第06讲 直线的交点坐标与距离公式【秋季讲义】（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）

第06讲直线的交点坐标与距离公式【人教A版2019】·模块一两条直线的交点坐标·模块二距离公式·模块三点、线间的对称关系·模块四课后作业模块一模块一两条直线的交点坐标1．两条直线的交点坐标(1)两条直线的交点坐标

一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合.(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系设两直线,直线.方程组的解一组无数组无解直线l1和l2的公共点个数一个无数个零个直线l1和l2的位置关系相交重合平行【考点1直线的交点坐标问题】【例1.1】（2023·全国·高二专题练习）直线x+2y-4=0与直线A．(2,0) B．(2,1)C．(0,2) D．(1,2)【例1.2】（2023秋·高二单元测试）若直线y=x+2k+1与直线yA．-52,12 B．-2【变式1.1】（2023·全国·高二专题练习）若三条直线2x+y-4=0，x-yA．1 B．-2 C．1或-2 D．-1【变式1.2】（2023·全国·高二专题练习）若三条直线l1:4x+yA．2个 B．3个C．4个 D．6个【考点2直线交点系方程及应用】【例2.1】（2023春·海南海口·高一校考期末）过两直线l1:x-3A．3x-19y=0 B．19x-3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=0【例2.2】（2023·全国·高三专题练习）经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为()A．4x－3y＋9＝0 B．4x＋3y＋9＝0C．3x－4y＋9＝0 D．3x＋4y＋9＝0【变式2.1】（2023秋·高二课时练习）过直线3x-2y+3=0与xA．2x+yC．x+2y-【变式2.2】（2022·高二课时练习）经过直线3x+2y+6=0和A．x+y+1=0C．x+y+1=0或3x+4模块二模块二距离公式1．两点间的距离公式平面内两点间的距离公式为.

特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=.2．点到直线的距离公式(1)定义：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.

(2)公式：已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=.3．两条平行直线间的距离公式(1)定义

两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.

(2)公式

设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=.4．中点坐标公式公式：设平面上两点，线段的中点为，则.【考点3点到直线的距离公式的应用】【例3.1】（2023·全国·高三专题练习）已知直线l的倾斜角为60∘，在y轴上的截距与另一条直线x+2y+3=0在x轴上的截距相同，则点P(A．2 B．52 C．1 D．【例3.2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线l经过两直线l1：3x﹣y+12＝0，l2：3x+2y﹣6＝0的交点，且与直线x﹣2y﹣3＝0垂直，则坐标原点O到直线l的距离为（

