函数30°45°60°sinαcosαtanα11．（2024·山东日照·中考真题）计算：|22．（2024·北京·中考真题）计算：π−53．（2024·四川遂宁·中考真题）计算：sin45°+4．（2023·四川德阳·中考真题）计算：25．（2023灞桥区一模）计算：(1)3(2)−►题型04与实数有关的新定义问题1．（2023·内蒙古·中考真题）定义新运算“⊗”，规定：a⊗b=a2−|b|，则(−2)⊗(−1)A．−5 B．−3 C．5 D．32．（2023·四川内江·中考真题）对于正数x，规定f(x)=2xx+1，例如：f(2)=2×22+1=43，f12A．199 B．200 C．201 D．2023．（2024·山东威海·中考真题）定义新运算：①在平面直角坐标系中，a,b表示动点从原点出发，沿着x轴正方向（a≥0）或负方向（a<0）．平移a个单位长度，再沿着y轴正方向（b≥0）或负方向（b<0）平移b个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着x轴负方向平移2个单位长度，再沿着y轴正方向平移1个单位长度，记作−2,1②加法运算法则：a,b+c,d=a+c,b+d，其中a，b，若3,5+m,n=A．m=2，n=7 B．m=−4，n=−3C．m=4，n=3 D．m=−4，n=34．（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：m∗n=mn−mn（m，n均为整数，且m≠0）．例：2∗3=25．（2023·四川广安·中考真题）定义一种新运算：对于两个非零实数a、b，a※b=xa+yb．若2※第一章数与式第01讲实数及其运算（思维导图+6考点+2命题点11种题型（含6种解题技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一实数的分类考点二数轴、相反数、绝对值、倒数考点三科学记数法考点四平方根、立方根考点五比较实数的大小考点六实数的运算04题型精研·考向洞悉命题点一实数的基础►题型01正负数的意义►题型02无理数的识别►题型03科学记数法►题型04无理数的估算►题型05实数的大小比较►题型06实数与数轴►题型07平方根、立方根命题点二实数的运算►题型01非负性的应用►题型02实数的简单运算►题型03实数的混合运算►题型04与实数有关的新定义问题

01考情透视·目标中考考点考查频率新课标要求实数的分类★★理解有理数、无理数的概念，知道实数是由有理数和无理数组成的数轴、相反数、绝对值、倒数★★★了解实数与数轴上的点一一对应；能用数轴上的点表示实数；能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值.科学记数法★★会用科学记数法表示数平方根、立方根★★了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根；了解乘方与开方互为逆运算.实数比较大小★★能用有理数估计一个无理数的大致范围；能比较实数的大小.实数的相关计算★★★理解乘方的意义；掌握有理数的加减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算.【考情分析】实数是初中数学的基础内容，也是必考内容，试题形式多样，考查较多的是实数与数轴结合、实数的混合运算及科学记数法，试题难度都不大，在实数的混合运算中，注意符号和运算顺序是解题的关键，实数的混合运算涉及的知识点较多，包含去绝对值、非零数的0次幂、负整数指数幂及特殊角的三角函数值等，每个知识点都要求准确掌握.02知识导图·思03考点突破·考考点一实数的分类1.正数与负数正数：大于0的数叫做正数，如：0.5，QUOTE，+2等.负数：小于0的数叫做负数.如：-0.5，QUOTE，-2，-（+1）等.2.有理数及分类有理数：整数和分数统称为有理数.（【实质】可以写成形式的数，其中m，n为整数且m≠0）【补充】有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.例：0.53（分数形式：QUOTE），1.333333…（分数形式：QUOTE），QUOTE，整数3（分数形式：QUOTE）等.有理数分类：3.无理数无理数：无限不循环小数叫做无理数.【补充】无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.常见的无理数：1） 一般的无限不循环小数，如0.43241…，7.6385661…等2）开方开不尽的数，如：QUOTE、等.[易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.3）与圆周率π有关的数，如5π，3+π，QUOTE等.4）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）…5）某些三角函数，如sin60°、cos20°.【注意】无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数.4.实数及其分类实数的定义：有理数和无理数统称为实数.实数的分类：1．（2024·山东淄博·中考真题）下列运算结果是正数的是（

