人教A版高中数学选择性必修三-6.2.3第3课时-排列、组合的综合应用-同步练习【含答案】

人教A版高中数学选择性必修三-6.2.3第3课时-排列、组合的综合应用-同步练习1．甲、乙两人计划从A，B，C三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有()A．3种B．6种C．9种D．12种2．假如某大学给我市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为()A．30B．21C．10D．153．若将9名会员分成三组讨论问题，每组3人，共有不同的分组方法种数有()A．Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6) B．Aeq\o\al(3,9)Aeq\o\al(3,6)C.eq\f(C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(3,3)) D．Aeq\o\al(3,9)Aeq\o\al(3,6)Aeq\o\al(3,3)4．已知直线a，直线b，且a∥b，a上有5个点，b上有4个点，则以这九个点为顶点的三角形个数为()A．Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4) B．(Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(1,4))(Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,4))C．Ceq\o\al(3,9)－9 D．Ceq\o\al(3,9)－Ceq\o\al(3,5)5．为迎接某会，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛．该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，且当这3名学生都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为()A．720B．768C．810D．8166.如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个顶点作为一组．其中可以构成三角形的组数为()A．208 B．204C．200 D．1967．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有________种．(用数字作答)8．某地区安排A，B，C，D，E五名同志到三个地区开展消防安全宣传活动，每个地区至少安排一人，且A，B两人安排在同一个地区，C，D两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法共有________种．9．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？10.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学，求：(1)5名同学站成一排，有多少种不同的方法？(2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法？(3)将5名同学分配到三个班，每班至少1人，共有多少种不同的分配方法？11．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有()A．8种 B．14种C．20种 D．116种12．第24届冬季奥运会期间，某校安排了甲、乙、丙、丁、戊共5名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人，每人只能安排到1个项目，则所有排法的总数为()A．60B．120C．150D．24013．用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________．14．已知不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝12，则不定方程正整数解的组数为________．15．(多选)某校安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是()A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为54B．若每项工作至少有1人参加，则不同的安排方法种数为Aeq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,4)C．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3))Aeq\o\al(3,3)16．设有99本不同的书(用排列数、组合数作答)．(1)分给甲、乙、丙3人，甲得96本，乙得2本，丙得1本，共有多少种不同的分法？(2)分给甲、乙、丙3人，甲得93本，乙、丙各得3本，共有多少种不同的分法？(3)平均分给甲、乙、丙3人，共有多少种不同的分法？(4)分给甲、乙、丙3人，一人得96本，一人得2本，一人得1本，共有多少种不同的分法？(5)分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，共有多少种不同的分法？(6)分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，共有多少种不同的分法？(7)平均分成3份，共有多少种不同的分法？(8)分成3份，一份93本，另两份各3本，共有多少种不同的分法？参考答案与详细解析1．B[本题用排除法，甲、乙两人从A，B，C三个景点中各选两个游玩，共有Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(2,3)＝9(种)，但两人所选景点不能完全相同，所以排除3种完全相同的选择，故共有6种选法．]2．D[用“隔板法”．在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有Ceq\o\al(2,6)＝15(种)分配方法．]3．C[此题为平均分组问题，有eq\f(C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(3,3))种分法．]4．A[可以分为两类：a上取两点，b上取一点，则可构成三角形个数为Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,4)；a上取一点，b上取两点，则可构成三角形个数为Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)，利用分类加法计数原理可得以这九个点为顶点的三角形个数为Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4).]5．