）A．255 B．2 C．55【变式3.1】（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：mx+ny=0mn>0，点A1,2，则点A．0,2 B．1,5 C．1,2 D．【变式3.2】（2023春·辽宁本溪·高二校考阶段练习）已知a>0，直线l1:x+ay=2a+4与y轴的交点为A，l2:2x+ay=2a+8与x轴的交点为A．23 B．223 C．2【考点4两条平行直线间的距离公式的应用】【例4.1】（2023·全国·高二专题练习）已知直线-3x+4y-A．1 B．2 C．12 D．【例4.2】（2023秋·高二课时练习）已知直线-2x+4y+2=0与x-2A．9 B．11或-9 C．-9 D．9【变式4.1】（2023·全国·高三专题练习）已知两条直线l1:λ+2x+1-λyA．3 B．4 C．5 D．6【变式4.2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x+2y+1=0和x+2y+3=0，另一组对边所在的直线方程分别为3xA．23 B．25 C．2 D【考点5与距离有关的最值问题】【例5.1】（2023·全国·高二专题练习）点M2,1到直线l:2A．355 B．5 C．3 D【例5.2】（2023秋·贵州黔西·高二统考期末）若P，Q分别为直线3x+4y-12=0与直线6A．32 B．135 C．2310【变式5.1】（2023·全国·高二专题练习）已知实数a>0,b<0，则3A．[-2,-1) B．(-2,-1)C．(-2.-1] D．[-2,-1]【变式5.2】（2023·全国·高二专题练习）已知0≤x≤1,0≤y≤1，则A．2 B．22 C．2+2 D模块三模块三点、线间的对称关系1．点关于点的对称2．直线关于点的对称3．两点关于某直线对称(4)几种特殊位置的对称：点对称轴对称点坐标P(a,b)x轴(a,-b)y轴(-a,b)y=x(b,a)y=-x(-b,-a)x=m(m≠0)(2m-a,b)y=n(n≠0)(a,2n-b)4．直线关于直线的对称【考点6点、线间的对称问题】【例6.1】（2022·高二课时练习）若直线l1:y=k(x-4)A．(0,4) B．(0,2)C．(-2,4) D．(4,-2)【例6.2】（2023·全国·高二专题练习）点P(2,0)关于直线l:x+yA．(-1,-3) B．(-1,-4) C．(4,1) D．(2,3)【变式6.1】（2023·全国·高二专题练习）直线l:x+2y-1=0关于点A．2x-y-5=0 B．x+2【变式6.2】（2023·全国·高二专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B-1,0，若将军从山脚下的点O0,0处出发，河岸线所在直线方程为x+y=3，则A．2 B．3 C．4 D．5【考点7直线关于直线的对称问题】【例7.1】（2023·全国·高二专题练习）已知直线：l1:y=ax+3与l2关于直线y=xA．-12 B．12 C．-【例7.2】（2022秋·四川达州·高二校考阶段练习）一条光线沿直线2x-y+1=0入射到直线x+A．4x+yC．x-y+3=0【变式7.1】（2023·全国·高三专题练习）若两条平行直线l1：x-2y+m=0m>0与l2：A．x-2yC．x-2y【变式7.2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为A0,3、B-1,0、C1,0，O为原点，从O点出发的光线先经AC上的点P1反射到边AB上，再由AB上的点P2反射回到BCA．32,23 B．33,33模块四模块四课后作业1．（2022·高二课时练习）过两直线l1:xA．19x-9C．19x-32．（2023·全国·高三专题练习）若直线l:y=kx-A．π6,πC．π3,π3．（2023秋·高二课时练习）以A5,5,B1,4,A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形4．（2023·全国·高二专题练习）若三条直线l1:ax+yA．a=1或a=-2 BC．a≠1且a≠-2 D．a5．（2023·全国·高二课堂例题）已知直线l:kx+y+2-k=0过定点M，点PA．5 B．5 C．355 D6．（2023秋·高二课时练习）若倾斜角为45°的直线m被直线l1:x+y-1=0与lA．1 B．2 C．3 D．27．（2023秋·高二单元测试）已知直线n:5x+y+2=0，点A1,0关于直线x+y+3=0的对称点为B，直线mA．5x+yC．5x+y8．（2023·全国·高二专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B(-2,0)，若将军从山脚下的点A(1,0)处出发，河岸线所在直线的方程为x+y=3，则“A．27 B．5 C．15 D．299．（2023春·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知A-3,0，B3,0，C0,3，一束光线从点F-1,0出发经AC反射后，再经BC上点D反射，落到点A．12,52 B．32,10．（2023·全国·高三专题练习）已知x+y=0，则xA．5 B．22 C．10 D．11．（2023秋·高二单元测试）已知直线l1的方程为x+2y-3=0，若l2在(1)求直线l1和l(2)已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上截距是在x轴上的截距的212．（2023秋·湖北黄冈·高二统考期末）已知直线l1:2a-(1)求l1与l(2)一束光线从P2,3出发经l1反射后平行于x13．（2023·全国·高三专题练习）已知三条直线；l1:2x-y+a=0，l2:(1)求a的值；(2)若a>0，能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：①点P在第一象限；②点P到l2的距离是点P到l1的距离的2倍；③点P到l1的距离与点P到l3