）A．3−1 B．−32 C．−【答案】A【分析】题考查了正数的定义，负整数指数幂的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据正数的定义，负整数指数幂的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义计算选择即可．【详解】解：A、3−1B、−3C、−−3D、−3故选：A．2．（2024·四川凉山·中考真题）下列各数中：5，−5A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数．根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数．【详解】解：5>0，是正数；−5−3<0，是负数；0既不是正数，也不是负数；−25.8<0，是负数；+2>0，是正数；∴负数有−57，−3，−25.8，共故选：C．3．（2024·山东日照·中考真题）实数−13,0,A．−13 B．0 C．5【答案】C【分析】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．【详解】解：−13,0,1.732故选：C4．（2024·四川雅安·中考真题）将−2，87，π，0，2，3.14这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是【答案】2【分析】本题考查概率的求法与运用，有理数与无理数的识别，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．先根据无理数的定义得到取到有理数的有−2，8【详解】解：将−2，87，π，0，2，3.14这6个数分别写在6张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌上，任取一张，有6种等可能结果，其中取到有理数的有−2，8所以取到有理数的概率为46故答案为：23考点二数轴、相反数、绝对值、倒数1.数轴数轴的定义：在数学中，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴.数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可.【补充】1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线；2）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是一旦选定后就不能随意改变；3）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小.4）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应.2.相反数相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数，相反数是成队出现的.性质：1）【热考】若a，b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则若a，b互为相反数.2）一个有理数有且只有一个相反数；3）正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.几何意义：1）互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离相等且位于原点的两侧.2）位于原点的两侧且到原点距离相等的点，所表示的两个数互为相反数.3.绝对值绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|．绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数，即.【易混易错】1）若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），则a≤0.2）任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意实数，都有|a|≥0.3）当绝对值符号里的数的正负不能确定时，要分类讨论，即将其分成大于0，小于0，等于0这三类讨论.4.倒数倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数．【易混易错】1）0没有倒数，倒数是本身的只有1和-1.2）若a、b互为倒数，则ab=1.3）互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）1．（2024·江苏苏州·中考真题）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（

）A．−3 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断．【详解】解：∵−3=3，1=1，2=2，3∴与原点距离最近的是1，故选：B．2．（2024·黑龙江大庆·中考真题）下列各组数中，互为相反数的是（

）A．−2024和−2024 B．2024和1C．−2024和2024 D．−2024和1【答案】A【分析】本题考查相反数．根据只有符号不同的两个数互为相反数，结合绝对值的意义逐项判断即可．【详解】解：A、−2024=2024和−2024B、2024和12024C、−2024=2024D、−2024和12024故选：A．3．（2024·内蒙古包头·中考真题）若m,n互为倒数，且满足m+mn=3，则n的值为（

）A．14 B．12 C．2【答案】B【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据m,n互为倒数，则m⋅n=1，把m⋅n=1代入m+mn=3，即可得出m的值，进一步即可得出n的值．【详解】解：∵m,n互为倒数，∴m⋅n=1，∵m+mn=3，∴m=2，则n=1故选：B．4．（2024·西藏·中考真题）若x与y互为相反数，z的倒数是−3，则2x+2y−3z的值为（

）A．−9 B．−1 C．9 D．1【答案】D【分析】本题考查了相反数、倒数、求代数式的值，根据相反数和倒数的定义得出x+y=0，z=−13，将式子变形为【详解】解：∵x与y互为相反数，z的倒数是−3，∴x+y=0，z=−1∴2x+2y−3z=2x+y故选：D．5．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（