B[根据题意，知在7名学生中选派4名学生参加诗歌朗诵比赛，朗诵顺序有Aeq\o\al(4,7)＝840(种)，其中甲、乙、丙都没有参加，即选派其他四人参加，朗诵顺序有Aeq\o\al(4,4)＝24(种)，则甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，朗诵顺序有840－24＝816(种)；其中当甲、乙、丙都参加且甲和乙相邻时，朗诵顺序有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝48(种)，则满足题意的朗诵顺序有816－48＝768(种)．]6．C[任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数为3Ceq\o\al(3,4)；二是4条竖线上的3个点，其组数为4Ceq\o\al(3,3)；三是4条对角线上的3个点，其组数为4Ceq\o\al(3,3)，所以可以构成三角形的组数为Ceq\o\al(3,12)－3Ceq\o\al(3,4)－8Ceq\o\al(3,3)＝200.]7．96解析甲传第一棒，乙传最后一棒，共有Aeq\o\al(4,4)种方法．乙传第一棒，甲传最后一棒，共有Aeq\o\al(4,4)种方法．丙传第一棒，共有Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(4,4)种方法．由分类加法计数原理得，共有Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(4,4)＝96(种)方法．8．30解析①将5人分为3组，要求A，B两人在同一组而C，D不在同一组，有Ceq\o\al(1,3)＋(Ceq\o\al(2,3)－1)＝5(种)分组方法；②将分好的3组全排列，安排到三个地区，有Aeq\o\al(3,3)＝6(种)安排方法；综合①和②，则有5×6＝30(种)不同的分配方法．9．解可以分三类：第一类，两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,3)种选法；第二类，两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,3)种选法；第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,3)种选法．根据分类加法计数原理，共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,3)＝42(种)不同的选法．10．解(1)有Aeq\o\al(5,5)＝120(种)不同的方法．(2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，则先将甲、乙捆绑，看成一个整体，有Aeq\o\al(2,2)种方法；再将甲、乙看成整体(不考虑甲乙内部排列)，与戊排列，有Aeq\o\al(2,2)种方法；最后利用插空法，将丙、丁插入3个空隙中，有Aeq\o\al(2,3)种方法．故有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝24(种)不同的方法．(3)按人数分配方式分类：①3,1,1，有eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))Aeq\o\al(3,3)＝60(种)方法；②2,2,1，有eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))Aeq\o\al(3,3)＝90(种)方法．故共有60＋90＝150(种)分配方法．11．B[按照甲是否在天和核心舱划分，①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲、乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(2,2)＝6(种)安排方案；②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，则有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(3,4)＝8(种)安排方案；根据分类加法计数原理，共有6＋8＝14(种)安排方案．]12．C[当分组为1人，1人，3人时，有Ceq\o\al(3,5)·Aeq\o\al(3,3)＝10×6＝60(种)排法，当分组为1人，2人，2人时，有eq\f(C\o\al(1,5)·C\o\al(2,4)·C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝90(种)排法，所以共有60＋90＝150(种)排法．]13．8解析首先排两个奇数1,3，有Aeq\o\al(2,2)种排法，再在2,4中取一个数放在1,3之间，有Ceq\o\al(1,2)种排法，然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有Aeq\o\al(2,2)种排法，即满足条件的四位数的个数为Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝8.14．165解析问题相当于将12个完全相同的小球放入4个不同的盒子，且每个盒子中至少放入1个小球，使用“隔板法”得不定方程正整数解的组数为Ceq\o\al(3,11)＝165.15．ABD[根据题意，依次分析选项：对于A，安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有45种安排方法，故A错误；对于B，根据题意，分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)种安排方法，故B错误；对于C，根据题意，分2种情况讨论：①从丙、丁、戊中选出1人开车，②从丙、丁、戊中选出2人开车，则有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)种安排方法，C正确；对于D，分2步分析：需要先将5人分为3组，有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))＋\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))))种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有Aeq\o\al(3,3)种情况，则有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))＋\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))))Aeq\o\al(3,3)种安排方法，D错误．]16．解(1)甲得96本，有方法Ceq\o\al(96,99)种；乙得2本，有方法Ceq\o\al(2,3)种；丙得1本，有方法Ceq\o\al(1,1)种．不同的分法共有Ceq\o\al(96,99)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,1)种．(2)与(1)类似，不同的分法共有Ceq\o\al(93,99)Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(3,3)种．(3)不同的分法共有Ceq\o\al(33,99