）A．a>b C．a+2>b+2 D．a−1【答案】D【分析】本题主要考查了数轴与实数的运算法则，掌握实数与数轴的基本知识是解题的关键．根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，不等式的性质及绝对值的意义判断出式子的大小即可．【详解】解：根据数轴得a<0<1<b，∴a<故选：D．6．（2023益阳市三模）已知a、b互为相反数，c、d为倒数，且m=3，则a+b2024+【答案】10【分析】本题考查了相反数、倒数的定义，绝对值的性质，代数式求值，利用相反数、倒数的定义和绝对值的性质可求得a+b=0，cd=1，m2【详解】解：∵a、b互为相反数，c、d为倒数，∴a+b=0，cd=1，∵m=3∴m2∴原式=0+−1故答案为：10．QUOTEQUOTE考点三科学记数法1.科学记数法定义：把一个数A表示成的形式（其中1≤|a|＜10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法．类别a的确定n的确定示例|A|＞101≤|a|＜10n为正整数，n=小数点左移的位数a=5.5，n=60＜|A|＜1n为负整数，n=小数点右移的位数a=-5.5，n=6-【补充】1）用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已，可以方便地表示日常生活中遇到的一些很大或很小的数.2）一个负数也可以用科学记数法表示.3）科学记数法的常见类型:①直接将像26000000、320万这样的较大数字用科学记数法表示；②将450km或35nm换算单位后用科学记数法表示；③根据题意，先计算，再将计算结果用科学记数法表示.2.近似数准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数.精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.【补充】对于带单位的数或用科学记数法表示的近似数，a的末位数字在还原后的数中是哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.有效数字的概念：从左边第一位非0的数字到精确数位的所有的数字.例：0.012有两个个有效数字：1,2；3.6万有两个有效数字：3,6；有四个有效数字：4,3,6,0.1．（2024·内蒙古·中考真题）2023年呼和浩特市政府工作报告中指出，我市主要经济指标增速达到十年来最好水平．地区生产总值完成3802亿元．数据“3802亿”用科学记数法表示为．【答案】3.802×【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定n的值时，要看把原数变成【详解】解：3802亿=3.802×10故答案为：3.802×102．（2024·上海·中考真题）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为2×105GB，一张普通唱片的容量约为25GB，则蓝光唱片的容量是普通唱片的【答案】8×【分析】本题考查科学记数法，按照定义，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤a<10，n为整数，按要求表示即可得到答案，确定【详解】解：蓝光唱片的容量是普通唱片的2×10故答案为：8×103．（2024·四川广元·中考真题）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是10−18秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为【答案】4.3×【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，解题的关键是熟知1≤a【详解】解：根据题意1阿秒是10−1843阿秒=43×10故答案为：4.3×10考点四平方根、立方根1.算术平方根定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，读作“根号a”，a叫做被开方数.算术平方根QUOTEQUOTE(a≥0)具有双重非负性：1）被开方数具有非负性，即a≥0；2）算术平方根本身具有非负性，即QUOTEQUOTE≥0；【小结】即在式子QUOTE中，a≥0且QUOTEQUOTE≥0.两个重要等式：1）QUOTE，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；2），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.2.平方根定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根或二次方根.正数a的两个平方根记作±，读作“正、负根号a”.性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根.3.立方根定义：如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根.数a的立方根记作“QUOTE”，读作“三次根号a”.【补充】1）立方根等于本身的有0和±1.2）互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数.性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根．平方根与立方根的区别与联系关系 名称平方根立方根区别性质正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数表示方法非负数a的平方根表示为±QUOTE，根指数是2，常省略不写数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写被开方数的取值范围在±QUOTE中，a是非负数，即在中，a是任意数联系转化条件都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究，即QUOTE.4.常见实数的平方与立方：常见数的平方122232425262728292102149162536496481100112122132142152162172182192202121144169196225256289324361400常见数的立方1323334353637383931031827641252163435127291000

1．（2023·湖南娄底·中考真题）从367，3.1415926，3.3，4，5，−38，3A．27 B．37 C．47【答案】A【分析】先判断出5，39【详解】解：∵4=2，−∴367，3.1415926，3.3，4，5，−38，39∴从367，3.1415926，3.3，4，5，−38，故选A【点睛】本题考查的是求解一个数的算术平方根，立方根，无理数的含义，利用概率公式求解简单随机事件的概率，掌握以上基础知识是解本题的关键．2．（2023·山东·中考真题）面积为9的正方形，其边长等于（）A．9的平方根 B．9的算术平方根 C．9的立方根 D．5的算术平方根【答案】B【分析】根据算术平方根的定义解答即可．【详解】解：∵面积等于边长的平方，∴面积为9的正方形，其边长等于9的算术平方根．故选B．【点睛】本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做3．（2023·四川广安·中考真题）16的平方根是【答案】±2【详解】解：∵16∴16的平方根是±2．故答案为±2．4．（2023·四川内江·中考真题）若a、b互为相反数，c为8的立方根，则2a+2b−c=．【答案】−2【分析】利用相反数，立方根的性质求出a+b及c的值，代入原式计算即可得到结果．【详解】解：根据题意得：a+b=0，∴2a+2b−c=0−2=−2，故答案为：−2【点睛】此题考查了代数式求值，相反数、立方根的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．考点五比较实数的大小1）实数性质法：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小；3）作差比较法：a，b是任意两个实数，若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b.4）作商比较法：a、b为正数，若QUOTE>1，则a>b；若QUOTE=1，则a=b；若QUOTE<1，则a<b5）倒数比较法：6）平方比较法：a、b为正数，若a2>b2，则a>b.a、b为负数，若a2>b2，则a<b.【补充】主要应用于二次根式的估值及比较含有根式的实数大小.7）特殊值法：通过估算，将无理数取近似值，即可比较出这两个实数的大小.这里需要我们记住三个常用的近似值:QUOTE≈1.414，QUOTE≈1.732，QUOTE≈2.2361．（2024·山东威海·中考真题）下列各数中，最小的数是（

）A．−2 B．−−2 C．−12【答案】A【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较即可求解．【详解】解：−−2∵−2<−∴最小的数是−2故选：A．2．（2023·江苏·中考真题）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（

）．

A．a<−2 B．b<2 C．a>b D．−a<b【答案】D【分析】根据实数在数轴上的位置，判断实数的大小关系，即可得出结论．【详解】解：由图可知，−2<a<0<2<b<3，a=−a<2<bA、a<−2，错误；B、b<2，错误；C、a>b，错误；D、−a<b，正确；故选D．【点睛】本题考查利用数轴比较实数的大小关系．正确的识图，掌握数轴上的数从左到右依次增大，是解题的关键．3．（2023·江苏扬州·中考真题）已知a=5，b=2，c=3，则a、A．b>a>c B．a>c>b C．a>b>c D．b>c>a【答案】C【分析】由2=4，3【详解】解：∵2=4，3∴a>b>c，故选：C．【点睛】本题考查了实数的大小比较，算术平方根．解题的关键在于对知识的熟练掌握．4．（2024·安徽·中考真题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为10，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为227．比较大小：1022【答案】>【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案．【详解】解：∵2272=而48449∴227∴10>故答案为：>考点六实数的运算实数的四则运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用.1.实数的加法法则：1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.2.实数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数.3.实数的乘方法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；2）任何数同0相乘，都得0.【补充】1）正数的任何次幂都是正数；2）0的任何正整数次幂都是0；3）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.4.实数的除法法则：1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数；2）0除以任何不为0的数，都得0.5.运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算.6.运算律类别表示加法交换律加法结合律乘法交换律乘法结合律乘法分配律【易混易错】1.有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律、加法交换律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律．2.在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号．1．（2024·江苏徐州·中考真题）计算：(1)−3−(2)1−1【答案】(1)2(2)x+1【分析】本题考查了实数的运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、立方根的运算法则计算，再根据有理数的加减运算法则计算即可；（2）先计算括号里的，再把除法运算化为乘法运算，最后约分即可．【详解】（1）解：−3=3−1+2−2=2；（2）解：1−===x+1．2．（2024·四川广元·中考真题）计算：2024−π【答案】−1【分析】此题考查了实数的混合运算，特殊的三角函数值，零次幂及负指数幂计算，正确掌握各计算法则是解题的关键．【详解】解：原式=1+2−33．（2023·青海西宁·中考真题）计算：−1【答案】2【分析】计算乘方、化简绝对值、计算零指数幂，再进行加减运算即可得到答案．【详解】解：原式=−1+2=−1+=2【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．4．（2023·辽宁沈阳·中考真题）计算：π−20230【答案】10【分析】根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，特殊角的三角函数值，进行计算即可．【详解】解：π−2023=1+2+=3+9−2=10．【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，特殊角的三角函数值，准确计算．4题型精研·考命题点一实数的基础►题型01正负数的意义1．（2024·海南·中考真题）负数的概念最早记载于我国古代著作《九章算术》．若零上20°C记作+20°C，则零下30°CA．−30°C B．−10°C C．+10°C【答案】A【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若零上由正数表示，那么零下就用负数表示，据此可得答案．【详解】解：若若零上20°C记作+20°C，那么零下30°C故选：A．2．（2024·河北·中考真题）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了正负数的大小比较，熟练掌握正负数大小比较的方法解题的关键．由五日气温为−2℃,−4℃,0℃,1℃,−1℃得到−2>−4，−4<0<1，1>−1，则气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．【详解】解：由五日气温为−2℃,−4℃,0℃,1℃,−1℃得到−2>−4，−4<0<1，1>−1∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．故选：A．3．（2024·江苏连云港·中考真题）如果公元前121年记作−121年，那么公元后2024年应记作年．【答案】+2024【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，公元前为负，则公元后为正，进行作答即可．【详解】解：公元前121年记作−121年，那么公元后2024年应记作+2024年；故答案为：+2024．4．（2023·甘肃武威·中考真题）近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果，如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“+9050米”，那么海平面以下10907米记作“米”．【答案】−10907【分析】根据正负数表示相反的意义解答即可．【详解】解：把海平面以上9050米记作“+9050米”，则海平面以下10907米记作−10907米，故答案为：−10907．【点睛】此题考查了正负数的理解：在一个事件中，规定一个量为正，则表示相反意义的量为负，正确理解正负数表示一对相反的意义的量是解题的关键．QUOTEQUOTEQUOTE►题型02无理数的识别常见的无理数：1） 一般的无限不循环小数，如0.43241…，7.6385661…等2）开方开不尽的数，如：QUOTE、等.[易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.3）与圆周率π有关的数，如5π，3+π，QUOTE等.4）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）…5）某些三角函数，如sin60°、cos20°.【注意】无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数.1．（2022·四川巴中·中考真题）下列说法正确的是（

）A．4是无理数 B．明天巴中城区下雨是必然事件C．正五边形的每个内角是108° D．相似三角形的面积比等于相似比【答案】C【分析】二次根式化简可得4=2，下雨是可能事件，正五边形每个内角是108°，相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可解得．【详解】A．4=2，故选项错误，不符合题意．

B．明天巴中城区下雨是可能事件，故选项错误，不符合题意．C．正五边形的每个内角是108°，故选正确，符合题意．

D．相似三角形的面积比等于相似比的平方，故选项错误，不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了二次根式、事件发生的可能性、正多边形的内角、相似三角形的面积比，解题的关键是记住相关概念．2．（2024·甘肃临夏·中考真题）下列各数中，是无理数的是（

）A．π2 B．13 C．3【答案】A【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数是无限不循环小数结合立方根的定义，进行判断即可．【详解】解：A、π2B、13C、327D、0.13133是有理数，不符合题意；故选A．3．（2023·湖南娄底·中考真题）从367，3.1415926，3.3，4，5，−38，A．27 B．37 C．47【答案】A【分析】先判断出5，39【详解】解：∵4=2，−∴367，3.1415926，3.3，4，5，−38，39∴从367，3.1415926，3.3，4，5，−38，故选A【点睛】本题考查的是求解一个数的算术平方根，立方根，无理数的含义，利用概率公式求解简单随机事件的概率，掌握以上基础知识是解本题的关键．4．（2024·山西大同·模拟预测）请写出一个无理数，使它与27的积是有理数，这个无理数可以是．（写出一个即可）【答案】3（答案不唯一）【分析】本题考查了无理数的定义，二次根式的性质，二次根的乘法，熟练掌握二次根式的性质和乘法法则是解本题的关键．先化简27，再根据二次根式的乘法法则进行计算后确定这个符合条件的无理数．【详解】∵27=33，∴这个无理数可以是3，（答案不唯一）故答案为：3（答案不唯一）．►题型03科学记数法用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键，具体方法为：1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10；2）确定n的两种方法：①当原数绝对值大于10时，则n的值等于原数中整数部分的位数减1；②当原数绝对值小于1时，n为负整数，n的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.【小结】将数字用科学记数法表示时，小数点移动的位数，即为10的指数的绝对值.3）用科学记数法表示带单位的大数的技巧：1．（2024·山东日照·中考真题）交通运输部2024年4月发布的全国港口货物吞吐量数据显示，日照港2024年第一季度吞吐量为15493万吨，居全国主要港口第6位．将数据154930000用科学记数法表示为（

）A．15.493×107 B．1.5493×108 C．【答案】B【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是非负数，当原数绝对值小于1时，n是负数，表示时关键是要正确确定【详解】解：154930000=1.5493×10故选：B．2．（2024·江苏常州·中考真题）2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系．50亿光年用科学记数法表示为（

）A．50×108光年 B．5×108光年 C．5×10【答案】C【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法a×10n1≤a<10【详解】解：50亿光年=5×10故选C．3．（2024·山东威海·中考真题）据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（

）A．1×10−5 B．1×10−6 C．【答案】B【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤a【详解】解：百万分之一=11000000故选：B．4．（2024·山东淄博·中考真题）我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口30.7万辆．将30.7万用科学记数法表示为3.07×10n．则n的值是（A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成【详解】解：30.7万=307000=3.07×10则n=5，故选：B．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE►题型04无理数的估算估算，需要找到靠近a，且比a小和比a大的两个相邻平方数.1．（2024·重庆·中考真题）估计122A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间【答案】C【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法运算，再估算即可．【详解】解：∵122而4<24∴10<26故答案为：C2．（2024·河北·中考真题）已知a，b，n均为正整数．（1）若n<10<n+1，则n=（2）若n−1<a<n,n<b<n+1，则满足条件的a的个数总比【答案】32【分析】本题考查的是无理数的估算以及规律探究问题，掌握探究的方法是解本题的关键；（1）由3<10（2）由n−1，n，n+1为连续的三个自然数，n−1<a<n,n<b<n+1，可得【详解】解：（1）∵3<10<4，而∴n=3；故答案为：3；（2）∵a，b，n均为正整数．∴n−1，n，n+1为连续的三个自然数，而n−1<a∴n−12<a观察0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，⋯⋯，而02=0，12=1，22∴n−12与n2之间的整数有n2与n+12之间的整数有∴满足条件的a的个数总比b的个数少2n−2n−2故答案为：2．3．（2024·广东深圳·中考真题）如图所示，四边形ABCD，DEFG，GHIJ均为正方形，且S正方形ABCD=10，S正方形GHIJ【答案】2（答案不唯一）【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算．利用算术平方根的性质求得AB=CD=10，GH=GJ=1，再根据无理数的估算结合GH<DE<CD【详解】解：∵S正方形∴AB=CD=10∵S正方形∴GH=GJ=1，∵3<10<4，即∴正方形DEFG的边长GH<DE<CD，即1<DE≤3，∴正方形DEFG的边长可以是2，故答案为：2（答案不唯一）．QUOTE►题型05实数的大小比较实数比较大小的常用方法1）两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；2）将实数在数轴上表示出来，左边的数小于右边的数；3）作差或作商法：作差后与0进行比较，作商后与1进行比较；4）估算法：常见QUOTE≈1.414，QUOTE≈1.732，QUOTE≈2.236；5）乘方法：符号相同的两个根式，利用乘方法来比较大小.1．（2024·四川自贡·中考真题）在0，−2，−3，π四个数中，最大的数是（

A．−2 B．0 C．π D．−【答案】C【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．【详解】解：根据实数比较大小的方法，可得：−2<−3∴在0，−2，−3，π四个数中，最大的数是π故选：C．2．（2023·江苏扬州·中考真题）已知a=5，b=2，c=3，则a、A．b>a>c B．a>c>b C．a>b>c D．b>c>a【答案】C【分析】由2=4，3【详解】解：∵2=4，3∴a>b>c，故选：C．【点睛】本题考查了实数的大小比较，算术平方根．解题的关键在于对知识的熟练掌握．3．（2023·江苏盐城·中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题：已知3a>b>0，M=ab，N=a+1b+3，试比较小华：整式的大小比较可采用“作差法”.老师：比较x2+1与小华：∵x2∴x2老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？…(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．(2)比较大小：2368__________2265．（填“>”“=”或“【答案】(1)M(2)<【分析】（1）根据作差法求M−N的值即可得出答案；（2）根据作差法求2368【详解】（1）解：M−N=a∵3a>b>0，∴3a−b∴M>（2）解：∵23∴23故答案为：<．【点睛】本题考查分式运算的应用，解题关键是理解材料，通过作差法求解，掌握分式运算的方法．4．（2024·云南·中考真题）已知抛物线y=x2+bx−1的对称轴是直线x=32．设m是抛物线y=(1)求b的值；(2)比较M与132【答案】(1)b=−3(2)当M=3+132时，M>132【分析】（1）由对称轴为直线x=−b（2）当M=3+132时，M>132【详解】（1）解：∵抛物线y=x2+bx−1∴−b∴b=−3；（2）解：∵m是抛物线y=x2+bx−1∴m2∴m2∴m4∴m4而m代入得：m4∴m5∴M=m∵m2解得：m=3±当M=m=3+13∴M>13当M=m=3−132∴M<13【点睛】本题考查了二次函数的对称轴公式，与x轴交点问题，解一元二次方程，无理数的大小比较，解题的关键是对m5►题型06实数与数轴1．（2024·山东青岛·中考真题）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最小的是（

）A．a B．b C．c D．d【答案】C【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据绝对值的几何意义可知，一个实数的绝对值表示的是这个实数在数轴上与原点的距离，故离原点越近，其绝对值越小，据此可得答案．【详解】解：由数轴上点的位置可知，c<∴这四个实数中绝对值最小的是c，故选：C．2．（2024·四川南充·中考真题）如图，数轴上表示2的点是（

）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】C【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算．先估算出2的范围，再找出符合条件的数轴上的点即可．【详解】解：∵1<2∴数轴上表示2的点是点C，故选：C．3．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，若

A．a+b B．a−b C．ab D．a【答案】A【分析】本题主要考查了列代数式、数轴、正数和负数、绝对值等知识点，得到a<0，b>0且a<数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，则AM=a+b−a=b、BM=b−a+b=−a，由AM>BM可得原点在A、M